Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 4
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CRAMERA
1. Równania macierzowe
Każde równanie, w którym niewiadomą jest macierz nazywamy równaniem macierzowym.
Równania macierzowe rozwiązuje się podobnie jak „zwykłe” równania algebraiczne, uwzględniając
specyfikę działań na macierzach.
Przykład 1. Rozwiązać równanie macierzowe:
1 2
1
4
2
3
5 7
3
3
X
.
Rozwiązanie.
Przekształcając równanie kolejno mamy:
3
6
1
4
2
,
15 21
3
3
X
1
4
3
6
2
3
3
15 21
X
,
4
2
2
,
12
24
X
4
2
1
12
24
2
X
,
2
1
6
12
X
.
Przykład 2.
Rozwiązać równanie macierzowe:
2
1 0
1 2
2
5
7
3
0
T
X
.
Rozwiązanie.
Przekształcając równanie kolejno mamy:
1 2
1 2
1 0
2
3
0
3
0
5
7
T
X
,
7
2
2
0
3
6
10 14
T
X
,
5
2
7 20
T
X
,
5
7
2 20
X
.
Niech
A i B będą macierzami, przy czym macierz A jest macierzą kwadratową nieosobliwą
stopnia n, B - macierzą o n wierszach. Rozpatrzmy równanie:
)
0
det
(
A
B
AX
,
gdzie X jest niewiadomą macierzą.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
2
Mnożąc obie strony równania lewostronnie przez
i stosując własności mnożenia macierzy
otrzymujemy kolejno:
1
A
B
A
AX
A
1
1
)
(
B
A
X
A
A
1
1
)
(
B
A
X
I
1
,
co oznacza, że wyjściowe równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest macierz wyrażająca
się wzorem:
B
A
X
1
.
Podobnie,
jeżeli A jest macierzą kwadratową nieosobliwą stopnia n , B - macierzą mającą
n - kolumn, to równanie:
B
XA
ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem:
1
BA
X
.
Przykład 3.
Rozwiązać równanie:
.
4
3
3
2
3
5
1
2
X
Rozwiązanie. Przyjmując
,
równanie można zapisać jako
3
5
1
2
A
4
3
3
2
B
X
B
A
.
Ponieważ
, to istnieje macierz
, a rozwiązanie równania przyjmuje postać
1
det
A
1
A
1
BA
X
.
Wyznaczymy macierz
znajdując najpierw dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A
1
A
2
,
1
,
5
,
3
22
21
12
11
m
m
m
m
Stąd
2
5
1
3
2
1
5
3
det
1
22
21
12
11
1
T
T
m
m
m
m
A
A
.
Ostatecznie
5
11
4
9
2
5
1
3
4
3
3
2
1
BA
X
.
Przykład 4. Rozwiązać równanie:
1 1 2
1
2
3
1 2 1
1
1 2
3 5 3
2
4
3
X
Rozwiązanie. Równanie ma postać:
B
, gdzie
1 1 2
1 2 1
3 5 3
A
,
.
3
4
2
2
1
1
3
2
1
B
AX
Ponieważ
, to istnieje macierz
, a rozwiązanie równania wyraża
się wzorem:
det
6 3 10 12 3 5
1
A
1
A
B
A
X
1
.
Wyznaczymy macierz
znajdując najpierw dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A
1
A
11
12
13
2 1
1 1
1 2
1,
0,
1,
5 3
3 3
3 5
m
m
m
21
22
23
1 2
1 2
1 1
7,
3,
2,
5 3
3 3
3 5
m
m
m
31
32
33
1 2
1 2
1 1
3,
1,
1
2 1
1 1
1 2
m
m
m
.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
3
Stąd
11
12
13
1
21
22
23
31
32
33
1
0
1
1
7
3
1
1
7
3
2
0
3
1
det
1
3
1
1
1
2
1
T
T
m
m
m
A
m
m
m
A
m
m
m
.
Ostatecznie
1
1
7
3
1
2
3
2 17
8
0
3
1
1
1 2
1
7
3
1
2
1
2
4
3
1
4
4
X
A B
.
2.
Układy równań liniowych
Układ równań o niewiadomych
mający postać:
n
x
x
x
x
,
...
,
,
,
3
2
1
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
..
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
gdzie
i dla
ij
a
i
b
}
,
...
,
3
,
2
,
1
{
},
,
...
