Równanie Poissona

dla  = 0 przyjmuje postać

i nazywa się równaniem

Laplace’a.

Klasę funkcji spełniających równanie Laplace’a nazywa się

funkcjami harmonicznymi.

Twierdzenie: Jeśli (x,y,z) spełnia równanie Laplace’a to średnia

wartość funkcji  na powierzchni dowolnej kuli równa się wartości

potencjału w środku tej kuli

Równanie Laplace’a

o













2



0

2









Sfera o promieniu r znajduje się w polu ładunku punktowego q.
Ładunek próbny q

o

rozmieszczamy równomiernie na powierzchni

kuli. Wykonana przy tym praca jest równa

q

śr

o

o

śr

o

r

q

q

q

W





4





średnia wartość
potencjału wytworzonego
przez ładunek q na
sferze

Praca wykonana przy przeniesieniu ładunku q z nieskończoności
w polu ładunku próbnego q

o

rozłożonego na powierzchni S jest

taka sama – i identyczna gdyby ładunek próbny umieszczony
był w środku kuli.

Potencjały od wielu źródeł dodają się do siebie, twierdzenie to
jest słuszne dla dowolnych źródeł leżących na zewnątrz
powierzchni S

Z tej własności potencjału wynika, że:

nie można skonstruować pola elektrostatycznego, które w próżni
utrzymywałoby ładunek w trwałej równowadze.

Załóżmy, że istnieje pole elektrostatyczne, w którym istnieje
punkt trwałej równowagi dodatnio naładowanej cząstki.

P

Wewnątrz kuli musi istnieć pole skierowane
do środka, aby punkt P wrócił do
pierwotnego położenia – jest to sprzeczne z
prawem Gaussa: wewnątrz obszaru nie ma
ujemnego źródła.

W pustym obszarze nie może istnieć pole skierowane tylko
do wewnątrz. Nie może również istnieć pole skierowane
tylko na zewnątrz.

Potencjał pola w położeniu trwałej równowagi naładowanej
cząstki musi być mniejszy lub większy niż potencjał w punktach
sąsiednich

+q

-q

0













ot

P

0













ot

P

Nie jest to możliwe dla funkcji, której średnia na powierzchni kuli
jest równa jej wartości w środku kuli.





















q

q

P

ot

W

ot

P

)

(

+q

1

+q

2

q

o

0

0







F

E





równowaga nietrwała

Własności elektryczne ciał zależne są od ruchliwości nośników
ładunku – elektronów, jonów.

Jak wygląda pole wewnątrz przewodnika po ustaleniu się
stacjonarnego rozkładu ładunków?

Rozkład stacjonarny wszystkie siły się równoważą
jeśli na nośniki ładunku działają siły niekulombowskie, to
oznacza, że w przewodniku istnieje pewne skończone pole
elektryczne znoszące działanie innych sił.

Jednorodny izotropowy przewodnik - pole

musi znikać

wewnątrz takiego przewodnika.

Przewodniki prądu w polu

elektrostatycznym

Elektrycznie obojętne,
nieprzewodzące ciało zawiera
unieruchomione ładunki dodatnie i
ujemne.
Pole elektryczne jest jednakowe
wewnątrz ciała i poza nim.

Ładunki zostały uwolnione i
zaczynają się poruszać.
Ruch ładunków będzie trwał
do osiągnięcia stanu
równowagi – nie przesuwają
się poza powierzchnię
przewodnika. Wewnątrz
wytwarza się pole
kompensujące pole
początkowe

Stan równowagi – pole
wewnątrz przewodnika musi
znikać – gdyby tak nie było
ładunki poruszałyby się nadal (F
= qE).

