Zbieżności ciągów funkcyjnych
Definicja. Zał, że X �" , A �" . Mówimy, że A jest gęsty w X , gdy " " lim an = x .
x"X an n"
( )n
Twierdzenie. Jeżeli A jest zbiorem gęstym w X , to �" X �" a -� ,a +� .
()
*"
>0
a"A
Definicja. Rodziny przedziałów at,bt :t "T nazywamy pokryciem otwartym zbioru X , gdy
( )
{}
X �" at,bt .
( )
*"
t"T
Definicja. Mówimy, że X �" jest zbiorem zwartym, gdy " " " lim xk = x .
xn �"X
( )n n
xkn �" xn x"X n" n
( )n
( )
Twierdzenie. Każdy zbiór zwarty jest ograniczony, to znaczy " " x d" M .
M >0 x"X
Twierdzenie. Zał, że rodzina przedziałów at,bt :t "T jest pokryciem otwartym przedziału � .
( ) ]
{} [ą,
n
Wtedy " � �" at ,bt .
[ą,
]
( )
*"
i i
t1,t2 ,& ,tn "T
{ }
i=1
Lemat. Jeżeli X jest zbiorem zwartym, xn n �" X oraz lim xn = x0 , to x0 " X .
( )
n"
Twierdzenie. Zał, że X �" jest zbiorem zwartym, U = at,bt : t "T jest pokryciem otwartym
( )
{}
n
zbioru X . Wtedy " X �" at ,bt .
( )
*"
i i
t1,t2 ,& ,tn "T
{ }
i=1
Definicja. Zał, że X �" , fn : X , n" .
(1) Rodziny fn n nazywamy punktowo ograniczonymi, gdy " " " fn x d" M ;
{ } ( )
x
x"X M >0 n"
x
(2) Rodziny fn n nazywamy jednostajnie ograniczonymi, gdy " " " fn x d" M ;
{ } ( )
M >0 x"X n"
2 2
(3) Rodziny fn n nazywamy jednakowo ciągłe, gdy " " " " x - x < � �! fn x fn x < � .
{ } ( )- ( )
2
� >0 � >0 x,x "X n"
Uwaga. (1) Jeżeli fn n jest jednakowo ciągła, to " fn jest jednostajnie ciągła;
{ }
n"
(2) Z faktu, że " fn jest jednostajnie ciągła, nie wynika że fn n jest jednakowo ciągła;
{ }
n"
(3) Jeżeli fn n jest skończoną rodziną funkcji jednostajnie ciągłych na X , to fn n jest jednakowo
{ } { }
ciągła;
(4) Jeżeli fn n jest jednostajnie ograniczona, to jest też punktowo ograniczona;
{ }
(5) Istnieją rodziny funkcji, które są punktowo ograniczone, ale nie są jednostajnie ograniczone;
(6) Jeżeli X jest skończony i fn n jest rodziną funkcji punktowo ograniczonych, to fn n jest
{ } { }
jednostajnie ograniczona.
Twierdzenie. Jeżeli X = a,b , fn n jest ciągiem funkcji ciągłych na X oraz fn n jest jednostajnie
[ ] { } ( )
zbieżny, to fn n jest jednakowo ciągła.
{ }
Lemat. Zał, że X jest zbiorem przeliczalnym, fn n jest rodziną funkcji punktowo ograniczoną.
{ }
Wtedy fn n posiada podciąg punktowo zbieżny.
( )
1
Twierdzenie. Zał, że fn n jest ciągiem funkcji ciągłych, fn n jest punktowo ograniczona i
( ) { }
jednakowo ciągła. Wtedy istnieje podciąg fk n , który jest jednostajnie zbieżny oraz fn n jest
{ }
( )
n
jednostajnie ograniczona.
Twierdzenie Weierstrassa. Jeżeli f : a,b jest ciągła, to istnieje ciąg wielomianów Pn n taki,
[ ] ( )
że Pn a,b zbiega jednostajnie do f .
[ ]

Wniosek. " " Pn
[-a,a x oraz " Pn 0 = 0 .
] ( )

a>0 Pn n"
( )n
Definicja. E �" . Rodziny A �" E nazywamy algebrą funkcji, gdy:
(1) " f + g " A;
f ,g"A
(2) " " c �" f " A ;
f "A c"
(3) " f �" g " A.
f ,g"A
Definicja. Zał, że E �" , F �" E . Jednostajnym domknięciem rodziny F nazywamy rodzinę
F = f " E : " fn f . Rodzina fn n jest jednostajnie domknięta, gdy F = F .
{ }
{}
fn �"F
( )n
Wniosek. (1) " F �" F ;
F�" E
(2) " F �" G �! F �" G ;
F ,G" E
(3) " F = F .
( )
F�" E
Lemat. Jeżeli A �" E jest algebrą funkcji ograniczonych, to A też jest algebra funkcji
ograniczonych.
Definicja. (1) Rodzina F �" E rozdziela punkty, gdy " " f x1 `" f x2 ;
( ) ( )
x1`"x2"E f "F
(2) Rodzina F �" E nie znika w żadnym punkcie, gdy " " f x `" 0 .
( )
x"E
f " E
Lemat. Zał, że A �" E jest algebrą, która rozdziela punkty i nie znika w żadnym punkcie x" E .
Wtedy " " " f x1 = c1, f x2 = c2 .
( ) ( )
x1`"x2"E c1,c2" f1, f2"A
Twierdzenie Stone a-Weierstrassa. Zał, że A jest algebrą funkcji rzeczywistych, ciągłych,
określonych na przedziale zwartym K = a,b oraz A rozdziela punkty i nie znika w żadnym punkcie.
[ ]
Wtedy A jest równa rodzinie wszystkich funkcji ciągłych określonych na K .
Wniosek. Zał, że K = a,b , x jest rodziną wielomianów, A = w K : w" x . Wtedy A jest
[ ] [ ] {}
[ ]
rodziną wszystkich funkcji ciągłych określonych na K w .
2