Slajd

1/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcje liczbowe

Wykład 7

Slajd

2/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Określenie funkcji

Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy
przyporządkowanie każdemu elementowi x ze
zbioru X dokładnie jednej wartości y ze zbioru Y.

Zapisujemy wtedy f: X Y lub y = f(x),

xX.
Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy
f(x).

Slajd

3/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór

wartości funkcji

Zbiór X nazywa się dziedziną funkcji f lub
zbiorem argumentów funkcji f.

Zbiór Y nazywa się przeciwdziedziną funkcji
f.

Zbiór W

f

zawierający się w Y złożony z tych

elementów y  Y, dla którego istnieje x  X takie,

że y = f(x), nazywa się zbiorem wartości
funkcji.

Zbiór wartości nie musi być identyczny z całą
przeciwdziedziną.

Slajd

4/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Dziedzina naturalna

funkcji

Funkcję określać będziemy najczęściej za pomocą
wzoru (wzorów).

Dziedziną (naturalną funkcji) nazywać
będziemy zbiór wszystkich x, dla których prawa
strona wzoru ma określoną wartość i oznaczać
symbolem D lub D

f

.

Slajd

5/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji
określonej wzorem:

2

( )

4

3.

f x

x

x

= -

+ -

2

D =

+



X

3

1



Dziedziną funkcji jest
przedział: [1;3].

2

{

;

4

3 0}

D

x R

x

x

= �

-

+ - �

16 12 4,

D= -

=

1

4 2

3

2

x

- -

=

=

-

2

4 2

1

2

x

- +

=

=

-

Slajd

6/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Wykres funkcji

Wykresem funkcji f

nazywamy zbiór punktów

płaszczyzny XOY, których

współrzędne x, y spełniają

warunek: xD, y = f(x).

Jeżeli liczba zero należy do
dziedziny funkcji f , to punkt
(0, f(0)) jest punktem
przecięcia się wykresu z osią
OY.

Rzędne punktów przecięcia się wykresu z osią OX
są równe y = 0.

P(x,f(x)
)

x

x

0

f
(0)

Odcięte (miejsca zerowe funkcji) otrzymujemy
rozwiązując równanie f(x) = 0.

Slajd

7/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą

pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych  R.

Funkcję nazywać
będziemy rosnącą w
zbiorze X, jeżeli
spełniony jest warunek:

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

<

�

<

�

Y

O

X

y

f x

 ( )

x

1

x

2

f x

( )

2

f x

( )

1

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



Slajd

8/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą

pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych  R.

Funkcję nazywać
będziemy niemalejącą
w zbiorze X, jeżeli
spełniony jest warunek:

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

ޣ

<

�

Y

O

X

y

f x

 ( )

x

1

x

2

f x

( )

2

f x

( )

1

1

2

( )

( )

f x

f x



Slajd

9/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą

pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych  R.

Funkcję nazywać
będziemy malejącą w
zbiorze X, jeżeli
spełniony jest warunek:

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

<

�

<

�

Y

O

X

y

f x

 ( )

x

1

x

2

f x

( )

1

f x

( )

2

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



Slajd

10/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą

pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych  R.

Funkcję nazywać
będziemy nierosnącą w
zbiorze X, jeżeli
spełniony jest warunek:

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

ޣ

<

�

Y

O

X

y

f x

 ( )

x

1

x

2

f x

( )

1

f x

( )

2

1

2

( )

( )

f x

f x



Slajd

11/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Funkcję nazywamy monotoniczną, jeżeli w
całej swojej dziedzinie jest rosnąca lub
malejąca lub nierosnąca lub niemalejąca lub
stała.

Slajd

12/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Y

X

O

Funkcję nazywamy przedziałami
monotoniczną, jeżeli jej dziedzinę można
przedstawić w postaci sumy przedziałów, na
których jest rosnąca lub malejąca lub
nierosnąca lub niemalejąca lub stała.

