„Matematyka to pismo

wyryte w ludzkiej

świadomości przez samego

Ducha Życia.”

Claude Fayette Bragdon

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW

RÓWNAŃ – METODA

GRAFICZNA.

We wszystkich naszych lekcjach dotyczących
układów równań mowa jest ciągle o
równaniach stopnia pierwszego z dwiema
niewiadomymi, czyli o równaniach liniowych.
Nazwa „równanie liniowe” bierze się stąd, że
obrazem takiego równania na płaszczyźnie
jest linia prosta. Skoro potrafimy narysować
równanie z dwiema niewiadomymi, możemy
graficznie rozwiązywać układy równań.

METODA GRAFICZNA.

Aby rozwiązać układ równań metodą
graficzną,

należy

każde

z

równań

przedstawić w postaci y = ax + b (a, b –
dowolne liczby; x, y – niewiadome),
następnie narysować wykres tych zależności
w

jednym

układzie

współrzędnych.

Współrzędne

punktu

przecięcia

się

wykresów są rozwiązaniem układu równań.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Rozwiąż graficznie układ równań:

Aby narysować wykresy przedstawiające
równania musimy dla każdego z nich znaleźć
co najmniej 2 punkty przez które przechodzi
wykres.

Przekształcamy oba równania do
postaci
y = ax +b.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.

y = -5x + 11

Wybieram dowolną liczbę (najlepiej taką, aby łatwo
było zaznaczyć punkt w układzie współrzędnych i
wykonać obliczenia) i wstawiam do równania w
miejsce x, następnie obliczam y. Dostaję w ten
sposób punkt o współrzędnych (x; y).

x = 2
y = -5 ∙ 2 + 11 = -10 + 11 = -1
(2, -1)

x = 3
y = -5 ∙ 3 + 11 = -15 + 11 = -4
(3; -4)

Obliczenie współrzędnych
pierwszego punktu.

Obliczenie współrzędnych
drugiego punktu.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.

y = 2x – 3

x = 0
y = 2∙ 0 – 3 = 0 – 3 = -3
(0; -3)

x = 1
y = 2 ∙ 1 – 3 = 2 – 3 = -1
(1; -1)

Zaznaczamy

punkty

w

układzie

współrzędnych

i

rysujemy

wykresy.

Współrzędne punktu w którym linie się
przecinają są rozwiązaniem układu równań.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.

Linie przecinają się w
punkcie
(2;1), a więc rozwiązaniem
układu równań jest para
liczb:
x = 2,
y = 1.

y = -5x +
11

y = 2x – 3

Rozwiązanie

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Rozwiąż poniższy układ równań metodą

graficzną.

Przekształcamy oba równania do
postaci
y = ax +b.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy.

y = 2,5x – 10,5

x = 3
y = 2,5 ∙ 3 – 10,5 = 7,5 – 10,5 = -3
(3; -3)

x = 5
y = 2,5 ∙ 5 – 10,5 = 12,5 – 10,5 = 2
(5; 2)

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy.

y = -0,6x – 1,2

x = -2
y = -0,6 ∙ (-2) – 1,2 = 1,2 – 1,2 = 0
(-2; 0)

x = 3
y = -0,6 ∙ 3 – 1,2 = -1,8 – 1,2 = -3
(3; -3)

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy.

Linie przecinają się w punkcie
(3;-3), a więc rozwiązaniem układu
równań jest para liczb:
x = 3,
y = -3.

UWAGA.

Graficzna metoda rozwiązywania układów
równań jest niedokładna. Wykresy przez
nas sporządzane zawszę zawierają pewne
błędy, wynikające chociażby z grubości
stosowanych przyborów do pisania. Nie
zawszę jesteśmy w stanie dokładnie odczytać
współrzędne punktu przecięcia się linii,
zwłaszcza kiedy rozwiązaniem układu równań
są ułamki.
Aby upewnić się, czy odczytane liczby są
rozwiązaniem

układu

równań,

należy

sprawdzić, czy spełniają oba równania
(należy podstawić je do równań i sprawdzić,
czy otrzymujemy równości prawdziwe).