Wykład III

Podstawowe
pojęcia
doświadczalnict
wa

Analiza
wariancji

Układy
doświadczeń
jednoczynnikow
ych

Podstawowe pojęcia
doświadczalnictwa

Doświadczenie - – zainicjowanie i obserwowanie

pewnego zjawiska w warunkach kontrolowanych

Czynnik – zmienna przyczyna kształtowania się

przebiegu zjawisk i procesów w doświadczeniu

Obiekt – konkretna, wybrana wartość danego

czynnika (poziom, wariant)

Replikacja (powtórzenie) – n-krotne wystąpienie

danego obiektu w doświadczeniu

Jednostka doświadczalna – najmniejsza część

doświadczenia względem której stosowane są

obiekty doświadczalne

Podstawowe pojęcia
doświadczalnictwa

Badana cecha – określana w doświadczeniu
właściwość badanego materiału
Kombinacja – wzajemny układ obiektów
badanych czynników (min. 2)
Losowanie (randomizacja) – sposób
przyporządkowywania obiektów do jednostek
doświadczalnych
Błąd doświadczalny – zmienność wywołana
przez czynniki które istnieją, ale których nie
znamy lub nie możemy dokładnie określić
Układ doświadczalny – sposób
rozmieszczenia obiektów w doświadczeniu

Podstawowe pojęcia
doświadczalnictwa

W doświadczaniu wazonowym
porównano wpływ 4 dawek
azotu (0,1, 2, 3 g/wazon) na
plon ziarna z wazonu, wschody
roślin i masę 1000 ziaren 2
odmian żyta ozimego (Nawid i
Warko). Liczba replikacji n= 5

Analiza wariancji

Analiza wariancji jest testem
istotności. Służy do oceny tego czy
dwie lub więcej średnich z prób różni
się pod względem wartości średnich
prawdziwych populacji z których
pochodzą. Polega na podziale
wariancji ogółem na części składowe.
Często oznaczana jest ona skrótem
ANOVA pochodzącym od angielskiej
nazwy metody – Analysis of Variance

Założenia podziału analizy
wariancji

xxx

Wariancja

wewnątrz

grup

Wariancja

między

grupami

Wymagania dotyczące
danych

Aby wyniki uzyskane przy pomocy analizy wariancji
były wiarygodne dane na podstawie których jest
wyliczana ANOVA muszą być:

-

addytywne,

-

homogeniczne,

-

„normalne”.

Tabela analizy wariancji

Rodzaj
zmienności.

L.s.s

Suma
kw.

odch.

Średni
kwadrat
S

2

F

emp

F

0,05

Obiekty

k-1

nS

2

ob.

nS

2

ob

(S

2

ob

)

k-1

S

2

ob

S

2

e

Błąd

k(n-1)

nS

2

e

nS

2

e

(S

2

e

)

k(n-1)

Ogółem

kn-1

nS

2

og.

B

A

H







:

0

B

A

np

H







.

:

1

Hipotezy statystyczne

Tablice wartości krytycznych
testu F

F

1

F

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

161 200 216 225 230 234 237 239 241 242

2

18,

5

19,

0

19,

2

19,

2

19,

3

19,

3

19,

4

19,

4

19,

4

19,

4

3

10,

1

9,5

5

9,2

8

9,1

2

9,0

1

8,9

4

8,8

9

8,8

5

8,8

1

0,7

9

4

7,7

1

6,9

4

6,5

9

6,3

9

6,2

6

6,1

6

6,0

9

6,0

4

6,0

0

5,9

6

5

6,6

1

5,7

9

5,4

1

5,1

9

5,0

5

4,9

5

4,8

8

4,8

2

4,7

7

4,7

4

……

….

…

…

…

…

….

…

…

….

…

16

4,4

9

3,6

3

3,2

4

3,0

1

2,8

5

2,7

4

2,6

6

2,5

9

2,5

4

2,4

9

Poziom istotności 0,05

Wnioskowanie w analizie
wariancji

Podobnie jak w innych testach istotności na
podstawie analizy wariancji można odrzucić H

0

lub

stwierdzić brak podstaw do jej odrzucenia.
Oznacza to, że wnioski mogą w zależności od
wartości Femp być tylko dwóch rodzajów:
Ponieważ Femp > F

0,05

(F

0,01

) dlatego odrzucam

H

0

na korzyść H

1

i z prawdopodobieństwem

popełnienia błędu mniejszym niż 5 % (1 %)
stwierdzam, że istnieją istotne (wysoce istotne)
różnice pomiędzy badanymi obiektami (oznacza
to, że w śród badanych średnich są co najmniej
dwie, które na 95 % (99 %) różnią się.
Ponieważ Femp ≤ F

0,05

dlatego brak jest podstaw

do odrzucenia H

0

. Oznacza to, że nie mamy

przynajmniej 95 % pewności, że istnieją co
najmniej dwie średnie, które się różnią.