Slajd

13/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać monotoniczność funkcji określonej
wzorem:

( )

1

x

f x

x

=

+

w zbiorze

(0;

).

X = +�

Niech x

1

< x

2

, czyli x

2

– x

1

> 0.

Zbadamy różnicę:

2

1

( )

( )

f x

f x

-

=

2

2

1

x

x

+

1

1

1

x

x

-

=

+

2

1

(1

)(1

)

x

x

=

+

+

2

2 1

x

x x

+

1

1 2

x x x

-

-

2

1

2

1

(1

)(1

)

x

x

x

x

-

+

+

W rozpatrywanym zbiorze X wyrażenie to jest
dodatnie.

2

1

1

2

( )

( ) 0 czyli ( )

( ).

f x

f x

f x

f x

-

<

<

Badana funkcja w zbiorze X jest
rosnąca.

Slajd

14/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać monotoniczność funkcji określonej
wzorem:

2

( )

f x

x

=

w zbiorze

.

X R

=

Niech x

1

< x

2

, czyli x

2

– x

1

> 0.

Zbadamy różnicę:

2

1

( )

( )

f x

f x

-

=

2

2

2

1

x

x

-

=

2

1

2

1

(

)(

)

x

x x

x

-

+

Zauważmy,
że

Badana funkcja jest rosnąca w
przedziale (0; +) i malejąca w

przedziale (- ;0).

1. jeżeli x

1

, x

2

 (0; +), to

2

1

1

2

( )

( ) 0 czyli ( )

( ),

f x

f x

f x

f x

-

<

<

2. jeżeli x

1

, x

2

 (- ;0), to

2

1

1

2

( )

( ) 0 czyli ( )

( ).

f x

f x

f x

f x

-

<

<

Slajd

15/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji i na jego podstawie określić
monotoniczność, jeżeli:

( )

.

f x

x x

= -

Zauważmy,
że

( )

f x

�

=�

�

dla

0,

x<

dla

0.

x�

Badana funkcja jest nierosnąca w
zbiorze R.

2x

-

0

Slajd

16/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji i na jego podstawie określić
monotoniczność, jeżeli:

( ) max{1, }.

f x

x

=

Zauważmy,
że

( )

f x

�

=�

�

dla

1,

x<

dla

1.

x�

Badana funkcja jest niemalejąca w
zbiorze R.

1

x

Slajd

17/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji i na jego podstawie określić
monotoniczność, jeżeli:

2

( ) min{1, }.

f x

x

=

Zauważmy,
że

( )

f x

�

=�

�

dla 1

1,

x

- < <

dla pozost. .

x

2

x

1

Badana funkcja jest przedziałami
monotoniczna.

W przedziale (-1;0) funkcja jest malejąca, w
przedziale (0;1) – rosnąca, w przedziałach: (-;

-1) oraz (1; +) – stała.

Slajd

18/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Różnowartościowość

funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą

pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych  R.

Funkcję nazywać będziemy różnowartościową w
zbiorze X, jeżeli spełniony jest warunek:

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

ޣ�

�

W praktyce wygodnie jest rozpatrywać warunek
równoważny:

1

2

1

2

,

1 2

( ( )

( ))

(

)

x x X

f x

f x

x

x

�

=

�

=

�

Slajd

19/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Różnowartościowość

funkcji

Każda funkcja ściśle monotoniczna (rosnąca,
malejąca) jest różnowartościowa.

Slajd

20/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać różnowartościowość funkcji określonej
wzorem:

3

( )

f x

x

=

w zbiorze

.

X R

=

Niech x

1

 x

2

, czyli x

2

–

x

1

 0.

2

1

( )

( )

f x

f x

-

=

3

3

2

1

x

x

-

=

2

2

2

1

2

2 1

1

(

)(

)

x

x x

x x x

-

+

+

Zauważmy, że jeżeli przynajmniej jedna z liczb
x

1

, x

2

jest różna od zera, to wyrażenie w drugim

nawiasie jest dodatnie.

