Albert

Einstein

Szczególna teoria

względności

PODSTAWY

Fakt eksperymentalny

Prędkość światła w

próżni jest taka sama

we wszystkich

układach odniesienia

Albert Abraham
Michelson ur. Strzelno
1852

A.A.Michelson, E.W.Morley,
Am. J. Sci., 34, 333 (1887)

1907 - nagroda Nobla
(pierwsza nagroda dla
Amerykanina)

Albert Abraham
Michelson ur. Strzelno
1852

A.A.Michelson, E.W.Morley,
Am. J. Sci., 34, 333 (1887)

1907 - nagroda Nobla
(pierwsza nagroda dla
Amerykanina)

t

2

=2L/

c

L

L

t

1

=2L/

c

t=0

L

v

L

2

2

1

1

2

c

v

c

L

t





2

2

2

1

2

c

v

c

L

t





2

2

2

2

1

2

1

2

c

v

c

L

c

v

c

L

t











L

v

L

2

2

1

1

2

c

v

c

L

t





2

2

2

1

2

c

v

c

L

t





2

2

2

2

1

2

1

2

'

c

v

c

L

c

v

c

L

t











2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

4

1

2

1

2

1

2

1

2

'

c

v

c

L

c

v

c

v

c

L

c

v

c

L

c

v

c

L

c

v

c

L

c

v

c

L

t

t

t













































































































2

2

2

'

c

v

c

L

t

t

t













Zmiana czasowego przesunięcia między wiązkami

występująca przy obrocie interferometru o 90

stopni.

Oszacujmy wartość



t

2L  50 m - droga przebyta w interferometrze po

wielokrotnych

odbiciach

c  310

8

m/s - prędkość światła

v  3 10

4

m/s - prędkość orbitalna Ziemi

s

10

7

.

1

15







t



Zmiana czasowego przesunięcia między wiązkami

występująca przy obrocie interferometru o 90

stopni.

Czy jest to wartość, którą możnaby zaobserwować?

Czy daje ona zauważalną zmianę obrazu
interferencyjnego?

Oszacujmy to.

= 589 nm = 58910

-9

m 610

-7

m - żółta linia

lampy sodowej

T

= /c  610

-7

/3 10

8

s =

210

-15

s

- okres

jednego drgania

s

10

7

.

1

15







t



85

.

0

/ 

T

t



Wynik doświadczenia:

negatywny

Albert Abraham Michelson

Annapolis, 1887

x

y

z

y'

z'

x'

v

x

y

z

ct

x

2

+y

2

+z

2

=

(ct)

2

x'

y'

z'

ct'

x’

2

+y’

2

+z’

2

=

(ct’)

2

x

2

+y

2

+z

2

=

(ct)

2

x’

2

+y’

2

+z’

2

=

(ct’)

2

Czy jest możliwe, by te
dwa równania:

były jednocześnie spełnione?!

Trudne pytanie:

I owszem. Tak będzie,jeśli
zmienne (x,y,z,t) powiązane
będą ze zmiennymi (x’,y’,z’,t’)
równaniami:

2

2

1

'

c

v

vt

x

x







2

2

2

1

'

c

v

x

c

v

t

t







y

y 

'

z

z 

'

Wzory
transformacyjne
Lorentza

Hendrik Antoon
Lorentz (1853-
1928) Leida,
Uniwersytet

Nagroda Nobla
wraz z
Zeemanem za
teoretyczne
przewidzenie
efektu Zeemana

2

2

1

'

c

v

vt

x

x







2

2

2

1

'

c

v

x

c

v

t

t







y

y 

'

z

z 

'

Z tymi współrzędnymi
nic ciekawego się nie
dzieje. Skoncentrujmy
się więc na
pozostałych.

Istotne pytania:

Jak mają się do siebie układy
współrzędnych (x,t) i (x’,t’)?

Czy wzory transformacyjne Lorentza mają
jakąś prostą interpretację geometryczną?

Jakie są ich konsekwencje fizyczne?

2

2

1

'

c

v

vt

x

x







2

2

2

1

'

c

v

x

c

v

t

t







x

Jednowymiarowy świat

Zdarzenie
A

x

A

Czas zdarzenia

t

A

0

x

t

MAPA

CZASOTRZESTRZENI

sporządzona przez

obserwatorów z układu

(x,t)

Zdarzenie
A

x

A

t

A

(x

A

,t

A

)

x
'

t'

MAPA

CZASOTRZESTRZENI

sporządzona przez

obserwatorów z układu

(x’,t’)

Zdarzenie
A

x'

A

t'

A

(x’

A

,t’

A

)

Jak mają się zapisy na mapie (x’,
t’) do zapisów na mapie (x, t)?

To proste, odpowiedzi na to
pytanie udzielają wzory
transformacyjne Lorentza:

2

2

1

'

c

v

vt

x

x

A

A

A







2

2

2

1

'

c

v

x

c

v

t

t

A

A

A







Hmm...

