POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA
WYDZIAŁ MECHANICZNY
KATEDRA MECHANIKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ

LABORATORIUM MECHANIKI TECHNICZNEJ

Kod:

Instrukcja do ćwiczenia

POMIAR ODKSZTAŁCEŃ W BELCE ZGINANEJ

METODĄ TENSOMETRII ELEKTROOOPOROWEJ

Autor: ROBERT UŚCINOWICZ

BIAŁYSTOK

2011

1. CEL ĆWICZENIA 

Celem ćwiczenia jest:  

‰

Zapoznanie się z techniką badań tensometrycznych i różnymi rodzajami tensometrów, 

‰

Wyznaczenie za pomocą metody tensometrii elektrooporowej odkształceń i naprężeń 
na  powierzchni  belki  wspornikowej  oraz  porównanie  ich  z  wynikami  uzyskanymi  na 
drodze obliczeń analitycznych. 

2. WIADOMOŚCI OGÓLNE  

 

Analiza stanu naprężenia elementów konstrukcji jest z zasady realizowana za pomocą 

pomiarów 

odkształceń 

na 

powierzchniach 

badanych 

obiektów. 

Spośród 

eksperymentalnych  metod  pomiarów  odkształceń  (mechanicznych,  akustycznych, 
elektrycznych,  optycznych,  metody  Mohra,  siatek  i  innych)  najszersze  zastosowanie 
znalazła  metoda  tensometrii  elektrooporowej.  Za  pomocą  tej  metody  można  wyznaczyć 
stałe sprężyste tworzyw, eksperymentalnie określić składowe stanu odkształcenia, a także 
składowe  stanu  naprężenia,  siły,  momenty,  ciśnienia,  itp.  Pozwala  ona  na  prowadzenie 
badań  zarówno  przy  obciążeniach  statycznych  jak    dynamicznych  oraz  w  miejscach,  w 
których  obecność  człowieka  jest  niemożliwa  lub  niebezpieczna.  Metoda  ta,  poprzez 
wielokrotne  stosowanie,  przyczynia  się  wydatnie  do  podniesienia  trwałości  i 
bezpieczeństwa  wszelkich  konstrukcji,  maszyn  trakcyjnych,  pojazdów  mechanicznych,  a 
zwłaszcza współczesnych samolotów.  
 

Metoda tensometrii elektrooporowej zastosowana w ćwiczeniu wykorzystuje czujniki 

elektryczne – tensometry. Cechuje je duża dokładność pomiaru i możliwość wyznaczenia 
bardzo  małych  odkształceń.  Pomiary  te  mogą  być  dokonywane  nawet  w  znacznej 
odległości od elementu badanego, a ponadto istnieje sposobność niemal równoczesnego 
pomiaru odkształceń w wielu punktach konstrukcji.  
 
W skład układu pomiarowego wchodzą zazwyczaj cztery następujące elementy:  
1. Czujniki  (tensometry  elektrooporowe)  służące  do  pomiaru  wielkości  mechanicznych 

(odkształcenia) z możliwością zamiany jej na wielkość elektryczną.  

2. Układ  zasilający,  tj.  wzmacniacz    pomiarowy  wraz  z  generatorem  prądu  zmiennego 

lub źródłem prądu stałego. 

3. Układ  wzmacniający,  służący  do  wzmocnienia  impulsów  pochodzących  z  czujników 

lub mostka. 

4. urządzenie rejestrujące zmiany wartości mierzonej wielkości elektrycznej. 
 
 

Najczęściej  wyróżnia  się  trzy  typy  tensometrów  elektrooporowych:  wężykowe, 

kratowe  i  foliowe.  Tensometry  wężykowe  wykonane  są  z  jednego  odpowiednio 
ukształtowanego kawałka drutu (rys.1.), pokrytego obustronnie bardzo cienkim papierem 
lub folią. Do końca drutu dołączona jest ocynkowana taśma miedziana łącząca tensometr 
z przewodami obwodu elektrycznego. Drucik elektrooporowy, najczęściej konstantanowy, 
chromonikielinowy lub nichronowy ma średnicę od 0.02mm do 0.05mm. 
 

 

2

 

Rys. 1. Schemat konstrukcji tensometru wężykowego 

 

Tensometry  kratowe,  opracowane  przez  Gustafssona,  zbudowane  są  z  wielu 

pojedynczych i równoległych drucików połączonych ze sobą w obwód taśmą miedzianą o 
większym  niż  drut  przekroju  i  o  małej  oporności  właściwej.  Odkształcenia  łączników  są 
minimalne,  a  zmiany  oporu  są  o  dwa  rzędy  mniejsze,  niż  w  drucikach  podłużnych.  W 
związku  z  tym  nie  wpływają  na  zakres  pomiarowym  aparatury.  Średnica  drutu 
(konstantanowego)  w  tych  tensometrach  nie  przekracza  50  µm.  Połączenia  drucików  z 
taśmą  miedzianą  wykonuje  się  na  drodze  lutowania,  co  ogranicza  stosowanie  tych 
tensometrów przy badaniach zmęczeniowych oraz w takich warunkach temperaturowych, 
kiedy temperatura przekracza 180°C. Schemat tensometru kratowego pokazano na rys.2. 
 