Badana funkcja jest
różnowartościowa.

0.

�

Slajd

21/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja „na”

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

=

��

Inaczej

.

f

W

Y

=

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co
zapisujemy w postaci f: X  Y wtedy i tylko

wtedy, gdy

na

Slajd

22/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać czy dana funkcja f: X  Y jest „na”,

jeżeli:

2

( ) log

f x

x

=

(0;

),

.

X

Y R

= +�

=

Niech y będzie dowolną liczbą ze
zbioru Y.

Pokażemy, że istnieje x  X takie, że f(x) = y.

Istotnie
:

2

log x y

=

2

y

x

� =

Funkcja f jest
„na”.

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

=

��

Slajd

23/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać czy dana funkcja f: X  Y jest „na”,

jeżeli:

( ) 2

x

f x =

,

[0;

).

X R Y

=

= +�

Pokażemy, że f nie jest „na”, tzn.:

Istotnie dla y = 0 mamy:

2

0

x

�

Funkcja f nie jest
„na”.

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

=

��

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

�

��

dla każdego x 

R.

Slajd

24/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Ograniczoność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą

pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych  R.

Funkcję tę nazywać będziemy
ograniczoną z dołu na zbiorze
X , jeżeli spełniony jest
warunek:

( )

.

m R x X

f x

m

� �

�

��

Y

X

y

f x

 ( )

y=m

O

Wykres funkcji ograniczonej z dołu na
zbiorze X leży powyżej pewnej prostej
poziomej y = m .

Slajd

25/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Ograniczoność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą

pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych  R.

Funkcję tę nazywać będziemy
ograniczoną z góry na zbiorze
X , jeżeli spełniony jest
warunek:

( )

.

M R x X

f x

M

� �

�

��

Y

X

y f x

 ( )

y=M

O

Wykres funkcji ograniczonej
z góry na zbiorze X leży
poniżej pewnej prostej
poziomej y = M.

Slajd

26/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Ograniczoność funkcji

W przypadku, gdy funkcja jest ograniczona z
dołu i z góry, to nazywamy ją ograniczoną
na zbiorze.

Y

X

y f x

 ( )

y=M

y=m

O

( )

.

m RM R x X

m f x

M

�

� �

�

�

���

Slajd

27/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać ograniczoność funkcji określonej
wzorem:

2

2

( )

1

x

f x

x

=

+

w zbiorze

.

X R

=

Zauważmy, że dla każdego x  R zachodzą

warunki:

2

(

1)

0

x-

�

2

(

1)

0

x+

�

2

2

1 0

x

x

-

+ �

Przekształcając te nierówności kolejno mamy:

Otrzymaliśmy
zatem:

2

2

(

1)

x

x

-

�-

+

2

2

1

1

x

x

�

+

2

2

1 0

x

x

+ + �

2

2

(

1)

x

x

�-

+

2

2

1

1

x

x

�-

+

2

2

1

1

1

x R

x

x

�

- �

�

+

�

Funkcja f jest
ograniczona.

( )

.

m RM R x X

m f x

M

�

� �

�

�

���

Slajd

28/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać ograniczoność funkcji określonej
wzorem:

2

1

( )

1

x

f x

x

+

=

+

w zbiorze

[0;

).

X = +�

Zauważmy, że:

2

1

0.

1

x X

x

x

�

+

�

+

�

(

)

~

( )

.

M R x X

f x

M

� �

�

��

Pokażemy, że f nie jest
ograniczona z góry.

1. Jeżeli M < 1, to x = 1 spełnia

nierówność.

( )

M R x X

f x

M

� �

<

��

2

1

1

x

M

x

+

<

+

Funkcja f nie jest
ograniczona z góry.

( )

.

m R x X

f x

m

� �

�

��

f jest ograniczona z
dołu.