,
3
,
2
,
1
{
m
j
n
i
są danymi liczbami rzeczywistymi,
nazywamy układem m równań liniowych z n niewiadomymi lub krótko: układem równań.
Każdemu układowi równań można przypisać następujące macierze:
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
,
,
n
x
x
x
X
2
1
m
b
b
b
B
2
1
zwane odpowiednio: macierz układu, macierz niewiadomych, macierz wyrazów wolnych.
Przy
powyższych oznaczeniach układ równań można zapisać w postaci równania macierzowego
B
AX
.
Rozwiązaniem układu m równań liniowych z n niewiadomymi nazywamy każdy układ n liczb:
spełniających wszystkie równania tego układu.
n
x
x
x
x
,
...
,
,
,
3
2
1
Dla
układu równań liniowych zachodzi dokładnie jeden z trzech przypadków:
1. Układ nie ma rozwiązań - taki układ nazywamy wówczas sprzecznym.
2. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie - układ nazywamy oznaczonym.
3. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - układ nazywamy nieoznaczonym.
Przykład 5. Układ równań
jest układem dwóch równań z trzema
niewiadomymi
. Macierzą układu jest
, macierzą niewiadomych
7
3
,
4
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
A
3
2
1
,
,
x
x
x
1
1
3
1
2
1
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
4
3
2
1
x
x
x
X
,
1
2
1
x
x
2
,
, macierzą wyrazów wolnych
. Jednym z rozwiązań układu jest trójka liczb
. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są nimi trójki liczb postaci:
7
4
B
5
,
1
3
x
1
2
1 2
x
x
3
,
5
x
, gdzie
R
.
3. Układy Cramera
Układ równań, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych oraz wyznacznik
macierzy układu jest niezerowy
)
0
det
(
A
nazywamy układem Cramera.
Twierdzenie.
Układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie wyrażające się wzorami:
A
A
x
A
A
x
A
A
x
A
A
n
n
de
x
t
det
,
...
,
det
det
de
,
t
det
,
det
det
3
3
2
1
2
3
1
1
x
x
1
3
1
A
,
gdzie
oznacza wyznacznik macierzy układu,
- wyznacznik macierzy powstałej
z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny tej macierzy kolumną wyrazów wolnych.
A
det
i
A
det
Przykład 6.
Rozwiązać układ równań:
.
1
,
5
2
2
2
x
x
Rozwiązanie.
,
1
5
,
1
2
B
7
6
1
1
3
2
1
det
A
. Oznacza to, że układ jest
układem Cramera.
Zastępując kolumną wyrazów wolnych najpierw pierwszą kolumnę macierzy A, a następnie drugą
kolumnę, otrzymujemy
7
2
5
1
1
2
5
,
14
15
1
1
3
5
1
det
2
A
.
det
1
A
Rozwiązanie układu jest więc parą liczb
2
7
14
det
det
,
1
7
7
det
det
2
2
1
1
A
A
x
A
A
x
.
Przykład 7.
Rozwiązać układ równań:
.
1
2
,
3
3
2
,
4
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rozwiązanie. W tym przypadku mamy
,
.
1
2
1
1
3
2
2
1
1
A
1
3
4
B
Ponieważ
4
2
2
6
1
8
3
1
2
1
1
3
2
2
1
1
det
A
, to układ równań jest układem Cramera.
Zastępując w macierzy A kolumną wyrazów wolnych najpierw kolumnę pierwszą, potem drugą i na
koniec trzecią otrzymujemy kolejno wyznaczniki:
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
5
4
8
3
6
12
1
12
1
2
1
1
3
3
2
1
4
det
1
A
,
4
1
8
6
4
4
3
1
1
1
1
3
2
2
4
1
det
2
A
,
8
2
6
12
16
3
3
1
2
1
3
3
2
4
1
1
det
3
A
.
Rozwiązaniem układu jest zatem trójka liczb:
2
4
8
det
det
,
1
4
4
det
det
,
1
4
4
det
det
3
3
2
2
1
1
A
A
x
A
A
x
A
A
x
.
Przykład 8.
Rozwiązać układ równań:
o niewiadomych x, y, z.
10
3
2
4
,
0
2
,
7
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Macierze A i B tego układu mają postać:
,
.
3
2
4
1
1
2
3
1
1
A
10
0
7
B
1
1
3
det
2
1
1
13
4
2
3
A
. Układ równań jest więc układem Cramera.
