LINIE NORMATYWNE

JAKO OCENA WYKONYWANIA

CZYNNOŚCI OBARCZONYCH O

STAŁYM WSPÓŁCZYNNIKU

ZMIENNOŚCI

Normatywy czasowe wykonania

czynności,

oprócz

uwzględniania

czynników wpływających przypadkowo
na czas ich realizacji, mogą także
uwzględniać czynniki systematyczne.
Należą do nich: obniżanie wydajności
pracownika wraz z upływem czasu,
zwiększenie pracochłonności wraz z
pogarsza-jącymi się warunkami pracy
(np. praca na coraz to większej
wysokości murarki).

Najczęściej ocenę zmiany normy z

powodów

działania

czynnika

o

charakterze

systematycznym

przedstawia się za pomocą funkcji
określającej

zmieniający

się

czas

wykonania roboty w zależności od
poziomu czynnika ją utrudniającego.

Najprostszą funkcją opisującą taki

czynnik jest prosta regresji. Prosta ta o
równanie

(1)
w którym współczynnika a i b prostej
zależą

od

rodzaju

wykonywanej

czynności.

Pozyskanie więcej danych aniżeli jest

to potrzebne do wyznaczenia równania tej
prostej prowadzi do poszukiwania takiego
rozwiązania, które „najlepiej” wpiszą się w
te dane. Na bazie statystyki stwierdzono,
że musi ono spełniać kryterium minimum
sumy

kwadratów

odchyleń

od

wyznaczających je danych.
Przyjmując, że odchylenie poszczególnej
danej pomiarowej
od wartości reprezentującej
rozwiązanie zadania,
kryterium to zapisujemy równaniem:

(2)

a jego realizację nazywamy rozwiązaniem
„metodą najmniejszych kwadratów”.

W

X

w

i

po

m

x

i

v

i

w

i

wyr

prost

a

regre

sj

i

Teoria wyznaczenia

równania regresji

w

i

po

m

i =
1

i =
n

w

wyr

=ax

+b

Rozwiązanie zadania polega na

wyznaczeniu współczynników a oraz b
równania o postaci
w

i

wyr

= ax

i

+ b

(3)

Czynność

tę

nazywany

też

aproksymacją

zbioru

danych

za

pomocą funkcji liniowej.

APROKSYMACJA: 1. książkowo: ujęcie czegoś w sposób
niezupełnie ścisły; przybliżenie; 2. w matematyce:
zastąpienie wielkości matematycznych innymi, o
przybliżonych własnościach, łatwiejszymi do badania i
zastosowania.

Zastępując w równaniu (3)

poszukiwane

wielkości

w

i

wyr

niezbędnymi

do

ich

wyznaczenia

wynikami

pomiarów

w

i

pom

(które

obarczone są błędami przypadkowymi)
oraz odchyłkami od poszukiwanej
prostej v

i

(zmienią te obserwacje na

najbardziej

prawdopodobne)

zapiszemy
w

i

wyr

= w

i

pom

+ v

i

(2)
skąd
v

i

= w

i

wyr

– w

pom

= ax + b – w

pom

(3)
co dla n pomiarów daje układ równań
v

1

= ax

1

+ b – w

1

pom

v

2

= ax

2

+ b – w

2

pom

--------------------------

(4)

v

n

= ax

n

+ b – w

n

pom

co zapisane w postaci macierzowej
przyjmuje postać

 

V = A∙dU + W

(5)

gdzie :
V – macierz odchyłek
zaobserwowanych wielkości
od wartości
najprawdopodobniejszej,
A – macierz współczynników przy
niewiadomych,
dU – macierz poszukiwanych
niewiadomych
W = (W

i

przybl

– W

i

pom

) – macierz

wyrazów wolnych.

Układ tych równań zawiera (n+2)

niewiadome. Są to n niewiadomych v

i

oraz niewiadome a i b. Ich rozwiązane
jest możliwe dzięki wprowadzeniu
warunku [v

2

]=min.

