Ruch harmoniczny prosty.

Ruchem harmonicznym prostym nazywamy drgania, w których wartość wychylenia x zmienia się w czasie t jak funkcja sinus.

x = Asinωt

Ruch harmoniczny możemy rozpatrywać jako rzut ruchu jednostajnego po okręgu na płaszczyznę prostopadłą do tego okręgu.

Wielkościami charakteryzującymi ten ruch, poza funkcją opisującą położenie y=f(t) ciała w dowolnej chwili t , są prędkość i przyśpieszenie. Wartość prędkości w ruchu harmonicznym jest pochodną wychylenia y względem czasu t. Natomiast wartość przyśpieszenia jest pochodną prędkości względem czasu, lub drugą pochodną z wychylenia.

Ciało obdarzone drganiami harmonicznymi przechodząc przez położenie centralne (równowagi) ma największą prędkość. W krańcowych punktach zwrotnych prędkość jest równa zeru.

Wahadło fizyczne.

Wahadłem fizycznym nazywamy jakąkolwiek bryłę sztywną zawieszoną na poziomej osi O przechodzącej powyżej środka masy bryły S. Jeżeli bryłę taką odchylimy od położenia równowagi (kierunek pionu) o niewielki kąt ϕ, to poruszać się ona będzie ruchem wahadłowym, harmonicznym o pewnym okresie T, przy czym siłą decydującą o ruchu wahadła będzie ciężar wahadła:

P = mg

Przyłożony do jego środka ciężkości S.

W pozycji zwrotnej wahadła stosujemy II zasadę dynamiki ruchu obrotowego :

M = Bε

Gdzie, M.- moment siły zewnętrznej, B- moment bezwładności bryły względem osi O.

Stąd

M = mglsinϕ

Gdzie l - odległość środka masy do osi obrotu, ϕ - kąt odchylenia wahadła od pionu w pozycji zwrotnej.

Dla wahadła fizycznego stosuje się wzór na okres wahań taki sam, jak dla wahadła matematycznego :

z tą różnicą, że l₀ w tym wzorze oznacza długość takiego wahadła matematycznego, które jest zsynchronizowane w czasie z wahadłem fizycznym; jest to tzw. długość zredukowana. Pomiar przyśpieszenia g sprowadza się wówczas do wykorzystania wzoru :

Wahadło rewersyjne.

Jest to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne, które pozwala na bardzo dokładny pomiar l₀ .

Można udowodnić, że jeżeli w wahadle fizycznym środek wahań A (rys.1) uczynimy osią obrotu, to punkt O, czyli poprzednia oś obrotu, stanie się obecnie środkiem wahań, to znaczy drgania w obu przypadkach będą jednakowe.

By ten dowód przeprowadzić poszukajmy teoretycznie wartości okresu drgań wahadła.

Na podstawie tw. Steinera moment bezwładności względem osi O określa wyrażenie :

B₀ = B_c+ma²

Gdzie B_c określa moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy.

Okres wahań względem osi O można zapisać

Gdzie a jest odległością środka masy C od osi obrotu. Dla punktu A okres wahań wynosi

Gdzie b - odległość środka masy od punktu zawieszenia.

Przypuśćmy, że nie wiemy, że punkt A jest środkiem wahań wahadła fizycznego, natomiast znana jest nam na podstawie prowadzonych pomiarów równość okresów T₀ = T_A. Przyrównujemy teraz do siebie oba okresy

i otrzymujemy:

B_c(a-b) =mab(a-b)

Równanie to wyznacza takie położenie środka masy wahadła, które zapewnia omawianą równość okresów. Jest to możliwe gdy :

• a = b, środek masy znajduje się w połowie długości odcinka OA;

• a-b ≠ 0, wtedy obie strony równania skracamy przez a-b i otrzymujemy

B_c = mab

Podstawiając do wzoru znajdujemy :

Zależność ta stwierdza, że okres drgań wahadła fizycznego jest taki sam, jak okres wahań wahadła zredukowanego o długości

l = a + b

Uzasadniona więc została własność punktów O i A wahadła fizycznego, na której opiera się budowa wahadła rewersyjnego.

