Fizyka Ogólna

Wykład 6

1

Strumie½ pola wektorowego; dywergencja

na podstawie: “Feynmanna Wyk»ady z Fizyki” t.II cz.1 rozd.3, PWN ºódï 1971

Dana jest ciecz i powierzchnia, przez któr przep»ywa ciecz

Strumie½ cieczy przez element powierzchni

ds

n

v

=

d

⋅

⋅

Φ

r

r

Ca»kowity strumie½ cieczy przez ca» powierzchni“ S

s

d

v

=

ds

n

v

=

S

S

r

r

r

r

⋅

⋅

Φ

∫∫

∫∫

Podobnie dla dowolnego innego pola wektorowego np. dla pola elektrycznego



Niech S b“dzie powierzchni
zamkni“t otaczajc objetoу V

0

+

s

d

C

+

s

d

C

=

s

d

C

=

S

S

S

b

a

r

r

r

r

r

r

⋅

⋅

⋅

Φ

∫

∫

∫

∫

∫∫

Moóna wi“c podzieliƒ dowoln obj“toу V na elementarne obj“toÑci i taka
procedura nie zmieni ca»kowitego strumienia pola wektorowego
przep»ywajcego przez powierzchni“ S

s

d

E

=

ds

n

E

=

S

S

r

r

r

r

⋅

⋅

Φ

∫∫

∫∫

Fizyka Ogólna

Wykład 6

2

Weïmy wi“c elementarn obj“toу w kszta»cie szeÑcianu

z

y

x

=

V

∆

∆

∆

∆

Znajdziemy strumie½ dowolnego wektora

C

r

przez powierzchni“

∆

S otaczajc obj“toу ∆V

powierzchnia 1:

-C

x

(x,y,z) ∆y∆z

powierzchnia 2:

+C

x

(x+∆x,y,z) ∆y∆z

....

+

x

x

C

2

1

+

x

x

C

+

z)

y,

(x,

C

=

z)

y,

x,

+

(x

C

2

2

x

2

x

x

x

∆

∂

∂

∆

∂

∂

∆

Dla ma»ego ∆x suma strumieni przez powierzchni“ 1 i 2:

z

y

x

x

C

x

∆

∆

∆

∂

∂

Podobnie dla powierzchni 3 i 4

oraz dla powierzchni 5 i 6 szeÑcianu.

Fizyka Ogólna

Wykład 6

3

Ostatecznie ca»kowity strumie½ przez elementarny szeÑcian o obj“toÑci ∆V:

V

ivC

d

V

)

z

C

+

y

C

+

x

C

(

=

s

d

C

z

y

x

S

∆

≡

∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⋅

∫∫

r

r

r

Dywergencja jest wi“

“““c strumieniem pola wektorowego obliczanym na jednostk““““ obj““““toÑÑÑÑci.

SciÑlej: w granicy objetoÑci malejcej do zera.

Twierdzenie Greena i Gaussa:

dv

ivC

d

=

s

d

C

V

S

r

r

r

∫

∫

∫

∫∫

⋅

Fizyka Ogólna

Wykład 6

4

Króenie pola wektorowego; rotacja

Ca»ka krzywoliniowa

l

C

=

l

d

C

i

i

0

l

i

r

r

r

r

∆

⋅

⋅

∑

∫

→

∆

Γ

lim

gdy

C

r

= grad ψ(x,y,z)

gdzie ψ(x,y,z) jest dowoln g»adk funkcj skalarn to

(1)

-

(2)

=

l

d

z)

y,

(x,

grad

2

1

ψ

ψ

ψ

r

∫

Gdy droga Γ jest krzyw zamkni“t to

l

d

C

r

r

∫

Γ

nazywa si“ cyrkulacj

 (króóóóeniem) pola wektorowego

C

r

Fizyka Ogólna

Wykład 6

5

•

Dowolny kontur zamkni“ty Γ moóna podzieliƒ na kontury elementarne. Ca»kowita cyrkulacja
po konturze Γ b“dzie wtedy suma cyrkulacji po elementarnych konturach.

Jest to dzia»anie takie samo jak podzia» obwodu elektrycznego na “oczka”.

