Sygnały – pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.

Informacja przekazywana jest za pośrednictwem sygnałów, które przenoszą energię.

Sygnał jest to funkcja czasowa dowolnej wielkości o charakterze energetycznym, w
którym można wyróżnić dwa elementy: nośnik i parametr informacyjny.

W zależności od rodzaju nośnika wyróżnia się sygnały elektryczne, mechaniczne,
akustyczne, magnetyczne, elektromagnetyczne ( w tym świetlne), cieplne.

Parametrem informacyjnym może być amplituda, częstotliwość, faza, szerokość
impulsu, struktura sekwencji impulsu.

Sygnały dzieli się na:

- deterministyczne i losowe,

-ciągłe i dyskretne

Sygnałem deterministycznym jest sygnał, którego wartość w każdej chwili jest
jednoznacznie określona za pomocą ścisłych zależności matematycznych (na podstawie
fundamentalnych praw lub wielu obserwacji).

Sygnały takie możemy podzielić na

- okresowe ( f(t)=f(t+T) ),

- nieokresowe.

Wśród sygnałów okresowych bardzo ważną rolę
odgrywają sygnały harmoniczne, które
możemy opisać zależnością

x(t)=A·cos(ω·t+φ

0

)

gdzie

A-amplituda sygnału,
ω=2π·f – pulsacja (f=1/T)
f –częstotliwość, T –okres

Również sygnały okresowe odkształcone
(poliharmonicze) można korzystając z szeregu
Fouriera przedstawić jako sumę sygnałów
harmonicznych

































T

n

T

n

n

n

n

n

n

T

n

n

n

dt

t

n

t

x

T

B

dt

t

n

t

x

T

A

B

A

X

B

A

tg

arc

dt

t

x

T

X

t

n

X

X

t

x

0

1

1

0

1

1

2

2

0

0

1

0

1

0

)

sin(

)

(

2

)

cos(

)

(

2

)

(

1

)

cos(

)

(

















Skok jednostkowy (a), odpowiedź idealna (b) i rzeczywista (c)
układu na skok jednostkowy

Sygnały losowe są to takie, które opisujemy za pomocą procesu
stochastycznego – każda funkcja traktowana jest jako jedna z wielu
możliwych realizacji procesu stochastycznego.

Sygnały losowe dzielimy na

- sygnały stacjonarne, których charakterystyki statystyczne (wartość
średnia, wartość średnia kwadratowa, funkcja korelacji) nie są funkcjami
czasu ( nie zależą od wyboru chwili początkowej)

- sygnały niestacjonarne

Sygnały stacjonarne dzielimy na ergodyczne i nieergodyczne.

Ergodycznym jest proces, którego dowolna statystyczna charakterystyka,
otrzymana ze zbioru realizacji w dowolnej chwili jest równa podobnej
charakterystyce otrzymanej z jednej realizacji procesu obliczonej jako
średnia w dostatecznie długim czasie.

Wszystkie rzeczywiste sygnały są sygnałami losowymi, a jedynie
uproszczona analiza pozwala zakładać ich deterministyczny charakter.

Przykładem sygnałów losowych są zakłócenia, szumy (np. szum
kwantyzacji).

Sygnał o zmieniającej się
amplitudzie

Sygnał o zmieniającej się
częstotliwości

Fala prostokątna i impuls
prostokątny

Sposób

definiowania

wielkości

charakteryzujących

impulsy

- amplitudę impulsu określa się, jako różnicę między
wartością maksymalną i minimalną (bez

uwzględniania

przerostów).
Oprócz amplitudy interesującym parametrem jest czas
przejścia od dolnej do górnej wartości amplitudy albo
odwrotnie, czyli tzw

.

- czas narastania i czas opadania zboczy impulsu.
Punkty charakterystyczne, między którymi powinny być
mierzone owe czasy, określane są na poziomie 10 % i 90
% wartości amplitudy impulsu.

- szerokość impulsu zgodnie z przyjętą definicją mierzy
się na poziomie 50 % wartości amplitudy.

-- zwis grzbietu impulsu jest stosunkiem zmiany
napięcia wyjściowego A w czasie trwania impulsu,

odniesionej do amplitudy A, wyrażonym w procentach.
Wartość zwisu jest zależna od ograniczeń charakterystyki
częstotliwościowej od strony małych częstotliwości,
powodowanych

przez

stałe

czasowe

układów

sprzęgających.