Układ kompletnej
randomizacji
(układ całkowicie losowy)

A

C

D

D

B

D

E

B

C

A

A

B

C

A

E

C

D

E

B

E

Liczba obiektów k=5, liczba replikacji
n=4

Układ kompletnej
randomizacji
(układ całkowicie losowy)

Umożliwia porównanie k
średnich w n replikacjach
(liczba replikacji nie musi
być równa)
Obiekty rozmieszczane są
losowo w całym
doświadczeniu
Jednostki eksperymentalne
muszą być wyrównane
Nadaje się do doświadczeń
laboratoryjnych,
wazonowych i innych, w
których jednostki
eksperymentalne są
wyrównane

Rodzaj
zmienności.

L.s.s

Obiekty

k-1

Błąd

k(n-1)

Ogółem

kn-1

ANOVA

Układ

bloków kompletnie

zrandomizowanych (układ bloków
losowych)

A

C

D

E

B

D

E

B

C

A

A

B

C

D

E

C

D

A

B

E

Liczba obiektów k=5, liczba replikacji
n=4

Zmienność
glebowa

pH +

pH -

Układ

bloków kompletnie

zrandomizowanych (układ bloków
losowych)

Eliminuje zmienność
przebiegającą w jednym
kierunku

W doświadczeniach polowych
umożliwia porównanie
ograniczonej liczby obiektów
(16-24)

Liczba replikacji musi być
taka sama dla wszystkich
obiektów

Jest bardziej efektywny od
układu kompletnej
randomizacji jeśli występuje
zmienność jednokierunkowa

Rodzaj
zmienności

L.s.s

Bloki

n-1

Obiekty

k-1

Błąd

(k-1)(n-

1)

Ogółem

kn-1

ANOVA

Układ kwadratu łacińskiego

C

B

D

E

A

E

A

C

B

D

B

C

A

D

E

D

E

B

A

C

A

D

E

C

B

Liczba obiektów k=5, liczba kolumn=5, liczba
rzędów=5

pH -

pH +

Mg +

Mg -

Układ kwadratu łacińskiego

Eliminuje zmienność

przebiegającą w dwóch

kierunkach
Umożliwia porównanie

ograniczonej liczby

obiektów (5-12)
Liczba replikacji jest

równa liczbie obiektów
Jest bardziej efektywny

jeśli zmienność jest

dwukierunkowa

Rodzaj
zmienności

L.s.s

Kolumny

k-1

Rzędy

k-1

Obiekty

k-1

Błąd

(k-1)(k-2)

Ogółem

k

2

-1

ANOVA

Brakujące wyniki (bloki
losowe)

)

1

)(

1

(











k

n

Y

kO

nB

z

A

C

D

E

D

E

B

C

A

A

B

C

D

E

C

D

A

B

E

Z- brakujący wynik

B – suma wyników w bloku w
którym wystąpił brakujący
wynik

O - suma wyników w obiekcie,
w którym wystąpił brakujący
wynik

Y – suma wszystkich wyników

n - liczba replikacji

K – liczba obiektów

Brakujące wyniki (bloki
losowe

)

1

(

]

)

1

(

[

2









k

k

z

k

B

H

H – poprawka do
zmniejszenia sumy
kwadratów odchyleń
dla obiektów

Liczba stopni
swobody dla błędu i
ogółem – liczba
brakujących wyników

Rodzaj
zmien
ności.

L.s.s

Suma kw.
odch.

Bloki

n-1

nS

2

bl

Obiekt

y

k-1

nS

2

ob.

-H

Błąd

k(n-1) -1 nS

2

e

Ogółe

m

kn-1-1

nS

2

og.

Brakujące wyniki (kwadrat
łaciński)

)

2

)(

1

(

2

)

(













k

k

Y

O

R

K

k

z

2

2

2

)

2

(

)

1

(

]

)

1

(

[















k

k

O

k

R

K

Y

H

Z- brakujący wynik
K – suma wyników w kolumnie w którym wystąpił brakujący wynik
R- suma wyników w rzędzie w którym wystąpił brakujący wynik
O - suma wyników w obiekcie, w którym wystąpił brakujący wynik
Y – suma wszystkich wyników
k= liczba replikacji

Ocena ścisłości
doświadczenia

Oceną wariancji losowej jest średni kwadrat błędu z
analizy wariancji. Im doświadczanie jest dokładniej
wykonane (prawidłowo wybrany układ doświadczalny,
dokładny zbiór, ważenie) tym mniejsza jest ta wartość.
Ocenę ścisłości doświadczenia stanowi

x

S

W

e

2

% 

Jeśli W jest mniejsze od 10% to można uznać, że
doświadczenie zostało wykonane prawidłowo