Ruch harmoniczny prosty

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się tylko pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi (Prawo Hooke'a):

gdzie

- siła,

k - współczynnik sprężystości,

- wychylenia z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać jako:

(Druga Zasada Dynamiki Newtona), w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnego z równań:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

gdzie:

• 
  jest częstością kołową drgań,

• 
  stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω₀ wiąże z Okresem drgań T związek:

,

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Energia w ruchu harmonicznym prostym

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

Wykres zależności energii od wychylenia

Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze
z powyższym):

Ciało drgajace ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

v₀ = x₀ω₀

prędkość chwilowa zmienia się jak

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością:

Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Jeżeli na drgający układ ma wpływ inny drgający układ (siła wymuszająca) to drgania nazywa się wymuszonymi, gdy siła nie występuje drganiami swobodnymi

Rezonans - zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

Drgania harmoniczne tłumione [edytuj]

Drgania harmoniczne tłumione występują dla wymuszonego oscylatora harmonicznego tłumionego, czyli drgań o jednym stopniu swobody, tłumionych i wymuszonych. Przy tłumieniu i wymuszaniu nie zmieniającym się w czasie układ dochodzi do drgań z częstotliwością wymuszającą i stałą amplitudą. Taka sytuacja zwana jest stanem stacjonarnym.

Stan stacjonarny

Zależność amplitudy drgań od częstotliwości dla różnych współczynników tłumienia

Dla drgań wymuszonych w stanie stacjonarnym układ drgający pobiera i rozprasza średnio moc równą:

,

gdzie:

P - rozpraszana moc,

P₀ - moc rozpraszana dla ω = Ω,

ω - częstość drgań wymuszających,

Ω - częstość drgań własnych oscylatora,

Γ - współczynnik tłumienia.

Przedział częstości Δω dla której moc rozpraszana jest równa połowie mocy z maksimum jest nazywana szerokością rezonansu i jest równa odwrotności czasu zaniku (czasu życia) drgań:

.

Zależność ta oznacza, że dla drgań słabo tłumionych krzywa rezonansowa jest wysoka i wąska, dla drgań silnie tłumionych niska i wąska. Zależność ta umożliwia też określenie współczynnika tłumienia obwodu rezonansowego na podstawie obserwacji szerokości krzywej rezonansowej.

Zależność kwadratu amplitudy, energia oscylacji wyrażają się podobnym wzorem i są proporcjonalne do I(ω):

.

Amplituda tych drgań zależy od częstości drgań wymuszających ω. Gdy ω jest bliskie częstotliwości drgań własnych oscylatora Ω, to amplituda rośnie i osiąga maksimum dla częstości drgań własnych zwanych częstością rezonansową. Zjawisko to nazywa się rezonansem amplitudy. Podobnie można mówić o rezonansie mocy, gdy energia pobierana przez układ drgający, a dostarczana przez oscylującą siłę zewnętrzną, osiąga maksimum Ω.

---