Potencjał może zmienić się
gwałtownie na powierzchni
przewodnika – skok potencjału –
na zewnątrz E  0.

const

E







0

Powierzchnia przewodnika powierzchnia ekwipotencjalna

Wewnątrz przewodnika pole , na powierzchni następuje
gwałtowny skok pola elektrycznego na powierzchni
znajdują się ładunki o gęstości powierzchniowej 

q

1

q

2

q

3



1



3



2

Układ przewodników umieszczonych w próżni

Z ekwipotencjalności powierzchni

dowolnego

przewodnika wynika, że

pole elektryczne

musi być prostopadłe do tej
powierzchni w dowolnym punkcie.



grad

E 





0



E



E



0





E

0

0

Q















n

A

E

A

d

E





Całkowity ładunek jest równy ładunkowi
powierzchniowemu

















A

A

n

A

A

d

E

dA

E

dA

Q

dA

dQ





0

0









E jest całkowitym polem układu, pochodzącym od

wszystkich

ładunków – bliskich i dalekich, których ładunek powierzchniowy
jest częścią. Rozkład ładunku powierzchniowego musi być taki,
aby spełniony był warunek

0







n

E















0

2

2







E

0

1

2







E

Odosobniona płaszczyzna naładowana ładunkiem o
gęstości powierzchniowej  - brak innych źródeł

Natężenie pola – ze względu na
symetrię wynosi z każdej strony
płaszczyzny

Zmiana składowej E

x

wynosi

0

2







E

0

0

0

2

1

2

2





































E

E

E

x

Jeśli występują dodatkowe
ładunki w układzie, to możemy
stwierdzić, że zmiana składowej
E

x

wynosi

natomiast zmiana składowej E

y















0







x

E

0



y

E

Odosobniona płaszczyzna naładowana ładunkiem o
gęstości powierzchniowej 

E

x

E

y















0







E

E=0

Jeśli ośrodek po jednej stronie
powierzchni jest przewodnikiem,
wówczas pole po drugiej stronie
jest prostopadłe do powierzchni i
wynosi

0







E

Pojemność elektryczna

+q

-q



1



2

d

S

Jeśli pole wewnątrz płyt jest
jednorodne to

dx

d

E

E



















d

E

d

Edx

d

2

1

0

2

1























Gęstość powierzchniowa ładunku na wewnętrznej powierzchni płyty

n

n

E

E

0

0













Całkowity ładunek na okładce

d

S

ES

S

q

2

1

0

0



















zaniedbano efekty brzegowe – przybliżona wartość ładunku

Pole kondensatora płaskiego

f

d

S

q

2

1

0











Dla płyt kołowych

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

f

1,286 1,167 1,094 1,042 1,023

d/R

Para płytek – kondensator. Dla ustalonej pary przewodników











2

1

2

1

0

2

1

0





























C

d

S

d

S

q

const

C - pojemność kondensatora

2

1









q

C

V

C

F

1

1

1 

Energia zmagazynowana w
kondensatorze

+q

-q



1



2

d

S

Ładunek +dq przenosimy z
ujemnej płytki na dodatnią –
zwiększamy jej ładunek do q+dq.
Wykonana przy tym praca





C

q

qdq

C

W

dq

C

q

dq

dW

k

q

k

2

1

2

0

2

1





















2

2

1

2

2

1

2











C

C

q

E

k

p

d

S

C

0





d

E

2

1









W kondensatorze płaskim





 

2

0

2

0

2

2

1

2

2

1

2

1

E

Sd

Ed

d

S

C

E

p

















V

E

E

p

2

2

0





gęstość energii

Ruch ładunku w polu elektrostatycznym

- - - - - -

+ + + + +

-

E



x

y

Elektron wpada do
jednorodnego pola
elektrycznego z prędkością

E

v







v

Równania ruchu elektronu

eE

ma

F

ma

F

y

y

x

x









0

2

2

1

0

t

m

eE

y

t

m

eE

v

m

eE

a

vt

x

v

v

a

y

y

x

x













2

2

2

1

v

x

m

eE

y 

równanie toru

- - - - - -

+ + + + +

Elektron umieszczamy w jednorodnym
polu elektrycznym.

-

Uzyska on prędkość skierowaną
przeciwnie do linii sił pola.

y

2

2

1

0

0

0

t

m

eE

y

t

m

eE

v

m

eE

a

x

v

a

y

y

x

x













Pole elektryczne

przyspiesza

ładunek !!!