 

Rys. 2. Schemat konstrukcji tensometru kratowego 

 

Tensometry foliowe (rys.3.) wykonuje się z folii metalowej o grubości od 0.0025 mm 

do 0.025 mm metodą fotochemiczną podobną do tej, jaką stosuję się  przy wytwarzaniu 
elektronicznych  obwodów  drukowanych.  Są  to  obecnie  najpowszechniej  stosowane 
tensometry. 
 

 

Rys. 3. Schemat tensometru foliowego 

 

3

 

Aby lepiej zrozumieć sposób działania tensometru oporowego należy zapoznać się z 

relacją jaka występuję pomiędzy sygnałem mechanicznym (odkształceniem tensometru), 
a  sygnałem  elektrycznym  (względnym  przyrostem  oporu).  Rezystancja  (opór)  każdego 
przewodnika metalowego w stanie nieobciążonym jest wyrażona poniższą formułą: 

l

R

A

ρ

=

 , 

 

(1) 

gdzie: 

R

‐  opór  tensometru,  ρ ‐  opór  właściwy,  ‐długość  czynna  tensometru, 

l

A

‐  pole 

przekroju poprzecznego drutu tensometru. 
Pod  wpływem  przyłożonej  siły  rozciągany  drut  wydłuża  się  sprężyście  o 

,  przekrój 

maleje o 

l

∆

A

∆

, a opór elektryczny właściwy wzrasta o 

ρ

∆ ( w przypadku niklu 

ρ

∆ maleje). 

Wzrastająca rezystancja naprężonego drutu będzie wynosiła:  

(

)

l

l

R

R

A

A

ρ

ρ

+ ∆

+ ∆ =

+ ∆

− ∆

. 

(2) 

Po zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu wyrażenia (2) otrzymamy: 

R

dl

dA

d

R

l

A

ρ

ρ

∆

=

−

+

. 

(3) 

Jeżeli  tensometr  zostanie  przyklejony  do  powierzchni  badanego  obiektu  będzie  się  on 
wspólnie z nią odkształcał. Odkształcenie drutów tensometru w kierunku wzdłużnym jest 
takie  samo  jak  odkształcenie  jego  powierzchni  w  tym  samym  kierunku.  Wspomniane 
odkształcenie wyniesie: 

l

dl

l

ε

=

. 

(4) 

Także przekrój będzie ulegał deformacji, a wzajemną zależność odkształcenia wzdłużnego 
i  poprzecznego  drutu  opisuje  współczynnik  Poissona.  Główne  odkształcenie  w  kierunku 
promieniowym wyniesie:  

y

l

dr

dl

r

l

ε

ν ε

ν

=

= − ⋅ = −

, 

(5) 

gdzie:  ‐ promień drutu. 

r

Uwzględniając powyższe można określić wielkość zmian pola przekroju, które zmienia się 
dwa razy szybciej niż odkształca się promień; 

(

)

2

2

1

1

2

2

2

y

y

y

y

dA

dl

A

l

ε

ε

ε

ε

ν

= +

− =

+

≈

=

. 

(7) 

Ostatecznie względna zmiana oporu wyniesie:  

(

)

(

)

1 2

1 2

l

R

dl

dA

d

dl

d

d

R

l

A

l

ρ

ρ

ρ

ν

ν ε

ρ

ρ

ρ

∆

=

−

+

= +

+

= +

+

. 

(8) 

Dzieląc powyższe równanie przez 

l

ε

 i wprowadzając nową stałą 

k

otrzymamy:  

1 2

l

l

d

dR

R

k

ρ

ρ

ν

ε

ε

=

= +

+

, 

(6) 

gdzie: 

–  stała  tensometru,  zwana  "współczynnikiem  czułości  odkształceniowej"  lub 

"współczynnikiem tensoczułości".   

k

 

Stała  tensometru 

  zależy  od  rodzaju  materiału,  z  którego  wykonany  jest  drucik 

czujnika,  a  jej  wartość waha  się  w  granicach  od  1.6  do  3.6.  Dla  najczęściej  stosowanych 
stopów  wynosi  ona:  konstantan  ‐  2÷2.1,  manganin  ‐  2.0,  nichrom    ‐  1.9÷2.4,  chromel    ‐ 
1.9÷2.5.  Stała  tensometru  jest  bardzo  czuła  na    wpływy  środowiskowe,  tj.  wilgotność, 

k

 

4

temperaturę,  rodzaj  użytego  kleju  i  materiał  podkładki,  sposób  położenia  drutu. 
Wyznacza  się  ją  z  pomiarów  i  jest  zawsze  podawana  przez  producenta  na  opakowaniu 
tensometru.  Ostatecznie  wzdłużne  odkształcenie  drutów  wyznacza  się  z  poniższej 
zależności: 

l

dR

R

R

k

kR

ε

ε

∆

=

≈

= . 

(7) 

 

Coraz częściej obok tensometrów drucikowych i foliowych korzysta się z tensometrów 

półprzewodnikowych. Ich podstawową cechą odróżniającą je od tensometrów oporowych 
jest  ich  duży  współczynnik  czułości  odkształceniowej 

,  który  dla  tensometrów 

krzemowych  lub  germanowych  wynosi  40÷300.  Umożliwia  to  stosowanie  znacznie 
prostszej  i  tańszej  aparatury  pomiarowej  wzmacniającej  sygnał.  Tensometry  te  dobrze 
pracują zarówno na obiektach obciążonych statycznie jak i dynamicznie.  

k

 

Należy  podkreślić,  że  miejsce  naklejenia  tensometrów  musi  być  dokładnie 

oczyszczone  zarówno  mechanicznie  jak  i  chemicznie.  Cały  proces  przygotowania  do 
prowadzenia  badań  jest  stosunkowo  długi  i  żmudny,  gdyż  wymaga  starannego 
przygotowania  również  przewodów  łączących  czujnik  z  aparaturą  pomiarową. 
Odpowiednie  i  staranne  działania  przygotowawcze  prawie  całkowicie  eliminują 
wrażliwość tensometrów na wilgoć i zmiany temperatury. 
 

