I. Podstawy matematyki finansowej.

1. Rachunek procentowy.

jeden procent : 1% =

1

100

= 0.01

Wskaźnik procentowy (r%) jest ilorazem wartości bezwzględnych dwu wielkości
(A,B) pomnożonych przez 100:

r% =

A

B

⋅

100%

gdzie:
A

-

suma

procentowa (część całości),

O

- całość (zasada, podstawa) procentowa.

____________________________________________________________________

Zadania.

1.1. Towar zakupiony w hurtowni kosztował 30000. Marża hurtownika wynosi 8%.
Podaj kwotową marżę hurtownika oraz cenę zakupu towaru przez hurtownika (P).

8% =

30000 - P

P

P =

30000

108

.

= 27777.78

marża hurtownika: O = 30000-P = 2222.22
................................................................................................................................

1.2. Producent kupuje surowiec za 1000 zł. Koszt własny wynosi 40% ceny surowca.
Podatek akcyzowy wynosi 40% ceny sprzedaży, podatek VAT jest równy 22%
tejże ceny. Producent chce osiągnąć zysk w wysokości 15% kosztu własnego.
Oblicz cenę sprzedaży (K) produktu.

K = 1000+0.4

⋅

1000+0.4

⋅

K+0.22

⋅

K+0.15

⋅

0.4

⋅

1000

0.38K = 1460

K = 3842.11
................................................................................................................................

1

1.3. Towar kupiono za 15 zł. Przy zakupie udzielono 20% rabatu. Jaka jest jego cena
katalogowa (K) ?

20% =

K - 15

K

K =

15

0 8

.

= 18.75 zł.

................................................................................................................................

1.4. Cena towaru (P) w kolejnych miesiącach zmieniała się następująco:

w pierwszym miesiącu zdrożał o 15% i cena była równa K

1

,

w drugim miesiącu zdrożał o 10% i cena była równa K

2

,

w trzecim miesiącu staniał o 25% i cena była równa K

3

.

O ile procent zmieniła się cena towaru w trzecim miesiącu (K

3

) w porównaniu

z ceną początkową (P) ?

15% =

K - P

P

1

K

1

= 1.15

⋅

P

10% =

K - K

K

2

1

1

K

2

= 1.15

⋅

K

1

= 1.265

⋅

P

25% =

K - K

K

3

2

2

K

3

= 0.75

⋅

K

2

= 0.94875

⋅

P

r =

K - P

P

3

= 0.05125 = 5.125%

lub:
K

3

= (1+0.15)

⋅

(1+0.1)

⋅

(1-0.25)

⋅

P = 0.94875

⋅

P

Towar staniał (K

3

<P) o 5.125%.

................................................................................................................................

1.1. Cena towaru z marżą 20% - ową jest równa 18000 zł. Jaka jest cena towaru
(C

s

) bez marży.

C

s

=

18000

12

.

=

15000 zł.

................................................................................................................................

1.1. Jaka powinna być cena sprzedaży towaru, którego koszt własny produkcji
wynosi 500 zł., aby udzielając 5% rabatu i 2.5% upustu gatunkowego osiągnąć
10% zysku w stosunku do kosztu własnego.

C

s

=

500 11

1 0 05 1 0 025

⋅

−

−

=

.

(

. )(

.

)

593.79 zł.

___________________________________________________________________

2

2. Obecna i przyszła ilość pieniądza.

2.1. Rachunek odsetek prostych.

P

P

K

O=K-P

O

t

0

t

T

gdzie:
P

- ilość obecna (w chwili obecnej) pieniądza,

K - ilość przyszła pieniądza (końcowa), po upływie czasu t=T,
K

t

- ilość przyszła pieniądza, po upływie czasu równym t,

O - odsetki (przrost ilości kapitału) naliczane po upływie czasu t=T.
O

t

- odsetki naliczane po upływie czasu t,

r =

K - P

P

=

O

P

r - stopa procentowa (rentowność) dla okresu czasu t=T
(stopa procentowa dostosowana).

O = P

⋅

r

K = P

⋅

(1+r) = P+O

P = K

⋅

1

1 + r

1

1 + r

- współczynnik dyskontujący.

Dla okresu czasu 0

≤

t

≤

T jest:

O

=

P

⋅

r

⋅

t

T

P =

K

1 + r

t

T

3

K = P+O

t

= P

⋅

(1+r

t

T

)

Dla okresu czasu t = n

⋅

T jest:

O = P

⋅

n

⋅

r

K = P

⋅

(1+n

⋅

r) = P+O

P = K

⋅

1

1+ n r

⋅

Przyjmując T=360 dni kwotę odsetek można zapisać następująco:

O =

P t

100 r%

L%:

360

r%

⋅

=

:

360

gdzie:

L% - liczby procentowe: L% =

P t

⋅

100

2.1.1. Średnia stopa procentowa.

Niech n

i

oznacza liczbę okresów czasu w których obowiązuje stopa procentowa

r

i

(i=1



l).

Średnia

(przeciętna)

stopa procentowa

(r

s

) w okresie czasu N =

n

i

i=1

l

∑

:

r

s

=

n r

N

i

i

i=1

l

⋅

∑

Średnia stopa procentowa

(r

w

)

przy uwzględnieniu kwot kapitału A

i

:

r

w

=

A n r

A n

i

i

i

i=1

l

i

i=1

l

i

⋅

⋅

⋅

∑

∑

____________________________________________________________________

4

2.2. Oprocentowanie nominalne.

Stopę procentową którą stosuje się do wyznaczenia odsetek przy
wykorzystaniu
rachunku odsetek prostych nazywać będziemy dalej nominalną stopą
procentową
(nominalnym oprocentowaniem).

Oprocentowanie nominalne określone jest na ogół dla jednego roku.

Wzory wiążące wartość obecną (P), wartość końcową (K) oraz stopę procentową r
podano w I.2.1.

Dla okresu czasu t =

T

m

stopa procentowa (r

m

) jest równa: r

m

=

r

m

r

m

-

zgodna (dostosowana) stopa procentowa

dla okresu czasu t, przy

stopie oprocentowania nominalnego r (dla okresu czasu = T).

O = P

⋅

r

m

= P

r

m

K = P(1+ r

m

) = P(1+

r

m

) = P+O

P =

K

1+ r

m

=

K

1 +

r

m

____________________________________________________________________

Zadania.

2.1.1. Ulokowano 1000 na trzy miesiące przy stopie procentowej 17% w skali roku.
Jaka kwota będzie do dyspozycji po powyższym okresie utrzymywania lokaty?

K

t

= 1000(1+0.17

3

12

) = 1042.50

................................................................................................................................

2.1.2. Zaciągnięto pożyczki w czterech bankach:
- w banku A 2000 na 3 miesiące, oprocentowanie (stopa procentowa) 17%
(w skali roku),
- w banku B 4000 na 4 miesiące, stopa procentowa: 16%,
- w banku C 3000 na 6 miesiące, stopa procentowa: 18%,
- w banku D 1000 na 1 miesiące, stopa procentowa: 19%.

5

Wyznacz średnie oprocentowanie.

r

s

=

3 17% 4 16% 6 18% 19%

3 4 6 1

⋅

+ ⋅

+ ⋅

+

+ + +

= 17.29%

r

w

=

3 17% 2000 4 16% 4000 6 18% 3000 19% 1000

3 2000 4 4000 6 3000 1 1000

⋅

⋅

+ ⋅

⋅

+ ⋅

⋅

+

⋅

⋅

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

= 17.10%

Kwota odsetek od zaciągniętych pożyczek:

O = 2000

⋅

0.17

3

12

+4000

⋅

0.16

4

12

+3000

⋅

0.18

6

12

+1000

⋅

0.19

1

12

= 584.14

................................................................................................................................

