Wymiar podobieństwa

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ten artykuł od 2010-11 wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji. Informacje nieweryfikowalne mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Aby uczynić artykuł weryfikowalnym, należy podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Wymiar podobieństwa - inaczej wymiar fraktalny, wymiar samopodobieństwa jest miarą fraktali. Jego wartości mogą być dowolnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Z formalnego punktu widzenia istnieje kilka nierównoważnych definicji wymiarów, które w różnych sytuacjach są określane mianem wymiarów fraktalnych. Często termin ten odnosi się do wymiaru Hausdorffa.

Intuicje

Otaczający nas świat jest trójwymiarowy, więc aby opisać położenie dowolnego punktu w przestrzeni, stosujemy trzy współrzędne - x, y i z. Gdy jednak chcemy opisać położenie przedmiotu (a ściślej jakiegoś punktu) położonego na stole, wystarczą nam jedynie dwie współrzędne - x i y. Zaś gdy chcemy opisać położenie np. pewnego miejsca na sznurze, to może nam wystarczyć jedna współrzędna. Rozważmy zwinięty w kłębek sznur. Ma on jeden wymiar topologiczny (wymagana jest jedna współrzędna do określenia położenia na nim), ale jego wymiar euklidesowy jest równy 3, niezależnie od tego, czy jest zwinięty, czy też rozwinięty.

Wymiar podobieństwa, czy też wymiar fraktalny określa rzeczywistą miarę fraktala. Jeśli przedmiot w całej wielkości zawiera N samopodobnych kopii siebie wielkości s, to jego wymiar samopobieństwa wyrażony jest przez równanie:

.

Można je przekształcić do postaci:

Przykładowe wymiary

Wymiary samopodobieństwa fraktali są liczbami rzeczywistymi. Na przykład w. fraktalny zbioru Cantora wynosi w przybliżeniu 0,630929, zaś kostki Mengera około 2,726833. Wymiary samopodobieństwa figur zdecydowanie bliższych nam - linii, kwadratu i sześcianu, to odpowiednio 1, 2 i 3. Takie też są ich wymiary topologiczne, czyli tyle współrzędnych jest nam potrzebnych do opisania położenia w ich wnętrzu. Co więc z popularnymi fraktalami? Ich wymiary samopobieństwa zawierają się np. w przedziale (1,2), czyli wymiary tej grupy fraktali (mowa tu na przykład o trójkącie Sierpińskiego, czy płatku Kocha) są mniejsze niż figury płaskiej, a większe niż prostej. Tak więc fraktale, których wymiary samopodobieństwa zawierają się w tym przedziale, nie są już prostymi, a jeszcze nie są figurami płaskimi.