- przerosty – zafalowania (oscylacje) na grzbiecie
impulsu,

określane

w

%

całkowitej

amplitudy;

powodowane są ograniczonym pasmem charakterystyki
częstotliwościowej w zakresie wysokiej częstotliwości.

amplituda

impulsu

%

100







A

A

zwis

A

A

czas trwania oscylacji
pasożytniczych

szerokość
impulsu

czas

narastania

opadania

przeros
t

100%

90
%

50
%

10%

linia odniesienia

Parametry sygnałów

Wartość maksymalna sygnału I

m

jest to największa wartość chwilowa jaką

sygnał osiąga w okresie zmienności.

Wartość średnia wielkości charakteryzującej prąd okresowy jest to wartość tej
wielkości dla takiego umyślonego prądu stałego, który w czasie jednego okresu
przenosi taki sam ładunek jak dany prąd okresowy.

Ponieważ dla sygnałów harmonicznych średnia za okres równa jest zero,
podaje się w tym przypadku wartość średnią obliczoną dla połowy okresu i wynosi
ona I

śr

=2/π·I

m

Wartość skuteczna natężenia prądu okresowego jest to natężenie takiego
umyślonego prądu stałego, który, przepływając przez rezystor o nie zmieniającej
się rezystancji R, wydzieliłby na nim, w czasie jednego okresu T, lub jego
wielokrotności, taką samą ilość energii cieplnej, jaką, w tym samym czasie,
wydziela dany prąd okresowy.

Dla przebiegów harmonicznych I

sk

=I

m

/√2=0,707X

m

Dzieląc wartość maksymalną (amplitudę) przebiegu przez jego wartość skuteczną
otrzymuje się pewną wartość, której można użyć do obliczania tej wartości
maksymalnej na podstawie znajomości wartości skutecznej. Wartość ta to
współczynnik szczytu:





T

śr

dt

t

i

T

I

0

)

(

1





T

sk

dt

t

i

T

I

0

2

)]

(

[

1





























T

T

dt

i

T

R

dt

i

R

T

P

R

i

p

0

2

0

2

2

1

1

Moc czynna, moc pozorna,
współczynnik mocy

Wartości chwilowe mocy, z jaką energia jest pobierana lub
wydawana przez dwójnik, równe są iloczynowi wartości chwilowych
natężenia prądu płynącego w dwójniku i napięcia pola elektrycznego
wymuszającego ten prąd:

p=u*i

Przebieg mocy jest więc zmienny w czasie. Jeżeli przebiegi natężenia
prądu i napięcia są okresowe, to również przebieg mocy jest
okresowy. Można zatem wyznaczyć jego wartość średnią. Wartość ta
nosi nazwę mocy czynnej.

Moc czynną można także definiować jako taką, niezmienną w czasie,
moc, która w ciągu jednego okresu spowoduje przepływ energii
identyczny
z wypadkowym przepływem energii rozważanego przebiegu
okresowego.
Jednostką mocy czynnej jest wat (1W ).
Iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu danego dwójnika
elektrycznego nosi nazwę mocy pozornej. Oznacza się ją
symbolem „ S ”:

S= U*I

Stosunek mocy czynnej danego dwójnika do jego mocy pozornej nosi
nazwę
współczynnika mocy:

Prąd sinusoidalnie zmienny

Na zaciskach wykonanej z materiału przewodzącego ramki,
umieszczonej w polu magnetycznym i wirującej z prędkością kątową
„ω” (rys. a), skutkiem zjawiska indukcji elektromagnetycznej,
występuje pole elektryczne o przebiegu czasowym napięcia pokazanym
na rys. b. Przebieg ten opisuje wyrażenie matematyczne:

Pulsację  obliczamy z wzoru

Kąt Ψ

u

=

u

* nazywany początkowym kątem

fazowym.

