Wykład 5: Testy parametryczne

Biometria i

Biostatystyka

Testy Istotności



Czemu służą?



Formułowanie hipotez



Statystyka testowa



P-wartości



Istotność/znamienność statystyczna



Testowanie wartości średniej w populacji



Dwustronne testy istotności i przedziały

ufności



P-wartości vs. ustalone α

Testy Istotności



2 najczęściej stosowane formy
wnioskowania statystycznego



Przedział ufności



Ocena parametru populacji



Test istotności



Ocena słuszności konkretnych stwierdzeń
o populacji dokonana na podstawie
dowodów dostarczonych przez dane.

Testy istotności jako
narzędzie wnioskowania
statystycznego



Test istotności



Formalna procedura porównywania

zebranych danych z hipotezą, której

prawdziwość chcemy ocenić.



Hipoteza: stwierdzenie o parametrach

populacji lub modelu



Wyniki testu są wyrażone w postaci

prawdopodobieństwa, które mierzy

jak hipoteza się zgadza z danymi

Formułowanie hipotez



Hipoteza zerowa



Stwierdzenie będące przedmiotem
testu istotności



Test istotności jest tak skonstruowany,
by ocenić siłę dowodów przeciw niej



Stwierdzenie w postaci “brak wpływu”
lub “brak różnic”



Skrót: H

0

Formułowanie hipotez, cd.



Hipoteza alternatywna



Stwierdzenie, które podejrzewamy o

prawdziwość jako alternatywę dla H

0



Skrót: H

a



Hipotezy zawsze odnoszą się do populacji

lub modelu, nie do poszczególnych wyników.



Hipotezy testów parametrycznych dotyczą

parametrów populacji.



Istnieją jednostronne lub dwustronne

hipotezy alternatywne.

Statystyki testowe



Test opiera się na statystyce szacującej parametr,

o którym mówi hipoteza. Zwykle jest to taka sama

estymata, którą wykorzystuje się przy

konstruowaniu przedziałów ufności dla badanego

parametru. Kiedy H

0

jest prawdziwa, oczekujemy,

że estymacja daje wartości bliskie tym

wynikającym z H

0

.



Wartości estymat dalekie od wartości parametru

opisanej przez H

0

dostarczają dowodu przeciw H

0

.

Hipoteza alternatywna determinuje, który kierunek

uważamy za sprzyjający H

a

.

Statystyki testowe, cd.



Statystyki testowe



Mierzą zgodność hipotezy zerowej i
danych.



Używane są do obliczania
prawdopodobieństwa, które
potrzebujemy do testu istotności.



Zmienne losowe ze znanym
rozkładem.

P-wartości



Test istotności znajduje
prawdopodobieństwo otrzymania
wyniku tak skrajnego lub bardziej,
niż w danej chwili obserwowany

.



Skrajny: daleki od tego, którego
byśmy się spodziewali gdyby hipoteza
zerowa była prawdziwa

P-wartości, cd.



Prawdopodobieństwo, obliczane przy

założeniu prawdziwości H

0

, że statystyka

testowa da wynik tak skrajny lub bardziej niż

w danej chwili obserwowany jest nazywane P-

wartością testu.



Im mniejsza P-wartość, tym mocniejszy

dowód przeciw H

0

dostarczony przez dane



Oblicza się ją używając funkcji rozkładu

gęstości prawdopodobieństwa statystyki

testowej (np. standardowego rozkładu

normalnego dla statystyki testowej z).

Istotność statystyczna



Jeśli poziom P jest mniejsza lub równa
niż α, mówimy że dane są znamienne
statystycznie na poziomie istotności α.



Przykład:

poziom istotności 0.01 znaczy

że mamy dowód tak silny, że pojawiałby
się tylko w 1% obserwacji, gdyby
hipoteza zerowa była rzeczywiście
prawdziwa.



Co mówi P-wartość równa 0.03?



Krok 1. Korzystając z generatora liczb
losowych N(0,1) wygeneruj dwa
zbiory pomiarów po 16 pomiarów w
każdym



Krok 2. Zapamiętaj P-wartości
uzyskane z zastosowanego testu
statystycznego (np. testu t)



Liczba powtórzeń kroków 1-2:
N=25000

Symulacje numeryczne

N = 1262

Test istotności - kroki



Można ocenić istotność dowodów

przeciw hipotezie zerowej dostarczonych

przez dane wykonując czynności:

1.

Sformułuj hipotezę zerową H

0

i hipotezę

alternatywną H

a

. Test jest przeznaczony do

oceny siły dowodów przeciw H

0

. H

a

jest

stwierdzeniem które zaakceptujemy jeśli

dowody pozwolą nam odrzucić H

0

.

2.

Oblicz wartość statystyki testowej. Ta

statystyka zwykle określa jak daleko dane są

od H

0

.

Test istotności - kroki

3.