2.1.3. Po uwzględnieniu

skonta

(

zmniejszenie należności z tytułu wcześniejszej niż usta-

lono realizacji zapłaty

) zwrócono 300 zł. za zrealizowanie zapłaty o 7 dni wcześniej.

Skonto obliczono według stopy procentowej 12% w skali roku.
Jaka była uzgodniona kwota zapłaty (P)?

Stopa procentowa dostosowana (dla siedmiu dni) r : r =

012 7

.

⋅

360

= 0.2(3)%

Skonto (s): s =

r

r

1

+

= 0.23279%

s

⋅

K = 300

K = 128871.43
................................................................................................................................

2.1.4. Obroty na rachunku bankowym przedstawiały się jak poniżej:

daty

wpłaty

wypłaty

saldo

dni

dni

kalend.

1.I

-

-

700

15

15

15.I

-

200

500

46

45

1.III

600

-

1100

96

98

7.VI

-

300

800

23

23

1.VII

-

-

800

45

46

15.VIII

VIII

-

1200

-400

36

37

21.IX

800

-

400

84

85

15.XII

300

-

700

15

16

6

Oblicz odsetki na koniec roku przyjmując, że:
- w pierwszym półroczu stopa procentowa wynosi 13% w skali roku,
w drugim - 12%,
- oprocentowanie kredytu (debet, ujemny stan konta) jest, odpowiednio,
dwa razy większe.

O =

013

360

.

(700

⋅

15+500

⋅

46+1100

⋅

96+800

⋅

23)+

012

360

.

(800

⋅

45+400

⋅

84+700

⋅

15)

-

2 012

360

⋅

.

400

⋅

36 = 56.88+26.70-9.60 = 73.98

W przypadku uwzględnienia dni kalendarzowych otrzymujemy:

O =

013

365

.

(700

⋅

15+500

⋅

45+1100

⋅

98+800

⋅

23)+

012

365

.

(800

⋅

46+400

⋅

85+700

⋅

16)

-

2 012

365

⋅

.

400

⋅

37 = 56.70+26.96-9.73 = 73.93

Naliczając odsetki co pół roku i dopisując je do rachunku otrzymujemy:

O = 56.88+

012

360

.

(856.88

⋅

45+456.88

⋅

84+756.88

⋅

15)-

2 012

360

⋅

.

(400-56.88)

⋅

36 =

= 56.88+29.43-8.23 = 78.08

oraz odpowiednio, uwzględniając dni kalendarzowe:

O = 56.70+29.71-8.35 = 78.06
................................................................................................................................

2.1.5. Kupiono urządzenie za 10000 zł. Zapłatę odroczono o 45 dni przy stopie
procentowej 27%. Jaką kwotę (K) zapłacono regulując zobowiązanie.

K = 10000(1+0.27

45

360

) = 10337.50

Jeżeli odsetki liczone są od wartości końcowej to kwota do uregulowania będzie
równa:

K =

10000

1 0 27

45

360

−

.

= 10349.29

...............................................................................................................................

7

2.1.6. Zapłacono 100 odsetek za odroczenie o dwa miesiące zapłaty za zakupiony
towar, przy oprocentowaniu z góry w wysokości 24%. Ile zapłacono (K) i jaka
była cena towaru (P) w chwili jego zakupu?

K

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

O T

r t

100 360

0 24 60

.

2500

P = K(1-r

t

T

)

= K-O = 2500-100 = 2400

................................................................................................................................

2.1.7. a. Ile maksymalnie można zapłacić za weksel o wartości nominalnej 100
i terminie wykupu za trzy miesiące, przy stopie procentowej (rentowności) 24%.

P =

K

r

t

T

1

100

1 0 24

90

360

+

=

+

=

.

94.34

b. Jak wyżej, lecz przewiduje się, że weksel zostanie wykupiony z
czteromiesięcznym
opóźnieniem. Odsetki karne są równe 0.14%/dzień.

K = 100(1+0.0014

⋅

120) = 116.8

P =

116 8

1 0 24

210
360

.

.

+

= 102.46

c. Jak w a., lecz należy wyznaczyć przez ile dni (x) weksel nie powinien być
wykupiony aby osiągnięta została założona rentowność przy cenie zakupu = 100.

100 =

100(1 0.0014 x)

1 0.24

90 x

360

+

⋅

+

+

x = 82

d. Jak w a., lecz weksel zostaje wykupiony dwa lata po terminie zakupu. W między-
czasie jest sprzedawany co pół roku. Kolejny nabywca odsetki nalicza od kwoty za
którą kupił weksel.
Podaj kwotę za którą weksel winien być wykupiony po w/w terminie.

K

1

= 100(1+90

⋅

0.0014) = 112.6

K

2

= K

1

(1+180

⋅

0.0014) = 140.98

K

3

= 140.98(1+180

⋅

0.0014) = 176.51

K

4

= 176.51(1+180

⋅

0.0014) = 220.99

____________________________________________________________________

8

2.3. Oprocentowanie składane.

W rachunku oprocentowania składanego (złożonego) odsetki dopisywane są do

kapitału początkowego (kapitalizacja odsetek).

Od tak powiększonej kwoty

kapitału naliczane są odsetki w kolejnym terminie.

P

K

1

K

2

K

n

............................

............................

............................

0 1

2 ....

..

.............................. n

(i=1



n - terminy kapitalizacji)

jeżeli:

p - stopa procentowa (stopa zmiany ilości kapitału)

to:

K

1

= P(1+p)

K

2

= K

1

(1+p) = P(1+p)

2

.....................................................

K

n

= K = K

n-1

(1+p) = P(1+p)

n

= P

⋅

(K/P,p,n)

P = K(1+p)

-n

= K

⋅

(P/K,p,n)

gdzie:

(K/P,p,n) = (1+p)

n

(P/K,p,n) = (1+p)

-n

(1+p)

-n

-

współczynnik dyskontujący

2.3.1. Efektywna stopa procentowa.

Jeżeli:
- stopa oprocentowania nominalnego jest równa r,
- dopisywanie (kapitalizacja) odsetek realizowane jest m razy (dla m podokresów
o równych czasach trwania) w okresie czasu równym T dla którego określona
jest stopa oprocentowania nominalnego,

9

wtedy stopa oprocentowania kapitału dla jednego podokresu jest równa

r

m

,

dla końcowej ilości kapitału mamy więc:

K = P(

1

+

r

m

)

m

Stopę procentową (p) określającą zmianę ilości kapitału w całym okresie
nazywamy efektywną stopą procentową

:

p = (1+

r

m

)

m

-1

stąd:

r = m[(p+1)

1/m

-1]

Stopa procentowa równoważna

(skorygowana )

p

r

- jest to stopa procentowa dla

każdego z

m

podokresów dająca tę samą efektywność (przy kapitalizacji odsetek na

koniec każdego podokresu czasu) co nominalna stopa procentowa r (określona dla
całego okresu czasu).

Z zależności: P(1+p

r

)

m

= P(1+r) otrzymujemy więc:

(1+p

r

)

m

= r+1

stąd:
p

r

= (1+r)

1/m

-1

Stopa procentowa równoważna dla k podokresów jest więc równa: (1+r)

k/m

-1

Jeżeli

okres utrzymywania kapitału

jest

niezgodny

z terminem kapitalizacji,

to znaczy:

t = n

⋅

T +k T - okres kapitalizacji; k<T

wtedy:

K = P(1+p)

n+k/T

= P

⋅

(K/P,p,n+k/T)

lub:

K = P(1+p)

n

(1+p

k

T

) = P

⋅

(K/P,p,n) (1+p

k

T

)

Obie formuły nie są oczywiście sobie równoważne. W pierwszym przypadku przyrost kapitału
wyznaczono w oparciu o stopę oprocentowania równoważnego (oprocentowanie składane),
w drugim - o stopę oprocentowania nominalnego (rachunek odsetek prostych).

10

2.3.2 Przeciętna stopa procentowa.

Niech w l podokresach o czasie trwania n

i

(jednostek czasu)

stopa procentowa

wynosi (dla każdej jednostki czasu) p

i

.

Stopa procentowa p w całym okresie czasu N=

n

i

i

l

=

∑

1

jest równa:

p =

(p

1)

i

n

i 1

l

i

+

=

∏

-1

Przeciętna stopa procentowa (p

s

) w jednostce czasu jest równa:

p

s

= (p+1)

1/N

-1

____________________________________________________________________

2.4. Oprocentowanie ciągłe.

Oprocentowanie ciągłe (p

c

) jest graniczym oprocentowaniem efektywnym przy

liczbie kapitalizacji (m) dążącej do nieskończoności:

p

c

=

m

lim (1

r

m

)

→ ∞

+

m

-1 = e

r

-1

Stopa oprocentowania ciągłego dla okresu czasu t (przy oprocentowaniu
nominalnym
równym r w okresie czasu T) jest równa:

p

c(t)

=

m

m

t

T

lim (1

r

m

)

→ ∞

+

-1 =

e

r

t

T

-1

Stąd ilość końcowa (K) kapitału po okresie czasu równym t jest:

K = P(1+p

c(t)

) = P

⋅

e

r

t

T

dla ilości obecnej jest więc:

P = K

⋅

e

-r

t

T

e

-r

t

T

-

współczynnik dyskontujący

Jeżeli

t

T

= n to: p

c(n)

= e

r

⋅

n

- 1

11

Ilość końcowa (K) kapitału przy oprocentowaniu ciągłym dla n okresów (t=n

⋅

T) jest

więc równa:

K = P(1+p

c(n)

)

n

= P

⋅

e

r

⋅

n

stąd, dla ilości obecnej jest:

P = K

⋅

e

-r

⋅

n

____________________________________________________________________

2.5. Oprocentowanie z góry.

Jeżeli

r

jest stopą procentową przy oprocentowaniu z góry określoną następująco:

r

=

K P

K

−

to wtedy:

O = K

⋅

r

K = P

⋅

1

1 r

−

P = K

⋅

(1-

r

)

Zależności między oprocentowaniem nominalnym (r) a stopą procentową dla
oprocentowania z góry (

r

), dającymi tę samą wartość końcową przy tej samej

wartości początkowej, są jak poniżej:

r =

r

1 r

−

r

=

r

1 r

+

12

Dla n terminów kapitalizacji odsetek jest:

K = P(1-

r

)

-n

= P

⋅

(K/P,

r

1

−

r

, n) (

r

< 1)

P = K(1-

r

)

n

= K

⋅

(P/K,

r

1

−

r

, n)

(1-

r

)

-n

-

współczynnik dyskontujący

Dla m terminów kapitalizacji odsetek w okresie czasu dla którego określona jest
stopa
oprocentowania z góry

r

oraz n okresów czasu zachodzi:

K = P

⋅

1

(1

r

m

)

n m

−

⋅

= P

⋅

(1-

r

m

)

-n

⋅

m

P = K

⋅

(1-

r

m

)

n

⋅

m

____________________________________________________________________

2.6. Oprocentowanie zmienne.

Jeżeli w danym okresie czasu obowiązują różne stopy procentowe (w określonych
podokresach czasu) to wyżej podane zależności dla wyznaczenia wartości przyszłej
(lub obecnej) mogą być stosowane tylko w tych podokresach. Wyznaczenie wartości
przyszłej (obecnej) dla danego okresu czasu dokonuje się wykorzystując oczywistą
zależność,że wartość przyszła dla danego podokresu jest jednocześnie wartością
obecną dla następnego kolejnego podokresu czasu (patrz: zadanie I.2.1.).
____________________________________________________________________

13

Zadania.

2.2.1. Ulokowano 100 zł na sześć lat. Stopa oprocentowania zmieniała się co dwa
lata i wynosiła, odpowiednio: 17%, 15%, 13%. Jaką kwotą (K) dysponowano po
w/w okresie utrzymywania lokaty w przypadku:

a. oprocentowania prostego,
b. kapitalizacji rocznej,
c. oprocentowania ciągłego,
d. oprocentowania z góry?

ad. a. K = 100(1+2

⋅

0.17+2

⋅

0.15+2

⋅

0.13) = 190

ad. b. K = 100(1+0.17)

2

(1+0.15)

2

(1+0.13)

2

=

100(K/P,17%,2)(K/P,15%,2)(K/P,13%,2) = 231.17 zł.

ad. c. K = 100e

2

⋅

0.17+2

⋅

0.15+2

⋅

0.13

= 245.96

ad. d. K = 100(1-0.17)

-2

(1-0.15)

-2

(1-0.13)

-2

= 265.44

................................................................................................................................

2.2.2. Wyznacz efektywną stopę procentową (p

e

) jeżeli nominalna stopa procentowa

= 18% przy czestotliwości kapitalizacji odsetek jak w poniższej tabeli.

częstotliwość

efektywna stopa procentowa

kapitalizacji

oprocentowanie (%)

odsetek

składane

z góry

ciągła

19.722

1

dzień

19.72

19.73

1

tydzień

19.68

19.76

2

tygodnie

19.65

19.80

1

miesiąc

19.56

19.89

2

miesiące

19.41

20.05

3

miesiące

19.25

20.22

4

miesiące

19.10

20.40

5

miesięcy

18.95

20.58

6

miesięcy

18.81

20.76

9

miesięcy

18.39

21.33

12

miesięcy

18

21.95

(1 rok = 52 tygodni = 360 dni)

................................................................................................................................

14

2.2.3. Lokujesz 1000 zł na dwa lata. Pięć banków oferuje poniższe warunki dla lokat:

1. oprocentowanie proste, stopa oprocentowania: 20%, kapitalizacja na koniec
okresu oszczędzania,
2. oprocentowanie nominalne: 19%, kapitalizacja kwartalna,
3. oprocentowanie efektywne: 20.5%,
4. oprocentowanie nominalne: 18.5%, kapitalizacja ciągła,
5. oprocentowanie z góry: 17.5%, kapitalizacja półroczna.

Jaką kwotą będziesz dysponować po podanym okresie utrzymowania lokaty?
Która oferta jest najkorzystniejsza?

ad.1. K = 1000(1+2

⋅

0.2) = 1400.00

p

e

- stopa oprocentowania efektywnego w skali roku:

p

e

= (1+

O

P

)

1/2

-1= (1+

1400 1000

1000

−

)

1/2

-1 = 18.32%

ad.2. p

e

= (1+

r

m

)

4

-1 = (1+

0 19

4

.

)

4

-1 = 20.4%

K = 1000(1+p

e

)

2

= 1449.55

ad.3. p

e

= 20.5%

K = 1452.02

ad.4. p

e

=e

r

⋅

-1 = e

0.185

-1

= 20.32%

K = 1447.73

ad.5. p

e

=

1

1

0175

2

2

(

.

)

−

-1 = 20.10%

K = 1000(1+p

e

)

2

= 1442.40

................................................................................................................................

2.2.4. A. Po trzech latach na rachunku jest 1000 zł.

Jaką kwotę (P) wpłacono przy stopie procentowej: 16% jeżeli kapitalizacja była:

a. roczna,

b. półroczna,

c. kwartalna,

d. miesięczna,

e. ciągła.

15

B. Na rachunek wpłacasz 1000 zł. Jaką kwotą (K) będziesz dysponować po dwu
latach przy stopie procentowej:16% jeżeli kapitalizacja jest jak powyżej.

ad. A.

a. P = K(1+

r

m

)

-n

⋅

m

= 1000(1+0.16)

-3

= 640.66

b. P = 1000(1+0.08)

-6

= 630.17

c. P = 1000(1+0.04)

-12

= 624.60

d. P = 1000

(

1+

016

12

.