Do  pomiarów  tensometrycznych  za  pomocą  tensometrów  oporowych  najczęściej 

wykorzystany jest układ mostka Wheatstone'a i dwie metody pomiarowe – „zerowa” lub 
„wychyłowa”.  Poniżej  opisano  metodę  zerową  polegającą  na  zrównoważaniu  mostka 
Wheatstone'a podczas pomiaru.  
 

Na rysunku 4 przedstawiony jest układ mostka Wheatstone'a, który zbudowany jest z 

czterech  tensometrów: 

  —  czynnego, 

  —  kompensacyjnego  oraz  dwóch 

tensometrów  o  rezystancjach 

  i 

,  przy  czym 

  jest  rezystorem  dokładnie 

skalowanym  i  regulowanym.  Mostek  jest  zasilany  ze  źródła  prądu  o  napięciu.  W  drugą 
przekątną mostka BD jest włączony czuły galwanometr G. 

c

R

k

R

1

R

2

R

1

R

 

Rys. 4. Schemat mostka Wheatstone'a w stanie zrównoważonym 

 

Obwód AC mostka nazywa się przekątna zasilania, a BD – przekątna pomiarową. Jeżeli 

dobrane  zostaną  odpowiednio  cztery  rezystancje  (

1

2

,

,

,

c

k

R R R R

)  to  mostek  można 

doprowadzić  do  stanu  równowagi  (stan  przed  obciążeniem  obiektu).  Wynikiem  tego 
działania  jest  brak  przepływu  prądu  przez  galwanometr  (

),  a  zarazem  zerowe 

0

g

I

=

 

5

napięcia między punktami B i D (

0

BD

U

= ). Z powyższego warunku wynikają następujące 

związki:  natężenie  prądów  w  gałęziach  AB  i  BC  są  sobie  równe  i  wynoszą 

2

I

;  zachodzi 

równość prądów (

1

I

) w gałęziach AD i DC. 

Spadki napięć w odpowiednich gałęziach są równe: 

AB

A

U

U

=

D

 oraz 

AC

D

U

U

=

C

1

 

(8)

Zatem 
 

2

1

c

I R

I R

=

 oraz 

2

1

k

2

I R

I R

=

 

(9) 

Uwzględniając równanie (9) otrzymuje się równanie stanu równowagi mostka: 

1

2

c

k

R

R

R

R

=

 

(10) 

lub  

2

1

c

k

R R

R R

=

 

(11) 

Jeżeli  badany  obiekt  zostanie  poddany  obciążeniu  to  naklejony  na  nim  tensometr  o 
rezystancji

, też dozna odkształcenia, które zgodnie z (7) wyniesie: 

c

R

c

c

R

R k

ε

∆

=

 

(12) 

 

Równowaga  mostka  zostanie  zachwiana,  co  wywoła  natychmiastową  reakcję 
galwanometru, poprzez wychylenie jego wskazówki o wartość proporcjonalną do wartości 
tego  odkształcenia.  Aby  określić  wartości  poszukiwanego  odkształcenia  należy  zmierzyć 
wartość  zmiany  rezystancji  tensometru 

c

R

∆ .  Dokonuje  się  tego  poprzez  powtórne 

zrównoważenie  mostka  za  pomocą  rezystora  regulowanego 

.  Cały  pomiar  daje  dwie 

wartości tej rezystancji, tj. przed obciążeniem ‐ 

 i po obciążeniu, 

1

R

1

R

1

R ′

. Otrzymana różnica 

rezystancji  odpowiadającą  dwóm  stanom,  tj.  przed  i  po  obciążeniu  oraz  pozwala  na 
wyznaczenie z równania (11) i (12) poszukiwanego odkształcenia ε . 

 

(

)

'

'

'

1

1

1

1

1

2

2

2

k

k

k

c

c

c

2

k

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

∆ =

−

=

−

=

−

= ∆

R

 

(13) 

1

2

k

c

R R

R R k

ε

∆

=

 

(14) 

 

Zastosowanie  rezystora 

  zaopatrzonego  w  podziałkę  wyskalowaną  w  jednostkach 

jednostkowej zmiany rezystancji ∆R/R lub w jednostkach odkształcenia 

1

R

/

l l

ε

= ∆

 pozwala 

na  bezpośredni  pomiar  wartości  odkształcenia  jako  różnicy  odczytów  zrównoważonego 
mostka pomiarowego, przed i po obciążeniu badanego obiektu. 
 