7
1
3
det
0
1
1
13
10
2
3
x
A
,
1
7
3
det
2
0
1
0
4 10
3
y
A
,
1
1 7
det
2
1
0
26
4
2 10
z
A
.
Rozwiązanie jest trójką liczb:
2
13
26
det
det
,
0
13
0
det
det
,
1
13
13
det
det
A
A
z
A
A
y
A
A
x
z
y
x
.
Uwaga.
Rozwiązania układu Cramera można wyznaczyć posługując się odpowiednim równaniem
macierzowym
B
X
A
.
Ponieważ
, to macierz A posiada macierz odwrotną
, a rozwiązanie równania
macierzowego ma postać
0
det
A
1
A
B
A
1
i jest jednokolumnową macierzą o n elementach
.
n
x
x
x
X
2
1
X
Tym samym układ równań posiada jedno rozwiązanie, którym jest n - elementowy układ liczb:
n
x
x
x
x
,
...
,
,
,
3
2
1
.
Metoda
rozwiązywania układów równań Cramera odwołująca się do odpowiedniego równania
macierzowego nazywana jest metodą macierzową, a metoda demonstrowana wcześniej - metodą
wyznacznikową
.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
6
Przykład 9.
Rozwiązać układ:
.
6
5
3
,
0
2
2
,
5
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
Rozwiązanie. Przyjmując
układ zapiszemy w postaci
równania macierzowego
6
0
5
,
,
0
5
3
2
2
1
1
3
2
3
2
1
B
x
x
x
X
A
B
AX
, którego rozwiązaniem, przy założeniu, że istnieje
, jest
1
A
1
BA
X
.
Wyznaczymy to rozwiązanie.
Ponieważ
1
20
6
18
5
0
5
3
2
2
1
1
3
2
det
A
, to macierz
istnieje.
1
A
,
1
5
3
2
1
,
6
0
3
2
1
,
10
0
5
2
2
13
12
11
m
m
m
,
1
5
3
3
2
,
3
0
3
1
2
,
5
0
5
1
3
23
22
21
m
m
m
1
2
1
3
2
,
5
2
1
1
2
,
8
2
2
1
3
33
32
31
m
m
m
.
Zatem
1
1
1
5
3
6
8
5
10
1
5
8
1
3
5
1
6
10
det
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
1
T
T
m
m
m
m
m
m
m
m
m
A
A
.
Stąd
1
0
2
6
0
5
1
1
1
5
3
6
8
5
10
1
B
A
X
.
Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb:
1
,
0
,
2
3
2
1
x
x
x
.
4. Układy równań liniowych jednorodnych
Układ równań postaci:
0
...
..
..........
..........
..........
..........
,
0
...
,
0
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
mn
m
m
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Układ taki ma zawsze tzw. rozwiązanie zerowe:
0
...,
,
0
,
0
2
1
n
x
x
x
.
Oznacza to, że układ równań jednorodnych nie jest układem sprzecznym.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
7
Uwaga.
Jeżeli układ równań jednorodnych jest układem Cramera, to posiada wyłącznie
rozwiązanie zerowe.
Przykład 10.
Rozwiązać układ równań:
0
2
,
0
3
2
,
0
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rozwiązanie. Ponieważ układ ten jest układem równań jednorodnych oraz macierz układu spełnia
warunek:
.
0
4
2
2
6
1
8
3
1
2
1
1
3
2
2
1
1
det
A
, to na podstawie uwagi wnioskujemy, że jedynym
rozwiązaniem układu jest:
0
,
0
,
0
3
2
1
x
x
x
.
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
FiR matma 5 id 172575 Nieznany
FiR matma L13 id 172577 Nieznany
FiR matma 10 id 172572 Nieznany
FiR matma 12 id 172573 Nieznany
matma dyskretna 05 id 287941 Nieznany
matma dyskretna 04 id 287940 Nieznany
FiR 1 id 172596 Nieznany
FIR 4 6 id 172550 Nieznany
Finanse Wyklady FiR id 172193 Nieznany
matma zad 1 id 288062 Nieznany
matma kolokwia 2gr id 287984 Nieznany
Projektowanie filtrow FIR id 40 Nieznany
Lista 1 FiR id 269798 Nieznany
Kolos FiR id 242112 Nieznany
matma dyskretna 05 id 287941 Nieznany
matma dyskretna 04 id 287940 Nieznany
FiR 1 id 172596 Nieznany
FIR 4 6 id 172550 Nieznany
FiR matma w2N
więcej podobnych podstron