Przebiegi sinusoidalne mające taką samą pulsację (np. przebiegi
natężenia

prądu

i wymuszającego ten prąd napięcia) noszą nazwę przebiegów
synchronicznych. Dla przebiegów synchronicznych można wyznaczać
przesunięcie fazowe jednego przebiegu względem drugiego. Na ogół
oznacza się je małą grecką literą „ϕ”. W przypadku przebiegów z rys.
powyżej wynosi ono ϕ= Ψ

U

− Ψ

I

Mówimy, że napięcie wyprzedza prąd (natężenie) o kąt „ϕ”, albo, że
prąd opóźnia się o kąt „ϕ” w stosunku do napięcia.

Wartość skuteczna prądu
sinusoidalnego

Wskaz wirujący wartości maksymalnej jest rodzajem wektora, który
odwzorowuje przebieg czasowy wielkości sinusoidalnie zmiennej. Na rysunku
pokazano przykładowo wskaz wartości maksymalnej natężenia prądu. Ma on długość
równą amplitudzie odwzorowywanego przebiegu, umieszczony jest w początku
układu współrzędnych i obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek
zegara z prędkością kątową „ω”, równą pulsacji przebiegu.
Rzutując koniec takiego wektora na oś rzędnych („oś igreków”), można na niej
odczytywać wartości chwilowe natężenia prądu dla chwil „t”, odpowiadających
kątom

„ωt+

Ψ

I

”.

W

chwili

„t=0”, a więc w chwili rozpoczęcia pomiaru czasu, wskaz nachylony jest w stosunku
do osi odciętych („osi iksów”) o kąt „Ψ

I

”. Na tzw. wykresach wskazowych,

wykorzystywanych

jako

rodzaj

graficznego

odwzorowania

przebiegów

sinusoidalnych, rysowany jest on właśnie w tym położeniu.

Metoda wskazów

Metoda wskazów odwołuje się do koła trygonometrycznego i do pojęcia

wskazu

wirującego.

Metoda symboliczna

Metoda wykresów wskazowych ułatwia obliczanie przebiegów sinusoidalnych.
Zamiast dodawać funkcje czasu, dodaje się do siebie (geometrycznie) reprezentujące
je wskazy. Najprościej robi się to dodając do siebie rzuty wskazów na osie układu
współrzędnych zwane ich składowymi ortogonalnymi.
Na dalsze uproszczenie tych obliczeń pozwala zastosowanie liczb zespolonych.
Reprezentacją liczby zespolonej Z= |Z|e

jα

na płaszczyźnie liczb zespolonych jest

wektor o długości „Z” i o początku w początku układu współrzędnych (tworzą go oś
liczb rzeczywistych Re - realis i oś liczb urojonych Im - imaginaris), nachylony
względem osi liczb rzeczywistych pod kątem równym „α ”. Dodawanie (algebraiczne)
liczb zespolonych to dodawanie (geometryczne) reprezentujących je wektorów.
Wszystko to idealnie pasuje do wskazów odwzorowujących przebiegi sinusoidalne.
Można je zatem utożsamiać z wektorami reprezentującymi liczby zespolone i
nadawać im wartości zespolone.
Metoda, w której wskazy zapisuje się używając liczb zespolonych nosi nazwę metody
symbolicznej. Stosując metodę symboliczną wskazowi wartości skutecznej
odwzorowującemu przebieg w(t) (gdzie w(t) to przebieg czasowy napięcia, natężenia,
sem itd.), o długości W=W

max

/

2 i o kącie nachylenia względem osi odciętych

(początkowym kącie fazowym przebiegu) równym „Ψ” przyporządkowuje się liczbę
zespoloną We

jΨ

o module W i argumencie Ψ (reprezentuje ona wskaz, „symbolizuje”

go - stąd nazwa metody). Nosi ona nazwę wartości skutecznej zespolonej. W
efekcie takiego przyporządkowania, geometryczne dodawanie wskazów wartości
skutecznych zostaje zastąpione arytmetycznym dodawaniem wartości skutecznych
zespolonych.