W praktyce inżynierskiej najczęściej występują skomplikowane konstrukcje pracujące 

pod  złożonym  obciążeniem,  dla  których  zastosowanie  jednego  tensometru  do  pomiaru 
odkształcenia  (naprężenia)  jest  niewystarczające.  Nie  uzyskuje  się  wtedy  prawdziwej 
informacji o stanie odkształceń (naprężeń) w badanym punkcie konstrukcji. Zachodzi więc 
praktyczna  konieczność  stosowania  tak  zwanych  rozet  odkształcenia,  złożonych  z  trzech 
lub  czterech  tensometrów  elektrooporowych.  Uzyskuje  się  w  ten  sposób  sposobność 
określenia wielkości naprężeń głównych oraz ich kierunków dla przypadku dwuosiowego 
stanu naprężenia. Pomiar odkształceń odbywa się wtedy w trzech różnych, obranych dla 
danego  punktu  kierunkach.  Rozety  umieszcza  się  na  badanej  powierzchni  pod 
odpowiednio dobranymi kątami względem siebie, tj.: 0°, 45°, 90° lub 0°,  60°, 120° lub 0°,  
60°,  120°  i  90°.  W  przypadku,  gdy  znane  są  kierunki  naprężeń  głównych,  możliwe  jest 

 

6

stosowanie rozet składających się tylko z dwóch tensometrów, które tworzą między sobą 
kąt 90°. Schematy rozet tensometrycznych są pokazane na rys.5. 
 

 

Rys.  5.  Schematy  budowy  rozet:  a),  b)‐  rozety  dwutensometrowe,  c),  d)‐  rozety  prostokątne,  których 
odpowiednie kąty z osią odniesienia wynoszą: 0°, 45° i 90°, e)‐ rozeta równokątna (delta), dla której kąty 
są  równe:  0°,  60°  i  120°,  f)‐  rozeta  typu  T‐delta  (delta  +  dodatkowy  czwarty  tensometr  kontrolny, 
tworzący kąt prosty z jednym z trzech pozostałych tensometrów.  

Różne rodzaje konstrukcji rozet tensometrycznych prostokątnych ujęto na rysunku 6. 
 

a

a

b

 

Rys. 6. Dwie podstawowe konstrukcje rozet prostokątnych o tej samej bazie pomiarowej : a)‐ płaska, b)‐ 
w stosie  

 

W  zależności  od  rodzaju  stanu  naprężenia  występującego  w  badanej  konstrukcji 

należy stosować poniższe zalecenia przy doborze zestawu tensometrów: 

1. Jednoosiowy stan naprężenia ‐ jeden tensometr ułożony w kierunku linii działania 

obciążenia. 

2. Dwuosiowy  stan  naprężenia  o  znanych  kierunkach  głównych  ‐  rozeta 

dwutensometryczna  orientowana  wzdłuż  kierunków  głównych  np.  do 
zastosowania w cylindrycznym naczyniu cienkościennym pod działaniem ciśnienia 
wewnętrznego. 

3. Dwuosiowy  stan  naprężenia  o  nieznanych  kierunkach  głównych‐  rozeta 

prostokątna, równokątna (typu delta), lub T‐delta (np. korpusy, tarcze). 

 
Przy doborze typu układu rozetowego należy kierować się następującymi wytycznymi: 

1. Ze  względu  na  żądaną  dokładność  pomiaru  kąty  kierunkowe  poszczególnych 

tensometrów  rozety  muszą  być  możliwie  duże.  Dlatego  też  w  zastosowaniach 
właściwsza  jest  rozeta  typu  delta,  albowiem  zawiera  ona  większe  kąty  między 
osiami tensometrów. 

2. Rozety  prostokątne  należy  stosować  w  tych  przypadkach,  gdy  istnieje  w  przy‐

bliżeniu  możliwość  przewidzenia  kierunków  naprężeń  głównych  wg,  których 
orientuje się wtedy użytą do pomiaru rozetę. 

 

7

3. Dla  osiągnięcia  dokładnych  wyników  z  pomiarów  powinna  zachodzić  możliwie 

mała  zmienność  wartości  odkształceń  w  obszarze  pola  pokrytego  powierzchnią 
rozety.  

4. W  miejscach  gdzie  może  wystąpić  duża  koncentracja  naprężeń,  należy  stosować 

rozety  z  tensometrami  o  małej  bazie  pomiarowej  nie  przewyższającej  5mm.  W 
przypadkach, gdy występuje mała zmienność odkształceń, a pole odkształceń jest 
zbliżone  do  jednorodnego,  można  stosować  rozety  zbudowane  z  tensometrów  o 
dłuższej bazie pomiarowej, np. 20mm.  

 

 

 

Schemat rozmieszczenia tensometrów w rozecie równokątnej jest pokazany na rys.7, 

a  sposób  uzyskania  dla  niej  podstawowych  zależności  związanych  z  pomiarem 
tensometrycznym opisano poniżej.  

 

Rys. 7. Schemat rozmieszczenia termometrów w rozecie równokątnej 

 

W  celu  wyprowadzenia  zależności  na  naprężenia  główne  w  rozecie  równokątnej 

wychodzi  się  z  podstawowego  równania  (15)  przedstawiającego  zależność  między 
odkształceniem  zmierzonym  w  dowolnym  kierunku  pod  określonym  kątem  α ,  a 
składowymi odkształceniami w kierunkach osi 

x

 i  (rys.7). 

y

cos 2

sin 2

2

2

2

x

y

x

y

xy

α

ε

ε

ε

ε

γ

ε

α

α

+

−

=

+

+

 

(15) 

Podstawiając do tego równania odpowiednie wartości kątówα  równe: 

, 

 

i 

 otrzymamy: 

1

0

o

α

=

2

60

o

α

=

3

120

o

α

=

1

0

2

2

x

y

x

y

x

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

+

−

=

=

+

=

, 

2

60

1

3

2

2

2

2

x

y

x

y

x

2

y

ε

ε

ε

ε

γ

ε

ε

+

−

=

=

−

+

, 

(16) 

3

120

1

3

2

2

2

2

2

x

y

x

y

xy

ε

ε

ε

ε

γ

ε

ε

+

−

=

=

−

−

. 