Fizyka Ogólna

Wykład 6

6

Weïmy elementarny kontur w postaci kwadratu.

Za»óómy, óe leóy on w p»aszczyïnie Oxy.

y

(4)

C

-

x

(3)

C

-

y

(2)

C

+

x

(1)

C

=

l

d

C

y

x

y

x

∆

∆

∆

∆

∫

Γ

r

r

Fizyka Ogólna

Wykład 6

7

Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy:

y

x

y

C

-

=

x

]

(3)

C

-

(1)

C

[

y

y

C

+

(1)

C

=

(3)

C

x

]

(3)

C

-

(1)

C

[

x

x

x

x

x

x

x

x

∆

∆

∂

∂

∆

∆

∂

∂

∆

Podobnie dla boków 2 i 4:

y

x

)

y

C

-

x

C

(

=

l

d

C

x

y

kontur

∆

∆

∂

∂

∂

∂

∫

r

r

Dla konturu o kszta»cie kwadratu leócego w p»aszczyïnie Oyz

z

y

)

z

C

-

y

C

(

=

l

d

C

y

z

kontur

∆

∆

∂

∂

∂

∂

∫

r

r

a dla konturu leócego w p»aszczyïnie Oxz

z

x

)

x

C

-

z

C

(

=

l

d

C

z

x

kontur

∆

∆

∂

∂

∂

∂

∫

r

r

Fizyka Ogólna

Wykład 6

8

Dla dowolnie zorientowanego w przestrzeni konturu o dowolny kszta»cie:

s

d

C

rot

=

l

d

C

S

r

r

r

r

∫

∫

∫

Γ

Jest to twierdzenie Stokesa
przy czym

S jest powierzchni rozpi“t na konturze Γ.

Wektor elementu powierzchni dany jest przez

ds

n

=

s

d

r

r

Kierunek wektora normalnego okreÑla regu»a prawej r“ki.

W uk»adzie kartezja½skim rotacja wektora

C

r

zapisuje si“:

i

)

x

C

-

z

C

(

+

i

)

z

C

-

y

C

(

+

i

)

y

C

-

x

C

(

=

C

rot

y

z

x

x

y

z

z

x

y

r

r

r

r

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Fizyka Ogólna

Wykład 6

9

Naj»atwiej zapami“taƒ ten wzór pos»ugujc si“ zapisem operatorowym

C

x

=

C

C

C

z

y

x

i

i

i

=

C

rot

z

y

x

z

y

x

r

r

r

r

r

∇

∂

∂

∂

∂

∂

∂

gdzie operator nabla

)

z

,

y

,

x

(

∂

∂

∂

∂

∂

∂

≡

∆

Fizyka Ogólna

Wykład 6

10

Pola bezwirowe:

Na mocy twierdzenia Stokesa:

0

=

l

d

C

0

=

C

rot

r

r

r

∫

Γ

⇔

0

=

l

d

C

+

l

d

C

=

l

d

C

1

2
b

2

1
a

b

+

a

r

r

r

r

r

r

∫

∫

∫

s

td:

l

d

C

=

l

d

C

-

=

l

d

C

2

1

b

1

2
b

2

1
a

r

r

r

r

r

r

∫

∫

∫

Wniosek

Gdy rotacja pola wektorowego znika

ca»ka krzywoliniowa po tym polu nie zaleóy od drogi ca»kowania

a tylko od po»oóenia jej kra½ców.

Wtedy moóna wprowadziƒ potencja» skalarny zdefiniowany przez

C

r

= - grad ψ

Fizyka Ogólna

Wykład 6

11

(1)

-

(2)

=

l

d

2

1

ψ

ψ

ψ

r

∇

∫

Twierdzenie odwrotne:

JeÑli dany jest potencja» ψ (x,y,z) (jeÑli istnieje taki potencja») to

0

=

l

d

r

ψ

∇

∫

Γ

wynika to z toósamoÑci:

0

)

(

rot

≡

∇

ψ

Wniosek

Pola dane przez gradient potencja»u (pola pot potencjalne) s polami bezwirowymi.