KOWARIANCJA













































dxdy

y

x

f

m

y

m

x

p

m

y

m

x

Y

X

i

j

ij

)

,

(

)

)(

(

)

)(

(

)

,

cov(

01

10

01

10

Współczynnik korelacji

Y

X

Y

X

Y

D

X

D

Y

X













)

,

cov(

)

(

)

(

)

,

cov(

2

2

02

20

11







1

1









Współczynnik korelacji dla

zmiennych losowych liniowo

zależnych





1







b

aX

Y

P

b

aX

Y





b

aEX

EY





)

)(

(

)

)(

(

)

,

cov(

b

aEX

b

aX

EX

X

E

EY

Y

EX

X

E

Y

X

















EX

aEX

EX

X

aE

EX

X

aE

XX

aE

aEX

aX

EX

X

E





















)

(

)

(

)

(

)

)(

(

X

aD

EX

a

aEX

EX

a

EX

a

EX

a

aEX

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(















X

D

a

b

aX

D

Y

D

2

2

2

2

)

(







1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

cov(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

02

20

11

a

a

X

D

a

X

aD

X

D

a

X

D

X

aD

Y

D

X

D

Y

X

XY



















Funkcja regresji zmiennej losowej Y względem

zmiennej losowej X.

)

(

)

(

x

X

Y

E

x

g



















dy

x

y

yf

x

X

Y

E

x

g

)

(

)

(

)

(

)

( x

y

f

rozkład warunkowy

Dla funkcji regresji zachodzi własność





min

)

(

2





x

g

Y

E

Własność ta jest podstawą szacowania metodą

najmniejszych

kwadratów

funkcji regresji II rodzaju, tzn. funkcji g(x) o

przyjętym z góry typie i o parametrach wyznaczonych tak, by dla

wyników (x

i

,y

i

)

(i=1,2,...,n) n-elementowej próby z

dwuwymiarowego rozkładu (X,Y) zachodziło minimum funkcji:













n

i

i

i

x

g

y

S

1

2

)

(







 x

x

g )

(

Parametr



liniowej funkcji regresji g(x) nazywa się

współczynnikiem regresji liniowej.





0

)

)(

(

)

(

)

(

)

)(

(

)

,

cov(





















EY

EY

EX

EX

EY

Y

E

EX

X

E

EY

Y

EX

X

E

X

X

X,Y – stochastycznie niezależne

Parametry pozycyjne rozkładu

zmiennej losowej

Dla dowolnej liczby p ( 0 < p < 1 ) kwantylem rzędu p
rozkładu zmiennej losowej X nazywamy liczbę x

p

spełniającą nierówności:









1

oraz

p

x

X

P

p

x

X

P

p

p











Jeżeli istnieje (dla zmiennej losowej skokowej)
więcej niż jedna taka liczba x

p

, to przyjmuje się

najmniejszą z nich.
Dla zmiennej ciągłej mamy równość p=F(x

p

).

Podstawowymi kwantylami ważnymi zmiennej
losowej X w praktyce statystycznej są:
Centyle (p = 0.01 i 99 wielokrotności tej
liczby )
Decyle (p = 0.1 i 9 wielokrotności tej liczby
)
Kwartyle (p = 0.25 i 3 wielokrotności tej
liczby )

Najczęściej używanym kwantylem jest x

0.5

mediana

Podstawowe rozkłady skokowe

Rozkład dwupunktowy

p

q

X

P

p

X

P













1

)

0

(

)

1

(

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego).

a)      dokonuje się n niezależnych powtórzeń pewnego
doświadczenia losowego.
b)      w każdym doświadczeniu mogą zajść tylko dwa
wykluczające się
zdarzenia :

A

( sukces) i

A’

(porażka)

c)       oraz
Zmienna losowa przyjmuje wartości równe liczbie sukcesów w n
doświadczeniach

p

A

P



)

(

p

q

A

P







1

)

'

(

k

n

k

q

p

k

n

k

X

P

















 }

{

np

EX 

npq

X

D



2

p

EX 

pq

X

D



2

Rozkład Poissona

W schemacie doświadczeń typu Bernoulliego liczba niezależnych
doświadczeń

Prawdopodobieństwo sukcesu p maleje tak, że
Przy takim założeniu funkcja prawdopodobieństwa zmiennej
losowej o rozkładzie dwumianowym dąży do funkcji
prawdopodobieństwa w tzw. Rozkładzie Poissona:

dla k = 1,2,…





n

const

np











!

k

e

k

X

P

k











X

D

EX

2







Model rozpadu radioaktywnego.

