1

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych

losowych

1.1

Podstawowe rozkłady typu dyskretnego

1. Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy , skoncentrowany w punkcie x

0

jeśli przyjmuje z prawdopodobieństwem jeden wartość x

0

tj.

P (X = x

0

) = 1.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = x

0

, V arX = 0.

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) = e

itx

0

.

2. Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy (rozkład Bernoulliego) z parame-

trem p, 0 < p < 1 (oznaczany B(1, p)) jeśli przyjmuje wartości ze zbioru {0, 1} z

prawdopodobieństwami:

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = p, V arX = p(1 − p).

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) = 1 − p + pe

it

.

3. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny dyskretny jeżeli przyjmuje wartości

ze zbioru {x

1

, x

2

, ..., x

n

} z prawdopodobieństwami:

P (X = x

i

) =

1

n

, i = 1, 2, ..., n.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

1

n

n

X

i=1

x

i

, V arX =

1

n

n

X

i=1

(x

i

− EX)

2

.

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) =

1

n

n

X

i=1

e

itx

i

.

1

4. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n, p, ( n ∈ N, 0 <

p < 1) (oznaczany B(n, p)), jeśli przyjmuje wartości ze zbioru {0, 1, 2, ..., n} z praw-

dopodobieństwami:

P (X = k) =

n

k

p

k

(1 − p)

k

, k = 0, 1, 2, ..., n, 0 < p < 1.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = np, V arX = np(1 − p).

Funkcja charakterystyczna

ϕ

X

(t) = (1 − p + pe

it

)

n

.

Należy zauważyć, że jeżeli {X

1

, X

2

, ..., X

n

} jest ciągiem niezależnych zmiennych lo-

sowych o rozkładzie Bernoulliego z parametrem p B(1, p) to zmienna losowa

P

n
i=1

X

i

ma rozkład dwumianowy B(n, p).

5. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ, λ > 0 (oznaczany P(λ))

jeżeli przymuje ona wartości na zbiorze {0, 1, 2, ...} z prawdopodobieństwami

P (X = k) =

λ

k

k!

e

−λ

, k = 0, 1, 2, ...

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = λ, V arX = λ.

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) = e

λ(e

it

−1)

.

6. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1

(oznaczany Ge(p)), jeżeli przyjmuje ona wartości ze zbioru {0, 1, 2, ...} z prawdopo-

dobieństwami:

P (X = k) = p(1 − p)

k

, k = 0, 1, 2, ...

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

1 − p

p

, V arX =

p

(1 − p)

2

.

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) =

p

1 − (1 − p)e

it

.

2

7. Zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami n, p, (n ∈

N, 0 < p < 1) (oznaczany N B(n, p))jeżeli przyjmuje wartoście ze zbioru {0, 1, 2, ...}

z prawdopodobieństwami

P (X = k) =

k + n − 1

k

!

p

k

(1 − p)

n

, k = 0, 1, 2, ...

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

np

1 − p

, V arX =

np

(1 − p)

2

.

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) =

1 − p

1 − pe

it

!

n

1.2

Podstawowe rozkłady typu ciągłego

1. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (prostokątny)na odcinku (a, b)

(oznaczany U (a, b)), jeżeli jej gęstość f (x) wyraża się wzorem

f (x) =

1

b − a

1

(a,b)

(x).

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

a + b

2

, V arX =

(b − a)

2

12

.

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) =

e

itb

− e

ita

(b − a)it

.

2. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ, σ, (σ > 0, µ ∈ R)

(oznaczany N (µ, σ)), jeżeli jej gęstość f (x) jest określona wzorem

f (x) =

1

√

2πσ

exp

−

(x − µ)

2

2σ

2

!

x ∈ R).

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = µ, V arX = σ

2

.

Funkcja charakterystyczna

ϕ

X

(t) = e

itµ−

1
2

t

2

σ

2

.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, σ) to zmienna losowa U =

X−µ

σ

ma rozkład N (0, 1), której dystrybuantę oznaczamy Φ(x). Ponadto mamy Φ(x) =

1 − Φ(−x).

3

3. Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami α, β, (α > 0, β > 0)

(oznaczany Γ(α, β)), jeżeli jej gęstość f (x) jest określona wzorem

f (x) =

1

β

α

Γ(α)

x

α−1

exp

−

x

β

!

1

(0,+∞)

(x),

gdzie funkcja gamma Γ(α) jest określona wzorem

Γ(α) =

Z

∞

0

x

α−1

e

−x

dx, α > 0, Γ(p + 1) = pΓ(p), Γ

1

2

=

√

π.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = αβ, V arX = αβ

2

.

Funkcja charakterystyczna

ϕ

X

(t) =

1

(1 − itβ)

α

.

4. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ, (λ > 0) (oznaczany

Exp(λ)), jeżeli jej gęstość f (x) jest określona wzorem

f (x) =

1

λ

exp

−

x

λ

1

(0,+∞)

(x).

