3 RÓWNOWAGA UKŁADU SIŁ ZBIEŻNYCH


MECHANIKA TEORETYCZNA
Temat nr 3
Równowaga układu sił zbieżnych
1
Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych
r
P2
r
P3
r
P1
O
1. Definicja
Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie, nazywamy zbieżnym
układem sił (przestrzennym lub płaskim). Punkt przecięcia linii działania sił O nazywa się
punktem zbieżności.
2
2. Warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych
r r r r
Układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyznie znajduje się w
P1, P2, P3,KPn
równowadze, jeżeli wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).
r
P2
r
r
P3
P3
r
r
P4
P1
r
P2
O
r
P4
r
P1
n
r r r r r
P1 + P2 +K+ Pn =
P = 0
i
i=1
3
Siły zbieżne leżące w jednej płaszczyznie są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił
na dwie osie układu współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).
n
Px = P1x + P2x +K+ Pnx =
P = 0
ix
i=1
n
Py = P1y + P2 y +K+ Pny =
P = 0
iy
i=1
4
Zadanie 1
Wspornik składa się z dwóch prętów AB i AC połączonych ze sobą przegubem A i z
pionową ścianą przegubami B i C. Obliczyć siły w tych prętach gdy na wsporniku
zawiesimy ciężar G.
A
Dane:
G = 2,0kN,
a = 60,
a
b = 30.
B
G
b
C
5
Rozwiązanie zadania 1
y
A
A
r
x
SB
a
a
b
r
r
SC
B G
G
P = -SB sina + SC sin b = 0
ix
P = -SB cosa - SC cosb - G = 0
iy
b
SB = 2,0kN
SC = -3,46kN
C
6
Zadanie 2
Wyznaczyć siły w przegubowo połączonych prętach układu przedstawionego na
rysunku.
A
a
a
C
B
a
a
D
G
7
Rozwiązanie zadania 2
Węzeł D
y
A
r r
SDB SDC
a a
B C a
a
a a
x
D
D
r
G
G
P = -SDB cosa + SDC cosa = 0 SDB = SDC
ix
G
P = SDB sina + SDC sina - G = 0 SDB = SDC = 2sina
iy
8
Węzeł B
y
r
A
SBA
a a
B C
a
r
a a
a
B
SBC x
r
D SDB
G
P = -SDB sina + SBA sina = 0 SBA = SDB
iy
P = SDB cosa + SBA cosa + SBC = 0 SBC = -Gcota
ix
9
Węzeł A
A
y
a a
B C
x
a
a a
a
A
r r
SBA SAC
D
G
P = -SBA cosa + SAC cosa = 0 SAC = SBA
ix
Ostatecznie:
G
SDB = SDC = SBA = SAC =
SBC = -Gcota
2sina
10
Zadanie 3
Obliczyć wartość poziomej siły P, jaką należy działać, aby układ pokazany na
rysunku pozostał w spoczynku. Wyznaczyć również reakcję podłoża. Tarcia nie
uwzględniać.
A
C
G
r
P
Q
a
11
Rozwiązanie zadania 3
Ciało G
y
r
P = Gsina - S = 0 S = Gsina
ix
a
r
G
S
P = R2 - Gcosa = 0 R2 = Gcosa
iy
r
R2
a
x
Ciało Q
y1
r
S
r
P = P - S + S cosa - R2 sina = 0 P = S = Gsina
ix
S
C
P = R1 - Q - R2 cosa - S sina = 0 R1 = Q + G
iy
r
r
R2
P r
Q
a
r
x1
R1
12
Równowaga przestrzennego układu sił zbieżnych
1. Warunki równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych
r r r r
Przestrzenny układ sił zbieżnych 1 2 3 n znajduje się w równowadze, jeżeli
