MATEMATYKA I ROK
Algebra liniowa
Zestaw V
Algebra macierzy
Z. 1. Daną macierz zapisać w postaci tablicy prostokątnej:
(1) A: {1, 2, 3} × {1, 2, 3} R, A((i, j)) = 2i + j;
(2) B : {1, 2} × {1, 2, 3} R, B((i, j)) = 3i - j;
(3) C : {1, 2} × {1, 2, 3} Z5, C((i, j)) = 4i + 3j;
(4) D : {1, 2, 3, 4} × {1, 2} Z7, D((i, j)) = ij;
(5) E : {1, 2, 3} × {1, 2, 3} Q, E((i, j)) = (i - 1)/(j + 1).
Z. 2. Rozwiązać równanie macierzowe:

2 i 1 + i 1
2 X - + (1 - i) = 3X - I.
-i 0 1 - i -1
Z. 3. Obliczyć następujące iloczyny:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2

1 2 3 1 2 1 -1 1 -1 -2 3 1
ïÅ‚3śł
-1 4 2
ðÅ‚3 2 1ûÅ‚ ðÅ‚2 1ûÅ‚ , ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ðÅ‚
0 1 0 1 , 0 1 2ûÅ‚ .
ðÅ‚4ûÅ‚
0 0 0
2 1 3 1 2 -1 1 -1 1 -2 5 0
5
Napisać macierze transponowane do otrzymanych macierzy.
Z. 4. Dane są macierze o elementach z ciała Z5:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 1 1 3 2 1 2
ðÅ‚2 ðÅ‚4 ðÅ‚0
A = 1 0ûÅ‚ , B = 2 1ûÅ‚ , C = 1ûÅ‚ .
0 4 4 1 4 0 0 4
Obliczyć następujące iloczyny: AB, BA, AC, A2, BC, B2, AT B, ABT , AT C, BT C, CT A, CT B.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 3 1 -1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚.
Z. 5. Dane sÄ… macierze : A = 3 2 1ûÅ‚ oraz B = 0 1
2 0 1 -2 1
Które z iloczynów A2BT , BA2, B2A, BT A2 istnieją? Odpowiedz
uzasadnić. Obliczyć te iloczyny, które istnieją.
Z. 6. Znalez
ć macierz X spełniającą równanie AXB + C = D, gdy

1 0 2 0 -3 -1 3 -1
A = , B = , C = , D = .
0 3 3 -1 2 -1 -1 -2
Z. 7. Znalez
ć macierz X spełniającą równanie: AX + 2B = C, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2 2 0 2 4 1 2
ðÅ‚3 ðÅ‚1 ðÅ‚3
A = 1 2ûÅ‚ , B = 1 3ûÅ‚ , C = 0 7ûÅ‚ .
2 0 1 1 0 4 3 3 1
Z. 8. Wyznaczyć macierz X speÅ‚niajÄ…cÄ… równanie AX + 2B = C · D, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 -1 1

1
ðÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚1ûÅ‚
A = 0 1ûÅ‚ , B = -1ûÅ‚ , C = , D = -2 -1 .
2
5
-1 0 - -1 2
2
Z. 9. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie AX = 2I + B, gdzie I jest macierzą jednostkową,
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -3 0 1
ðÅ‚0ûÅ‚ ðÅ‚
A = , B = 0 -2 0ûÅ‚ .
2 -2 0 0