Znajdź P-wartość dla obserwowanych danych. Jest

to prawdopodobieństwo (przyjmując, że hipoteza

zerowa jest prawdziwa), że statystyka będzie się

opowiadać przeciw hipotezie co najmniej tak silnie

jak z tymi danymi.

4.

Sformułuj wniosek. Wybierz poziom istotności α (jak

bardzo dowód przeciw H

0

uznajesz za decydujący).

Jeśli P-wartość jest mniejsza lub równa α - wniosek,

że hipoteza alternatywna jest prawdziwa; jeśli jest

większa od α - wniosek, że dane nie dostarczają

wystarczająco silnego dowodu do odrzucenia H

0

.

Twój wniosek jest podsumowaniem badań

wykonanych za pomocą testu istotności.

Testy dla wartości średniej w
populacji – test z



Mamy prostą próbę losową o liczności n

wylosowanej z normalnej populacji o

nieznananej średniej μ ale ze znaną

wariancją σ

2

. Chcemy sprawdzić

hipotezę że μ ma określoną wartość, np.

μ

0

.



Hipoteza zerowa: H

0

: μ = μ

0

.

Testy dla wartości średniej w
populacji – test z



Hipoteza zerowa: H

0

: μ = μ

0

.



Statystyka testowa:

jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, to

statystyka z ma standardowy rozkład

normalny.

n

x

z

/

0









Testy dla wartości średniej w
populacji – test z



Alternatywna hipoteza: Jeśli jest
jednostronna to np. H

a

: μ > μ

0



p-wartość: prawdopodobieństwo, że
standardowa normalna zmienna
losowa Z przybierze wartość co
najmniej taką jak obserwowana z.



Możemy podobnie wnioskować dla
innych hipotez alternatywnych.

Dystrybucja statystyki

testowej

Dwustronne testy
istotności i przedziały
ufności



Poziom α dwustronnego testu
istotności odrzuca hipotezę H

0

: μ =

μ

0

dokładnie wtedy, gdy wartość μ

0

znajduje się poza przedziałem
ufności dla dla μ obliczonym dla
poziomu 1-α .

P-wartości vs. ustalone α



P-wartość to najmniejszy poziom α, na

którym dane są istotne.



Znając P-wartość możemy ocenić istotność

na każdym poziomie.



To daje więcej informacji niż sprawdzanie

odrzucony-lub-nie na ustalonym poziomie

istotności.



Wartość z*, taka że P(Z>z

*

) jest równa

zadanej liczbie a, 0<a<1, jest nazywana

wartością krytyczną

standardowego

rozkładu normalnego.

Wykorzystywanie i
nadużywanie testów



Wybieranie poziomu istotności



Wybierz poziom α z góry jeśli musisz dokonać
decyzji.



Nie ma sensu, jeśli chcesz jedynie opisać siłę
swoich dowodów.



Jeśli stosujesz test istotności z ustalonym α
by podjąć decyzję, wybierz α pytając jak silny
dowód jest potrzebny do odrzucenia H

0

.



To też zależy od tego jak wiarygodna jest/ma być
hipoteza zerowa.

Wybór poziomu istotności



Jeśli H

0

reprezentuje hipotezę, w

którą każdy wierzył przez lata, będzie
potrzebny mocny dowód (małe α)
żeby ją obalić.



Siła dowodu potrzebnego do
odrzucenia H

0

zależy od

konsekwencji podjęcia takiej decyzji.



Kosztowne: silny dowód

Wybór poziomu istotności



Lepiej podawać p-wartość, która
pozwala każdemu z nas decydować
indywidualnie czy mamy
wystarczająco silne dowody.



Nie ma ostrej granicy między
„istotny” a „nieistotny” a jedynie
rosnąca siła dowodu przy malejącej
p-wartości.

Czego istotność
statystyczna nie oznacza?



Istotność statystyczna to nie to samo co

praktyczna istotność.



Przykład: hipoteza bez zależności jest odrzucana



Nie oznacza mocnego związku, ale że jest silny dowód

na istnienie jakiegoś związku



Kilka punktów odstających może się

przyczynić do zaobserwowania wysokiej

istotności wyniku testu, jeśli ślepo stosuje

się testy istotności.



Punkty odstające mogą również zniwelować

istotność.

Nie ignoruj braku
istotności



Jeśli badacz ma wyraźny powód
podejrzewać, że zależność istnieje a potem
nie może znaleźć istotnego dowodu nań, to
może to być ciekawą wiadomością ---
czasami ciekawszą niż to gdyby
potwierdzono związek na poziomie
istotności 5%.



Ukrywanie negatywnych wyników może
skazać innych badaczy na poszukiwanie
zależności, która nie istnieje.

Wnioskowanie statystyczne nie
jest słuszne dla wszystkich
danych



Formalne wnioskowanie
statystyczne nie koryguje błędnie
przeprowadzonego eksperymentu.