Rozwiązaniem tego układu metodą
najmniejszych kwadratów jest wektor
niewiadomych dU

dU = (A

T

∙ A)

-1

∙ A

T

∙ W

(6)

Na podstawie poprawek dU liczony
jest

wektor

V

poprawek

do

pomierzonych wielkości

W

pom

:

V = A∙dU + W = A ∙ (A

T

∙A)

-1

∙ A

T

∙

W + W

(7)

OCENA DOKŁADNOŚCI
Pomierzenie większej liczby
obserwacji aniżeli jest to niezbędne
do jednoznacznego wyznaczenia
zadania pozwala na określenie
dokładności wyznaczonych
parametrów. Błędy średnie
wyrównanych wielkości oblicza się z
zależności:

(10)
 
gdzie m

o

oznacza błąd typowego

spostrzeżenia określonego dla n
równań o r niewiadomych wzorem

ZADANIA NA ĆWICZENIA

W

X

w

i

po

m

x

i

v

i

w

i

wyr

prost

a

regre

sj

i

Zadanie na wyznaczenie równania

regresji

w

i

po

m

i =
1

i =
n

w

wyr

=ax

+b

Na podstawie danych w tabeli wyznaczyć
równanie regresji dla (7+n) obserwacji
prostoliniowego

odcinka,

gdzie

n

jest

indywidualną liczbą dla studenta.

Nr

punk

tu

Odległości po

prostej

[mm]

Nr

punkt

u

Odległości po

prostej

[mm]

Nr

punk

tu

Odległości po

prostej

[m]

wzdłuż

L

w

poprzek

W

wzdłu

ż

L

w

poprzek

W

wzdłu

ż

L

w

poprzek

W

1

2000

17

14

2800

0

31

27

5400

0

62

2

4000

30

15

30,0

00

37

28

5600

0

65

3

6000

28

16

3200

0

47

29

5800

0

71

4

8000

22

17

3400

0

36

30

6000

0

63

5

1000

0

32

18

3600

0

37

31

6200

0

70

6

1200

0

25

19

3800

0

47

32

6400

0

68

7

1400

0

16

20

4000

0

46

33

6600

0

75

8

1600

0

35

21

4200

0

51

34

6800

0

70

9

1800

0

23

22

4400

0

48

35

7000

0

71

10

2000

0

25

23

4600

0

56

36

7200

0

79

11

2200

0

39

24

4800

0

62

37

7400

0

80

12

2400

0

32

25

5000

0

57

38

7600

0

75

13

2600

0

25

26

5200

0

70

39

7800

0

80

PRZYKŁAD
W omawianym zadaniu, na podstawie
układu równań

v

1

= ax

1

+ b – w

1

pom

v

2

= ax

2

+ b – w

2

pom

--------------------------

(4)

v

n

= ax

n

+ b – w

n

pom

wyznaczane są współczynniki równania
prostej regresji
oraz . Zapisane w postaci
macierzowej

V = A∙dU + W tworzą tablice:

Zgodnie z zadaniem, dla pierwszych siedmiu
danych otrzymujemy

2000

1

4000

1

6000

1

A =

8000

1

1000

0

1

1200

0

1

1600

0

1

11
30
28

W =

22
32
25
16

W celu znalezienia rozwiązania dU =
(A

T

∙ A)

-1

∙ A

T

∙ W liczymy kolejno:

1) transpozę macierzy: A

T

;

(=transponuje)

2000 4000 6000 8000 10000 12000 16000

1

1

1

1

1

1

1

2) iloczyn macierzy: A

T

∙A ;

(=macierz.iloczyn)

3) odwrotność iloczynu w/w

macierzy: (A

T

∙A )

-1

(=macierz.odw)

(A

T

∙A)

-1

= 7,1721E-09 -5,9426E-05

-5,943E-05 0,6352459

4) iloczyn macierzy: A

T

∙W ;

(=macierz.iloczyn)

A

T

∙W = 1362000

164

A

T

∙A

=

62000000

0

58000

58000

7

5) iloczyn macierzy wyznaczający

szukane współczynniki równania:

dU = (A

T

∙ A)

-1

∙ (A

T

∙ W) ;

(=macierz.iloczyn)

POSZUKIWANE RÓWNANIE
PROSTEJ:

w = 0,0000254x +

23,24

dU =

2,2541E-05

23,2418032

8

KONIEC ZADANIA

NA WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW RÓWNANIA

REGRESJI

Obliczenie poprawek regulacyjnych

do prostej zgodnie z zależnością V =-
A∙dU+W.
6) obliczamy iloczyn macierzy: A

T

∙dU

(=macierz.iloczyn)

i odejmujemy od

wyniku macierz W gdyż poprawki mają
znak przeciwny do odchyłki

(=macierz1 -

macierz2)

.

