„Jasiu, zostaw kobiety, a

weź się do matematyki.”

Słowa Zulietty,

XVIII-wiecznej kurtyzany

weneckiej,

skierowane do Jana Jakuba

Rousseau.

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW

RÓWNAŃ – METODA

PRZECIWNYCH

WSPÓŁCZYNNIKÓW.

Z tej lekcji dowiesz się jak rozwiązać układ
równań metodą przeciwnych współczynników.
Każdy układ równań da się rozwiązać metodą
podstawiania, czasem jednak zajmuje ona
sporo czasu. Często się zdarza, że metoda
przeciwnych współczynników jest mniej
pracochłonna.

METODA PRZECIWNYCH

WSPÓŁCZYNNIKÓW

Rozwiązywanie układów równań metodą
przeciwnych współczynników polega na
takim przekształcaniu obu równań, ab przy
jednej z niewiadomych uzyskać te same
współczynniki liczbowe ale o przeciwnych
znakach. Dzięki takiemu zabiegowi, po
dodaniu do siebie obu równań stronami,
jedna

z

niewiadomych

„znika”

i

otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.

WSPÓŁCZYNNIKI

Czym są współczynniki liczbowe w układzie
równań?

To

liczby

stojące

przed

niewiadomymi.
Przykłady:

Współczynniki przy x to: 3 w pierwszym równaniu i 5 w drugim
równaniu. Współczynniki przy y to: 4 w pierwszym równaniu i
-7 w drugim.

Współczynniki przy x to: 1 w pierwszym równaniu i 3 w drugim
równaniu. Współczynniki przy y to: -1 w pierwszym równaniu i
2 w drugim.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.

5x = 10 |:

5

x = 2

2 ∙ 2 + 5y = 19
4 + 5y = 19

Tego układu równań nie musimy
przekształcać gdyż współczynniki przy y są
liczbami przeciwnymi: 5 i -5.

Dodajemy do siebie prawe i lewe strony
obu równań. Dzięki temu otrzymamy
równanie z jedną niewiadomą: 5y + (-5y) =
0
Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną
niewiadomą (x).

Obliczoną niewiadomą x = 2 wstawiamy
do jednego (dowolnego) równania układu i
obliczamy drugą niewiadomą

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.
5y = 19 – 4
5y = 15 | :

5

y = 3

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb
x

=

2

i

y = 3.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.

-7y = 35 | :

(-7)

y = -5

W tym układzie przy żadnej niewiadomej nie
występują przeciwne współczynniki, musimy
więc odpowiednio przekształcić równania.

Obie strony drugiego równania mnożymy
przez 5, dzięki temu uzyskamy przeciwne
współczynniki przy x: 5 i -5.

Obie strony równań dodajemy do siebie.

Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną
niewiadomą (y).

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy.

-x – 2 ∙ (-5) = 7

- x + 10 = 7

- x = -3 | :

(-1)

x = 3

Obliczoną niewiadomą y = -5 wstawiamy do
jednego (dowolnego) równania układu i obliczamy
drugą niewiadomą

Rozwiązanie układu równań.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.

-x = 2 |:

(-1)

x = -2

Obie strony pierwszego równania
mnożymy przez -2, dzięki temu uzyskamy
przeciwne współczynniki przy y: -4 i 4.

Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną
niewiadomą x.

W tym układzie także przy żadnej niewiadomej
nie występują przeciwne współczynniki,
przekształcamy równania tak, aby je uzyskać.

Obie strony równań dodajemy do siebie.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy.

3 ∙ (-2) + 2y = 2
-6 + 2y = 2
2y = 8 | :

2

y = 4

Obliczoną niewiadomą x = -2 wstawiamy do
jednego (dowolnego) równania układu i obliczamy
drugą niewiadomą

Rozwiązanie układu równań.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 4.

-31y = 93 | :

(-31)

y = -3

Aby rozwiązać ten przykład musimy przekształcić
oba równania. Wybierzmy najpierw niewiadomą,
przy której chcemy uzyskać przeciwne
współczynniki. Niech to będzie x.

Dzięki powyższej operacji otrzymaliśmy
przeciwne współczynniki przy x.
Dodajemy do siebie obie strony równań
układu.

Pierwsze równanie mnożymy przez
współczynnik stojący przy x w
drugim równaniu:

3

. Drugie

równanie mnożymy przez
współczynnik stojący przy x w
pierwszym równaniu, ale
zmieniamy jego znak na
przeciwny:

-5

.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 4 – ciąg dalszy.
y = -3

5x – 2 ∙ (-3) = 21
5x + 6 = 21 | -

6

5x = 15 |:

5

x = 3

Obliczoną niewiadomą y = -3 wstawiamy do
jednego (dowolnego) równania układu i obliczamy
drugą niewiadomą

Rozwiązanie układu równań.

PRZYKŁAD 4.

Metoda przedstawiona w przykładzie 4 jest
uniwersalna i pozwala uzyskać przeciwne
współczynniki przy wybranej niewiadomej w
każdym

układzie

równań.

Oczywiście

pamiętajmy, że nie można mnożyć równania
przez 0.