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = λ, V arX = λ

2

.

Funkcja charakterystyczna

ϕ

X

(t) =

1

1 − itλ

.

Warto zauważyć, że rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu

gamma Γ(1, λ).

5. Zmienna losowa X ma rozkład χ

2

z parametrem n, n ∈ N) (oznaczany χ

2

(n)),

jeżeli jej gęstość f (x) określa wzór .

f (x) =

1

2

n/2

Γ(

n

2

x

n/2−1

exp

−

x

2

1

(0,+∞)

(x).

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = n, V arX = 2n.

Funkcja charakterystyczna

ϕ

X

(t) =

1

(1 − 2it)

n/2

.

4

Warto zauważyć, że rozkład χ

2

jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma

Γ(

n

2

, 2). Należy również zauważyć, że rozkład χ

2

jest dokładnym rozkładem staty-

styki

χ

2

=

n

X

i=1

U

2

i

=

n

X

i=1

X

i

− µ

σ

2

,

będącej funkcją próby prostej (X

1

, X

2

, ..., X

n

) pobranej z populacji o rozkładzie

N (µ, σ). Liczba stopni swobody jest parametrem rozkładu i ma wpływ na kształt

funkcji gęstości.

6. Zmienna losowa X ma rozkład beta z parametrami α, β, (α > 0, β > 0) (ozna-

czany B(α, β)), jeżeli jej gęstość f (x) wyraża się wzorem

f (x) =

1

B(α, β)

x

α−1

(1 − x)

β−1

1

(0,1)

(x),

gdzie funkcja beta B(α, β) określona jest wzorem

B(α, β) =

Z

1

0

x

α−1

(1 − x)

β−1

dx, α > 0, β > 0, B(α, β) =

Γ(α)Γ(β)

Γ(α + β)

.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

α

α + β

, V arX =

αβ

(α + β)

2

(α + β + 1)

.

7. Zmienna losowa X ma rozkład potęgowy z parametrami α, λ, (α > 0, λ > 0)

(oznaczany P o(α, λ)), jeżeli jej gęstość f (x) jest określona wzorem

f (x) =

αx

α−1

λ

α

1

(0,λ)

(x).

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

αλ

α + 1

, V arX =

αλ

2

(α + 1)

2

(α + 2)

.

8. Zmienna losowa X ma rozkład Pareto z parametrami x

0

, α, ( x

0

> 0, α > 0),

(oznaczany P a(x

0

, α)), jeżeli jej gęstość f (x) jest posatci

f (x) =

α

x

0

x

0

x

α+1

1

(x

0

,∞)

(x).

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

αx

0

α − 1

, V arX =

αx

2
0

(α − 1)

2

(α − 2)

.

5

9. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego z parametrami α, γ, (α ∈ R, λ > 0),

(oznaczany C(α, λ)), jeżeli jej gęstość f (x) jest wyrażona wzorem

f (x) =

1

π

λ

λ

2

+ (x − α)

2

!

, x ∈ R.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX − nieistnieje, V arX − nie istnieje.

Funkcja charakterystyczna:

ϕ

X

(t) = exp(iαt − λ|t|).

Standardowy rozkład Cauchy’ego jest postaci C(0, 1)

10. Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta z n stopniami swobody n ∈ N, (ozna-

czany t(n)), jeżeli jej gęstość f (x) jest określona wzorem

f (x) =

Γ((n + 1)/2)

Γ(n/2)

√

πn

1 +

x

2

n

!

−(n+1)/2

, x ∈ R.

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX = 0, V arX =

n

n − 2

.

Należy zauważyć, że statystyka

T =

X − µ

S

√

n − 1 =

X − µ

b

S

√

n

będąca funkcją próby prostej (X

1

, X

2

, ..., X

n

) pobranej z populacji o rokładzie

N (µ, σ) ma rozkład t-Studneta o n − 1 stopniach swobody.

11. Zmienna losowa X ma rozkład F Snedecora z (m, n) stopniami swobody (m, n ∈

N), (oznaczany F (m, n)), jeżeli jej gęstość f (x) jest postaci

f (x) =

m

n

m/2

B

m

2

,

n

2

1 +

m

n

x

−(m+n)/2

1

(0,∞)

(x).

Podstawowe charakterystyki rozkładu:

EX =

n

n − 2

, V arX =

2n

2

(m + n − 2)

m(n − 2)

2

(n − 4)

.

Należy zauważyć, że statystyka określona wzorem

F =

1

m

χ

2
m

1

n

χ

2

n

,

gdzie zmienne χ

2
m

i χ

2
n

są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że χ

2
m

ma

rozkład chi-kwadrat o m stopniach swobody, a χ

2
n

ma rozkład chi-kwadrat z n

stopniami swobody, ma rozkład F Snedecora o (m, n) stopniach swobody.

6