Liczby zespolone są wyrażeniami
postaci a+ib

)

(

)

(

)

(

)

(

bc

ad

i

bd

ac

id

c

ib

a















Liczba sprzężona z*

Wzór Eulera

Liczba zespolona w postaci trygonometrycznej i
wykładniczej

Pierwiast
ki

Twierdzenie De Moivre’a

Odbiornik liniowy, pasywny - impedancja, admitancja, prawo
Ohma

Odbiornik liniowy, pasywny jest to taki odbiornik, który nie zawiera ani
elementów o
charakterystykach nieliniowych, ani elementów źródłowych. Jeżeli do
zacisków takiego odbiornika przyłożyć napięcie sinusoidalne: u(t)=U2

sin(t+

U

) to również płynący pod wpływem tego napięcia prąd będzie

prądem okresowym, sinusoidalnym, o takiej samej pulsacji (a więc
synchroniczny z napięciem): i(t)=I2 sin(t+

I

)

gdzie:

Z=U/I

to impedancja dwójnika

[Z]=1Ω

Stosuje się też pojęcie admitancji

Y=1/Z

[Y]=1S

Rezystor w obwodzie prądu
zmiennego

Impedancja, admitancja i kąt przesunięcia fazowego odbiornika złożonego z
idealnego
rezystora wynoszą:

Moc czynna rezystora jest równa

:

P

R

=U

R

I=R*I

2

Idealna cewka indukcyjna

Przepływ prądu elektrycznego powoduje powstawanie pola
magnetycznego. Wartości chwilowe wielkości fizycznych opisujących
właściwości tego pola (natężenie pola, indukcja magnetyczna,
strumień magnetyczny) są zależne od wartości chwilowych
natężenia prądu.
Wielkość fizyczna definiowana jako współczynnik proporcjonalności
pomiędzy strumieniem sprzężonym wytwarzanym przez prąd
płynący w układzie przewodników (przykładowo w cewce) i
natężeniem tego prądu nosi nazwę
indukcyjności (tego układu przewodników):

Zmiana wartości strumienia magnetycznego sprzężonego z cewką powoduje
indukowanie się w niej siły elektromotorycznej o wartości proporcjonalnej do
szybkości tej zmiany. Zjawisko to nazywane jest zjawiskiem indukcji
elektromagnetycznej.
Zgodnie z prawem Faraday’a

wielkość siły elektromotorycznej indukującej się w

przewodniku skutkiem zmian sprzężonego z nim pola magnetycznego określa
zależność:

Jeżeli prąd płynący w induktorze jest sinusoidalnie zmienny
i(t)=I2sin(t+

I

) to sinusoidalnie zmienne jest również napięcie

induktora u(t)=U2sin(t+

U

) .

Napięcie to daje się wyliczyć jako:

- reaktancja indukcyjna:

- susceptancja indukcyjna:

Prawo Ohma dla idealnego induktora
analizowanego z zastosowaniem metody
symbolicznej

Cewka indukcyjna jest elementem zachowawczym - energia magazynowana
jest w jej polu magnetycznym i może być z powrotem zamieniona na energię
elektryczną.

Kondensator idealny

Kondensator to taki element obwodu elektrycznego, w którym
zachodzi
zjawisko gromadzenia ładunków i powstawania pola elektrycznego.
Równanie opisujące zależność napięcia kondensatora od natężenia
dopływającego do kondensatora prądu:

Gdy napięcie gałęzi z kondensatorem idealnym jest sinusoidalnie
zmienne u(t)=U2sin(t+

U

) to sinusoidalnie zmienny jest również

prąd i(t)=I2sin(t+

I

).

Prąd ten daje się wyliczyć jako:

- reaktancja
pojemnościowa:

- susceptancja
pojemnościowa:

Prawo Ohma dla kondensatora

Energia zgromadzona w polu elektrycznym
kondensatora

Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL

Cewka rzeczywista reprezentuje sobą oprócz indukcyjności również
rezystancję związaną z rezystancją uzwojeń.

Napięcie na cewce jest równe sumie spadków napięć na rezystancji i
indukcyjności

zaś impedancja zespolona wyraża się
wzorem

gdzi
e

Trójkąt mocy cewki
rzeczywistej

Gałąź szeregowa
RLC

W każdej chwili czasowej napięcie gałęzi RLC jest równe sumie
napięć na elementach, z których się składa jej schemat
zastępczy:

u(t)=u

R

(t)+u

L

(t)+u

C

(t) a postaci zespolonej

Impedancja gałęzi szeregowej RLC wynosi:

a kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem ma
wartość:

Połączenie równoległe
RLC

Istnieje taka częstość ω

r

przy której:

Jest to rezonans prądów lub
równoległy.
Częstość rezonansowa: