MECHANIKA 2

Wykład Nr 10

MOMENT

BEZWŁADNOŚCI

Definicja momentu bezwładności

Momentem

bezwładności

punktu

materialnego względem płaszczyzny, osi
lub bieguna nazywamy iloczyn masy
punktu przez kwadrat odległości tego
punktu od danej płaszczyzny, osi lub
bieguna:

 

2

m

kg



I

Jednostką
jest

Momentem

bezwładności

układu

punktów

materialnych względem płaszczyzny, osi lub
bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności
wszystkich punktów materialnych względem tej
płaszczyzny, osi lub bieguna.

Moment bezwładności układu

punktów

2

1

i

n

i

i

r

m

I







Moment bezwładności układu

ciągłego

Momentem bezwładności układu
ciągłego (linii, powierzchni lub
bryły

materialnej)

względem

przyjętej płaszczyzny, osi lub
bieguna nazywamy całkę

rozciągniętą na całą masę
układu.

Promień bezwładności

Po

przekształceniu

wzoru

otrzymamy wzór na promień bezwładności

Masa zredukowana na

odległość r

Masę m

red

, którą należy skupić w

odległości r od danej płaszczyzny, osi
lub

bieguna,

aby

jej

moment

bezwładności był równy I, nazywamy
masą

zredukowaną

na

daną

odległość r.

czyli

Geometryczny moment

bezwładności

Geometryczny

moment

bezwładności

I

(dla

ciał

jednorodnych)

jest

ilorazem

masowego momentu bezwładności
przez gęstość:

Moment bezwładności linii

materialnej

Po podstawieniu do równania

Otrzymamy wzór na moment bezwładności
linii materialnej

Masy elementarnej w
postaci:

Gdzie: 

l

– jest gęstością liniową linii

materialnej, kg/m

Geometryczny moment

bezwładności linii materialnej

Przykład

Wyznacz moment bezwładności
cienkiego jednorodnego pręta o masie
m i długości l względem osi Ox i osi
centralnej Cx

c

.

Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0)
otrzymujemy

Moment bezwładności względem osi
centralnej Cx

c

.

l

m

l





Moment powierzchni

materialnej

Po podstawieniu do
wzoru

Masy elementarnej w postaci:

Otrzymamy wzór na moment bezwładności powierzchni materialnej

Gdzie: 

s

– jest gęstością powierzchni

materialnej, kg/m

2

Geometryczny moment powierzchni materialnej

Jednostka J

S

– m

4

Moment bryły materialnej

Po podstawieniu do wzoru

Masy elementarnej w postaci:

Otrzymamy wzór na moment bezwładności bryły materialnej

Gdzie: 

s

– jest gęstością bryły materialnej, kg/m

3

Moment bezwładności względem

płaszczyzny

W układzie współrzędnych dany jest
układ punktów materialnych o masach
. Współrzędne masy oznaczymy
.
Momenty bezwładności względem
płaszczyzn układu współrzędnych określają
wzory:

z

y

x

,

,

n

m

m

m

,

,

,

2

1



i

m

i

i

i

z

y

x

,

,

Moment bezwładności względem osi

Moment bezwładności względem bieguna

Związki pomiędzy momentami

Suma

momentów

bezwładności

względem

dwóch

płaszczyzn

wzajemnie prostopadłych
jest równa momentowi
bezwładności

względem

osi pokrywającej się z
krawędzią przecięcia się
tych płaszczyzn.

Momenty
bezwładności
względem
płaszczyzn można
wyrazić

przez

momenty osiowe:

Biegunowy moment bezwładności można wyrazić
przez momenty osiowe

Biegunowy moment bezwładności jest równy
połowie sumy osiowych momentów bezwładności
względem trzech prostopadłych osi przechodzących
przez ten biegun.

Związki pomiędzy momentami

Biegunowy moment bezwładności możemy również wyrazić
przez momenty względem płaszczyzn

Moment biegunowy jest sumą momentów
względem trzech prostopadłych płaszczyzn
przechodzących przez dany biegun.

PRZYKŁAD
1

Wyznaczyć biegunowy moment bezwładności przekroju
kołowego.

r

dr

R

Elementarne pole dA pierścienia o grubości d



jest

równe

Po pominięciu (d)

2

- wielkości małej wyższego

rzędu

Po podstawieniu otrzymamy:

Aby objąć całkowaniem cały obszar A, zmienna r
powinna przybierać wartości od 0 do R:

Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego
względem jego środka wynosi:

lu
b

PRZYKŁAD 2

Obliczyć geometryczny
moment bezwładności
prostokąta o wym. b i h
względem osi x.