Rad rozpada się w radon. Rozpadające się jądro radu wysyła
cząsteczkę α.
Odległości między atomami są stosunkowo duże, można zatem
przyjąć, że jądra rozpadają się niezależnie od stanu sąsiednich
atomów.

Załóżmy, że prawdopodobieństwo p(t) rozpadu danego atomu radu
w pewnym przedziale czasu o długości t zależy tylko od długości
tego przedziału. Jeżeli łącznie jest n atomów ( w jednym gramie 10
) to średnia liczba cząsteczek wysyłanych w czasie t jest równa a
= np(t). Jak pokazują doświadczenia, liczba ta przy t = 1 s jest
rzędu 10

10

, zatem p(1) = 10

-12

Sukces – rozpad atomu radu. Liczba wyemitowanych cząsteczek
jest równa licznie sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego.

Prawdopodobieństwo sukcesu p = p(t). Parametry n i p są takie,
że faktycznym rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X(t) – liczba wysłanych w czasie t cząsteczek będzie rozkład
Poissona z parametrem a = np(t):
 

Podstawowe rozkłady ciągłe

Rozkład gamma Rozkład beta

Rozkład t-Studenta

Rozkład χ

2

Rozkład normalny ( rozkład Gaussa)

)

2

)

(

exp(

2

1

2

1

)

(

2

2

2

)

(

2

2













m

x

e

x

f

m

x













)

2

exp(

2

1

)

(

2

x

x

f







2

2







X

D

m

EX

N(m,



)

N(0,1
)



m

X

U





Unormowany rozkład Gaussa

Centralne twierdzenie

graniczne

ROZKŁAD.NORMALNY

 

Daje w wyniku normalny rozkład łączny dla danej średniej i

normalnego odchylenia. Funkcja ta ma bardzo szeroki zakres

zastosowań w statystyce, łącznie z badaniem hipotez.

Składnia

X   jest to wartość, dla której chcemy mieć rozkład.

Średnia   jest to średnia arytmetyczna rozkładu.

Odchylenie_std   jest to standardowe odchylenie rozkładu.

Skumulowany   jest to wartość logiczna, która określa rodzaj funkcji.
Jeżeli skumulowany ma wartość PRAWDA, wówczas funkcja
ROZKŁAD.NORMALNY daje w wyniku łączną funkcję rozkładu, a jeśli
FAŁSZ, wówczas funkcja ta daje w wyniku funkcję gęstości
prawdopodobieństwa.

ROZKŁAD.NORMALNY(x;średnia;odchylenie_std;skumulowany)

ROZKŁAD.NORMALNY.S

Oblicza standardowy skumulowany rozkład

(dystrybuantę) normalny o zadanych

parametrach. Rozkład ten ma średnią zero i

odchylenie standardowe równe jeden. Funkcję tę

należy stosować zamiast tabeli obszarów

standardowych krzywych normalnych.

Składnia

Z   jest to wartość, dla której chcemy określić
rozkład.

ROZKŁAD.NORMALNY.S(z)

ROZKŁAD.NORMALNY.ODW

Oblicza wartość funkcji odwrotnej

skumulowanego rozkładu normalnego.

Składnia.

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobie
ństwo)

Prawdopodobieństwo   jest to
prawdopodobieństwo odpowiadające
rozkładowi normalnemu.

Średnia   jest to średnia arytmetyczna
rozkładu.

Odchylenie_std   jest to standardowe
odchylenie rozkładu

ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(prawdopodobieństwo;średnia;odchyleni
e_std)

30

0

30

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

dnormx 1

 1



(

)

dnormx 2

 1



(

)

dnormx 3

 1



(

)

dnormx 4

 1



(

)

30

30



x

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.2

0

pnormx 0

 1



(

)

pnormx 2

 1



(

)

pnormx 3





1



(

)

pnormx 4





1



(

)

10

10



x

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

pnormx 2





1



(

)

pnormx 0

 3



(

)

pnormx 2

 0.4



(

)

pnormx 3

 0.8



(

)

x x

 x

 x



10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

0

dnormx 2





1



(

)

dnormx 0

 3



(

)

dnormx 2

 0.4



(

)

dnormx 3

 0.8



(

)

10

10



x x

 x

 x



10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

pnormx 0

 1



(

)

pnormx 2

 1



(

)

pnormx 3





1



(

)

pnormx 4





1



(

)

x

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.2

0

pnormx 2





1



(

)

pnormx 0

 3



(

)

pnormx 2

 0.4



(

)

pnormx 3

 0.8



(

)

10

10



x x

 x

 x



a) 1/2

b)
1/3

c) 1/4

Paradoks Bertranda