2. Jeżeli M  1, to x = M + 1 spełnia

nierówność.

2

(

1)

1

2

M

M

+

+

+

2

2

2

2

M

M

M

+

+

+

(

2) 2

2

M M

M

+ +

+

2

2

M

M

+

+

Slajd

29/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Zbiory symetryczne

względem zera

Zbiór D nazywamy symetrycznym względem
zera, jeżeli warunek xD pociąga za sobą

warunek -xD .

D = [ -2;

2]

-1

0

1

2

3

4

-2

-3

-4

-1

0

1

2

3

4

-2

-3

-4

(

; 1) (1;

)

D = - � -

� +�

Slajd

30/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Parzystość funkcji

( )

( ),

x D

f x

f x

�

-

=

�

Wykres funkcji parzystej
jest symetryczny
względem osi OY.

Jeżeli zbiór D stanowiący dziedzinę
naturalną funkcji f jest symetryczny
względem zera oraz

to funkcję nazywamy parzystą.

-

x

x

Y

X

)

(

)

(

x

f

x

f





Slajd

31/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Parzystość funkcji

( )

( ),

x D

f x

f x

�

-

=-

�

Wykres funkcji nieparzystej
jest symetryczny względem
początku układu
współrzędnych.

Jeżeli zbiór D stanowiący dziedzinę
naturalną funkcji f jest symetryczny
względem zera oraz

to funkcję nazywamy nieparzystą.

Y

X

-

x

x

f x

( )

f

x

f x

( )

( )





Slajd

32/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

\{ 2,2}

R

=

-

x

-

2

( )

.

4

x

f x

x

=

-

Zbadać parzystość funkcji określonej
wzorem

2

1.

{

: 4

0}

D

x R

x

= �

-

�

Funkcja jest
nieparzysta.

2. ( )

f x

-

=

Dziedzina jest zbiorem symetrycznym
względem zera.

2

4

x

x

=-

=

-

( ).

f x

-

2

4 ( )

x

- -

Slajd

33/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

1 2

( )

.

1 2

x

x

f x

x

-

=

+

Zbadać parzystość funkcji określonej
wzorem

1.

{

: 1 2

0}

x

D

x R

= �

+

�

Funkcja jest
parzysta.

2.

(

)

f

x

-

=

Dziedzina jest zbiorem symetrycznym
względem zera.

1

1

2

1

1

2

x

x

x

-

-

=

+

2

1

2

2

1

2

x

x

x

x

x

-

-

=

+

2

1

2

2

2

1

x

x

x

x

x

-

=-

�

=

+

2 1

2 1

x

x

x

-

-

=

+

(1 2 )

1 2

x

x

x

- -

-

=

+

1 2
1 2

x

x

x

-

=

+

( )

f x

=

R

1 2
1 2

x

x

x

-

-

-

-

=

+

Slajd

34/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Okresowość funkcji

(

)

(

)

( ),

x D

x D

x D

x T

D

f x T

f x

�

�

� �

+ � �

+ =

�

�

Najmniejszą liczbę dodatnią
T będącą okresem funkcji
okresowej nazywamy
okresem podstawowym.

Niech zbiór D stanowiący dziedzinę
naturalną funkcji f spełnia warunki

to funkcję nazywamy okresową o okresie
T.

x+T

Y

X

x

f x

f x T

( )

(

)





Slajd

35/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja odwrotna do

danej

Niech f będzie funkcją różnowartościową, której
dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór X ,
a zbiorem wartości zbiór Y.

X

Y

x

1

x

2

x

3

x

4

y

1

y

2

y

3

y

4

Slajd

36/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja odwrotna do

danej

Niech f będzie funkcją różnowartościową, której
dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór X ,
a zbiorem wartości zbiór Y.

Otrzymaną w ten sposób funkcję nazywamy
funkcją odwrotną do funkcji f i 
oznaczamy symbolem f

-1

.