Lp.

Przekrój

Moment

bezwładności

Wskaźnik

wytrzymałości

Względem środka (osiowy)

1.

2.

Względem osi zaznaczonej na rysunku

3.

4.

5.

32

2

4

4

0

D

R

J













4

4

0

32

d

D

J







16

2

3

3

0

D

R

W

























D

d

D

W

4

4

0

16



64

4

4

4

D

R

J













4

4

64

d

D

J







12

3

bh

J 

6

2

bh

W 

















D

d

D

W

4

4

32



32

4

3

3

D

R

W









MOMENTY DEWIACJI

Momentem dewiacji punktu materialnego
względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych
nazywamy

iloczyn

masy

punktu

przez

odległości od danych płaszczyzn:

Momenty zboczenia mogą być dodatnie,
ujemne i, w szczególności, równe zeru.

MOMENTY DEWIACJI

Momentem

dewiacji

układu

punktów

materialnych względem dwóch wzajemnie
prostopadłych płaszczyzn a i b nazywamy
sumę momentów dewiacji poszczególnych
punktów

materialnych

względem

tych

płaszczyzn.

Dla

układu

ciągłego

rozciągnięta, na całą masę.

MOMENTY DEWIACJI

W przestrzennym układzie współrzędnych układ
punktów materialnych ma trzy momenty
dewiacji:

W płaskim układzie współrzędnych układ
materialny ma jeden moment dewiacji

Geometryczny moment dewiacji jest
równy ilorazowi masowego momentu
dewiacji przez gęstość bryły.

GEOMETRYCZNY MOMENT DEWIACJI

Transformacja równoległa momentów

bezwładności

Weźmy

pod

uwagę

układ

punktów

materialnych i dwie równoległe osie l, s.

Moment
bezwładności
względem osi l

a względem osi s

Pomiędzy odległościami i zachodzi zależność

i

r

i

r

a

Po podstawieniu otrzymujemy

czyli

Założymy, że oś s przechodzi przez środek
ciężkości układu materialnego, wtedy moment
statyczny , jest równy zero i wzór
przybiera postać:

0





i

i

x

m

Transformacja równoległa momentów

bezwładności

Moment bezwładności względem dowolnej
osi jest równy momentowi względem osi
równoległej przechodzącej przez środek
ciężkości powiększonemu o iloczyn masy
całkowitej

układu

przez

kwadrat

odległości obu osi.

Iloczyn jest zawsze dodatni, stąd wniosek,
że moment bezwładności względem prostej
przechodzącej przez środek ciężkości układu
jest najmniejszym ze wszystkich momentów
względem prostych do niej równoległych.

2

ma

Transformacja równoległa momentów

bezwładności

PRZYKŁAD

Geometryczny moment
bezwładności prostokąta
względem poziomej osi x
wynosi

Obliczyć moment bezwładności względem
podstawy.

x

Przykład 1
Wyprowadź wzór na
moment bezwładności
półkola względem osi
centralnej.

R o z w i ą z a n i e:
Moment bezwładności
półkola względem osi z
jest równy połowie
momentu bezwładności
całego koła

Stosując wzór Steinera, mamy

Wyznaczymy moment dewiacji względem układu
współrzędnych

z początkiem

umieszczony w środku ciężkości S.

z

y

x







,

,

Transformacja równoległa momentów

dewiacji

Współrzędne dowolnej
masy w układzie
będą równe

i

m

z

y

x ,

,

s

i

i

x

x

x







s

i

i

y

y

y







s

i

i

z

z

z







Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn (np.
płaszczyzn i ) będzie równy

zy

xz

Transformacja równoległa momentów

dewiacji

Ale

Po zapisaniu analogicznych związków na i
otrzymamy:

yz

D

zx

D

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

Dane: oraz i

n

m

m

m

,

,

,

2

1



z

y

x

I

I

I

,

,

xy

D

yz

D

zx

D

Należy
wyznaczyć
moment
bezwładności
względem osi l .

Odległość r

i

masy m

i

od

osi l określona jest
równaniem



i

x

i

,y

i

,z

i

)

lub

Rzut promienia na oś l jest równy

i



Uwzględniając, że

gdzie

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

dochodzimy do równania

Grupując względem cosinusów otrzymamy

Po podstawieniu

do

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

Mnożymy powyższe równanie przez m

i

, a

otrzymane iloczyny sumujemy. Uwzględniając,
że

oraz

otrzymujemy ostatecznie

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności

W szczególności dla układu płaskiego
uwzględniając, że powyższe
równanie przyjmuje postać:













90

Transformacja obrotowa osiowych momentów

bezwładności