Losowość próbkowania gwarantuje,
że prawa probabilistyki mają
zastosowanie w naszych testach
istotności oraz wyznaczanych
przedziałach ufności.

Nie szukaj na siłę
znamienności
statystycznej!



Można także wnioskować bez
uwzględniania istotności
statystycznej.



Jeśli zdecydujesz jakiego wyniku
szukasz, zaprojektuj eksperyment
lub próbę, która Cię do niego
doprowadzi i zastosuj test istotności
żeby ocenić wagę dowodów.

Nie szukaj na siłę
znamienności
statystycznej!



Ponieważ udane próby szukania
zjawisk naukowych zwykle kończą
się znalezieniem istotności
statystycznej, uczynienie samej
istotności obiektem poszukiwań
jest zbyt nęcące.

Nie szukaj na siłę
znamienności
statystycznej!



Jeśli już masz hipotezę, zaprojektuj
badanie tak, żeby otrzymać wynik,
który uważasz za istniejący.



Jeśli wynik badania jest
statystycznie istotny, masz już
rzeczywisty dowód.

Moc i wnioskowanie



Badanie użyteczności przedziału
ufności



Poziom ufności: mówi nam jak
niezawodna jest ta metoda przy
wielokrotnych powtórzeniach
eksperymentu.



Margines błędu: mówi nam, jak czuła
jest ta metoda lub jak bardzo przedział
ogranicza szacowanie parametru

Moc i wnioskowanie



Badanie użyteczności testów istotności

przy ustalonym α.



Poziom istotności: mówi nam jak

wiarygodna jest ta metoda w użyciu



Moc testu

: mówi nam o zdolności testu do

wykrywania tego, że hipoteza zerowa jest

fałszywa



Mierzona jako prawdopodobieństwo że test

odrzuci hipotezę zerową kiedy alternatywna jest

prawdziwa.

Im wyższe prawdopodobieństwo, tym

bardziej czuły jest test.

Moc testu



Prawdopodobieństwo, że test
istotności przy ustalonym α odrzuci
H

0

, kiedy alternatywna wartość

parametru jest prawdziwa, jest
nazywane mocą testu do
wykrywania tej alternatywy.

Obliczanie mocy testu



Sformułuj H

0

, H

a

(konkretną

alternatywę, którą chcemy wykryć) i
poziom istotności α.



Znajdź wartości , które
spowodują że odrzucimy H

0

.



Oblicz prawdopodobieństwo
zaobserwowania tych wartości , dla
których alternatywa jest prawdziwa.

x

x

Zwiększanie mocy testu



Zwiększ α. 5%-owy test istotności

będzie miał większą szansę odrzucenia

alternatywy niż 1%-owy, ponieważ jest

wymagana mniejsza siła dowodu.



Weź taką alternatywę, która jest dalej

od μ

0

. Wartości μ, które są w H

a

ale

leżą blisko do hipotetycznej wartości μ

0

są cięższe do wykrycia (mniejsza moc)

niż wartości μ, które są daleko od μ

0

.

Zwiększanie mocy testu,
cd.



Zwiększ rozmiar próby. Więcej danych
dostarczy więcej informacji o więc jest
większa szansa odróżnienia wartości μ.



Zmniejsz σ. To daje taki sam efekt jak
zwiększanie rozmiaru próby: więcej
informacji o μ. Poprawienie procesu
pomiarów i ograniczenie uwagi na
subpopulacje to dwa najpopularniejsze
sposoby na zmniejszenie σ.

x

Dwa typy błędów



Podczas przeprowadzania testów istotności

musimy przyjąć jedną hipotezę a drugą

odrzucić.



Mamy nadzieję że jest to trafna decyzja, ale nie

musi tak być.



2 typy niewłaściwych decyzji:



Jeśli odrzucimy H

0

(przyjmiemy H

a

) kiedy w

rzeczywistości H

0

jest prawdziwe, jest to błąd

pierwszego rodzaju (odniesiony do p-wartości).



Jeśli przyjmiemy H

0

(odrzucimy H

a

) kiedy w

rzeczywistości H

a

jest prawdziwe, jest to błąd

drugiego rodzaju (odniesiony do mocy).

Prawdopodobieństwa
błędów



Statystyczne wnioskowanie jest oparte na

prawdopodobieństwie.



Jakakolwiek zasada podejmowania decyzji jest

związana z prawdopodobieństwami popełnienia dwóch

rodzajów błędów.



Poziom istotności α jakiegokolwiek testu z ustalonym

poziomem jest prawdopodobieństwem popełnienia

błędu pierwszego rodzaju.



α jest prawdopodobieństwem że test odrzuci zerową hipotezę

H

0

kiedy w rzeczywistości jest prawdziwa.



Moc testu przeprowadzonego na zadanym poziomie istotności

α określona dla zadanej alternatywy wynosi 1 minus

prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju dla

tej alternatywy.

Ogólnie przyjęte
postępowanie przy
testowaniu hipotez



Zdefiniuj H

0

i H

a

tak samo jak do testu

istotności.



Popatrz na problem jak na decyzję -

prawdopodobieństwa popełnienia błędów

I-szego i II-ego rodzaju są powiązane.



Błędy pierwszego rodzaju są poważniejsze.

Wybierz α (poziom istotności) i rozważ

testy tylko takie, gdzie

prawdopodobieństwo popełnienia błędu I-

szego rodzaju nie jest większe od α.

Ogólnie przyjęte
postępowanie przy
testowaniu hipotez



Spośród testów wybierz ten, który ma
jak najmniejsze prawdopodobieństwo
popełnienia błędu II-ego rodzaju (czyli
jak największą moc). Jeśli to
prawdopodobieństwo jest zbyt duże,
będziesz musisz wziąć większą liczbę
prób żeby zmniejszyć ryzyko błędu.

Testy dla wartości średniej
w populacji – jednostronny
test t



Niech prosta próba losowa (PPL) o liczności n
jest losowana z populacji o nieznanej wart.
oczekiwanej μ. Żeby zweryfikować hipotezę
że H

0

: μ = μ

0

na podstawie PPL, oblicz

statystykę t



Zmienna losowa T ma rozkład t(n-1), P-
wartość dla testu H

0

przeciw H

a

: μ > μ

0

wynosi albo dla H

a

: μ < μ

0

n

/

s

x

t

0











t

T

P 

)

t

T

(

P



Test t - przykład 1



Niech PPL o liczności n jest losowana z
populacji o nieznanej wartości
oczekiwanej μ.



[114, 123.3, 116.7, 129.0, 118, 124.6, 123.1, 117.4, 111,
121.7, 124.5, 130.5]



średnia próby = 121.15



odchylenie standardowe próby = 5.89



Żeby zweryfikować hipotezę że H

0

: μ =

μ

0

=120 na podstawie PPL liczności n,

oblicz statystykę t dla jednej próby

6764

.

0

12

/

89

.

5

120

15

.

121

n

/

s

x

t

0













Test t - przykład 1



W kategoriach zmiennej losowej T
z rozkładem t(n-1), P-wartość dla
testu H

0

przeciw H

a

: μ > μ

0

wynosi





t

T

P 

stopień swobody

Wartość krytyczna dla
α=0.95

Jeśli t

1

=0.6 to cdf(t

1

)=0.71967 więc p

1

=1-

0.71967=0.28033

Jeśli t

2

=0.7 to cdf(t

2

)=0.75077 więc p

2

=1-

0.75077=0.24923

więc p

2

< p < p

1

Test t - przykład 1

Z rozkładu t Studenta
otrzymujemy

tcdf(0.6764,11) = 0.743621

p = 1 – 0.743621 =

0.256379

Test t - przykład 1

Test t - przykład 1

0.7436

p=0.2564

Test t - przykład 1



Końcowy wniosek:

Nie możemy odrzucić H

0

mówiącej, że wartość średnia w
populacji wynosi μ=120 i przyjąć
H

a

z p=0.2564

Test t – przykład 2



Żeby zweryfikować hipotezę H

0

: μ = 135

na podstawie PPL liczności n, obliczmy

statystykę t dla jednej próby:



W kategoriach zmiennej losowej T z

rozkładem t(n-1), P-wartość dla testu na

H

0

przeciw

H

a

: μ < μ

0

wynosi

n

/

s

135

x

t









t

T

P 

Test t - przykład 2

[114, 123.3, 116.7, 129.0, 118, 124.6,

123.1, 117.4, 111, 121.7, 124.5, 130.5]



średnia próby = 121.15



odchylenie standardowe próby = 5.89



Żeby zweryfikować hipotezę że
H

0

: μ = μ

0

=135, obliczmy

statystykę t

1456

.

8

12

/

89

.

5

135

15

.

121

n

/

s

x

t

0















Z rozkładu t Studenta
otrzymujemy

P(T ≤ t)

=

tcdf(-8.1456,11) =2.7e-6

p =

0.0000027 < 0.000005

Test t - przykład 2

Test t - przykład 2

p=2.7e-6

t = -8.1456

Test t - przykład 2



Końcowy wniosek:

Odrzucamy H

0

mówiącą, że wartość

średnia w populacji wynosi μ=135 i
przyjmujemy H

a

: μ < μ

0

z p <

0.000005

Testy dla wartości średniej w
populacji – dwustronny test t



Żeby zweryfikować hipotezę że H

0

: μ =

115

na podstawie PPL liczności n,

obliczmy statystykę t



W kategoriach zmiennej losowej T z

rozkładem t(n-1), P-wartość dla testu H

0

przeciw

H

a

: μ ≠ μ

0

wynosi

n

/

s

115

x

t









|

t

|

|

T

|

P



Test t - przykład 3

[114, 123.3, 116.7, 129.0, 118, 124.6,

123.1, 117.4, 111, 121.7, 124.5, 130.5]



średnia próby = 121.15



odchylenie standardowe próby = 5.89



Żeby zweryfikować hipotezę że
H

0

: μ = μ

0

=115 obliczmy

statystykę t

6170

.