Wówczas w zbiorze Y, można w naturalny
sposób, określić funkcję przyporządkowującą
każdemu yY ten jedyny xX, któremu funkcja

f przyporządkowała y .

X

Y

x

1

x

2

x

3

x

4

y

1

y

2

y

3

y

4

Slajd

37/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja odwrotna do

danej

Niech f będzie funkcją różnowartościową, której
dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór X ,
a zbiorem wartości zbiór Y.

X

Y

x

1

x

2

x

3

x

4

y

1

y

2

y

3

y

4

Jeżeli f: X Y , to f

-1

: Y 

X

oraz

gdy y = f(x), to x = f

-1

(y).

Slajd

38/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcję odwrotną najczęściej zapisuje się w
postaci y = f

-1

(x).

W praktyce oznacza to, że aby znaleźć wzór funkcji
odwrotnej do funkcji danej wzorem y = f(x) (o ile
funkcja odwrotna istnieje) należy:

Zapis ten dostosowany jest do pewnej tradycji
matematycznej, w której przyjęło się argumenty
funkcji oznaczać przez x, a wartości funkcji
przez y.

1. we wzorze y = f(x) zamienić ze sobą zmienne x

i y,

2. a następnie otrzymane równanie rozwiązać

względem y.

Funkcja odwrotna do

danej

Slajd

39/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji określonej wzorem

y = 4x - 7.

x

= 4

y

- 7

Zamieniamy
x i y między
sobą.

f

 1

(x) 

x 7

4

y

=

x

y=

f(

x)

y=

f

-1

(x)

(0, -7)

(-7, 0)

y = 4x - 7

0,

7
4









7
4

,0









Rozwiązujem
y równanie
względem y.

7

4

x

y

+

=

4

7

y x

= +

x + 7 = 4y

Wykresy funkcji odwrotnych są
symetryczne względem prostej
y = x.

Przykład

Slajd

40/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja złożona

Niech f: X R, g: U R oraz zbiór X

0

= {xX: f(x)U}

jest niepusty

Tak określoną funkcję nazywać będziemy złożeniem
funkcji g i f i oznaczać symbolem g

o

f.

))

(

(

)

)(

(

)

(

x

f

g

x

f

g

x

h



 

( )

( ( )).

h x

g f x

=

0

X

U

X

R

R

R

x

u

y

f

g

f

g

h





Na zbiorze X

0

można z pomocą funkcji f i g określić

funkcję h wzorem:

Slajd

41/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby obliczyć h(x) = g(f(x)) należy
argument we wzorze funkcji g zastąpić
wyrażeniem f(x).

Slajd

42/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Wyznaczyć funkcje:

,

.

h g f k f g

=

=

o

o

Niech f: R R i g: R R będą funkcjami

określonymi wzorami:

2

( ) 3

2,

( )

5 .

f x

x

g x

x

x

= +

= +

( )

( ( ))

h x

g f x

=

= (3

2)

g x+ =

2

(3

2)

5(3

2)

x

x

=

+

+

+ =

2

(

)

5(

)

+

=

3x+2

3x+2

2

9

27

14

x

x

+

+

Slajd

43/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Wyznaczyć funkcje:

,

.

h g f k f g

=

=

o

o

Niech f: R R i g: R R będą funkcjami

określonymi wzorami:

2

( ) 3

2,

( )

5 .

f x

x

g x

x

x

= +

= +

( )

( ( ))

h x

g f x

=

= (3

2)

g x+ =

2

(

)

5(

)

+

=

3x+2

3x+2

( )

( ( ))

k x

f g x

=

=

2

(

5 )

f x

x

+

=

2

3(

5 ) 2

x

x

=

+

+ =

3(

) 2

+ =

x

2

+5x

2

(3

2)

5(3

2)

x

x

=

+

+

+ =

2

9

27

14

x

x

+

+

2

3

15

2

x

x

+

+

Slajd

44/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Wyznaczyć funkcje:

,

.