)

-36

= 620.75

e. P = 1000e

-3

⋅

0.16

= 618.78

ad. B.

a. K = P(1+

r

m

)

n

⋅

m

= 1000(1+0.16)

2

= 1345.60

b. K = 1000(1+0.08)

4

= 1360.49

c. K = 1000(1+0.04)

8

= 1368.57

d. K = 1000

(

1+

016

12

.

)

24

= 1374.22

e. K = 1000e

2

⋅

0.16

= 1377.13

................................................................................................................................

2.2.5. Wpłacasz pewną kwotę na rachunek o stopie oprocentowania nominalnego:
16%, kapitalizacja kwartalna. Po jakim okresie czasu kwota na rachunku będzie
dwukrotnie większa.

2 = (1+

016

4

.

)

x

x = 17.7

→

n = 18 kwartałów = 4.5 lat

................................................................................................................................

2.2.6.

Ilość pieniędzy złożona na rachunku wzrosła po półtora roku o 50%, przy

kapitalizacji miesięcznej.
Jaka była stopa oprocentowania efektywnego (p) i nominalnego (r).

p = (1+0.5)

2/3

-1 = 31.04%

r = 12[(1+p)

1/12

-1] = 27.34%

................................................................................................................................

16

2.2.7. Lokujesz na rok 1000 zł. Stopa oprocentowania nominalnego: 17%.
Naliczanie odsetek co pół roku. Odsetki dopisywane są do rachunku o oprocen-
towaniu prostym 11%. Jaką kwotą (K) będziesz dysponować po w/w okresie.

K = 1000+2

⋅

1000

017

2

.

+1000

017

2

.

⋅

011

2

.

= 1170.00+4.68 = 1174.68

................................................................................................................................

2.2.8. Wpłacasz 100 zł na pięć lat. Jaka stopa oprocentowania efektywnego zapewni
podwojenie oszczędności przy kapitalizacji kwartalnej.

200 = 100(1+

r

4

)

20

r = 14.11%

p

e

= (1+

r

4

)

4

= 14.87%

................................................................................................................................

2.2.9. Wpłacono 100 na trzy lata przy stopie procentowej 18% oraz kwartalnej
kapitalizacji odsetek. Po roku zmieniono oprocentowanie ze składanego na
oprocentowanie z góry oraz półroczną kapitalizację odsetek.
Jaka winna być stopa procentowa (p) dla oprocentowania z góry aby kwota
końcowa lokaty nie uległa zmianie.

100

(

1

018

4

+

.

)

12

= 100

⋅

(

1

018

4

+

.

)

4

⋅

1

1

2

4

(

)

−

p

p = 16.85%

................................................................................................................................

2.2.10. Ulokowano pewną kwotę pieniędzy na trzy lata przy zmiennej stopie
procentowej oraz kwartalnej kapitalizacji odsetek. Stopa procentowa w
kolejnych trzech latach była równa, odpowiednio: 18%, 16%, 14%.
Czy bardziej opłacalna była lokata przy stałej stopie procentowej 16%
i kwartalnej kapitalizacji odsetek?

(

1+

018

4

.

)

4

(

1+

016

4

.

)

4

(

1+

014

4

.

)

4

-1 = 60.09%

(

1+

016

4

.

)

12

-1 = 60.10% > 60.09%

................................................................................................................................

17

2.2.11. Pożyczasz 100 zł na jeden tydzień. Po tygodniu odbierasz 110 zł.
Jaka jest rentowność tej operacji ?

w skali tygodnia:

110 100

100

−

= 10%

w skali roku: (1+0.1)

52

= 14204%

(przy kapitalizacji odsetek)

...............................................................................................................................

2.2.12. Na rachunku umieszczasz 100 zł.
Kapitalizacja kwartalna, stopa oprocentowania efektywnego: 15%.
Pieniądze wycofujesz po 8-u miesiącach? Jaką kwotę (K) otrzymasz?

Nominalna stopa procentowa:

r = 4[(1+0.15)

1/4

-1] = 14.22%

K= 100(1+

r

4

)

2

⋅

(1+

r

4

⋅

2

3

) = 109.78

lub:

K = 100(1+

r

4

)

2

⋅

(1+

r

4

)

2/3

= 109.77

Na ogół za nieutrzymanie wkładu do terminu kapitalizacji odsetek stosuje się niższą stopę procentową
(w części drugiej formuły dla wyznaczenia wartości przyszłej).

................................................................................................................................

2.2.13. Uzgodniono: cena produktu = 50 mln. zł., termin realizacji umowy - 2 lata,
płatność po w/w terminie. Dodatkowo uzgodniono pobranie przez producenta
kwot zaliczkowych: 10% w/w kwoty teraz, 30% po roku.

Ile (P) producent otrzyma po zakończeniu (terminowym) kontraktu, jeżeli dla
kalkulacji przyjęto stopę procentową: 8%?

P = 50-5(1+0.08)

2

-15(1+0.08) = 27.968 mln. zł.

____________________________________________________________________

18

3. Równoważność przepływów pieniędzy.

Niech zbiór elementów (w

i

, t

i

) określa przepływ pieniędzy, gdzie: w

i

- kwota

pieniędzy (wpłaty, wypłaty) w czasie t

i

. Dwa tak określone przepływy są

równoważne jeżeli wartości obecne (P

1

, P

2

) wyznaczone

dla tego samego

terminu są

sobie równe:

P

1

(T, w

i

1

, t

i

1

, M

1

) = P

2

(T, w

j

2

, t

j

2

, M

2

) (i=1



l

1

, j=1



l

2

)

gdzie:

T - termin dla którego wyznaczane są wartości obecne,
M - metoda (sposób) wyznaczania zmiany ilości pieniędzy w czasie
(oprocentowanie składane, ciągłe, z góry).

Ogólną zasadę wyliczania wartości obecnej pieniędzy (P) można zapisać
następująco:

P =

w

i

l

=

∑

1

i

⋅

d(t

i

,M

i

)

d(

⋅

) - współczynnik dyskontujący, którego wartość zależy od terminu (t

i

)

oraz od sposobu naliczania odsetek (zmiany ilości pieniędzy w czasie).

Przypadek gdy l

1

=l

2

=1 przedstawiono wcześniej (I.2.). Teraz omówione zostaną

inne, bardziej ogólne przepływy, często występujące w praktyce.

3.1. Model równych rat.

3.1.1. Oprocentowanie proste.

0

1/m

2/m ........ ....................... (N-1)/m

N/m .......................................

1

19

A

A

A

P

K

A

gdzie:

1 - termin kapitalizacji odsetek,
0 - termin dla wartości obecnej (P),
m - ilość rat pomiędzy dwoma kolejnymi terminami kapitalizacji odsetek,
N - ilość rat zrealizowanych,

A

- kwota raty (wpłaty, wypłaty) w terminach i/m (i=1



N),

K

- wartość końcowa dla N kolejnych rat,

P

- wartość obecna dla N kolejnych rat.

Niech r będzie stopą oprocentowania nominalnego, wtedy:

K = A+A(1+r

1

m

)+A(1+r

2

m

)+..........+A(1+r

N

m

−

1

)

stąd:

K = A

⋅

N

⋅

(

1+r

N 1

2m

−

)

= A

⋅

N

⋅

2m r(N 1)

2m

+

−

Przy ratach (wpłaty, wypłaty) z góry mamy:

K = A

⋅

N

⋅

(

1+r

N

m

+

1

2

)

= A

⋅

N

⋅

2m r(N 1)

2m

+

+

A =

K

N

⋅

2m

2m r(N 1)

+

±

+

dla rat z góry,

-

dla rat z dołu.