3

12

/

89

.

5

115

15

.

121

n

/

s

x

t

0













• Ponieważ wartość krytyczna

t

0.05

=2.2010 a nasza obserwowana

wartość jest wyższa, odrzucamy
hipotezę zerową na poziomie α=0.05.

• Z rozkładu t otrzymujemy

P(|T| > |t|)

= 2*(1-

tcdf(3.6170,11)) =

0.0040

Więc dokładnie p =

0.0040

Test t - przykład 3

Test t - przykład 3

p=0.0040

-t = -3.6170

t = 3.6170

Test t - przykład 3



Końcowy wniosek:

odrzucamy H

0

że wartość średnia w

populacji wynosi μ=115 i
przyjmujemy H

a

: μ ≠ μ

0

z p =

0.0040

Pary obserwacji - test t



W badaniu par obserwacji wyniki
są łączone w pary i porównywane
w jej obrębie.



Przykład: wyniki przed i po kursie

Pary obserwacji - analiza

•

Analiza par obserwacji jest
konieczna kiedy mamy dwa
pomiary lub obserwacje każdego
obiektu i chcemy zbadać zmianę
jednej względem drugiej.
Zazwyczaj obserwacje w pewnym
sensie są pomiarami „przed” i
„po”.

Pary obserwacji - analiza

•

W każdej parze odejmuje się
pomiar „przed” od pomiaru „po”.

•

Analizuje się rozkład różnic
stosując przedziały ufności i testy
istotności dla jednej próby.

Pary obserwacji –
przykład 4



Gain średnia z próby = 2.5



Gain odchylenie standardowe z próby =
2.89



Aby zweryfikować hipotezę H

0

: μ =

μ

0

=0 (brak różnic) przeciwko H

A

: μ

≠ 0 na podstawie PPL o liczności n,
obliczamy statystykę testową t

8686

.

3

20

/

89

.

2

0

5

.

2

/

0











n

s

x

t



• Wartość krytyczna t

[0.05,19]

=2.0930.

•Obliczona statystyka t jest większa

niż wartość krytyczna, odrzucamy
zatem hipotezę zerową na poziomie
α=0.05.

• Z rozkładu t znajdujemy

P(|T| > |t|)

= 2*(1-

tcdf(3.8686,19)) =

0.001

Zatem dokładna wartość p =

0.001

Pary obserwacji –
przykład 4

• Zakładając poziom istotności α, możemy

przeprowadzić test dla wartości średniej w
populacji wykorzystując przedział ufności
określony dla poziomu C=1-α.

• Obliczamy dolną i górną granicę przedziału

ufności i sprawdzamy, czy µ

0

należy do tego

przedziału.

• Jeśli tak, to nie mamy podstaw do odrzucenia

hipotezy zerowej H

0

: μ = μ

0

• Jest to równoważne przeprowadzeniu

dwustronnego testu t na poziomie istotności
α.

Wykorzystanie przedziałów ufności
do wnioskowania o wartości
średniej w populacji

Przykład 3 – przedziały
ufności

[114, 123.3, 116.7, 129.0, 118, 124.6,

123.1, 117.4, 111, 121.7, 124.5, 130.5]



Średnia z próby = 121.15



Odchylenie standardowe z próby =
5.89, α=0.05

89

.

124

12

89

.

5

2010

.

2

15

.

121

41

.

117

12

89

.

5

2010

.

2

15

.

121

11

,

05

.

0

2

11

,

05

.

0

1

















































n

s

t

Y

L

n

s

t

Y

L

Przykład 3 – przedziały
ufności



Przedział ufności



Hipoteza zerowa H

0

: μ =115,

hipoteza alternatywna H

A

: µ≠115.



Ponieważ
odrzucamy hipotezę zerowa na

poziomie α=0.05





95

.

0

89

.

124

41

.

117









P

)

89

.

124

,

41

.

117

(

115

Odporność procedur t



Wnioskowanie statystyczne jest
nazywane odpornym, jeśli wymagane
metodyka obliczeń jest nieczuła na
naruszenie przyjętych założeń.



Procedury t są dość odporne na
odstępstwa od normalności rozkładu
populacji z wyjątkiem obserwowania
silnej skośności rozkłądu lub
występowania punktów odstających.

Odporność procedur t



Większe próby to większa dokładność
oszacowania P-wartości oraz wartości
krytycznych dystrybucji t, gdy rozkład
populacji nie jest normalny.



W przypadku małolicznych prób, zanim
przejdzie się do testów t należy
narysować wykres qq lub ramkowy w
celu sprawdzenia skośności i punktów
ostających.