Dla wahadła rewersyjnego wartość przyśpieszenia ziemskiego będziemy wyznaczać ze wzoru:

Wahadło matematyczne proste.

Wahadło proste jest to mały ciężarek, najczęściej kulka, zawieszony na możliwie najbardziej nieważkiej i nierozciągliwej nici. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie spuszczona porusza się ruchem drgającym zwanym wahadłowym. Siłą, która decyduje o tym ruchu jest składowa siły ciężkości, styczna do toru kulki. Na kulkę wahadła działa siła ciężkości P=mg, masa jest tu jedynie współczynnikiem proporcjonalności i możemy jej nie uwzględniać. W położeniu równowagi siła jest zrównoważona siła napięcia sprężystego nici.

Ruch po łuku jest zmienny okresowo - zgodnie z przebiegiem funkcji sinus. Przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia. Okresem drgań T nazywamy czas, w ciągu którego zachodzi jedno pełne drganie, zatem poniższe równanie wyraża prawo drgań wahadła matematycznego :

Wahadło różnicowe

Aby pomiar długości wahadła uczynić dokładniejszym, stosujemy tzw. wahadło różnicowe stanowiące pewną odmianę wahadła prostego. Jest to wahadło o przesuwalnym punkcie zawieszenia, tak skonstruowane, że można w sposób precyzyjny mierzyć nie bezwzględną długość wahadła lecz zmiany jego długości. Na prostokątnej przytwierdzonej do ściany desce umocowany jest w górnej części metalowy uchwyt A, w którym osadzona jest na stałe cienka struna stalowa o długości 1,5 m, na jej końcu wisi kulka stalowa. Z uchwytem A połączona jest linijka metalowa B, zaopatrzona w podziałkę milimetrową. Wzdłuż niej można przesuwać suwak N z noniuszem i krótkim ramieniem R. Zmieniając położenie suwaka na skali zmieniamy długość wahadła. Na podziałce odczytujemy zmianę długości wahadła Δl.

Długość zredukowana wahadła fizycznego.

Z definicji mamy :

Widzimy, że wahadło matematyczne ma taki sam okres drgań jak wahadło fizyczne. Długość tę nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego.

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła fizycznego.

Tabela pomiarowe :

Położenie I krążka (cm)
Położenie I noża (cm)
Położenie II noża (cm)
Położenie II krążka [cm]	Czas trwania n okresów
	Dla zawieszenia I			Dla zawieszenia II
	Ilość okresów [n]	Czas [s]	Okres T1 [s]	Ilość okresów [n]	Czas [s]	Okres T2 [s]

Wyniki

Współrzędne punktu przecięcia. Położenie krążka 2- pozycja 7,8 i 31,1 cm.

Wartość średnia okresu z wyżej wymienionych punktów T=1,26 [s].

Długość zredukowana wahadła l₀=39cm.

Przyśpieszenie ziemskie:

Błąd pomiaru metodą różniczki zupełnej:

W czasie przeprowadzania doświadczenia zauważyliśmy stałą wartość okresu T₁.Okres T₂ zmieniał się: malał aż do położenia krążka 2 w pozycji 24 cm, następnie rósł. Okres T₂ zrównał się z okresem T₁ co do wartości w położeniu krążka 2- 7,8 i 31,1 cm.

Na błąd pomiaru przy tej metodzie miały wpływ:

• niedoskonałość przyrządu liczącego

• błąd okresu

• niedokładność zamocowania krążków

α

α

N

F_S

mg

α

N - siła rozciągająca

F_S - siła zsuwająca

Ze wzoru :

ε - przyspieszenie kątowe

M - moment siły

J - moment bezwładności

d

---