Wykład nr 2b

Metody komputerowe w

inżynierii materiałowej

Dr inż. Maciej Sułowski

A2, pok. 54H

Tel.:26-27

[e-mail]

Wykład nr 2b

Metody rozwiązywania układów
równań nieliniowych

• Metody rozwiązywania układów równań

linowych można podzielić na:

– kolejnych przybliżeń
– bisekcji (połowienia przedziału)
– cięciw
– metodę stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

Metody kolejnych przybliżeń

Twierdzenie 1 (Bolzano-Cauchy’ego)
• Jeżeli funkcja F(x) jest ciągła w przedziale

domkniętym [a,b] i F(a)⋅F(b) < 0, to między
punktami a i b znajduje się co najmniej jeden
pierwiastek równania F(x) = 0.

Twierdzenie 2
• Jeżeli w przedziale [a, b] spełnione są założenia

twierdzenia 1 i dodatkowo sgn F ′(x) = const dla
x



[a,b], to przedział ten jest przedziałem izolacji

pierwiastka równania F(x) = 0.

Wykład nr 2b

Metody kolejnych przybliżeń

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metody kolejnych przybliżeń

Wykład nr 2b

• Niech [a,b] będzie przedziałem izolacji pierwiastka

równania F(x) = 0.

• Jako pierwsze dwa wyrazy ciągu przybliżeń

przyjmuje się: x

1

=a x

2

=b

• Kolejne przybliżenia wynikają ze wzoru:

• k dobierane, aby:

Metoda bisekcji









2

2

,

1

2

1













i

i

k

x

x

x

k

i

i

   

0

*

1

1













i

i

k

i

i

i

x

f

x

f

x

x

x

x

Wykład nr 2b

Metoda bisekcji

Ponieważ kolejne
przybliżenia znajdują
się każdorazowo w
przedziałach izolacji,
oraz

1

1











i

i

i

i

x

x

x

x

metoda jest zbieżna

Algorytm































)

(

)

(

2

...,

,

2

,

1

1

1

2

1

2

1

x

f

y

x

f

y

x

x

x

m

i

b

x

a

x

Jeżeli y*y

1

>0 to x

1

= x,

W przeciwnym wypadku x

2

= x

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metoda bisekcji

Wykład nr 2b

Metoda stycznych (Newtona)

•Jedna z najczęściej stosowanych metod

rozwiązywania równań nieliniowych

•Pozwala obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka

równania nieliniowego (f(x)=0), przy założeniu,
że w przedziale [a,b], w którym leży
pierwiastek, funkcja f(x) ma na krańcach
różne znaki oraz że pierwsza i druga
pochodna funkcji mają stały znak

Wykład nr 2b



W metodzie Newtona z końca przedziału, w którym
funkcja f(x) ma ten sam znak co f’’(x) prowadzimy
styczną do wykresu funkcji y=f(x). Punkt przecięcia
osi odciętych, x

1

jest pierwszym przybliżeniem

szukanego pierwiastka równania.

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

• Nietrudno zauważyć, że:

 

0

)

(

'

1







b

f

b

f

b

x

•

Gdy otrzymane przybliżenie
jest za mało dokładne
(f(x

1

)>) z punktu o

współrzędnych (x

1

, f(x

1

))

operację powtarzamy n razy,
dopóki wartość funkcji w
punkcie x

n

nie będzie

mniejsza od założonej
dokładności .

 

 

n

n

n

n

x

f

x

f

x

x

'

1







Metoda stycznych (Newtona)

• Wzór rekurencyjny opisujący kolejne

wyrazy ciągu przybliżeń ma postać

)

(

*

)

(

'

)

(

1

1

1













n

n

n

x

x

x

f

x

f

y

Wykład nr 2b

Metoda stycznych (Newtona)

f’(x)>0

f’’(x)<0

f’(x)<0

f’’(x)>0

f’(x)>0

f’’(x)>0

f’(x)<0

f’’(x)<0

Wykład nr 2b

• Ciąg przybliżeń jest ciągiem malejącym i zbieżnym.
• Operację obliczania rozwiązania równania f(x)=0

można stosować dla dowolnego punktu startowego
x

o

[a,b],

jeśli

styczne

do

krzywej

y=f(x)

poprowadzone z punktów granicznych przecinają oś
odciętych wewnątrz przedziału [a,b].





- założona dokładność rozwiązania

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

Układ n równań nieliniowych































0

,...,

,

.

..........

..........

..........

0

,...,

,

0

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

   

*

*

1

*

*

1

n

n

n

n

x

f

x

J

x

x









Metoda stycznych (Newtona)

gdzie: x

n

* i x

n+1

* stanowią n i

n+1 przybliżenie zmiennej x*,
J(x

n

*) jest jakobianem funkcji

f(x*) a wyrazy macierzy
jakobianowej, J(x*) są
określone równaniem:

 





 

k

j

jk

x

x

f

x

J







*

*

Rozwiązanie ogólne

Wykład nr 2b

• Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z

pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu)
funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste

• Jakobian – wyznacznik macierzy Jakobiego

Metoda stycznych (Newtona)

2

2

2

1

:

)

,

(









f

f

f

1

)

,

(

)

,

(

2

3

2

1









xy

y

x

f

xy

x

y

x

f

Przykład: Niech dane
będzie przekształcenie

Jego jakobian wynosi



 











3

2

3

3

2

2

3

3

2

3

2

2

2

1

1

2

2

3

2

3

2

1

1

det

xy

x

xy

xy

x

x

y

xy

y

x

y

xy

x

xy

y

xy

x

x

xy

x

y

f

x

f

y

f

x

f

J

f





























































Wykład nr 2b

Rozwiązanie układu równań

i

n

n

a

x

x





1

Metoda stycznych (Newtona)































0

,...,

,

.

..........

..........

..........

0

,...,

,

0

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

polega na obliczaniu kolejnych
przybliżeń rozwiązania układu
zgodnie ze wzorem:

Wykład nr 2b

• wartość kolejnej poprawki a

i

dowolnej zmiennej jest

obliczana przez rozwiązanie układu dwu równań
liniowych, w których występują wartości funkcji f

1

, f

2

i

ich pochodnych w punkcie o współrzędnych x

n

, y

n

.:

Metoda stycznych (Newtona)



































































































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

..

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

Wykład nr 2b

•W każdej iteracji musimy więc obliczyć n

2

elementów

f/x i rozwiązać układ liniowy rzędu n definiujący

wartości poprawek a.

•Obliczanie rozwiązania układu równań nieliniowych jest

prowadzone dopóki wartości poprawek a

i

nie osiągną

wartości mniejszych od założonej dokładności.

•Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna, to znaczy ciąg

wyrazów jest dostatecznie bliski rozwiązaniu układu
równań.

•Jak widać, rozwiązanie układu równań nieliniowych

sprowadza się do rozwiązywania układów równań
liniowych.

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

•W modelowaniu procesów występujących w inżynierii

materiałowej rozwiązywanie układów równań liniowych

i nieliniowych jest często stosowane

•Programowanie rozwiązań układów równań nieliniowych

jest trudne

•Do rozwiązywania układów równań liniowych można

wykorzystać MS Excel, narzędzie Solver

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

Praktyczne przykłady
wykorzystania Solvera

• Rozwiązanie układu równań liniowych
• Rozwiązanie równania nieliniowego
• Rozwiązanie układu równań nieliniowych