h g f k f g

=

=

o

o

Niech f: R R i g: R R będą funkcjami

określonymi wzorami:

2

( ) 3

2,

( )

5 .

f x

x

g x

x

x

= +

= +

( )

( ( ))

h x

g f x

=

= (3

2)

g x+ =

2

(

)

5(

)

+

=

3x+2

3x+2

( )

( ( ))

k x

f g x

=

=

2

(

5 )

f x

x

+

=

2

3(

5 ) 2

x

x

=

+

+ =

3(

) 2

+ =

x

2

+5x

2

(3

2)

5(3

2)

x

x

=

+

+

+ =

2

9

27

14

x

x

+

+

2

3

15

2

x

x

+

+

Składanie funkcji nie jest
przemienne.

Slajd

45/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji , a następnie wykres
funkcji

3

1

2.

4

y

x

=

+

3

1

4

y

x

=

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

Y

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

-

1

4

-

0

2

1
4

3

1

4

y

x

=

x

-2 -1 0 1 2

3

1

2

4

y

x

=

+

0

7

4

2

4

9

4

Tym samym argumentom
odpowiadają wartości poprzedniej
funkcji powiększone o 2.

„Stary” wykres funkcji należy
przesunąć o 2 jednostki do góry.

3

1

2

4

y

x

=

+

Slajd

46/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby z wykresu funkcji y = f(x) otrzymać wykres
funkcji y = f(x) + A, należy „stary”
wykres przesunąć o wektor [0, A].

Slajd

47/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Y

Przykład

x

-2 -1 0 1 2

y=3

x

Naszkicować wykres funkcji
y = 3

x

, a następnie na jego

podstawie sporządzić
wykres funkcji y = 3

x

- 1.

1
9

1

3

1 3

9

Wykres funkcji y = 3

x

- 1

powstanie ze „starego”
wykresu przez przesunięcie
o wektor [0, -1].

3

x

y =

3 1

x

y = -

Slajd

48/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji , a następnie wykres
funkcji

3

1

(

1) .

4

y

x

=

+

3

1

4

y

x

=

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

Y

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

-

1

4

-

0

2

1
4

3

1

4

y

x

=

x

-2 -1 0 1 2

3

1

(

1)

4

y

x

=

+

1

4

-

0

1

4

27

4

2

Wartość funkcji przypisana
poprzednio liczbie x, przypisana jest
teraz liczbie x – 1.

„Stary” wykres funkcji należy
przesunąć o 1 jednostkę w lewo.

3

1

(

1)

4

y

x

=

-

Slajd

49/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby z wykresu funkcji y = f(x) otrzymać wykres
funkcji y = f(x - a), należy „stary” wykres
przesunąć o wektor [a, 0].

Slajd

50/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Y

Przykład

x

-2 -1 0 1 2

y=3

x

Naszkicować wykres funkcji
y = 3

x

, a następnie na jego

podstawie sporządzić
wykres funkcji y = 3

x-2

.

1
9

1

3

1 3

9

Wykres funkcji y = 3

x-2

powstanie ze „starego”
wykresu przez przesunięcie
o wektor [2, 0]

3

x

y =

2

3

x

y

-

=

Slajd

51/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji , a następnie wykres
funkcji

3

1

.

4

y

x

=

3

1

4

y

x

=

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

Y

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

-

1

4

-

0

2

1
4

3

1

4

y

x

=

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

0

1

4

1

4

2

Wartości ujemne zastąpione zostały
wartościami dodatnimi (takimi
samymi co do modułu).

Część „starego” wykresu funkcji leżącą
poniżej osi OX należy symetrycznie
odbić względem tej osi.

3

1

(

1)

4

y

x

=

-

Slajd

52/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby z wykresu funkcji y = f(x) otrzymać wykres
funkcji y = | f(x) | , należy tę część
„starego” wykresu, która znajduje się pod osią
OX, odbić symetrycznie względem tej osi.

Slajd

53/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe