Wykład 2

Miary zmienności

Standaryzacja

Prof. Grzegorz Sędek

Krótkie przypomnienie

Rodzaj miary tendencji centralnej

Skala:

Modalna/
dominanta

Mediana

Średnia

nominalna







porządkowa







ilościowe







Krótkie przypomnienie

Rodzaj miary tendencji centralnej

Skala:

Modalna/
dominanta

Mediana

Średnia

nominalna







porządkowa







ilościowe







Miary zmienności

(rozproszenia) wyników

rozkładu

• Oprócz znajomości tendencji centralnej dla danego rozkładu wyników,

podstawową własnością rozkładu jest zmienność (rozproszenie)

wyników.

• Oceny Studenta A: 4, 4, 4

 

• Oceny studenta B: 2, 4, 6

 

Zmienność różnych właściwości/

cech, jako podstawa badań

empirycznych.

 
Podstawowe miary zmienności:
rozstęp
wariancja
odchylenie standardowe

Miary zmienności

• Rozstęp jest rozumiany jako różnica między

największym i najmniejszym pomiarem

• Rozstęp dla studenta A =4-4= 0; dla studenta B = 6-

2=4

• Wariancja (variance) jest to suma kwadratów

odchyleń wszystkich wyników od średniej dzielona

przez liczbę wyników minus 1.

Wariancja = s

2

= (x

i

- M)

2

/(N-1)

• Odchylenie standardowe (SD – standard deviation)
to pierwiastek z wariancji.
SD = (s

2

)

Oceny studenta A: 4,

4, 4

 

Oceny studenta B: 2,

4, 6

Kolejne kroki obliczania

wariancji i odchylenia

standardowego

1.   Obliczyć średnią (M = 4).
2. Obliczyć odchylenia od średniej (odjąć

średnią od każdego wyniku: -2, 0, 2).

3.   Obliczyć kwadraty odchyleń od średniej

(4, 0, 4)

4. Obliczyć sumę kwadratów odchyleń od

średniej (4+0+4=8)

5. Obliczyć średnią kwadratów odchyleń od

średniej (poprzednią sumę podzielić

przez liczbę przypadków minus 1; 8/2 =

4).

Obliczyliśmy wariancję

s

2

=

4.

6.   Obliczamy odchylenie standardowe =

pierwiastek z wariancji

SD = 2.

Wariancja i odchylenie standardowe dla

ocen studenta A = 0 (brak zmienności

wyników)

Oceny studenta A: 4,

4, 4

 

Oceny studenta B: 2,

4, 6

Wyniki

surowe

Wynik –

średnia

Kwadrat

różnicy

4

0

0

4

0

0

4

0

0

2

-2

4

4

0

0

6

2

4

Średnia=

4

Suma=0

Suma=0

Średnia=

4

Suma=0

Suma=8

Wpływ dodawania wartości stałej na

miary tendencji centralnej i miary

rozproszenia

• Dodanie wartości stałej do

wszystkich wyników
zmienia średnią, medianę i
dominantę (modalną) o tę
wartość. Nie zmienia
wariancji i odchylenia
standardowego.

Np. aby zlikwidować liczby

ujemne dla zbioru danych:
2, 3, -3, -4, 2; dodano do
wszystkich wyników
wartość stałą 5, nowe
dane:

7, 8, 2, 1, 7

Statystyki

5

5

6

6

,00

5,00

2,00

7,00

2

7

3,24

3,24

10,50

10,50

7

7

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

D1

D1_P_5

Wpływ mnożenia przez wartość stałą na

miary tendencji centralnej i miary

rozproszenia

•    Pomnożenie wszystkich wyników przez stałą zmienia

średnią, medianę i dominantę – są one iloczynem

poprzedniej wartości i stałej.

• Zmienia również wariancję (poprzednia wartość razy

kwadrat stałej) oraz odchylenie standardowe (poprzednia

wartość razy wartość bezwzględna stałej).

• Analogiczne zmiany zachodzą w przypadku dzielenia

wyników przez stałą.

• Weżmy np. kilka czasów reakcji wyrażonych w

mikrosekundach (800; 1600; 1800; 600) i zamieńmy je na

sekundy (0,8; 1,6; 1,8; 0,6)

Dzielenie wszystkich wyników przez stałą -

przykład

Statystyki

4

4

7

7

1200,00

1,2000

1200,00

1,2000

600

a

,60

a

588,78

,5888

346666,67

,3467

1200

1,20

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

T1

T1_1000

Istnieje wiele wartości modalnych. Podano wartość najmniejszą.

a.

Wyniki standardowe (standaryzowane)

– wartości “z”

• Wyniki w takiej postaci, w jakiej zostały pierwotnie uzyskane

w badaniu, określa się mianem wyników surowych. Dla
porównania wyników osiąganych na różnych skalach (np.
porównania ocen przy różnych skalach oceniania, lub
wyników testów o różnej ilości punktów) przekształca się
wyniki surowe na wyniki wyrażone w jednostkach odchylenia
standardowego – są to wyniki standardowe (nazywane w
SPSS standaryzowanymi), czyli tzw. wartości „z”.

•   z

i

= (x

i

– M)/SD

  M – średnia (mean)
SD – odchylenie standardowe (standard deviation)
wartość standaryzowana “z” danego wyniku “x” = wynik

surowy (x

i

) minus średnia (M) dzielone przez odchylenie

standardowe (SD)

Hipotetyczne stopnie studenta SWPS w sesji :

6, 2, 4+, 3+, 4

zamiana na wyniki standardowe

średnia M = 4;
wariancja s

2

= (4+4+0,25+0,25+0)/4 = 2,12

odchylenie standardowe SD = 1,46

wartości standaryzowane “z” poszczególnych wyników:
z

1

= (6 – 4)/1,46 = 1,37 (dodatnia wartość “z”)

z

2

= (2 - 4)/1,46 = -1,37 (ujemna wartość “z”)

z

3

= (4,5 - 4)/1,46 = 0,34 (lekko dodatnia wartość „z”)

z

4

= (3,5 - 4)/1,46 = -0,34 (lekko ujemna wartość „z”)

z

5

= (4 - 4)/1,46 = 0 (wynik równy średniej)

Właściwości wyników standardowych “z”

dla danej próby wyników:

   średnia wyników „z” = 0; wariancja = 1
 
  wyniki „z” bliskie średniej M są bliskie

wartości “0”,

wyniki dokładnie równe średniej są równe

zeru.

  
  wyniki “z” mniejsze od średniej M są ujemne
   wyniki “z” większe od średniej M są dodatnie