Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Teoria pola
Zad.1 W jakich zbiorach funkcje
z
"
a) f(x, y, z) = b) f(x, y, z) = ln(4 - x2 - y2 - z2)
x2+y2-1
określają pala skalarne? Dla powyższych pól wyznaczyć powierzchnie ekwiskalarne.
Zad.2 Wyznaczyć powierzchnie ekwiskalarne oraz obliczyć gradient pól skalarnych:
x2 y2
a) f(x, y) = + b) f(x, y, z) = x2 + y2 - z c) f(x, y, z) = x + 4y - 3z
16 4
x
Zad.3 Dane jest pole skalarne f(x, y) = arctg . Obliczyć:
y
" "
a) wartości pola w punktach A1(1, 1) i A2( 3, - 3)
b) punkty płaszczyzny, dla których wartości pola są ujemne
"
c) liniÄ™ ekwiskalarnÄ… przechodzÄ…cÄ… przez punkt A3( 3, 1)
Zad.4 Dane jest pole skalarne f(x, y, z) = x2 + y2 - z2 . Obliczyć:
a) wartości pola w punktach A1(1, 0, 2) i A2(3, 4, -5)
b) punkty przestrzeni, dla których wartości pola są ujemne, równe 0, dodatnie
c) powierzchnie ekwiskalarne pola
d) powierzchniÄ™ ekwiskalarnÄ… przechodzÄ…cÄ… przez punkt A3(2, 1, 4)
Zad.5 Znalez
ć gradienty pola f(x, y, z) = xyz + 1 w punktach A1(1, 2, 0) i A2(-2, 1, 2).
Zad.6 Dane jest pole skalarne f(x, y, z) = 3x2 + y2 + z2 - 3 .Znalez
ć:
a) powierzchnie ekwiskalarne pola
b) punkty przestrzeni, dla których wartości pola są ujemne
c) gradient pola
x+y+z
Zad.7 Dane jest pole skalarne f(x, y, z) = .Znalez
ć:
x2+y2+z2+1
a) grad f
b) grad f(-1, 2, 1)
c) kąt pomiędzy gradientami pola w punktach A1(0, 3, -1) i A2(2, -1, 1)
Zad.8 W jakich punktach przestrzeni gradient pola f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz :
a) jest wektorem zerowym
b) jest wektorem prostopadłym do osi OZ
c) jest wektorem równoległym do osi OZ
Zad.9 Dane jest pole skalarne f(x, y, z) = x3 + y2z . Wyznaczyć punkty, w których gradient tego pola jest równy 0.
Zad.10 Wyznaczyć kąt między gradientami pola:
x
a) f(x, y, z) = w punktach A1(1, 2, 2) i A2(-3, 1, 0)
x2+y2+z2
b) f(x, y, z) = x2 + 2y2 - z2 w punktach A1(2, 3, -1) i A2(1, -1, 2)
1
Zad.11 Wyznaczyć gradienty pól:
z y
a) f(x, y, z) = b) f(x, y, z) = ln(z - x2 - y2) c) f(x, y, z) = x arcsin
x2+y2-2z2 z
"
z
d) f(x, y, z) = + ln(y2 + 4) e) f(x, y, z) = sin(z - 1) - x2 - y2 f) f(x, y, z) = 2x + y - z2
x
Zad.12 Wyznaczyć dywergencję pól:

a) F (x, y, z) = [x3y, 2yz2, xz] b) F (x, y, z) = [sin 2z, sin 3x, sin 4y]

c) F (x, y, z) = [4x - 5z, z - 3y, 2x + 5z] d) F (x, y, z) = [arctg (x - y + z), z, y]

e) F (x, y, z) = [xz3, 2x2y4, 5yz2] f) F (x, y, z) = [exy, - cos y, sin2 z]
z

g) F (x, y, z) = [ln x, exyz, arctg ]
x

Zad.13 Dane jest pole wektorowe F (x, y, z) = [ln(x2 + y2 + z2), sin y, xyz] . Obliczyć:

a) div F

b) div F (1, 0, 2)

Zad.14 Sprawdzić, czy pole F jest bezz
ródłowe:

a) F (x, y) = [x3z2 - xy, -3x2yz2, yz - 1] b) F (x, y, z) = [yxy-1, xy ln x, 1] c) F (x, y, z) = [y2, z2, xy]
Zad.15 Wyznaczyć rotację pól:

a) F (x, y, z) = [x3y, 2yz2, xz] b) F (x, y, z) = [cos z, cos x, cos y]

c) F (x, y, z) = [4x - 5z, z - 3y, 2x + 5z] d) F (x, y, z) = [arctg (x - y + z), z, y]

e) F (x, y, z) = [xz3, 2x2y4, 5yz2]

Zad.16 Dane jest pole wektorowe F (x, y, z) = [x2yz, xy2z, xyz2] . Obliczyć:

a) rot F

b) rot F (1, 2, 1)

Zad.17 Sprawdzić, czy pole wektorowe F (x, y, z) = [y2, z2, xy] jest bezwirowe?
Zad.18 Sprawdzić, czy pola wektorowe są potencjalne, jeśli tak, wyznaczyć potencjały tych pól:

a) F (x, y, z) = [yz, xz, xy] b) F (x, y, z) = [y + z, x + z, x + y]

c) F (x, y, z) = [yz(2x + y + z), xz(x + 2y + z), xy(x + y + 2z)] d) F (x, y, z) = [x3 - 5yz, y3 - 5xz, z3 - 5xy]

e) F (x, y, z) = [xexy, -zexy, x3y2z3exy] f) F (x, y, z) = [2xy + z2, x2, 2xz + Ä„ cos(Ä„z)]

g) F (x, y, z) = [sin(yz2), xz2 cos(yz2), 2xyz cos(yz2)] h) F (x, y, z) = [2xe3y + z2, 3x2e3y + z, 2zx + y]

i) F (x, y, z) = [x2 - 2y, 3x2y - 5z, 5z2 - 3xy + y2 - 1]

Zad.19 Dane jest pole wektorowe F (x, y, z) = [25x4y - 3y2, 5x5 - 6xy - 5, 0] . Wyznaczyć potencjał f pola F
wiedząc, że f(0, 0, 0) = 1.
Zad.20 Wykazać, że:

a) div (f · F ) = grad f ć% F + f · div F

b) rot (f · F ) = f · rot F + grad f × F

c) div (F1 × F2) = F2 ć% rot F1 - F1 ć% rot F2

d) rot (rot F ) = gr(div F ) - "F
2