Prąd elektryczny

E



Wszystkie atomy i cząsteczki w naszym otoczeniu są w
nieustannym ruchu. Ten ruch, bez względu na to, czy atomy są
naładowane czy nie jeszcze nie tworzy prądu elektrycznego.

Prąd pojawia się dopiero
wtedy, gdy w tym ruchu
chaotycznym zostanie
wyróżniony jakiś kierunek,
preferujący poruszanie się w
jakąś stronę. Najczęściej
wyróżnienie kierunku w
ruchu ładunków odbywa się
poprzez przyłożenie pola
elektrycznego.

+

-

Umownym kierunkiem prądu jest kierunek wyznaczony przez
ruch ładunków dodatnich (czyli kierunek zgodny z
kierunkiem pola elektrycznego).  

Rzeczywisty ruch ładunków elektrycznych:

metale

- nośnikami prądu są elektrony - kierunek ich ruchu jest

dokładnie przeciwny do umownego kierunku prądu

elektrolity

- nośnikami prądu mogą być jony (+ lub -). Jony te

poruszają się przeciwne strony, jednak prądy jakie są z nimi
związane dodają się, bo prąd jonów ujemnych jest traktowany
jako przeciwny do ich ruchu;

półprzewodniki

- nośnikami mogą być zarówno ujemne

elektrony, jak i dodatnie dziury – dziury tworzą prąd zgodny z
ich kierunkiem ruchu, prąd elektronowy jest przeciwny do
ruchu ładunków go tworzących;

Niech wszystkie cząstki poruszają się z taką samą prędkością i
przenoszą taki sam ładunek. Ile cząstek przejdzie przez ramkę o
polu a w czasie t?

Cząstki, które mają przejść przez
ramkę po czasie t znajdują się w

graniastosłupie o wymiarach

- pole podstawy

a

-

długość krawędzi

ut

Objętość graniastosłupa =
autcos

t

u

a 







Średnia liczba cząstek w tej objętości

t

u

a

n









koncentracja

Średnia prędkość przepływu ładunku przez ramkę – natężenie prądu

u

a

qn

t

t

u

a

n

q

I





















)

(

W przypadku różnych nośników poruszających się z różnymi
prędkościami

















i

i

i

i

u

n

q

a

u

a

n

q

u

a

n

q

I















2

2

2

1

1

1





i

i

i

i

u

n

q

j





gęstość prądu

a natężenie prądu płynącego przez przekrój a

a

j

I









Średnia prędkość nośników ładunku, np. elektronów





i

i

i

e

u

n

N

u





1

u

eN

u

n

q

j

e

i

i

i

i















Gęstość prądu zależy od średniej prędkości nośników prądu.
Jeśli nie ma wyróżnionego kierunku ruchu, wówczas

0



u



Prądy stacjonarne







S

a

d

j

I





Natężenie prądu płynącego przez długi przewodnik o przekroju S

Prądy stacjonarne, jeśli

dla dowolnego punktu w przestrzeni.

const

t

j



)

(



t

j

div























V

S

dV

dt

d

a

d

j







Niemożliwe jest odpływanie ładunków z jakiegoś miejsca bez
zmniejszania wartości ładunku znajdującego się w tym miejscu

prawo zachowania ładunku

Prawo Ohma

-

A

E



l

1



2



Prawo Ohma

Z doświadczenia wynika, że natężenie
prądu płynącego w przewodniku jest
proporcjonalne do przyłożonego
napięcia

jeśli temperatura przewodnika jest
stała.

U

I 

U

R

I

1



oporność przewodnika

1

2









U

A

l

R





oporność właściwa

0

2

4

2

4

6

8

10

napięcie

n

a

tę

że

n

ie

p

rą

d

u

A

j

I





U

R

I

1



A

l

R





l

U

E 

E

E

j

El

l

A

jA



















1

prawo Ohma w
postaci polowej
(różniczkowej)





1



przewodność właściwa