1

Rozwi ¾

azywanie uk÷

adów równa´

n liniowych metod ¾

a

eliminacji Gaussa

Ogóla posta´c uk÷

adu równa´n liniowych

8

>

>

>

<

>

>

>

:

a

1;1

x

1

+ a

1;2

x

2

+ : : : + a

1;n

x

n

=

b

1

a

2;1

x

1

+ a

2;2

x

2

+ : : : + a

2;n

x

n

=

b

2

..

.

a

m;1

x

1

+ a

m;2

x

2

+ : : : + a

m;n

x

n

=

b

m

Przyk÷

ad 1.1

8

<

:

2x

1

+ 3x

2

x

3

+ x

4

=

3

3x

1

2x

2

+ 2x

3

5x

4

=

1

x

1

+ x

2

3x

3

+ 2x

4

=

2

1

Operacje wykonywane na uk÷

adzie równa´n, które nie

zmieniaj ¾

a jego zbioru rozwi ¾

aza´n

1. Dowolne równanie uk÷

adu mo·

zna pomno·

zy´c stronami przez liczb ¾

e ró·

zn ¾

a

od zera.

2. Mo·

zna zamieni´c miejscami dwa dowolne równania

3. Do dowolnego równania mo·

zna doda´c stronami dowolne inne równanie

pomno·

zone stronami przez jak ¾

a´s sta÷¾

a.

2

Tablica Gaussa odpowiadaj ¾

aca uk÷

adowi równa´n z

przyk÷

adu 1.

2

3

-1

1

3

3

-2

2

-5

-1

-1

1

-3

2

2

3

Wzory do metody prostok ¾

atów stosowanej przy

wype÷

nianiu tablicy Gaussa

A

i;j

= a

i;j

a

i;k

a

l;;j

a

l;k

A

i;j

= a

i;j

a

l;k

a

i;k

a

l;;j

4

Rozwi ¾

azanie uk÷

adu równa´n (przyk÷

ad 1) za pomoc ¾

a

metody eliminacji Gaussa

5

6

2

Wyk÷

ad

Niech G b ¾

edzie niepustym zbiorem, a

dzia÷

aniem okre´slonym w zbiorze G:

Rozpatrzmy nast ¾

epuj ¾

ace w÷

asno´sci dzia÷

ania

:

1. 8 (a; b; c 2 G) ((a b) c = a (b c)) : ×¾

aczno´s´c dzia÷

ania

2. 8 (a; b 2 G) (a b = b a) : Przemienno´s´c dzia÷ania

3. 9 (e 2 G) 8 (a 2 G) (e a = a e = a) : Element e spe÷niaj ¾

acy ten postu-

lat jest wyznaczony jednoznacznie. Nazywamy go elementem neutralnym
dzia÷

ania :

4. 8 (a 2 G) 9 (b 2 G) (a b = b a = e) : Zwró´cmy uwag ¾

e na fakt, ·

ze w÷

as-

no´s´c 4 mo·

ze by´c sformu÷

owana dopiero wtedy, gdy wiemy czym jest e:

7

Przyjmijmy, ·

ze N, Z, Q, R, oznaczaj ¾

a odpowiednio zbiór liczb nauralnych,

ca÷

kowitych, wymiernych i rzeczywistych. Zastanówmy si ¾

e które w÷

asno´sci spo´sród

1-4 przys÷

uguj ¾

a dzia÷

aniom dodawania i mno·

zenia, okreslonym na tych zbiorach.

1

2

3

4

(N; +)
(N; )
(Z; +)
(Z; )
(Q; +)
(Q; )
(R; +)
(R; )

8

De…nicja 2.1

Niepusty zbiór G z dzia÷aniem

nazywamy pó÷grup ¾

a je´sli dzi-

a÷anie spe÷nia warunek 1

De…nicja 2.2

Niepusty zbiór G z dzia÷aniem

nazywamy grup ¾

a je´sli jest pó÷-

grup ¾

a której dzia÷anie spe÷nia warunki 3 i 4.

De…nicja 2.3

Niepusty zbiór G z dzia÷aniem

nazywamy grup ¾

a przemienn ¾

a

je´sli jest grup ¾

a której dzia÷anie spe÷nia warunek 2.