Spróbujmy inaczej. Zobaczmy, gdzie na mapie
(x,t) znajdują się osie x’ i t’.

Co to jest oś x’?

Oś x’ =

{

(x,t): t’= 0

}

=

{

(x,t):

}

=

=

{

(x,t): t-(v/c

2

)x = 0

}

=

{

(x,t): t = (v/c

2

)x

}

Co to jest oś t’?

Oś t’ =

{

(x,t): x’= 0

}

=

{

(x,t):

}

=

=

{

(x,t): x-vx = 0

}

=

{

(x,t): t = vx

}

0

1

2

2

2







c

v

x

c

v

t

0

1

2

2







c

v

vt

x

x
'

t'

t

x

x
'

t'

t

x

x

A

t

A

x'

A

t'

A

x=ct

Odczytanie wartości x

A

’ i t

A

’ będzie możliwe,

gdy dowiemy się, gdzie leżą punkty
wyznaczające jednostki x’ i t’.

Co to jest jednostka x’?

Jednostka x’ =

{

(x,t): x’=1, t’=0

}

= ...

...=

{

(x,t): ,

}

Jednostka t’ =

{

(x,t): x’= 0, t’=1

}

= ...

...=

{

(x,t): ,

}

2

2

1

1

c

v

x





2

2

1

1

c

v

t





2

2

1

c

v

v

x





2

2

2

1

c

v

c

v

t





x
'

t'

t

x

1

1

1

1

c=
1

2

1 t

x





2

1 x

t





Konsekwencje

transformacji Lorentza

Poruszające sie pręty

skracają się.

Sprawdźmy...

x
'

t'

t

x

1

1

1

1

c=
1

2

2

0

1

'

c

v

l

l





x
'

t'

t

x

1

1

1

1

c=
1

2

2

0

1

'

c

v

l

l





Konsekwencje

transformacji Lorentza

Poruszające się zegary

tykają rzadziej.

Sprawdźcie sami...

Konsekwencje

transformacji Lorentza

Prędkości nie dodają

się w prosty,

galileuszowski sposób.

A jak?

x

y

z

y'

z'

x'

v

(u

x

, u

y

,

u

z

)

2

2

1

'

c

v

vt

x

x







,

1

/

1

'

/

1

1

'

/

1

'

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

v

u

c

v

dt

dt

c

v

c

vu

dt

dt

c

v

x

c

v

t

t

x

x























y

y 

'

z

z 

'

t

u

z

t

u

y

t

u

x

z

y

x







z

y

x

u

dt

dz

u

dt

dy

u

dt

dx







2

2

2

2

2

2

2

1

/

1

'

'

'

1

/

1

'

'

'

1

'

'

'

c

vu

c

v

u

dt

dz

u

c

vu

c

v

u

dt

dy

u

c

vu

v

u

dt

dx

u

x

z

z

x

y

y

x

x

x

























Transformacja prędkości:

'

'

'

dt

dt

dt

dy

dt

dy



z

y

x

u

u

u

2

2

2

2

2

2

2

1

/

1

'

1

/

1

'

1

'

c

vu

c

v

u

u

c

vu

c

v

u

u

c

vu

v

u

u

x

z

z

x

y

y

x

x

x



















x

y

z

y'

z'

x'

v

c

Zobaczmy, ile wynosi prędkość
fotonu w poruszającym się
układzie odniesienia

c

c

c

c

v

c

c

v

c

c

vc

c

v

c

c

vc

v

c

c

vu

v

u

u

c

u

x

x

x

x

































2

2

2

2

2

2

1

)

(

1

1

'

]

[

prędkość w układzie
(x,y,z)

prędkość w układzie (x’,y’,z’)

Prędkość fotonu pozostaje
niezmienna.

Konsekwencje

transformacji Lorentza

Pęd dany jest innym

niż w mechanice

klasycznej

wyrażeniem.

2

2

1

c

u

mu

p





Pęd ciała o masie m
poruszającego się z prędkością u
:

Konsekwencje

transformacji Lorentza

Związek między siłą i

przyspieszeniem dany

jest różnym od

klasycznego

wyrażeniem.

Ciało o masie m porusza się z prędkością u.

Jego pęd dany jest wyrażeniem:

2

2

1

c

u

mu

p





Pęd ten zmienia się, jeśli na ciało działa siła :

a

c

u

m

dt

dp

F

2

3

2

2

1



















Konsekwencje

transformacji Lorentza

Inaczej też wygląda

wyrażenie na energię

kinetyczną.

Pod działaniem stałej siły F ciało o masie m
przyspiesza.

Pytanie:

Jaką pracę wykona siła F przyspieszając rozważane
ciało od stanu spoczynku do prędkości u?

Odpowiedź:

Praca ta, przemieniona w energię kinetyczną ciała
dana jest wyrażeniem:

2

2

2

2

0

1

mc

c

u

mc

Fds

E

u

s

k