Rozwiązując te równania względem 

,

,

x

y

xy

ε ε γ  otrzymamy: 

0

x

ε

ε

= , 

 

0

60

120

2

2

3

y

ε

ε

ε

ε

− +

+

=

, 

(17) 

(

)

60

120

2

3

xy

ε

ε

γ

−

=

. 

Wykorzystując poniższe wzory na odkształcenia główne, tj.: 

 

8

(

)

2

2

1

max

2

2

x

y

xy

x

y

ε

ε

γ

ε

ε

ε

ε

−

+

−

=

=

+

, 

(

)

2

2

2

min

2

2

x

y

xy

x

y

ε

ε

γ

ε

ε

ε

ε

−

+

+

=

=

+

 

(18) 

oraz  podstawiając  do  nich  wyrażenia  (17)  otrzymuje  się  równania  na  odkształcenia 
główne w rozecie równokątnej: 

(

) (

) (

)

2

2

0

60

120

max

0

60

60

120

120

0

2

3

3

ε

ε

ε

2

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

+

+

=

+

−

+

−

+

−

, 

(

) (

) (

)

2

2

0

60

120

min

0

60

60

120

120

0

2

3

3

ε

ε

ε

2

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

+

+

=

−

−

+

−

+

−

. 

(19) 

Jeżeli zastosuje się wzory na uogólnione prawo Hooke’a w postaci: 

(

)

max

max

min

2

1

E

σ

ε

ν

=

+

−

νε

, 

(

)

min

min

max

2

1

E

σ

ε

ν

ν

=

+

−

ε

 

(20) 

można wyznaczyć równania na naprężenia główne w układzie tensometrów typu delta 

(

)

2

2

0

60

120

0

60

120

60

120

max

0

2

1

1

3

3 1

3

E

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

ε

ν

ν

⎡

⎤

+

+

+

+

−

⎛

⎞

⎛

⎞

⎢

⎥

=

+

−

+

⎜

⎟

⎜

⎟

+

⎢

⎥

−

⎝

⎠

⎝

⎠

⎣

⎦

, 

(

)

2

2

0

60

120

0

60

120

60

120

min

0

2

1

1

3

3 1

3

E

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

ε

ν

ν

⎡

⎤

+

+

+

+

−

⎛

⎞

⎛

⎞

⎢

⎥

=

−

−

+

⎜

⎟

⎜

⎟

+

⎢

⎥

−

⎝

⎠

⎝

⎠

⎣

⎦

. 

(21) 

Dla opisywanej rozety równokątnej składowa stanu odkształcenia 

max

0, 5

γ

  

wyniesie : 

(

) (

) (

)

2

2

max

min

0

60

60

120

120

0

2

2

2

3

xy

γ

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

−

=

=

−

+

−

+

−

2

, 

(22) 

a maksymalne naprężenie styczne: 

(

)

max

max

2

2 1

E

τ

γ

ν

=

+

. 

(23) 

Tangens  podwojonego  kata 

g

α zawartego  między  kierunkiem  odkształcenia  głównego 

1

max

ε

ε

=

 i kierunkiem osi 

x

wynosi: 

( )

2

xy

g

x

y

tg

γ

α

ε

ε

=

−

. 

(24) 

Podstawiając  do  (24)  wyrażenia  (17)  otrzymuje  się  wzór  na 

(

g

2

tg

)

α

  odnoszący  się  do 

rozety równokątnej: 

( )

(

)

(

)

60

120

0

60

120

3

2

2

g

tg

ε

ε

α

ε

ε

ε

−

=

−

+

. 

(25) 

Ostatecznie,  wzory  pozwalające  wyznaczyć  maksymalne  naprężenie  styczne  i  kierunek 
naprężeń głównych  będą miały następującą postać: 

2

2

0

60

120

60

120

max

0

1

3

3

E

ε

ε

ε

ε

ε

τ

ε

ν

+

+

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

−

+

⎜

⎟

⎜

⎟

+

⎝

⎠

⎝

⎠

 

(26)

 

9

(

)

60

120

0

60

120

0

1

1

3

2

3

g

arctg

ε

ε

α

ε

ε

ε

ε

−

=

+

+

−

 

(27) 

 

Z uwagi na duże podobieństwo formalne przy wyprowadzenia wzorów na naprężenia 

główne dla rozety równokątnej i prostokątnej etap wyprowadzeń zostanie pominięty. 
 

W  niniejszym  ćwiczeniu,  opisywanym  szczegółowo  w  pkt.  3‐5,  do  wyznaczenia 

naprężeń głównych na powierzchni belki wspornikowej obciążonej siłą prostopadłą do jej 
powierzchni  zastosowano  półmostkowy  układ  tensometrów  z  użyciem  jednego 
tensometru czynnego. Wynikało to z prostoty badanej konstrukcji, znajomości sposobu jej 
obciążania  oraz  położenia  kierunków  głównych  odkształceń  i  naprężeń  w  belce.  Do 
wyznaczenia  wartości  odkształceń  i  naprężeń  można  zastosować  wzory  (19)‐(27) 
przyjmując, że 

60

120

0;

0

ε

ε

=

= . 