Praktyczne wskazówki do
wnioskowania o średniej



Liczność próby: mniej niż 15: Zastosuj

procedury t jeśli dane mają w przybliżeniu

rozkład normalny. Jeśli ich rozkład jest daleki

od normalnego, albo zaobserwowaliśmy punkty

odstające, nie używaj t.



Liczność próby co najmniej 15: Można

zastosować procedury t, chyba że istnieją

punkty odstające lub rozkład jest bardzo skośny



Duże próby: Można stosować procedury t,

nawet dla skośnych rozkładów, ale liczność

musi być duża: ponad 40

Porównywanie dwóch
średnich



Problemy z dwiema próbami



Cel wnioskowania: porównanie
odpowiedzi w dwóch grupach.



Przyjmuje się że każda grupa to próba
z oddzielnej populacji.



Odpowiedzi w każdej z grup są
niezależne.

Pojęcia



Populacja



Zmienna



Średnia



Odchylenie standardowe



Liczność próby



Średnia próby



Odchylenie standardowe próby

Test z dla dwóch prób



Naturalny estymator różnicy μ

1

- μ

2

jest różnicą dwóch średnich prób,



Żeby wnioskować z tej statystyki
musimy znać jej rozkład próbkowania.



Jeśli rozkłady obu populacji są normalne,
rozkład
jest także normalny.

2

1

x

x 

2

1

x

x 



















2

2

2

1

2

1

2

1

,

n

n

N









Test z dla dwóch prób



Niech jest średnią prostej próby losowej o
liczności n

1

z populacji o rozkładzie N(μ

1,

σ

1

)

a to średnia PPL o liczności n

2

z populacji

o rozkładzie N(μ

2,

σ

2

). Wtedy taka statystyka

ma standardowy rozkład funkcji gęstości
prawdopodobieństwa N(0,1).

1

x

2

x



 



2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

z



















Test t dla dwóch prób

Ten test zakłada że populacje, z

których wzięto próbki mają
równe wariancje

Statystyka t dla dwóch
prób



Jeśli odchylenia standardowe
populacji nie są znane,
przybliżamy je na podstawie
odchylenia standardowego próby.



Stosuj właściwy wzór, zależny od
liczności prób: n

1

i n

2

.

Statystyka t dla dwóch
prób

Kiedy liczności prób są różne i

przynajmniej jedno z n

1

i n

2

jest

małe (<30) stosuj:

Taka statystyka ma rozkład t Studenta

z k=n

1

+ n

2

– 2 stopniami swobody.



 













 































2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

n

n

n

n

2

n

n

s

)

1

n

(

s

)

1

n

(

x

x

t





Statystyka t dla dwóch
prób

Kiedy n

1

i n

2

są sobie równe

(niezależnie od liczności) zastosuj:

Taka statystyka ma rozkład t Studenta

z k=2(n – 1) stopniami swobody.



 



n

s

s

x

x

t

2

2

2

1

2

1

2

1















Statystyka t dla dwóch
prób

Kiedy n

1

i n

2

są różne, ale duże (≥30)

stosuj:

Taka statystyka ma rozkład t Studenta

z k=n

1

+ n

2

- 2 stopniami swobody.



 



2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

t















Test istotności t dla dwóch
prób



Niech prosta próba losowa o liczności n

1

jest losowana z populacji o rozkładzie
normalnym z nieznaną wartością
oczekiwaną μ

1

i jest niezależna od

drugiej próby o liczności n

2

, losowanej z

innej populacji o nieznanej wartości
oczekiwanej μ

2.



Zakładamy że odchylenia standardowe
obu populacji są równe.

Test istotności t dla dwóch
prób



Żeby zweryfikować hipotezę H

0

: μ

1

= μ

2

przeciw H

a

: μ

1

≠ μ

2

, obliczymy

odpowiednią statystykę t i użyjemy
P-wartości lub wartości
krytycznych dla rozkładu t
Studenta z odpowiednim stopniem
swobody.

Test istotności t dla
dwóch prób – przykład 5



Niech PPL o liczności n

1

jest losowana z

populacji o nieznanej wartości oczekiwanej μ

1

.



[114, 123.3, 116.7, 129.0, 118, 124.6, 123.1,
117.4, 111, 121.7, 124.5, 130.5]



średnia próby = 121.15



odchylenie standardowe próby = 5.89



Kolejna PPL o liczności n

2

jest losowana z

populacji o nieznanej wartości oczekiwanej μ

2

.



[120, 125.5, 126, 125.5, 128.5, 125, 128, 116,
122, 121, 117, 125]



średnia próby = 123.29



odchylenie standardowe próby = 4.08

Test istotności t dla
dwóch prób – przykład 5



 



0383

.