P , P , P ,KP
wielobok przestrzenny utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).
n
r r r r r
P1 + P2 +K+ Pn =
P = 0
i
i=1
Siły zbieżne są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił na trzy osie układu
współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).
n
Px = P1x + P2x +K+ Pnx =
P = 0
ix
i=1
n
Py = P1y + P2 y +K+ Pny =
P = 0
iy
i=1
n
Pz = P1z + P2z +K+ Pnz =
P = 0
iz
i=1
13
Zadanie 1
Żuraw podnoszący ciężar Q=20,0kN, jest zbudowany, jak pokazano na rysunku;
AB=AE=AF=2,0m, kąt EAF=90. Płaszczyzna wysięgnika ABC dzieli na połowy kąt
r
dwuścienny EABF. Wyznaczyć siłę P 1 ściskającą pionowy słup AB, a także siły
r r r
rozciągające liny BC, BE i BF. Ciężary części składowych żurawia pominąć.
P2, P3, P4
5,0
5,0m
BC = = 5,77m
sin 60
C
K
KB = BCcos60 = 2,89m
a
2
2
AC = (AB + KB) + KC
Q
60
B
2
AC = (2,0 + 2,89) + 5,02 = 7,0m
5,0
sina = = 0,7143
7,0
F
45
cosa = 0,7000
A
45
AB = AE = AF AEB = AFB = 45
E
14
Rozwiązanie zadania 1
5,0m
Węzeł C
C
K
a
y
Q
60
B
r
SDB
F
45
x
30 C
r
A
45
P2 a
r
E
r
P5
Q
-
P = -P2 cos30 P5 sina = 0
ix
-
P = -P2 sin 30 P5 cosa - Q = 0
iy
Ż
P2 = 57,36kN
15
5,0m
Węzeł B
C
K
z1
a
Q
r
60
B
P2
45
60
B
30
F
45
45
45
r
r
A
P4
P1
45
y1
45
E
x1 r
P3
= P3 = 49,67kN
P = -P2 cos30cos45 + P3 cos45 0
ix
- = P4 = 49,67kN
P = P2 cos30cos45 P4 cos45 0
iy
- -
P = P2 cos60 P4 sin 45 P3 sin 45 + P1 = 0 P1 = 41,56kN
iz
16
Zadanie 2
Na rysunku przedstawiono kratownicę przestrzenną złożoną z sześciu prętów. Siła P
działa na węzeł A w płaszczyznie prostokąta ABCD, przy czym jej prosta działania
tworzy z prostą pionową CA kąt 45. "EAK= "FBM. Kąty trójkątów
równoramiennych: EAK, FBM i NDB przy wierzchołkach A, B i D są proste. Obliczyć
siły w prętach jeżeli P=10,0kN.
B
6
3
5 45
45
N
r
4
F
P
A
45
D
2
45
1
M
E
C
45
K
17
Rozwiązanie zadania 2
Węzeł A
z
y
B r
6
45
P3
r
3
5 45
P
45
N
r
4
F
P
A
A
45
45
D
2
45
1
r
M
P2
E
C
x
r
45
K
P1
45
=
P = P3 + Psin 45 0
iy
=
P = P1 cos45 + P2 cos45 0
ix
- - =
P = -P1 sin 45 P2 sin 45 Psin 45 0
iz
18
Węzeł B
B z
6
y
3
5 45
45
N
r
4
F
P
A
45
r
B
P6
D
2
45
1
M
45
E
r
P5
C r
45 P3 x
K
r
P4
45
=
P = -P3 + P6 cos45 0
iy
=
P = -P5 cos45 + P4 cos45 0
ix
- - =
P = -P4 sin 45 P5 sin 45 P6 sin 45 0
iz
Wartości liczbowe sił wyznaczyć samodzielnie.
19


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
REDUKCJA płaskiego układu sił 2
2 WYPADKOWA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ(1)
redukcja przestrzennego układu sił zadania
3 Zbieżny układ sił
Mechanika Techniczna I Statyka Zbieżny Układ Sił

więcej podobnych podstron