P = K

(

1+r

N
m

)

-1

= A

⋅

N

⋅

2m r(N 1)

2(m rN)

+

±

+

A =

P

N

2(m r N)

2m r(N 1)

⋅

+ ⋅

+

±

20

Jeżeli m=N wtedy:

K = A

2m r(m 1)

2

+

±

A

=

2K

2m r(m 1)

+

±

P = A

2m r(m 1)

2(1 r)

+

±

+

A = P

2(1 r)

2m r(m 1)

+

+

±

3.1.2. Oprocentowanie składane.

3.1.2.1. Raty zgodne.

0

1

2

3

...............................

n-1 n n+1

gdzie:
1,2,......,n-1,n,n+1 - terminy kapitalizacji odsetek.

Niech p będzie stopą procentową, wtedy:

K = A+A(1+p)+A(1+p)

2

+...........+A(1+p)

n-2

+A(1+p)

n-1

= A

(

)

1

0

1

+

=

−

∑

p

k

k

n

= A

(p 1)

1

p

n

+

−

21

A

A

A

A

A

K

P

K

P

K = A

(p 1)

1

p

n

+

−

= A

⋅

(K/A,p,n)

gdzie: (K/A,p,n) =

(p 1)

1

p

n

+

−

A = K

p

(p 1)

1

n

+

−

= K

⋅

(A/K,p,n)

P = A

(p 1)

1

p(p 1)

n

n

+

−

+

= A

⋅

(P/A,p,n)

A = P

p(p 1)

(p 1)

1

n

n

+

+

−

= P

⋅

(A/P,p,n)

Dla

rat z góry

ilość obecna (

P

) i ilość przyszła (

K

) są, odpowiednio, równe:

P

= P

⋅

(p+1)

K

= K

⋅

(p+1)

Dla ciągu rat dążącym do nieskończoności

otrzymujemy następującą wartość dla A

(wiecznej raty, wiecznej renty):

A =

lim

(

)

(

)

n

n

n

P

p p
p

→ ∞

+

+

−

1

1

1

= P

⋅

p

P =

A

p

3.1.2.1.1. Oprocentowanie ciągłe.

W przypadku

oprocentowania ciągłego

wcześniejsze wzory wiążące

wartości K, P, A są następujące:

K = A

e

1

e

1

r n

r

⋅

−

−

22

A = K

e

1

e

1

r

r n

−

−

⋅

P = A

e

1

e (e

1)

r n

r n

r

⋅

⋅

−

−

A = P

e (e

1)

e

1

r n

r

r n

⋅

⋅

−

−

3.1.2.1.2. Wzory przybliżone.

Metoda wskaźnika stałego:

A =

P

m N

2

⋅

[r(N+1)+2m]

Metoda wskaźnika bezpośrednigo:

A =

2P

N

⋅

3

1

6

1

m r N

m r N

+

+

−

+

(

)

(

)

Metoda wskaźnika N:

A =

P

N

m

N

r N N

m

N

r N N

⋅

+

+

⋅

+

+

−

⋅

+

(

)

(

)

(

)

(

)

95

9

36

1

95

9

12

1

P = A

⋅

N

⋅

m

N

r N N

m

N

r N N

(

)

(

)

(

)

(

)

95

9

12

1

95

9

36

1

+

−

⋅

+

+

+

⋅

+

r =

m

N

A N P

N N

A N

P

(

)(

)

(

)(

)

95

9

12

1

3

+

⋅ −

+

⋅ +

Z każdym kolejnym wzorem dokładność przybliżenia zwiększa się.

Dokładną wartość otrzymamy rozwiązując równanie: P = A(P/A,

r

m

, N)

23

3.1.2.2. Raty niezgodne.

3.1.2.2.1. Raty częstsze niż kapitalizacja.

P

A

A

A

A

′

A

A A

K

K

′

0 1/m 2/m ..............................

1

1+1/m ......................................... n

n+k

n+1

dla powyższego przepływu jest:

K = A

′

(

K/A, p, n

)

gdzie:

A

′

= A

⋅

[

m+

p m

(

)

±

1

2

]

A

′

- wartość końcowa dla

m

rat, przy oprocentowaniu prostym.

Przy obliczaniu wg. oprocentowania równoważnego otrzymujemy:

A

′

= A

⋅

(

K/A, (p+1)

1/m

-1, m

)

Wartość końcowa (K’) w terminie n+k (k<1):

K

′

= K(1+p

⋅

k) - przy oprocentowaniu prostym w przedziale (n,n+l),

K

′

= K(1+p)

k

- przy oprocentowaniu składanym.

3.1.2.2.2. Kapitalizacja częstsza niż raty.

Przyjmując, że wpłaty dokonywane są n razy co k terminów kapitalizacji
odsetek, przy stopie procentowej p, otrzymujemy:

K = A

⋅

(K/A, (p+1)

k

-1, n)

____________________________________________________________________

24

3.2. Raty tworzące ciąg arytmetyczny.

P

G

2G

3G

(n-1)G

K

0

0 1

2

3 4 .................................................. n

Kwoty rat stanowią ciąg arytmetyczny dla którego:

a

1

= 0 oraz: a

i+1

=a

i

+G (i=1|n-1).

wtedy:

K = G(1+p)

n-2

+2G(1+p)

n-3

+.................+(n-2)G(1+p)+(n-1)G

Pomnóżmy powyższe równanie przez p+1:

K(p+1) = G(1+p)

n-1

+2G(1+p)

n-2

+.................+(n-2)G(1+p)

2

+(n-1)G(1+p)

Od tak otrzymanego równania odejmijmy równanie wyjściowe, jest wtedy:

K(1+p)-K = G[(1+p)

n-1

+(1+p)

n-2

+...................+(1+p)

2

+(1+p)+1]-n

⋅

G

Z powyższego równania otrzymujemy:

K = G

⋅

+

− ⋅ −

(p 1)

p n 1

p

n

2

P = G

⋅

+

− ⋅ −

+

(p 1)

p n 1

p (p 1)

n

2

n

= G

⋅

(P/G, p, n)

A = G

⋅

+

− ⋅ −

+

−

(p 1)

p n 1

p(p 1)

1

n

n

= G

⋅

(A/G, p, n)

A - kwota równej raty; ciąg

n

równych rat o wielkości

A

jest równoważny

przepływowi o ratach tworzących ciąg arytmetyczny (o różnicy równej G),
przy stopie procentowej równej

p

.

____________________________________________________________________

3.3. Raty tworzące ciąg geometryczny.

25

P

A

1

A

2

A

3

A

n

K

0 1

2

3 ................................................ n

Kwoty rat stanowią ciąg geometryczny dla którego:

a

1

= A

1

oraz: a

i+1

=a

i

⋅

(q+1) (i=1|n-1).

Dla wartości obecnej (P) jest więc:

P = A

1

(1+p)

-1

+A

1

(1+p)

-1

(

1
1

+
+

q

p

)

+A

1

(1+p)

-1

(

1
1

+
+

q

p

)

2

+.......+ A

1

(1+p)

-1

(

1
1

+
+

q

p

)

n-1

Pomnóżmy powyższe równanie przez

1
1

+
+

q

p

:

P

1
1

+
+

q

p

= A

1

(1+p)

-1

1
1

+
+

q

p

+A

1

(1+p)

-1

(

1
1

+
+

q

p

)

2

+A

1

(1+p)

-1

(

1
1

+
+

q

p

)

3

+ .......

.....+ A

1

(1+p)

-1

(

1
1

+
+

q

p

)

n-1

+ A

1

(1+p)

-1

(

1
1

+
+

q

p

)

n

Od równania wyjściowego odejmijmy tak otrzymane równanie, jest wtedy:

P-P

⋅

1
1

+
+

q

p

= A

1

(1+p)

-1

- A

1

(1+p)

-1

⋅

(

1
1

+
+

q

p

)

n

stąd:

P = A

1

⋅

1 (1 q) (1 p)

p q

n

n

−

+

+

−

−

= A

1

(P/G,q,p,n) dla: (p

≠

q)

P = A

1

⋅

n(1+p)

-1

dla: (p=q)

Jeżeli n

→

∞

oraz 0

≤

q

<

p to: P =

A

p q

1

−

____________________________________________________________________

26

Zadania.