 
Zalety metody tensometrii oporowej: 

1. Duża czułość i dokładność pomiaru.  
2. Bardzo  małe  wymiary  oraz  niewielka  masa  tensometrów  nie  wpływa  na 

dokładność przeprowadzonych pomiarów.  

3. Niewrażliwość na wstrząsy predysponuje je do użycia w pomiarach dynamicznych. 
4. Bezpośrednie  przekazywanie  odkształcenia  na  drut  oporowy  eliminuje  błędy 

niedokładności przekazu informacji o odkształceniu; brak luzów, poślizgów itp. 

5. Wysoka powtarzalności wskazań tensometrów oporowych.  
6. Metoda  tensometrii  pozwala  na  dokonywanie  pomiarów  w  wielu  punktach 

znacznie od siebie odległych. 

7. Możliwość  przeprowadzania  pomiarów  odkształceń  (naprężeń)  na  ruchomych 

elementach  maszyn,  w  miejscach  trudno  dostępnych,  niebezpiecznych  lub 
zagrożonych awarią (możliwość monitoringu). 

8. W oparciu o tensometry budowane są dokładne i dogodne w użyciu przetworniki 

siły, momentu obrotowego, ciśnienia, przemieszczenia itd.  

9. Możliwość  pomiaru  odkształceń  na  niewielkich  powierzchniach  o  złożonej 

geometrii  przy  zastosowaniu  tensometrycznych  układów  rozetowych  (analiza 
dwuosiowego stanu naprężenia). 

 
Wady metody tensometrii oporowej:  
 

1. Wrażliwość  na  wpływ  temperatury  i  wilgoci;  stosowanie  odpowiednich  środków 

zabezpieczających  oraz  tensometrów  kompensacyjnych  eliminuje  po  części 
wrażliwość na temperaturę. 

2. Możliwość  tylko  jednokrotnego  użycia  tensometru.  Przy  zdejmowaniu  z  miejsca 

pomiarowego  ulega  on  uszkodzeniu  stąd  konieczność  powtórnego  naklejenia  i 
cechowania. 

3. Zjawisko  histerezy  (zanika  prawie  całkowicie  po  kilku  wstępnych  obciążeniach), 

pełzanie  drutów  oporowych.  Długi  i  skomplikowany  okres  przygotowawczy 
związany  z  klejeniem  i  suszeniem  tensometrów  ‐  szczególnie  w  warunkach 
polowych. 

 

10

3. OPIS STANOWISKA 

 

Stanowisko  pomiarowe  pozwala  na  wyznaczenie  odkształceń  na  powierzchni  belki 

wspornikowej  o  przekroju  prostokątnym  w  miejscu  naklejenia  tensometrów.  Belka 
obciążana  jest na swobodnym końcu siłami wywołującymi w przekroju belki siły tnące i 
moment zginający. Schemat stanowiska przedstawiono na rys.8. Schemat obciążenia wraz 
z wykresami sił wewnętrznych ilustruje rys .9. 
 

Stanowisko  pomiarowe  zbudowane  jest  z  konstrukcji  nośnej  (1),  do  której 

zamocowano belkę stalową (2)  o przekroju prostokątnym. Obciążenie belki uzyskuje się 
poprzez  zespół  obciążeniowy  składający  się  szalki  i  odważników  (3).  Jeden  z  czujników 
tensometrycznych  (4)  naklejono  na  górną  powierzchnię  belki  w  odległości 

od 

miejsca  jej  utwierdzenia.  Jego  siatka  czynna  jest  równoległa  do  osi  głównej  belki.  Obok 
tensometru  czynnego  znajduje  się  identyczny  tensometr,  naklejony  na  nieobciążony 
element  konstrukcji  pełniący  funkcję  tensometru  kompensacyjnego,  niwelujący  wpływ 
temperatury  na  pomiar.  Układ  dwóch  tensometrów  stanowi  zespół  półmostka 
tensometrycznego.  Sygnał  analogowy  z  tensometru  czynnego  i  kompensacyjnego  jest 
przesyłany do 6‐kanałowego wzmacniacza tensometrycznego Spider 8 (5)  i wzmacniany. 
W  przeprowadzanym  pomiarze  wykorzystuje  się  jedynie  jeden  kanał  wzmacniacza. 
Wzmacniacz    po  dokonaniu  pomiaru  i  przetworzeniu  sygnału  analogowego  na  cyfrowy 
przekazuje jego zmierzoną wartość do komputera PC poprzez złącze szeregowe RS232 lub 
równoległe.  Dalszą  obróbkę  mierzonej  wielkości  wykonuje  program  Catman  3.1.  Do 
pomiaru sygnału statycznego można wykorzystać prostą aplikację Spider‐ setup. 