Uwaga 2.4

W grupach przemiennych dzia÷anie oznacza´c b ¾

edziemy na ogó÷jako

+; element neutralny jako 0; a jednoznacznie wyznaczony element odwrotny do
elementu a jako

a:

Niech G b ¾

edzie niepustym zbiorem, a "+" i " " dzia÷

aniami okre´slonym w

zbiorze G: W÷

asno´s´c

5 8 (a; b; c 2 G) (a (b + c) = (a b) + (a c) ^ (b + c) a = (b a) + (c a)) nazy-

wamy rozdzielno´sci ¾

a dzia÷

ania

wzgl ¾

edem dzia÷

ania +:

De…nicja 2.5

Niepusty zbiór G z dwoma dzia÷aniami +; nazywamy pier´scie-

niem je´sli (G; +) jest grup ¾

a abelow ¾

a, (G; ) jest pó÷grup ¾

a i " " jest rozdzielne

wzgl ¾

edem "+" (co oznacza, ·ze (G; +; ) spe÷nia warunek 5). Je´sli mno·zenie " "

pier´scienia jest dzia÷aniem przemiennym (tzn. ma w÷asno´s´c 2) to pier´scie´n taki
nazywamy przemiennym.

De…nicja 2.6

Zbiór G zawieraj ¾

acy wi ¾

ecej ni·z jeden element z dwoma dzia÷a-

niami +; nazywamy cia÷em je´sli (G; +; ) jest pier´scieniem przemiennym oraz
(G r f0g ; ) jest grup ¾

a.

9

Zastanówmy si ¾

e, które spo´sród zbiorów (N; +; ), (Z+; ), (Q+; ), (R; +; )

s ¾

a pier´scieniami, a które cia÷

ami

pier´scie´n

cia÷

o

(N; +; )
(Z+; )
(Q+; )
(R; +; )

10

Proste konsekwencje aksjomatów

Grupy

1. Dla danego elementu grupy element do niego odwrotny jest wyznaczony

jednoznacznie. (a

b = b

a = e ^ a c = c a = e) ) b = c:

2. W grupie zachodzi prawo skre´sle´n. (a

b = a

c) ) b = c

(a

c = b

c) )

a = b:

Pier´scienie

1. a 0 = 0 a = 0

2. ( a) b = a ( b) =

(a b)

3. a (b

c) = a b

a c

(b

c) a = b a

c a

Cia÷

a

a b = 0 ) (a = 0 _ b = 0)

11

De…nicja 2.7

Przyjmijmy oznaczenie Z

n

= f0; 1; 2 : : : n

1g : W zbiorze Z

n

wprowadzimy dwa dzia÷ania "+" i " " jak nast ¾

epuje:

a + b jest reszt ¾

a z dzielenia sumy liczb a; b przez n

a b jest reszt ¾

a z dzielenia iloczynu liczb a; b przez n:

Przyk÷

ad 2.8

Dla n = 4 mamy, ·ze 3 + 2 = 1; 3 2 = 2: Dla n = 5 mamy, ·ze

3 + 2 = 0; 3 2 = 1:

Mo·

zna sprawdzi´c, ·

ze Z

n

wraz z dzia÷

aniami "+" i " " spe÷

niaj ¾

a wszystkie

warunki na÷

o·

zone na pier´scie´n. Z kolei dowodzi si ¾

e, ·

ze Z

n

jest cia÷

em wtedy i

tylko wtedy, gdy n jest liczb ¾

a pierwsz ¾

a. Poni·

zej przedstawione s ¾

a tabelki dzia÷

a´n

dla Z

n

w przypadku, gdy n = 4; 5:

+

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1

+

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

1

1

2

3

4

0

2

2

3

4

0

1

3

3

4

0

1

2

4

4

0

1

2

3

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

2

0

2

4

1

3

3

0

3

1

4

2

4

0

4

3

2

1

.

Wskaza´c dlaczego Z

4

nie mo·

ze by´c cia÷

em!

12

De…nicja 2.9 (Przestrze´

n liniowa)

Dane s ¾

a:

Niepusty zbiór V wraz z dzia÷aniem wewn ¾

etrznym

Cia÷o K
Dzia÷anie

: K

V ! V

spe÷niaj ¾

ace nast ¾

epuj ¾

ace warunki:

1. (V;

) jest grup ¾

a abelow ¾

a

2. (8 ; 2 K) 8 (a; b 2 V ) (

(a

b) =

a

b ^ ( + ) a =

a

a)

3. (8 ; 2 K) 8 (a 2 V ) ((

)

a) =

(

a)

4. 8 (a 2 V ) (1 a = a)

Wówczas trójk ¾

e (V;