3.1. Przyjmując - dla poniższych, graficznie przdstawionych, przepływów środków
pieniężnych, oprocentowanie składane oraz kapitalizację zgodną - wynacz wartości
zaznaczonych

(znakiem ?)

parametrów.

Przyjmij dla wszystkich zadań stopę oprocentowania p = 10%.

a.

X

100

100

100

100

2X

X = ?

X

X

X

X+X(P/A,10%,4)+X(P/K,10%,4) = 100(P/A,10%,4)

X =

100

10%,4

1

10%,4

10%,4

( / ,

)

( / ,

) ( / ,

)

P A

P A

P K

+

+

=

100 3170

1 3170 0 6830

⋅

+

+

.

.

.

= 65.32

................................................................................................................................

b.

P=?

100

100

100

P = 100(A/K,10%,2)(P/A,10%,6)(K/P,10%,1) = 100

⋅

0.4762

⋅

4.355

⋅

1.1 = 228.12

................................................................................................................................

c. d.

K=100

A

1

A

2

A

n-1

A

n

n=?

A

1

A

2

A

n-1

A

n

n=?

P=50

A

i

=A=5

27

ad.c. K=A

(

)

1

1

+

−

p

p

n

n=

log(

)

log(

)

K p

A

p

⋅ +

+

1

1

= 11.53 n=12

ad.d.

P

p

1

+

=A

(

)

(

)

1

1

1

+

−

+

p

p

p

n

n

n= 25.16 n=26

................................................................................................................................

e.

50

60

70

80

X

X

X

X

X = ?

X(P/A,10%,4)(P/K,10%,1)=50(P/A,10%,4)+10(P/G,10%,4)

X = 70.19

................................................................................................................................

f .

P=?

K=?

50

60

70

80

P = [50(P/A,10%,4)+10(P/G,10%,4)](P/K,10%,2) = 167.16

K = P(K/P,10%,6) = 296.14

................................................................................................................................

28

g.

P= 1000

1000

x

2x

3x

4x

5x

1000 = x(P/G,10%,6)(K/P,10%,1)

x = 93.87

...............................................................................................................................

h.

- 1000 -

- J -

1000(K/A,10%,3)(K/P,10%,2) = J(P/A,10%,3) lub: J=1000(K/P,10%,5)

J = 1610.48

...............................................................................................................................

i.

100

50

100

50

100

50

........

→

∞

P=?

P =

100

10%,2

01 1 01

50

10%,2

01 1 01

2

( / ,

)

. (

. )

( / ,

)

. (

. )

A K

A K

⋅ +

+

⋅ +

= 629.69

...............................................................................................................................

29

j. k.

- 1000 -

x

2x

3x

4x

5x

50

100

150

200

x

2x

3x

4x

ad.j. x

⋅

(P/G,10%,6)(K/P,10%,1) = 1000(P/A,10%,2)

x = 162.92

ad.k. 50(P/G,10%,5)(K/P,10%,1) = 4x

⋅

(P/A,10%,4) - x

⋅

(P/G,10%,4)

x = 45.46

................................................................................................................................

l.

100

150

200

- X -

[100(P/A,10%,3)+50(P/G,10%,3)](K/P,10%,5) = X(P/A,10%,4)

[100

⋅

2.487+50

⋅

2.329]

⋅

1.611 = X

⋅

3.1699

X = 185.52
................................................................................................................................

30

m. n.

1000

- A = ? -

-100

-100

1000

- A = ? -

ad.m. A = [1000-100(P/K,10%,5](A/P,10%,5) = 247.42

ad.n. A = [1000-100(P/K,10%,3](A/P,10%,5) = 243.98

................................................................................................................................

o.

1010

0

- A = 250 -

p = ?

1010 = 250

⋅

(

)

(

)

p
p p

+

−

+

1

1

1

5

5

= 250(P/A, p, 5)

Równanie powyższe (poszukiwane

p

) można rozwiązać tylko metodami

przybliżonymi, praktycznie - z dowolną dokładnością.

Dla p=8% prawa strona równania jest równa 998.25, a dla p=7% jest równa 1025.00.
Skorzystajmy z aproksymacji liniowej w przedziale (7%,8%).

8% - 998.25
p% - 1010.00
7% - 1025.00

8 7

8

998 25 1025

1010 998 25

−

−

=

−

−

p

.

.

p = 7.6%

................................................................................................................................

31

p.

400

100

- X = ? -

[400(P/K,10%,3)+100(P/K,10%,6)]= X(P/A,10%,9)
X = 61.98
................................................................................................................................
q.

100

150

200

A

A

A

A

A(P/A,10%,4) = [200(P/A,10%,3)-50(P/G,10%,3)](P/K,10%,1)
A = 109.25
...............................................................................................................................
r.

2X

400

- X = ? -

..X

X...

(400-X)(P/K,10%,3) = X(P/A,10%,9)

X = 46.16
................................................................................................................................

32

s.

→

∞

- 100 -

P=?

P =

100

01

.

(P/K,10%,2) = 826.4

...............................................................................................................................
t.

....

→

∞

A=A

i

=100

P=1000

p=?

1000 =

100

1

p p

(

)

+

p = 9.16%
................................................................................................................................
u.

.............

- 100 -

F = 2000

Jaka winna być najmniejsza ilość rat (n), każda w kwocie 100, aby wartość końcowa
była równa co najmniej 2000, przy stopie procentowej 15% ?

2000 < 100(K/A,15%,n)

Z tablic znajdujemy, że minimalną wartością n spełniającą powyższy warunek jest
n=10:
2000 <100

⋅

20.304=2030.4

...............................................................................................................................

33

v.

- 100 -

x

2x

3x

4x

5x

100(P/A,10%,5) = x(P/A,10%,5)+x(P/G,10%,5)

x = 35.59
...............................................................................................................................

w.

P=?

10

10

10

10

10

5

5

5

5

P = (A/K,10%,2)[5(P/A,10%,8)+10(P/A,10%,10)(K/P,10%,1)] = 44.89
................................................................................................................................

x. y.

...

→ ∞

100

...

→

∞

10

5

10

5

10

10

10

10

100

p = ?

ad.x.

5

1

1

10

1

1

1

100

2

2

(

)

(

)

(

)

p

p

p

+

−

+

+

+

−

=

p = 7.59%

ad. y.

10

1

1

100

1

2

(

)

p

p

+

−

=

+

p = 5.12%
............................................................................................................................

34

3.2.
Bierzesz kredyt w kwocie 10000 zł. Spłacasz go w równych ratach przez pięć
kolejnych lat. Wyznacz kwotę raty dla różnych poniższych warunków.

A. Stopa oprocentowania w skali roku wynosi 25% i jest to stopa oprocentowania:
a. nominalnego,
b. efektywnego,
c. ciągłego.

B. Spłaty dokonujesz na koniec każdego kolejnego:
a. miesiąca,
b. kwartału,
c. roku.

C. Kapitalizacji odsetek dokonuje się:
a. kwartalnie,
b. rocznie.

A.a.B.a.C.a. r = 25%

A = 10000

2

6

0 25

4

3 1

0 25

4

20

+

−

⋅

.

(

)

( / ,

.

, )

A P

= 290.49

b. A = 10000

2

24 0 25 11

+

⋅

⋅

.

(A/P,25%,5) = 278.02

B.b.C.a. A = 10000(A/P,6.25%,20) = 889.62

b. A = 10000

2

8 0 25 3

+

⋅

.

(A/P,25%,5) = 849.94

B.c.C.a. p= (1+

0 25

4

.

