Jak to z liczbami było

Liczba. Jest to podstawowe pojęcie matematyki, które pojawiło się w świadomości człowieka na wiele tysięcy lat p.n.e. na przestrzeni wieków rozwijało się ono zmieniając swój kształt wraz z rozwojem cywilizacji i kultury.

Pierwsze liczby powstały w czasach ludzi pierwotnych, gdy nie wystarczało już tylko rozróżnienie między pojęciami „jeden” i „wiele”. Były to liczby 1,2,3,4,... zwane liczbami naturalnymi. Najstarszym znanym sposobem zapisu liczby naturalnej jest narysowanie odpowiedniej liczby kresek, zrobienie odpowiedniej ilości nacięć na kości zwierzęcej lub kiju, czy zawiązanie węzełków na sznurku.

Wraz z rozwojem piśmiennictwa powstał zapis liczb w odpowiednich systemach liczbowych za pomocą umownych znaków-cyfr. Obecnie wykorzystujemy cyfry wynalezione w Indiach w VIII-IX wieku i rozpowszechnione w Europie przez Arabów w X - XIII wieku. Przykłady niektórych znaków dawniej stosowanych przy zapisie liczb zawiera poniższa tabela.

Jednak same liczby naturalne nie wystarczały do wykonywania chociażby czterech podstawowych działań : dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Pierwszym rozszerzeniem pojęcia liczby było wprowadzenie ułamków , co umożliwiło wykonywanie dzielenia liczb naturalnych. Odkrycie przez Hindusów w VI-XI w. liczb ujemnych i zera przestało ograniczać wykonywanie działania odejmowania tych liczb. W ten sposób powstały liczby całkowite. Liczby naturalne ( 1,2,3,4,... ) wraz z liczbami do nich przeciwnymi ( ..., -3, -2, -1 ) oraz z zerem utworzyły zbiór liczb całkowitych. Wszystkie liczby, które można było przedstawić w postaci ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku całkowitym nazwano liczbami wymiernymi. Zbiór ten okazał się jednak „zbyt dziurawy” dla rozwijającej się szybko w XIX wieku analizy matematycznej, czego efektem było dalsze rozszerzenie pojęcia liczby i opracowanie teorii liczb niewymiernych, czyli takich których nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Liczby wymierne i liczby niewymierne łącznie nazwano liczbami rzeczywistymi. Zbiór liczb rzeczywistych można uporządkować, można uogólnić zasady podstawowych działań arytmetycznych, dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia na liczby rzeczywiste, ale ponadto można w tym zbiorze wykonywać bez żadnych ograniczeń wiele innych pożytecznych operacji matematycznych, jak pierwiastkowanie, potęgowanie, logarytmowanie itp., których wykonalność w dziedzinie liczb wymiernych była mocno utrudniona, jeśli nie wręcz niemożliwa. Szczelność zbioru liczb rzeczywistych łatwo można zobrazować za pomocą osi liczbowej, na której każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt.

Oprócz liczb rzeczywistych istnieją także liczby nierzeczywiste, które wraz ze zbiorem liczb rzeczywistych tworzą zbiór liczb zespolonych. Z tymi liczbami można spotkać się tylko wówczas, gdy wybierze się kierunek studiów związany z naukami ścisłymi ( my zajmować będziemy się tylko działaniami i operacjami wykonywalnymi na liczbach rzeczywistych - czerwona część diagramu). Poniższy diagram przedstawia klasyfikację liczb zespolonych

Klasyfikacja liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone

Liczby rzeczywiste Liczby nierzeczywiste

Liczby wymierne Liczby niewymierne

Liczby całkowite

Liczby całkowite ujemne Liczby naturalne

W NW

-1,5 π

-0,23

C N

...,-2,-1 0,1,2,...

0,333... -0,1010010001...

R

Ćwiczenie 1

Wykorzystując powyższy tekst i diagram wykonaj zadanie 9 str.16 z podręcznika.

Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej.

Każda liczba rzeczywista ma swoje rozwinięcie dziesiętne. Aby znaleźć rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej należy zapisać ją w postaci ilorazu liczb całkowitych i wykonać dzielenie licznika przez mianownik.

Ćwiczenie 2

Wykonaj ćwiczenie C str. 13 oraz rozwiąż zadania :1,2 str.16 z podręcznika.

rozwinięcie dziesiętne skończone

( po przecinku występuje skończona ilość cyfr),

np.

Liczby wymierne mają

rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe

( po przecinku występuje nieskończenie wiele cyfr, jednak zawsze od pewnego miejsca powtarza się jedna cyfra lub grupa cyfr, zwana okresem),

np.

.

W przypadku liczb niewymiernych rozwinięcie dziesiętne jest zawsze nieskończone i nieokresowe ,

np.
.

Ćwiczenie 3

Rozwiąż zadania : 6 i 7 str.16 oraz 11 i 12 str. 17 z podręcznika.

Rozwinięcia dziesiętne często są pomocne przy porównywaniu liczb. Znając rozwinięcie można łatwo umiejscowić liczby w odpowiednich punktach na osi liczbowej - trzeba jednak pamiętać, że liczby na osi liczbowej rosną od lewej strony w prawą, tzn. np. że -3 < -2 (minus trzy jest mniejsze niż minus dwa). Takie ułożenie liczb na osi sprawia, że liczby przeciwne leżą w takiej samej odległości od liczby zero, po obu jej stronach - liczby ujemne na lewo, a liczby dodatnie na prawo. Jeżeli oznaczymy dowolną liczbę rzeczywistą jako a to jej odległość od liczby zero oznaczamy |a|. Ponieważ odległość, jak powszechnie wiadomo, jest wartością nieujemną (dodatnią lub zerem) więc symbol |a| oznacza odległość od zera liczby a i -a.

|a| |a|

- a 0 a

Zatem można powiedzieć, że jeżeli a ≥ 0, to |a| = a, jeśli a < 0, to |a| = -a . Inaczej można to zapisać w postaci
.

Jest to określenie wartości bezwzględnej, z którego wynika że wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, a wartością bezwzględna liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna;

Np. | 4 | = 4 , | - 4 | = 4 .

Wartość bezwzględna liczby jest zawsze liczbą dodatnią (dla a > 0) lub równą zero (a = 0) !!!

Ćwiczenie 4

Rozwiąż zadania : 14 str.17 oraz 20 str. 18 z podręcznika.

---