Wykład VII

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny

prosty

F=-kx

• W dowolnej chwili

F

F = m

a

a

• Ale tutaj F = -kx
•

ma =

• Więc: -kx = ma =

k

x

m

F

F = -kx

a

a

m

d x

dt

2

2

d x

dt

k

m

x

2

2



Tj różniczkowe równ. na x(t)!

m

d x

dt

2

2

Ruch harmoniczny prosty

Ruch harmoniczny prosty

d x

dt

k

m

x

2

2



d x

dt

x

2

2

2









k

m

Niech x = A cos(t)

 

t

sin

A

dt

dx









 

x

t

cos

A

dt

x

d

2

2

2

2















niech

gdzie



jest

szybkością kątową

Ruch harmoniczny prosty

-rozwiązanie

• Pokazaliśmy, że

ma rozwiązanie x = A cos(t) .

• Ale x = A sin(t) tez może być rozwiązaniem.

d x

dt

x

2

2

2





k

m

T



2







k

m

Ruch harmoniczny prosty

-rozwiązanie

• Wykres

A

cos(



t )

• A

= amplituda drgań





=t



T = 2/



A

A

 



=t = 0

=T = 2



Ruch harmoniczny prosty

cd.

• Wykres A cos(t + )









 



Ruch harmoniczny prosty

• Wykres A cos(t - /2)

A

=

/







 

= A sin(t)!



Prędkość i przyśpieszenie

k

x

m

0

położenie: x(t) = A cos(t + )
prędkość:

v(t) = -A sin(t + )

przyspieszenie:

a(t) = -



A cos(t + )

a t

dv t

dt

( )

( )



v t

dx t

dt

( )

( )



x

MAX

= A

v

MAX

= A

a

MAX

= 



A

Ruch harmoniczny prosty

-parametry

• x = A cos(t + )

A = amplituda
t +  = faza
 = szybkość kątowa (częstość) frequency

 = faza początkowa

• T –okres (czas trwania jednego drgania).
• f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce

czasu)

f = 1/T

 = 2f = 2/ T

Wahadło matematyczne

d

dt

2

2

2



 







g

L

gdzie

g

l

T



2



Wahadło fizyczne



d

Mg

z-axis

R

xCM

d

dt

2

2

2



 



 

MgR

I

gdzie

 = 

0

cos(t + )

MgR

I

T



2



Ruch Harmoniczny Prosty:

Podsumowanie

d s

dt

s

2

2

2

 

rozwiązanie:

s = A cos(t + )

Siła:

 

k

m

k

s

m

0

k

m

s

0

s L

I

MgL





Energ

Energ

ia potencjalna sprężystości

ia potencjalna sprężystości

const

U

K

E







Ruch harmoniczny z

tłumieniem

• tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=constant)
• Z II zasady dynamiki Newtona

k

x

m

F

F = -kx

a

a

Tj inne równanie różniczkowe
na x(t)!

2

2

dt

x

d

m

dt

dx

b

kx







v

-bv

0

2

2







x

m

k

dt

dx

m

b

dt

x

d

Ruch harmoniczny z

tłumieniem - rozw. ogólne

2

2

4

'

m

b

m

k







x(t) = A(t) cos(’t +  )

gdzie A(t) = x

0

exp(-bt/m) i

0

2

2







x

m

k

dt

dx

m

b

dt

x

d

x(t) = A(t) cos(’t +  )

Ruch harmoniczny z

tłumieniem – energia

mechaniczna E(t)

Bez tłumienia: E = 1/ k x

0



= constant

Z tłumieniem: E(t) = 1/ A(t)



= 1/ k x

0



exp(-bt/m)

(całkowita energia mech. maleje z czasem)

Drgania wymuszone

-rezonans

 

k

m

d



REZONANS







d