MEO pytania 53, 54, 57, 58, 59, 60, 61.

53.

Masowe momenty bezwładności

Rozkład masy ciała (układu ciał) względem punktu (bieguna), osi lub płaszczyzny charakteryzują masowe momenty

bezwładności.

Masowy moment bezwładności względem punktu, osi lub płaszczyzny jest suma (całka) iloczynów mas przez kwadraty ich

odległości od punktu, osi lub płaszczyzny.

Biegunowy moment bezwładności obliczamy z zależności:

lub

natomiast osiowe momenty bezwładności:

lub

lub

lub

zaś płaszczyznowe momenty bezwładności:

lub

lub

lub

Ponadto rozkład mas charakteryzują momenty iloczynowe zwane momentami dewiacyjnymi lub momentami zboczenia.

Określa się je z zależności:

lub

lub

lub

Twierdzenie 1

Masowy moment bezwładności względem osi równy jest sumie masowych momentów bezwładności względem dwóch

wzajemnie prostopadłych płaszczyzn tworzących te oś.

Twierdzenie 2

Biegunowy, masowy moment bezwładności jest równy sumie masowych momentów bezwładności względem trzech

wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez biegun

Twierdzenie 3

Podwójny biegunowy, masowy moment bezwładności bryły jest równy sumie masowych momentów bezwładności

względem trzech, wzajemnie prostopadłych osi, przechodzących przez biegun.

59.

Twierdzenie Koeniga

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.

Twierdzenie to można zastosować do obliczenia prędkości krążka o znanej masie i promieniu, toczącego się bez poślizgu po płaszczyźnie.

60.

Zasada prac przygotowanych

Jeśli punktowi A na który działa siła P udzielamy przesunięcia przygotowanego
to pracę siły P na tym przesunięciu nazywamy pracą przygotowaną i oznaczamy symbolem
.

Zgodnie z powyższym mamy:

Wyjaśnienie pojęcia przesunięcie przygotowane:

Przesunięciem przygotowanym nazywamy pomyślane, nierzeczywiste, wyobrażalne, przesunięcie elementarne zgodne z więzami nałożonymi na nieswobodny punkt materialny, któremu nadajemy owe przesunięcie.

Przykład

Lekka dwuramienna dźwignia, o ramionach a i b, która może się obracać bez tarcia wokół punktu podparcia na końce której działają prostopadłe do ramion dźwigni siły
i
. Chcemy wyznaczyć warunek jaki muszą spełniać siły, aby zachodziła równowaga. W tym celu udzielamy dźwigni przesunięci przygotowanego, którym w tym przypadku będzie elementarny obrót wokół punktu podparcia o kąt
. Ponieważ mamy do czynienia z więzami bez tarcia, należy przyrównać do zera tylko sumę prac przygotowanych sił czynnych czyli w tym przypadku sił
i
. Zatem:

Przesunięcia przygotowane możemy wyznaczyć w zależności od kąta
.

Po podstawieniu do równania mamy:

Powyższe równanie musi być spełnione przy dowolnym przesunięciu przygotowanym
. Przy tym założeniu możemy wyliczyć warunek równowagi:

---