1

n

s

s

x

x

t

2

2

2

1

2

1

2

1



















=0 z założenia

p = 0.3104

Wniosek: nie możemy odrzucić hipotezy, że wartości
średnie obu populacji są równe na poziomie istotności
α=0.05

Ponieważ n

1

=n

2

=12

Przedział ufności dla dwóch
prób



Niech PPL liczności n

1

jest losowana z

normalnej populacji o nieznanej wart.

oczekiwanej μ

1

i kolejna PPL o liczności n

2

jest

losowana z kolejnej normalnej populacji o

nieznanej wart. oczekiwanej μ

2

. Dla dużych n

1

i n

2

przedział ufności dla μ

1

- μ

2

jest dany przez

gdzie statystyka t ma n

1

+n

2

-2 stopni swobody.









2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

*

,

*

n

s

n

s

t

x

x

n

s

n

s

t

x

x













Odporność procedur dla
dwóch prób



Procedury t dla dwóch prób są bardziej

odporne niż metody t dla jednej próby.



Jeśli liczności obu prób są równe a rozkłady

porównywanych populacji mają podobne

kształty, otrzymujemy dobrą dokładność.



Jeśli kształty rozkładów populacji są różne,

potrzeba prób o większej liczności.



Planując badanie oparte na dwóch

próbach, powinieneś zwykle wybierać

równe liczności tych prób.

Przybliżony test t Welch’a
równości wartości średnich
dwóch populacji o różnych
wariancjach

Przybliżony test t Welch’a



Ten test oblicza przybliżoną t-

wartość, taką

’

, dla której krytyczna

wartość jest liczona jako średnia

ważona pojedynczych wartości

krytycznych t odpowiadających

stopniom swobody dwóch prób.

Przybliżony test t Welch’a



Dwupróbowa statystyka t

’

jest

równa:



 



2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

't















Przybliżony test t Welch’a



Wartość krytyczna t

α’

dla błędu

pierwszego rodzaju jest liczona
jako:

2

2

2

1

2

1

2

2

2

]

[

1

2

1

]

[

n

s

n

s

n

s

t

n

s

t

't

2

1

















Testy dla wariancji w

populacji



Mamy PPL o liczności n losowaną z
rozkładu normalnego. Chcemy
testować hipotezę, że wariancja w
populacji σ

2

ma określoną wartość σ

02

.



Hipoteza zerowa: H

0

: σ

2

= σ

02

.



Hipoteza alternatywna: H

A

: σ

2

≠ σ

02



Jest to test dwustronny, testy
jednostronne można wyprowadzić
analogicznie

Testy dla wariancji w

populacji – test X

2



Z definicji rozkładu Χ

2



Ponieważ statystyka X

2

ma rozkład

postępujemy następująco::



Oblicz X

2



Znajdź wartości krytyczne dla testu
dwustronnego dla zadanego poziomu
istotności α



Porównaj wartość statystyki testowej z
robszarem krytycznym.

2

2

2

'

2

)

1

(



s

n

X

X

n

i









2

]

1

[ 

n



Testy dla wartości wariancji w

populacji – przykład 6



Producent twierdzi, że wariancja średnicy

tulejek wynosi 100.



Odchylenie standardowe z próby, oszacowane

na podstawie 10 pomiarów, wynosi 11.2



Statystyka testowa



Wartości krytyczne dla testu dwustronnego na

poziomie α=0.05 dla 9 stopni swobody

wynoszą odpowiednio 2.700 oraz 19.023.



Wartość statystyki testowe jest mniejsza niż

19.023 i większa niż 2.700, prowadzi to do

akceptacji hipotezy zerowej na poziomie

α=0.05.

290

.

11

100

)

2

.

11

(

9

)

1

(

2

2

2

2

'

2

















s

n

X

X

n

i

Rozkład F



Załóżmy, że losowanie dokonywane
jest z populacji o rozkładzie normalnym
o wartości średniej µ i wariancji σ

2

.



Losujemy najpierw n

1

wartości i

obliczamy ich wariancję z próby ,
następnie losujemy n

2

wartości i

obliczamy ich wariancję z próby



Liczba stopni swobody dla obu
wariancji ν

1

=n

1

-1 oraz ν

2

=n

2

-1.

2

1

s

2

2

s

Rozkład F



Mając obie wielkości oraz ,
obliczamy



Opracowano model matematyczny
oczekiwanego rozkładu tak
zdefiniowanej zmiennej losowej i
nazwano go rozkładem F, na cześć
znanego statystyka of R.A.Fishera.

2

1

s

2

2

s

2

2

2

1

s

s

F

s



Rozkład F



W przeciwieństwie do rozkładów t i Χ

2

, kształt

rozkładu F określony jest przez dwa
parametry ν

1

i ν

2

.

Jednostronny test F

jednorodności wariancji



Hipoteza zerowa H

0

:



Hipoteza alternatywna H

A

:



Statystyka testowa:

opisana jest rozkładem F o [v

1

, v

2

]

stopniach swobody.

