Falowe właściwości cząstek

Fizyk francuski Louis de Broglie sformułował w 1924 r. hipotezę:

Jeśli światło, które traktujemy jako falę wykazuje cechy korpuskularne
(ma naturę dualną) to również cząstki (np. elektrony) powinny
wykazywać właściwości falowe. Zatem ruch cząstki możną opisać w
języku falowym.
Fale odpowiadające cząstkom są to tzw. fale materii (fale de
Broglie’a).

W 1929 r. de Broglie otrzymał nagrodę Nobla.

Louis Victor de Broglie

(1892 – 1987)

Elektron przyśpieszony w polu elektrycznym przy napięciu U uzyskuje energię kinetyczną

2

2

el

mV

eU

=

, stad

2

el

eU

V

m

=

Zatem

2

el

h

eU

m

m

l =

;

Jeśli U = 100 V to

1,2A

el

l =

o

Hipoteza fal materii

f

f

f

h

h

p

h

p

e

n

l

l

=

=

=

cz

cz

cz

cz

h

p

h

mV

l

l

=

=

foton

cząstka

wnioskują

c

z analogi

Kwantowanie orbit zgodnie z hipoteza de Broglie’a



el

– długość fali de Broglie’a związanej z elektronem

Otrzymujemy warunek kwantowy Bohra

Warunek kwantowy Bohra zawiera treść falową:

na obwodzie bohrowskiej orbity mieścić się musi całkowita liczba
długości fali związanej z elektronem.

 
 
 
 

mV

h

el





el

n

r







2

mV

h

n

r 



2



2

h

n

mVr



n

mVr

Najprostszym sposobem pogodzenia obrazu korpuskularnego z
falowym jest przyjęcie interpretacji statystycznej:

natężenie fali związanej z cząstką znajdującą się w jakimś
punkcie oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki
w tym punkcie.

Fale de Broglie’a nazywamy falami prawdopodobieństwa.

P – w tym punkcie jest maksymalne
prawdopodobieństwo dotarcia elektronu

P

2

– w tym punkcie prawdopodobieństwo

dotarcia elektronu jest równe zero

Odpowiednikiem doświadczenia Younga byłoby, w
przypadku fal materii, następujące doświadczenie:

Rysunek przedstawia formowanie się obrazu

interferencyjnego w doświadczeniu A. Lorii.

Na ekran kierował on strumień kilku

elektronów na sekundę.

Po dostatecznie długim czasie uwidacznia się

interferencyjna struktura obrazu.

Rząd wielkości

el jest taki, jak długość fali promieniowania X, zatem falowe

właściwości elektronów można doświadczanie zbadać tak samo, jak zbadano

falową naturę promieniowania X.

Należy wiązkę elektronów skierować na kryształ. Doświadczenie taki

przeprowadzili Clinton Davisson i Lester Germer (fizycy amerykańscy) i

niezależnie fizyk angielski George Thomson oraz fizyk polski Szczepan

Szczeniowski.

Doświadczenie Davissona-Germera (1927 r.)

o

2 sin

12,25

[A ] *

el

el

d

n

a

l

l

j

=

=

D

Otrzymana z równania Bragga (1) długość fali
okazała się równa długości fali obliczonej ze
wzoru (2).

2

1

Fala płaska de Broglie’a nie nadaje się do opisu ruchu cząstki, bo nie
jest zlokalizowana przestrzennie. Taką lokalizację przestrzenną
posiada paczka falowa.

E. Schrödinger wprowadził założenie, że cząstkom można przypisać
fale ograniczone w przestrzeni (paczki falowe). Paczkę falową można
złożyć z widma ciągłego fal, w pewnym przedziale częstości.

( , )

( , )

n

n

x t

x t

y

y

=

�

Erwin Schrödinger

(1887 – 1961)

W 1933 roku został uhonorowany wraz z
Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki za
"odkrycie nowych, płodnych aspektów teorii
atomów i ich zastosowanie".

Superpozycja dwóch

fal harmonicznych o

mało różniących się

częstotliwościach

(dudnienia).

Superpozycja n fal

harmonicznych

Paczka falowa

Prędkość grupowa ma

sens

fizyczny

prędkości

ruchu

cząstki.

Erwin Schrödinger korzystając z analogii klasycznych, zapisał
równanie, pozwalające znaleźć funkcję falową

 opisującą cząstkę w

określonym stanie oraz energię



cząstki w tym stanie.