20 mm

 

 

Rys.  8.  Schemat  stanowiska  pomiarowego:  1  –  konstrukcja  nośna,  2  –  stalowa  belka  wspornikowa  o 
profilu  prostokątnym,  3  –  szalka  i  obciążniki,  4  –  zespół  tensometrów  (półmostek),  5  –  wzmacniacz  
tensometryczny Spider‐8 

 

 

Rys.  9.  Schemat  obciążenia  belki  wspornikowej  wraz  wykresami  sił  wewnętrznych: 

‐  ciężar  szalki  i 

odważników, 

P

g

M

‐ moment zginający, 

 ‐ siła tnąca,   – wymiar określający położenie tensometru,  ‐ 

długość belki 

T

a

l

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA 

 

W celu wykonania pomiaru odkształcenia ε  przez półmostek tensometryczny należy:  

 
1. Do  mostka  pomiarowego  podłączyć  przewód  biegnący  od  tensometrów  do  złącza 

oznaczonymi  numerem  „0”  na  panelu  tylnym  urządzenia  pomiarowego  Spider‐8 
(rys.10).  Przewód  ten  podłączono  do  15‐pinowego  złącza  mostka  Spider‐8  wg 
schematu jak na rysunku 11. 

 

Rys.10. Tylny panel mostka Spider‐8 z zaznaczonymi pomiarowymi złączami wejściowymi 

 

Rys.11. Sposób podłączenia półmostka tensometrycznego do 15‐pinowego złącza mostka Spider‐8 

 

12

2. Połączyć  przewodem  porty  równoległe  (lub  szeregowe)  komputera  PC  i  przyrządu 

Spider‐8  oraz  wsunąć  wtyczkę  zasilania  w  gniazdo  na  panelu  tylnym  urządzenia 
pomiarowego oraz uruchomić zasilacz. (rys.12). 

Rys.12.  Tylny  panel  wzmacniacza  Spider‐8  z  zaznaczonym  wyjściem  komunikacyjnym  RS232  i  gniazdem 
zasilania.  

3. Zapoznać  się  ze  sposobem  działania  wzmacniacza  tensometrycznego  Spider‐8  i 

metodą  odczytu.  Do  odczytu  wartości  mierzonych  wielkości  można  wykorzystać 
zarówno  program  „Spider‐8‐setup”  jak  i  Catman  –  Express.  W  tym  celu  uruchomić 
wybrany program z menu startowego systemu operacyjnego. W przypadku programu 
„Spider‐8‐setup”  (prostsza  forma  pomiaru  i  odczytu),  po  ukazaniu  się  obrazu  jak  na 
poniższym rysunku (rys.13), zdefiniować rodzaj przyrządu pomiarowego, określić jego 
nazwę  oraz  wybrać  rodzaj  komunikacji  z  urządzeniem  Spider‐8  (port  równoległy  lub 
szeregowy); zatwierdzić wprowadzone zmiany. 

4. Sprawdzić prawidłowość połączeń elektrycznych systemu pomiarowego.  

 

Rys.13. Początkowe okno dialogowe programu „Spider‐8‐setup”. 

5. Po  ukazaniu  się  właściwego  interfejsu  programu  „Spider‐8‐setup”  (rys.14),  dla  kanału 

pomiarowego „0” wykonać poniższe czynności: 

 

a) wybrać rodzaj pracy mostka ‐ „półmostek”, 

 

b) ustawić zakres pomiaru na „3mV/V” lub „12mV/V”. 

c)  wykonać  wyzerowanie  (tarowanie)  „0”  czynnego  kanału  mostka  ‐  zaznaczyć 
przycisk  „tar”.  Wszystkie  wymienione  działania  wykonać,  gdy  stanowisko  jest 

 

13

nieobciążone odważnikami. Po wykonaniu tych czynności w  ostatniej kolumnie okna 
dialogowego „Meas. Value” pojawi się wartość „zero”. 

 

Rys.14. Zasadnicze okno dialogowo ‐pomiarowe programu „Spider‐8‐setup”. 

4. Obciążyć belkę w wybranym punkcie szalką (0,054kg) i  odważnikiem o masie 0,2 

kg;  odczytać  zmierzone  wartości  z  okna  dialogowego  (rys.14),  odpowiadające 
kanałowi „0”.  

5. Zwiększyć obciążenie poprzez dołożenie identycznego odważnika (0,054kg + 0,2 kg 

+ 0,2 kg), a następnie kolejnego (0,054kg + 0,2 kg + 0,2 kg + 0,2 kg). 

6. Powtórzyć wszystkie czynności z punktu 5‐6 trzykrotnie. 
7. Odciążyć belkę, wyłączyć zasilanie wzmacniacza pomiarowego Spider‐8. 
8. Zmierzyć  wymiary  geometryczne  belki;  określić  położenie  tensometrów, 

zanotować ciężar odważników. 

9. Zastosowanie  programu  Catman‐express  wymaga  przestudiowania  instrukcji 

obsługi.  Ogólny  schemat  urządzenia  Spider‐8  i  Spider‐8‐30  wraz  z  możliwościami 
aplikacji różnych czujników pokazano na rys.15.  

10. Wyłączyć zasilacz i komputer; sprzątnąć stanowisko pomiarowe 

 

Rys.15. Schemat urządzenia Spider‐8 i Spider‐8‐30 

 

 

14

5. WYNIKI POMIARÓW I OBLICZEŃ 

W celu opracowania wyników pomiarów należy wykonać następujące obliczenia: 
 
1. Obliczyć wartości odkształceń względnego  ε  według np. zależności: 
 

3

4

10

U

k

U

ε

−

∆

= ⋅

⋅

  

(28)   

 

 

gdzie: 

‐  stała  tensometru, 

k

/

U U

∆

[mV/V]  –  wartość  względnej  zmiany  napięcia 

odczytana z okna dialogowego programu „Spider‐8‐setup”. 