; ) nazywamy przestrzeni ¾

a liniow ¾

a nad cia÷em K:

13

Proste konsekwencje aksjomatów

Przestrzenie liniowe

1. 0

a = 0 =

0

:

2. (

)

a =

(

a) =

( a) :

3.

a = 0 ) ( = 0 _ a = 0) :

14

Przyk÷

ad 2.10

Je´sli K jest cia÷em liczbowym, to przyjmuj ¾

ac V = K;

=

+;

= otrzymamy przyk÷ad przestrzeni liniowej (V;

; ) nad cia÷em K:

De…nicja 2.11

Za÷ó·zmy, ·ze f(V

t

;

t

;

t

) : t 2 T 6= ?g jest rodzin ¾

a przestrzeni

liniowych nad cia÷em K Niech

2 K, V =

Q

t

2T

V

t

; oraz a

t

; b

t

2 V

t

dla t 2 T:

K÷ad ¾

ac a = (a

t

)

t

2T

; b = (b

t

)

t

2T

;

a = (

t

a

t

)

t

2T

; a

b = (a

t

t

b

t

)

t

2T

otrzymujemy przestrze´n liniow ¾

a (V;

; ), któr ¾

a nazywa´c b ¾

edziemy iloczynem

kartezja´nskim przestrzeni (V

t

;

t

;

t

) dla t 2 T:

Przyk÷

ad 2.12

Wska·zemy teraz wszystkie elementy przestrzeni liniowej (Z

2

)

2

oraz tabelki dzia÷a´n

;

dla tej przestrzeni.

(Z

2

)

2

= f(0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g :

(0; 0)

(0; 1)

(1; 0)

(1; 1)

(0; 0)

(0; 0)

(0; 1)

(1; 0)

(1; 1)

(0; 1)

(0; 1)

(0; 0)

(1; 1)

(1; 0)

(1; 0)

(1; 0)

(1; 1)

(0; 0)

(0; 1)

(1; 1)

(1; 1)

(1; 0)

(0; 1)

(0; 0)

(0; 0)

(0; 1)

(1; 0)

(1; 1)

0

(0; 0)

(0; 0)

(0; 0)

(0; 0)

1

(0; 0)

(0; 1)

(1; 0)

(1; 1)

15

3

Wyk÷

ad

De…nicja 3.1

Niech (V;

; ) b ¾

edzie przestrzeni ¾

a liniow ¾

a nad cia÷em K: Ka·zdy

niepusty podzbiór U zbioru V taki, ·ze (U; jU

U; jK

U ) jest przestrzeni ¾

a

liniow ¾

a nazywamy podprzestrzeni ¾

a liniow ¾

a przestrzeni V:

Twierdzenie 3.2

Niech U b ¾

edzie niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej V

nad cia÷em K: Nast ¾

epuj ¾

ace warunki s ¾

a równowa·zne:

1. U jest podprzestrzeni ¾

a liniow ¾

a przestrzeni V

2. (8 2 K) (8a; b 2 U) (a

b 2 U ^

a 2 U)

3. (8 ; 2 K) (8a; b 2 U) (

a

b 2 U)

Twierdzenie 3.3

Je´sli fU

t

: t 2 T g jest rodzin ¾

a podprzestrzeni liniowych ustalonej

przestrzeni liniowej to zbiór U =

T

t

2T

U

t

jest te·z podprzestrzeni ¾

a liniow ¾

a tej

przestrzeni.

Twierdzenie 3.4 (De…nicja otoczki liniowej)

Dla ka·zdego podzbioru A przestrzeni

liniowej V istnieje najmniejsza podprzestrze´n liniowa przestrzeni V zawieraj ¾

aca

A: Nazywamy j ¾

a otoczk ¾

a liniow ¾

a zbioru A i oznaczamy jako lin (A) :

16

Notacja 3.5

Elementy cia÷a K oznacza´c b ¾

edziemy ma÷ymi literami greckimi,

a elementy przestrzeni V ma÷ymi literami ÷aci´nskimi. Mo·zliwe jest dodawanie
indeksów przy obu tych typach oznacze´n. Dzia÷anie

okre´slone w V b ¾

edzie

oznaczane tak samo jak dodawanie cia÷a K; czyli poprzez symbol "+". Podobnie
dzia÷anie

b ¾

edzie oznaczane tak samo jak mno·zenie cia÷a K; czyli poprzez symbol

: Je´sli nie prowadzi to do nieporozumie´n symbol b ¾

edzie we wzorach opuszczany.