A ∙ dU - W = V = V
23,29 11 + 12,29 +12,3
23,33 30 - 6,67 - 6,7
23,38 28 - 4,62 - 4,6
  23,42 22 + 1,42 +1,4
  23,47 32  - 8,53 - 8,5
23,51   25 - 1,49 - 1,5
23,60 16 + 7,60 +
7,6

KONTROLA WYNIKÓW polega na

dwukrotnym obliczeniu współrzędnych
punktów na wyznaczonej prostej

Nr

punktu

x

i

Według zależności

w

wyr

= w

i

+ v

i

w

wyr

= ax

i

+ b

w = 0,0000254x +

23,24

1

2000

11 + 12,29 =

23,29

23,29

2

4000

30 – 6,67 =

23,33

23,34

3

6000

28 – 4,62 =

23,38

23,39

4

8000

22 + 1,42 =

23,42

23,44

5

10000

32 – 8,53 =

23,57

23,49

6

12000

25 – 1,49 -=

23,51

23,54

7

14000

16 + 7,60 =

23,60

23,60

PRZYDATNE RADY
MNOŻENIE DWÓCH MACIERZY JEST
WYKONALNE GDY DRUGA MACIERZ MA TYLE
WIERSZY ILE PIERWSZA MA KOLUMN ; ICH

ILOCZYN MA TYLE WIERSZY ILE PIERWSZA MA
WIERSZY I TYLE KOLUMN ILE DRUGA MA
KOLUMN

TRANSPOZA MACIERZY A POWSTAJE PRZEZ
ZAMIANĘ KOLEJNYCH JEJ WIERSZY NA KOLEJNE
KOLUMNY MACIERZY, natomiast
ODWROTNOŚĆ MACIERZY A

T

MA TAKIE

WYMIARY JAK JEJ TRANSPOZA

MNOŻENIE MACIERZY PRZEZ LICZBĘ TO
MNOŻENIE JEJ PRZEZ MACIERZ DIAGONALNA.
MA ONA STALE NA PRZEKĄTNEJ MNOŻNIK A
POZOSTAŁE POZYCJE MAJĄ ZERA

DODAWANIE

MACIERZY

(wpisujemy

do

beleczki znak „równa się” poczym klikamy
na pierwszy wyraz macierzy 1 i przeciągamy
to na całość tablicy, następnie wpisujemy
znak dodawania (tu minus bo wyliczyliśmy
odchyłki a poszukujemy poprawek, które
mają znak przeciwny) i klikamy na pierwszy
wyraz drugiej macierzy i znowu przeciągamy
to

na

całą

drugą

tablicę.

Po

tych

czynnościach akceptujemy działanie jak dla
macierzy, tj. wciskając ctr+shift+enter.
Uwaga: macierze muszą mieć taki sam
wymiar.

OCENA DOKŁADNOŚCI
7) OBLICZENIE WARIANCJI σ

2

dla wzoru

n – r
= 5

n – liczba

pomiarów
r – liczba
poszukiwanych

niewiadomych (a, b)

;

m

0

= ± 8,38

12,287

-6,668
-4,623

V

=

1,422

-8,533
-1,488

7,602

V

T

=

12,28

7 -6,668

-

4,623 1,422

-

8,533 -1,488 7,602

V

T

V

=

351,6434

OBLICZENIE BŁĘDÓW ŚREDNICH
OBLICZONYCH PARAMETRÓW RÓWNANIA
REGRESJI

Nr

W

przybl

błą

d

L

[m

]

W

obs

1

5,470

0

2

2

5,740

+18

4

3

6,010

-12

6

4

6,280

-8

8

5

6,550

+5

10

6

6,820

+32 12

7

7,090

+23 14

8

7,360

0

16

9

7,630

-26

18

10

7,900

-16

20

DLA MNIE

Tablica danych wyjściowych y =

n∙2,000∙0,1350 + 5,200

Nr

zad

ani

a

W

przybl

błąd

L

[m

]

W

obs

11

0

22

12

+28

24

13

-12

26

14

-18

28

15

+5

30

16

+22

32

17

+23

34

18

0

36

19

-36

38

20

-26

40

DLA MNIE

Tablica danych wyjściowych y =

n∙2,000∙0,1350 + 5,200

Nr

W

przybl

błąd

L

[m]

W

obs

21

+30

42

22

+18

44

23

-2

46

24

-8

48

25

+15

50

26

+2

52

27

-23

54

28

0

56

29

-26

58

30

+16

60

DLA MNIE

Tablica danych wyjściowych y =

n∙2,000∙0,1350 + 5,200