2. Wyznaczyć naprężenie główne (na kierunku pomiaru tensometru) ze wzoru: 

E

σ ε

= ⋅

, 

(29) 

przyjmując moduł Younga dla stali E=210 GPa,  

3. Wykorzystując  schemat  obciążeniowy  badanej  konstrukcji  (rys.9)  wyznaczyć  na 

drodze  obliczeń  analitycznych  naprężenia  w  punkcie  przyklejenia  tensometrów 
stosując  wzory  poznane  na  wykładach  wytrzymałości  materiałów  (mechanika 
techniczna  II).  W  tym  celu  zmierzyć:  wymiary  przekroju  belki,  odległość  pomiędzy 
punktem  przyłożenia  obciążenia  i  punktem  tensometrycznego  pomiaru  odkształceń. 
zastosować poniższe wzory: 

4. Do wyznaczenia naprężeń zastosować poniższe wzory: 

g

t

g

M

W

σ

=

, 

(30) 

gdzie: 

g

M

‐ moment zginający, 

g

W

 ‐ wskaźnik wytrzymałości na zginanie. 

2

6

bh

W

=

, 

(31)   

gdzie:  ‐ wysokość, 

b

‐ szerokość profilu. 

h

5. Wyniki zestawić w tabeli 1. 
 

Tabela 1. Wyniki pomiarów i obliczeń  

 

Obciążenie 

U

U

∆

 

 

ε

 

Stała 

tensometru 

k 

moduł 

Younga 

t

σ

 

teoretyczne 

d

σ

doświadczalne 

Lp. 

 

[N] 

/

mV V

 

mm/mm 

‐ 

GPa 

MPa 

MPa 

1 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

3 

1

 seria

 

 

 

 

2.15 

 

210 

 

 

 

 

6. WNIOSKI  

Porównując  uzyskane  wartości  naprężeń 

d

σ

i 

t

σ

(tabela  1)  rozpatrzyć  problem 

rozbieżności ich. Podać źródło braku ich powtarzalności mając na uwadze zastosowaną 
metodę tensometrii oporowej. 

 

Literatura

 

 

1. Lambert T.(red): Badania własności mechanicznych tworzyw Laboratorium, Skrypt 

Pol. Śl. Wydanie H, Gliwice 1975. 

2. Boruszak  A.,  Sygulski  R.,  Wrześniowski  K.:  Wytrzymałość  materiałów,  Do‐

świadczalne metody badań, PWN, Warszawa‐Poznań 1984.  

3. Janisz  M.(red):  Ćwiczenia  laboratoryjne  z  wytrzymałości  materiałów,  Wydanie  U. 

Śl. Katowice 1972.  

4. Lambert  T.(red):    Ćwiczenia  z  wytrzymałości  materiałów.  Laboratorium..  Skrypty 

uczelniane Pol. Śl. Wydanie 11, Gliwice 1972. 

5. Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa l 978. 
6. Katrzyński S., Kocańda S., Zakrzewski M.: Badania własności mechanicznych metali, 

PWT, Warszawa 1956. 

7. Lapiński  M.,  Włodarski  W.:  Miernictwo  elektryczne  wielkości  nieelektrycznych. 

Warszawa, WNT 1970. 

8. Rolinski  Z.:  Tensometria  elektrooporowa.  Podstawy  teoretyczne  i  przykłady  za‐

stosowań. 

9. Roliński Z.: Zarys elektrycznej tensometrii oporowej. Warszawa, WNT 1981. 
10. Romer E.: Miernictwo przemysłowe. Warszawa, PWN, 1970.  
11. Rżysko  J.,  Wilczyński  A.:  Laboratorium  wytrzymałości  materiałów  Wyd.  Pol. 

Warszawska, Warszawa 1972. 

12. Statyczne  pomiary  tensometryczne.  Instrukcja  do  ćwiczeń  laboratoryjnych 

IMiPKM, opracował J. Rzytka. Gliwice 1980. 

13. Styburski W.: Przetworniki tensometryczne. Warszawa, WNT 1976  
14. Szumielewicz  B.,  Słomski  B.,  Styburski  W.:  Pomiary  elektroniczne  w  technice. 

Warszawa, WNT, 1982. 

15. Wytrzymałość  materiałów.  Laboratorium..  Praca  zbiorowa  pod  redakcją  A. 

Siemieńca, A. Skorupy. Wyd. AGH Kraków 1971. 

16. Strony  internetowe  firm:  Vishay  Intertechnology  Inc.,  Hottinger  Baldwin 

Messtechnik  

17. Strony internetowe uniwersytetów: University of Durham, Politechniki Gdańskiej .  
18. Jakowluk A., „Mechanika techniczna i ośrodków ciągłych”, PWN, Warszawa 1977.  
19. Niezgodziński  M.  E.,  Niezgodziński  T.,  „Wytrzymałość  materiałów”,  PWN, 

Wraszawa 1998 

20. Uścinowicz  R.,  Instrukcja  obsługi  wzmacniacza    Spider  8  i  programu  Catman 

Express 3.1, Białystok, 2007