2

2

(

)

0

2

cz

U

m

y

e

y

� + -

=

h

równanie Schrödingera

gdzie:



- energia całkowita cząstki

U – energia potencjalna

2

2

2

2

2

2

2

x

y

z

y

y

y

y

�

�

�

� =

+

+

�

�

�

Rozumowanie prowadzące do równania Schrödingera

Równanie fali rozchodzącej się w kierunku osi x zapisujemy:

( , )

cos[2 (

)]

t

x

x t

A

T

y

p

l

=

-

Przyjmując t jako parametr obliczmy pochodną cząstkową

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin[2 (

)]

4

cos[2 (

)]

4

t

x

A

x

T

t

x

A

x

T

A

x

y

p

p

l

l

y

p

p

l

l

y

p

y

l

�

=

-

�

�

=-

-

�

�

=-

�

Stąd

2

2

2

2

4

x

l

y

y

p

�

=-

�

Dla cząstki energia mechaniczna

2

2

p

U

m

e =

+

gdzie

h

p

l

=

(ze wzoru na długość fali de Broglie’a)

Zatem:

2

2

2

2

/

2

*

2

h

U

m

h

U

m

e

y

l

ey

y

y

l

=

+

�

=

+

2

2

2

2

4

x

l

y

y

p

�

=-

�

ale

energia
kinetyczna

energia
potencjalna

Wstawiamy do wzoru

*

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(

)

2

4

(

)

0

2

h

U

m

x

U

m x

l

y

y

ey

l

p

y

e

y

�

-

+

=

�

�

+ -

=

�

h

Równanie opisuje dualną naturę cząstek:

m – masa, jest atrybutem cząstki materialnej
 – funkcja falowa

równanie Schrödingera

Max Born zaproponował związanie amplitudy fali de Broglie’a w
każdym punkcie przestrzeni z prawdopodobieństwem znalezienia
cząstki w otoczeniu tego punktu.

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dV
otaczającym punkt jest równe kwadratowi modułu funkcji falowej
opisującej cząstkę pomnożonemu przez ten element objętości:

2

dV

y

gdzie:

 - funkcja falowa  (x,y,z,t)

2

2

*

*

A

y

y y

=

=

Kwadrat modułu amplitudy fali de Broglie’a w danym punkcie
jest miarą prawdopodobieństwa znalezienia się cząstki w tym
punkcie.

2

( , , )

x y z

y

gęstość prawdopodobieństwa
znalezienia cząstki w punkcie o
współrzędnych (x,y,z)

2

( , , )

x y z dV

y

prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w
obszarze dV

2

( , , )

1

x y z dV

y

+�

- �

=

�

�

�

pewność znalezienia cząstki

Max BORN

(1882 – 1970)

Urodził się we Wrocławiu

Jego wnuczką jest piosenkarka Olivia Newton-John,
znana z filmu GREASE (z Johnem Travoltą)

W 1954 roku otrzymał Nagrodę Nobla

Zasada nieoznaczoności Wernera Heisenberga

Zasada nieoznaczoności Heisenberga jest
konsekwencją falowego opisu ruchu mikrocząstek,
z wykorzystaniem pojęcia paczki falowej.

Z teorii ruchu falowego wynika, że rozciągłość x

pewnego ciągu fal jest związana z faktem, iż musi on
zawierać fale o liczbach falowych z przedziału Δk

2

k

p

l

=

Wykazano, że miedzy x i k istnieje związek:

x

.

k  1

Werner

Heisenberg

(1901-1976)

Nagroda Nobla w
1932 r. za
fundamentalny
wkład w stworzenie
mechaniki
kwantowej

Pracował dla Hitlera

nad projektem

bomby atomowej

x

.

k  1

ale liczba falowa

2

k

p

l

=

, zaś

cz

cz

h

p

l =

, stąd

2

cz

p

k

h

p

=

oraz

Możemy więc zapisać:

2

1

2

cz

cz

x

p

h

h

x p

p

p

D � D �

D �

D �

cz

x

p

D �

D

�h

zasada nieoznaczoności

Heisenberga

cz

p

h

k











2

Iloczyn nieoznaczoności współrzędnej położenia cząstki w kierunku
danej osi

(x) i nieoznaczoności rzutu pędu cząstki na daną oś układu

współrzędnych

(p

cz

) nie może być mniejszy od

2

h

p

=

h

Przykłady:

Prędkość cząstki o masie 0,1 g określona jest z dokładnością

6

10 cm/s

x

V

m V

x

-

D =

D �

D

h

stąd można obliczyć

27

10 cm

x

-

D �

(niemierzalne)

Nieoznaczoność położenia elektronu w atomie w najgorszym
przypadku równa się rozmiarom atomu (10

-10

m). Wówczas

nieoznaczoność prędkości ΔV  10

6

m/s. Tego rzędu wielkości jest

prędkość elektronu w atomie.

1

Δ

ε

– nieoznaczoność energii

Δt – nieoznaczoność czasu

2

t

t

e

e

D �

D �

D �

D

h

h

W stanie podstawowym atomu Δt =  ; Δ

ε

= 0

W stanie wzbudzonym

;  – czas życia w stanie zbudzonym ~ 10

-8

s

h

e

t

D �

34

26

8

8

8

1,05 10 J s

10 J 6,5 10 eV

10

6,5 10 eV

h

s

e

t

e

-

-

-

-

-

�

�

D � =

=

�

D � �

B



Wyemitowany kwant energii przy przejściu atomu ze stanu
wzbudzonego do stanu podstawowego równa się:

0

(

)

hn

e

e

e

= �D -

Energia wypromieniowanego fotonu nie jest dokładnie równa

ε

–

ε

0

. Nieoznaczoność energii wynosi Δ

ε

.