)

4

-1 = 27.4429%

A = 10000(A/P,p,5) = 3906.21

b. A = 10000(A/P,25%,5) = 3718.47

35

A.b.B.a.C.a. r = 4[(1+0.25)

1/4

-1] = 22.9485%

A = 10000

2

6

4

3 1

4

20

+

−

⋅

r

A P

r

(

)

( / , , )

= 279.11

b. jak dla A.a.B.a.C.b.

A.b.B.b.C.a. A = 10000(A/P,

r

4

,20) = 853.33

b. A = 10000

2

8

3

+ ⋅

r

(A/P,25%,5) = 855.95

lub:

A = 10000(A/P, e

r/12

-1, 60) = 279.17

A.b.B.c.C.a-b. jak dla A.a.B.c.C.b.

A.c.B.a.C.a. przy założeniu, że odsetki dla wpłat częstszych niż ich kapitalizacja
nalicza się według rachunku odsetek prostych:

0.25 = e

r

-1

r = 22.3144%

p = e

r/4

-1 = 5.7371%

A = 10000

2

6

4

3 1

20

+

−

⋅

r

A P p

(

)

( / , , )

= 279.25

b. A = 10000

2

24

11

+ ⋅

⋅

r

(A/P,25%,5) = 281.12

lub (A.c.B.a.C.a.-b.):

A = 10000(A/P, e

r/12

-1, 60) = 279.17

36

B.b.C.a-b. A = 10000(A/P,p,20) = 853.33

lub:

b. A = 10000

2

8

3

+ ⋅

r

(A/P,25%,5) = 857.83

B.c.C.a-b. jak dla A.a.B.c.C.b.
...............................................................................................................................

3.3. Warunki jak w zadaniu 3.2. lecz wpłaty dokonywane są z góry.
Rozważmy, przykładowo, trzy przypadki:

- raty są częstsze od kapitalizacji, np.: A.a.B.a.C.a.

A = 10000

2

6

0 25

4

3 1

0 25

4

20

+

+

⋅

.

(

)

( / ,

.

, )

A P

= 284.68

- raty zgodne, np.: A.a.B.b.C.a.

A =

10000

1

0 25

4

+

.

(A/P,6.25%,20) = 837.29

- kapitalizacja częstsza niż raty, np.: A.a.B.c.C.a.

A =

10000

1

0 2744

4

+

.

(A/P,27.44%,5) = 3655.42

................................................................................................................................

3.4. Warunki jak w zadaniu 3.2.A.a.B.a.C.a., lecz spłaty dokonywane są po dwu
latach karencji.

A = 10000(1+

0 25

4

.

)

8

⋅

2

6

0 25

4

3 1

0 25

4

20

+

−

⋅

.

(

)

( / ,

.

, )

A P

= 471.80

...............................................................................................................................

37

3.5. Kupiono towar o cenie 1000 zł. Przy zakupie płacisz 200 zł. Resztę spłacono w
miesięcznych ratach po 100 zł. Ile będzie rat (n) i jaka winna być wysokość
ostatniej
raty (Y) przy stopie procentowej: 36%.

100(P/A,3%,n)

≥

1000-200

≥

100(P/A,3%,n-1)

100

103

1

0 03 103

800

⋅

−

⋅

=

.

.

.

x

x

x = 9.28

→

n = 10

800 = 100(P/A,2%,8)+X(P/K,2%,9)

Y =

800 100

103

1

0 03 103

103

9

9

10

−

−

⋅

−

.

.

.

.

= 28.75

...............................................................................................................................

3.6. Pożyczasz 10000 zł. przy stopie procentowej 24%. Dług spłacasz z dołu
w ośmiu miesięcznych równych ratach.

Wyznacz kwotę raty (A) jeżeli kapitalizacja jest:
a. miesięczna,
b. kwartalna,
c. roczna.

ad.a. A = 10000(A/P,2%,8) = 1365.1

ad.b. 10000 = P

1

+P

2

P

1

- wartość obecna sześciu pierwszych rat,

P

2

- wartość obecna dwu pozostałych rat.

P

1

= A

6 0 06 2

2

106

1

0 06 106

2

2

+

⋅

−

⋅

.

.

.

.

38

P

2

można wyznaczyć na kilka sposobów:

a. P

2

= (

A

A

102 104

.

.

+

)

⋅

1.06

-2

b. P

2

= [A(1-0.02)+A(1-0.04)]

⋅

1.06

-2

c. P

2

= (

A

A

106

106

1 3

2 3

.

.

/

/

+

)

⋅

1.06

-2

Otrzymamy wtedy dla kwoty rat, odpowiednio:

a. A = 1362.68
b. A = 1363.00
c. A = 1362.56

ad.c. A = 10000

2 1 016

16 016 7

(

. )

.

+

+

⋅

= 1355.14

...............................................................................................................................

3.7. Kupując urządzenie usprawniające proces produkcyjny uzyskano roczne
oszczędności w kwocie 100. Okres eksploatacji urządzenia: 20 lat, po tym okresie
wartość końcowa urządzenia będzie równa 10% ceny zakupu.

Ile maksymalnie powinno kosztować (P) urządzenie aby inwestycja była opłacalna
przy przyjęciu stopy procentowej: 12%?

P

≤

0.1P(P/K,12%,20)+100(P/A,12%,20)

P

≤

1003.33

...............................................................................................................................

3.8. Przez 3 lata wpłacasz co miesiąc (z dołu) 500 do kasy mieszkaniowej.
Stopa procentowa dla oszczędności: 5.5%. Po okresie trzech lat bierzesz
kredyt (K

2

) w wysokości 150% kwoty oszczędności (K

1

). Kredyt ten spłacasz

w równych ratach miesięcznych przez kolejne 6 lat. Stopa procentowa dla spłaty
kredytu: 11%. Kapitalizacja, w obu przypadkach, półroczna.

Jaką kwotą (K) będziesz dysponować po okresie trzech lat (oszczędności+kredyt)?
Ile będą wynosić miesięczne spłaty (A) zaciągniętego kredytu?

39

K

1

= 500

⋅

12 5

0 055

2

2

10275

1

0 0275

6

+

⋅

−

.

.

.

= 19504.78

K

2

= 1.5K

1

= 29257.17

K = K

1

+ K

2

= 48761.95

A = K

2

⋅

−

⋅

+ ⋅

011

2

1055

1055

1

2

12 5 0 055

12

12

.

.

.

.

= 553.11

...............................................................................................................................

3.9. Na brakujące 10000 do zakupu samochodu bank A proponuje udzielenie
kredytu
przy miesięcznych spłatach po 361 przez trzy lata. Natomiast bank B - półroczne
raty po 3100 przez dwa lata. Która oferta jest korzystniejsza?

r

A

=

(

)(

)

(

)

95 36 9 36 361 10000

36 37 30000 36 361

⋅

+

⋅

−

⋅

+

⋅

= 17.94%

r

B

=

2 95 4 9 3100 4 10000

12 4 5 3100 4 30000

(

)(

)

(

)

⋅ +

⋅ −

⋅ ⋅

⋅ +

= 18.35%

p

A

= (1+

r

A

12

)

12

-1 = 19.49%

p

B

= (1+

r

B

2

)

2

-1 = 19.19%

................................................................................................................................

3.10. Firma ubezpieczeniowa zobowiązuje się wypłacić 1000 w przypadku
zaistnienia określonego zdarzenia losowego. Ubezpieczający się winien wpłacać
6 zł. miesięcznie (z góry). Stopa procentowa (reinwestycji) dla zgromadzonego
przez ubezpieczyciela kapitału: 16%, kapitalizacja roczna.

Po ilu (N), co najmniej, latach powinno nastąpić to zdarzenie aby umowa była
korzystna dla ubezpieczającego.

6

⋅

24 13

016

12

2

+

⋅

.