Z prawid÷owo zapisanego wzoru zawsze da si ¾

e wywnioskowa´c w jakim kontek´scie

dany symbol dzia÷ania zosta÷u·zyty. Element neutralny dzia÷ania

oznaczamy

jako 0: Elementy neutralne dzia÷a´n cia÷a K oznaczamy jako 0 i 1:

Wniosek 3.6

1. A

lin (A)

2. A

B ) lin (A)

lin (B)

3. lin (lin (A)) = lin (A)

4. A jest podprzestrzeni ¾

a liniow ¾

a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy A =

lin (A)

5. B

lin (A) ) lin (A [ B) = lin (A)

17

Twierdzenie 3.7

Je´sli V jest przestrzeni ¾

a liniow ¾

a nad cia÷em K oraz A

V

to lin (A) = f

1

a

1

+

2

a

2

+ : : :

n

a

n

: n 2 N;

i

2 K; a

i

2 A dla i = 1; 2 : : : ng :

De…nicja 3.8

Element a nazywamy kombinacj ¾

a liniow ¾

a elementów podzbioru

A przestrzeni V je´sli a 2 lin (A)

Wniosek 3.9

Je´sli a =

1

a

1

+

2

a

2

+ : : :

n

a

n

, gdzie

i

2 K; a

i

2 lin (A) dla

i = 1; 2; : : : n to a 2 lin (A) :

De…nicja 3.10

Podzbiór A przestrzeni liniowej V nad cia÷em K nazywa si ¾

e

liniowo zale·znym, gdy istnieje taki jego sko´nczony podzbiór fa

1

; a

2

; : : : a

n

g ; oraz

elementy

1

;

2

; : : :

n

cia÷a K nie wszystkie równe 0 dla których

1

a

1

+

2

a

2

+

: : :

n

a

n

= 0:

De…nicja 3.11

Podzbiór A przestrzeni liniowej V nad cia÷em K nazywa si ¾

e

liniowo niezale·znym, gdy nie jest liniowo zale·zny.

Twierdzenie 3.12

Ka·zdy nadzbiór liniowo zale·znego zbioru jest liniowo za-

lezny. Ka·zdy podzbiór liniowo niezale·znego zbioru jest liniowo niezalezny.

18

De…nicja 3.13

Podzbiór A przestrzeni wektorowej V nad cia÷em K nazywamy

baz ¾

a tej przestrzeni, je´sli A jest liniowo niezalezny i V = lin (A) :

De…nicja 3.14

Podzbiór B zbioru A elementów przestrzeni liniowej V nad

cia÷em K nazywamy maksymalnym liniowo niezaleznym podzbiorem zbioru A
je´sli:

1. jest liniowo niezale·zny

2. nie jest podzbiorem w÷a´sciwym ·zadnego liniowo niezale·znego podzbioru zbioru

A:

Twierdzenie 3.15

Nast ¾

epuj ¾

ace warunki s ¾

a równowa·zne:

1. B jest baz ¾

a przestrzeni liniowej V nad cia÷em K

2. B jest maksymalnym liniowo niezale·znym podzbiorem przestrzeni V:

3. (8a 2 V ) (8b 2 B) (9!

b

2 K) a =

P

b

2B

b

b

19

Twierdzenie 3.16

Dla ka·zdego liniowo niezale·znego podzbioru przestrzeni lin-

iowej istnieje baza tej przestrzeni zawieraj ¾

aca ten zbiór

Twierdzenie 3.17

Ka·zde dwie bazy przestrzeni liniowej s ¾

a albo równocze´snie

niesko´nczone, albo równocze´snie sko´nczone i zawieraj ¾

a tak ¾

a sam ¾

a liczb ¾

e elemen-

tów.

Twierdzenie 3.18

Je´sli V jest przestrzeni ¾

a liniow ¾

a A = fa

1

; a

2

; : : : a

m

g

V;

i B = fb

1

; b

2

; : : : b

n

g jest baz ¾

a przestrzeni V; to m

n i w´sród elementów zbioru

B istnieje n

m elementów które wraz z elementami zbioru A tworz ¾

a baz ¾

e

przestrzeni V:

De…nicja 3.19

Niech B b ¾

edzie baz ¾

a przestrzeni liniowej V: liczb ¾

e

dim V =

liczba elementów zbioru B

gdy

B jest sko´nczony

1

gdy

B jest niesko´nczony

nazywamy wymiarem przestrzeni V:

20