2

2

2

1

s

s

F

s



2

2

2

1







2

2

2

1







Jednostronny test F

jednorodności wariancji –

przykład 7



Próba 1: n

1

=7,



Próba 2: n

2

=29,



Hipoteza zerowa H

0

:



Hipoteza alternatywna H

A

:



Statystyka testowa:

ma rozkład F o [6, 28] stopniach swobody.

2

2

2

1







32

.

1

029

.

16

181

.

21

2

2

2

1







s

s

F

s

2

2

2

1







180

.

21

2

1



s

029

.

16

2

2



s

Jednostronny test F

jednorodności wariancji –

przykład 7

32

.

1



F

Ponieważ
wartość
statystyki F nie
należy do
obszaru
krytycznego,
przyjmujemy
hipotezę zerową
na poziomie
α=0.05

Dwustronny test F

jednorodności wariancji –

przykład 8



Próba 1: n

1

=10,



Próba 2: n

2

=15,



Hipoteza zerowa H

0

:



Hipoteza alternatywna H

A

:



Statystyka testowa:

ma rozkład F o [9,14] stopniach swobody.

2

2

2

1







7134

.

0

021

.

18

856

.

12

2

2

2

1







s

s

F

s

2

2

2

1







856

.

12

2

1



s

021

.

18

2

2



s

Dwustronny test F

jednorodności wariancji –

przykład 8

7134

.

0



F

Since our F
statistic does
not belong to
the rejection
region, we
accept null
hypothesis at
α=0.05

Test Bartlett’a
homogeniczności
(jednorodności) wariancji



Testowanie hipotezy zerowej
mówiącej że dwie lub więcej
populacje reprezentowane przez
dwie lub więcej próby mają równe
wariancje.



Hipoteza alternatywna mówi że co
najmniej jedna wariancja jest inna

Przykład 9

Test Bartlett’a homogeniczności

(jednorodności) wariancji – przykład

9



Hipoteza zerowa H

0

:



Hipoteza alternatywna H

A

:



Poziom istotności α=0.005



Próba 1: Treatment group n

1

=21,

s

1

=11.01,



Próba 2: Control group n

2

=23, s

2

=17.15



Naturalne logarytmy z wariancji:
ln(11.01

2

)=4.80 oraz ln(17.15

2

)= 5.68

2

2

2

1







2

2

2

1







Test Bartlett’a homogeniczności

(jednorodności) wariancji – przykład

9



Suma liczby stopni swobody: 20+22=42



Średnia ważona wariancji:



Logarytm naturalny średniej ważonej wariancji:

5.36



Suma ważona logarytmów wariancji składowych



Statystyka testowa



Korekta skalująca C=1.0398

79

.

211

42

15

.

17

*

22

01

.

11

*

20

2

2

2







s

96

.

220

68

.

5

*

22

80

.

4

*

20





16

.

4

96

.

220

36

.

5

*

42

2









Test Bartlett’a homogeniczności

(jednorodności) wariancji – przykład

9



Skorygowana wartość statystyki testowej
4.16/1.0398=4.00



Wartość krytyczna dla 1 stopnia swobody i
poziomu istotności α=0.005 wynosi 9.14.



Ponieważ wartość statystyki testowej (4.00) jest
mniejsza od wartości krytycznej (9.14), nie mamy
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na
poziomie α=0.005.



Wniosek końcowy: wariancje są jednorodne.

Test Bartlett’a homogeniczności
(jednorodności) wariancji – przykład
10



Oblicz logarytm naturalny
wariancji każdej z prób.



Zsumuj liczby stopni swobody



Oblicz średnią ważoną wariancji i
jej logarytm naturalny















a

i

95

9

...

12

17

)

1

n

(

185167

.

2

112459

.

0

ln

,

112459

.

0

)

1

n

(

s

)

1

n

(

s

a

i

a

2

i

i

2

















Test Bartlett’a homogeniczności
(jednorodności) wariancji – przykład
10



Oblicz ważoną sumę logarytmów
wariancji każdej z prób



Oblicz statystykę

227545

.

229

s

ln

)

1

n

(

a

2

i

i









636721

.

21

s

ln

)

1

n

(

s

ln

)

1

n

(

X

a

2

i

i

2

a

i

2































Test Bartlett’a homogeniczności
(jednorodności) wariancji – przykład
10



Jeśli hipoteza zerowa jest
prawdziwa, to skorygowana
statystyka X

2

ma w przybliżeniu

rozkład χ

2

o a-1 stopniach

swobody.

914

.

20

034566

.

1

63672

.

21

C

X

X

034566

.

1

)

1

n

(

1

1

n

1

)

1

a

(

3

1

1

C

2

2

kor

a

a

i

i













































Test Bartlett’a homogeniczności
(jednorodności) wariancji – przykład
10

475

.

18

2

]

7

[

01

.

0





Wartość krytyczna dla a-1=7 stopni
swobody oraz alfa = 0.01 wynosi

Wartość skorygowanej statystyki wynosi
20.914. Wnioskujemy więc, że wariancje są
niejednorodne.