Dzisiaj zajmiemy się całką oznaczoną. Podobnie jak w przypadku całek nieoznaczonych tutaj także będziemy stosować dwie metody liczenia - przez części i przez podstawienie. Zauważyć można także kilka podobieństw pomiędzy nimi. Jednak pojęcie całki oznaczonej ma bardzo silną interpretacje geometryczną. Rozważmy taka sytuację:

Z powyzszego rysunku interesuje nas pole obszaru od A do B i wysokości wyznaczanej przez funkcje f. Nie jest to normalna figura geometryczna. Zatem jak obliczyć to pole. Należy na początek podzielić odcinek AB na kilka części tak, jak wyżej. Oczywiście odcinki te wcale nie musza być równe. Potem należy poprowadzić linie proste od obszaru odcinika do obszaru funkcji, oraz wydłuzyć w taki sposób, by powstały nam prostokąty pomocnicze.

DEFINICJA - PODZIAŁ ODCINKA AB

Podziałem n elementowym odcinka AB nazywamy każdy ciąg rosnący o n + 1 wyrazach dla którego wyraz pierwszy pokrywa się z poczatkiem przedziału, a wyraz ostatni z końcem tego przedziału.

Sam ciąg w podziale normalnym będziemy oznaczać symbolem {
. Pod tym symbolem kryje się ciąg o nastepujących wyrazach:
, gdzie
.

DEFINICJA - CIĄG PODZIAŁÓW NORMALNYCH

Ciąg podziałów odcinka AB nazywamy ciągiem podziałów normalnych, gdy średnica podziału (długość najdłuższego z odcinków podziału) dąży do 0.

Oznaczmy
średnicę podziału. Najdłuższy z odcinków będzie wynosił
. Stąd wniosek, że
. I te dwa warunki wyznaczają nam ciąg podziałów normalnych. Teraz przejdźmy do kolejnego etapu. Przyjmijmy sobie nastepujące oznaczenia. Niech
będzie kresem górnym, a
będzie kresem górnym. Pole pierwszego z tych prostokątów zaznaczonych na rysunku będzie równe
, gdzie
to największa z wartości funkcji danego przedziału. I takich prostokątów jak to widać z rysunku będzie n. A zatem pole całej tej figury to będą dwie sumy i wyniesie ono:

, gdzie ta pierwsza suma to suma pól prostokątów nad tym wykresem, zaś ta druga to suma pól prostokątów pod tym wykresem funkcji.

DEFINICJA - CAŁKA DARBOUX

Niech
będzie ciągiem podziałów normalnych odcinka AB. Wówczas jeśli:

1. Istnieje granica
   , to tę granicę nazywamy całką górną Darboux i oznaczamy:
   

2. Istnieje granica
   , to tę granicę nazywamy całką dolną Darboux i oznaczamy:
   

Obie te granice musza istnieć dla dowolnego podziału odcinka AB. Jeżeli istnieją całki górna i dolna Darboux i są sobie równe, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna na przedziale AB w sensie Riemanna i fakt ten będizemy krótko zapisywać jako:

, czyli jako pole obszaru pod wykresem funkcji, a dokładniej jako różnicę

-
.

Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym AB, to jest ona całkowalna w sensie Riemanna na tym przedziale.

Rozpatrzmy sobie taki przykład. Należy obliczyć całkę
. Do rozwiązania będzie niezbędny rysunek:

Oblicmy, czy to pole rzeczywiście jest równe ½ metodą całkową. Widać, że funkcja f (x) = x jest funkcją ciągłą (wykres bez żadnych przerw). Skoro jest ciągła, to musi być całkowalna na podstawie twierdzenia. Skoro jest calkowalna, to ich sumy górne, dolne i ich granice istnieją (i nie zależą od sposobu dzielenia odcinka). Niech
oznacza nastepujący ciąg podziałów, gdzie
, gdzie i = 0, 1, .., n.
oraz
.
i dalej suma górna wyniesie:
, zaś suma dolna wyniesie:
. I tak otrzymujemy:

. No i ostatecznie wyszło nam, że
. Stąd wniosek, że jeżeli
i
(całkowalna w sensie Riemanna) [a, b], to:
.

Teraz powiedzmy sobie o kilku własnościach całki oznaczonej. Jeśli funkcje f i g są całkowalne w sensie Riemanna, to wówczas:

1.

2.

3.

Jeżeli funckja f okreslona na przedziale domkniętym [a, b] jest ograniczona i ma w tym przedziale skończoną liczbe punktów nieciągłości, to jest w tym przedziale całkowalna w sensie Riemanna. Teraz ważne twierdzenie zwane podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] to:

, gdzie F jest dowolna funkcją pierwotną funkcji f.

Nastepne twierdzenie to wzór na całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u', v' są ograniczone i mają co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale [a, b], to ma miejsce nastepujący wzór:

Następny wazny wzór to wzór na całkowanie przez podstawienie. Jeżeli funkcje g i f' są ciągłe na przedziale domkniętym, oraz f jest monotoniczna w tym przedziale, to ma miejsce wzór na calkowanie przez podstawienie w następującej postaci:

Następne ważne twierdzenie to twierdzenie o podziale przedziału całkowania. Jeżeli f jest ograniczona i ma skończoną liczbe punktów nieciągłości w przedziale [a, b], to dla każdego
:

Zobaczmy na prosty przykład:

. Zilustrujmy:

f

A

B

…

y

x

y

x

y = x

1

(1,1)

Szukane pole równe 1/2

y

x

a

c

b

y

x

Nasz obszar

---