⋅

116

1

016

.

.

n

−

> 1000

n > 7.85

→

N = 8

___________________________________________________________________

40

4. Inflacja.

Inflacja to proces ekonomiczny przejawiający się we wzroście cen towarów i usług.

Przyjmijmy:

p - stopa zmiany ilości kapitału (stopa procentowa) w danym okresie,
i - stopa inflacji, w tym samym okresie.

Po pierwszej kapitalizacji realna wartość kapitału o początkowej ilości

P

jest równa:

K

r

= P

⋅

p 1

i 1

+

+

Niech p

r

oznacza realną stopę zmiany wartości kapitału, wtedy:

p

r

=

p 1

i 1

+

+

-1

p = p

r

+p

r

⋅

i+i

Po

n

okresach kapitalizacji dla realnej wartości końcowej (

K

) i wartości początkowej

jest:

K = P

⋅

(K/P, p

r

, n)

P

=

K

⋅

(P/K, p

r

, n)

4.1. Przeciętna stopa inflacji.

Analogicznie jak stopę procentową i średnią stopę procentową w danym okresie
określa się następująco:

stopę inflacji (

i

) w danym okresie:

i =

(i

1)

k

k 1

l

+

=

∏

-1

średnią stopę inflacji w jednostce czasu (i

s

):

i

s

= (i+1)

1/N

-1

gdzie:
l - liczba podokresów,

N =

i

i

l

n

=

∑

1

n

i

(i

i

) - ilość jednostek czasu (stopa inflacji) dla i-tego podokresu (i=1



l).

41

4.2. Model równych rat z uwzględnieniem inflacji.

Niech przy wpłatach (wypłatach) z dołu pierwsza rata jest równa A

1

. Kwoty

kolejnych rat są zwiększane zgodnie ze stopą inflacji (i):

A

n

= A

n-1

⋅

(i+1)

Kwoty nominalne rat tworzą ciąg geometryczny, mamy więc:

P = A

1

⋅

(

)

(

)

(

)(

)

p

i

p i p

n

n

n

+

− +

−

+

1

1

1

= A

1

(P/G,i,p,n)

K = P(K/P, p, n)

Jeżeli i<p oraz n

→∞

to:

P =

lim

(

)

(

)

(

)(

)

n

n

n

n

A

p

i

p i p

→ ∞

⋅

+

− +

−

+

1

1

1

1

=

A

p i

1

−

____________________________________________________________________

Zadania.

4.1. Stopa inflacji za trzy pierwsze kwartały roku wynosi 14%, w czwartym kwartale
wyniosła 5%. Jaka jest stopa inflacji w skali roku (i)?
Ile wynosi przeciętna miesiączna stopa inflacji (i

m

)?

i = (1+0.14)(1+0.05)-1 = 19.7%

i

m

= (1+i)

1/12

-1 = 1.51%

................................................................................................................................

4.2. Stopa inflacji po 8-u miesiącach jest równa 11%. Planowano inflację w skali
roku na poziomie 14%.
Jaka powinna być stopa inflacji (i) w pozostałych 4-ech miesiącach oraz średnia
miesięczna (i

m

) inflacja w tym okresie?

i =

1 014

1 011

+

+

.

.

-1= 2.7%

i

m

= (1+i)

1/4

-1= 0.67%

................................................................................................................................

42

4.3. Lokujesz (teraz) 10000 na 10 lat. Stopa oprocentowania: 17%,
stopa inflacji: 14%.
Jaką nominalną kwotą (K) oraz jaką realną (o obecnej wartości) kwotą (K

r

)

będziesz dysponować po podanym okresie czasu?

K = 10000(K/P,17%,10) = 48068.28 zł.

K

r

= 10000(K/P, p

r

, 10) = 10000(K/P,

1 017
1 014

+
+

.
.

-1,10) = 10000(1+0.026)

10

= 12966.12 zł.
................................................................................................................................

4.4. Lokuję przez 10 lat po 1000 zł.
a. na końcu każdego roku,
b. na poczatku każdego roku.
Pozostałe warunki i pytanie - jak w zadaniu 4.3.

ad.a. kwota nominalna:

K = 1000(K/A, 17%, 10) = 1000

⋅

(

. )

.

1 017

1

017

10

+

−

= 22393.11

K

r,d

=

K

(

. )

1 014

10

+

= 6040.40 zł.

(kwota dokonanych wpłat = 10000)

ad.b. K

r,g

= K

r,d

⋅

(1+0.17) = 7067.27 zł.

................................................................................................................................

4.5. Wpłacasz pewną kwotę, z dołu, przez pięć lat przy stopie procentowej dla
oszczędności:14%.
Jaką kwotą nominalną (K) będziesz dysponować po w/w okresie czasu jeżeli:
kapitalizacja jest:
A. kwartalna,
B. ciągła,

oraz wpłacasz:
a. co miesiąc 500,
b. co pół roku 3000.

Jaka będzie realna wartość oszczędności (K

r

) przy stopie inflacji: 9%.

ad.A.a. K = 500

⋅

6

3 1

014

4

2

1

014

4

1

014

4

20

+

−

⋅

+

−

(

)

.

(

.

)

.

= 42914.42

K

r

=

K

(

. )

1 0 09

5

+

= 27841.43

43

ad.A.b. K = 3000(K/A, (1+

014

4

.

)

2

-1, 10) = 41689.55

K

r

= 27095.61

ad.B.a. K = 500

⋅

e

e

0 14 5

0 14 12

1

1

.

. /

⋅

−

−

= 43193.6

K

r

= 28072.88

ad.B.b. K = 3000

⋅

e

e

0 14 5

0 14 2

1

1

.

. /

⋅

−

−

= 41943.65

K

r

= 27260.49

................................................................................................................................

4.6. Jak w zadaniu 4.5.B.a., lecz dopisywanie odsetek realizuje się co pół roku.

K = 500

⋅

12

6 1

014

2

2

1

1

0 14 5

0 14 2

+

−

⋅

−

−

⋅

(

)

.

.

. /

e

e

= 43167.01

K

r

= 28055.6

................................................................................................................................

4.7. W trzech kolejnych latach przewidywana jest inflacja, odpowiednio:
15%, 11%, 9%. Stopa oprocentowania bankowego jest zmienna i wyższa o 1.5%
od stopy inflacji. Przy powyższych uwarunkowaniach wpłacasz corocznie 1000 zł.

Jaką kwotą nominalną (K) oraz jaką realną kwotą (K

r

) będziesz dysponować

po trzech latach przy:
a. wpłatach z dołu,
b. wpłatach z góry?

ad.a. K = (1000*(1+0.125)+1000)(1+0.105)+1000 = 3348.13 zł.

K

r

=

K

(

. )(

. )(

. )

1 015 1 011 1 0 09

+

+

+

= 2406.33 zł.

ad.b. K = ((1000*(1+0.165)+1000)(1+0.125)+1000)(1+0.105) = 3796.37 zł.

K

r

= 2728.48 zł.

................................................................................................................................

44

4.8. Ile powinienem ulokować w banku abym mógł kupić za 5 lat mieszkanie
o cenie obecnej 60000, jeżeli stopa procentowa dla oszczędności oferowana
przez bank to 16%. Przewidywana stopa inflacji (wzrostu ceny mieszkań): 9%.

60000 = X(K/P,p

r

,5) = X

(

1 016

1 0 09

+

+

.

.

)

5

X = 43953.54
................................................................................................................................

4.9. Przyjmijmy, że:
- w kraju A stopa oprocentowania wkładów bankowych jest równa 7%,
stopa inflacji: 2.5%;
- w kraju B stopa oprocentowania wkładów bankowych jest równa 18%,
stopa inflacji: 14%.

Efektywne (realne) stopy procentowe są równe dla:

inwestora z kraju A w kraju A: p

A

=

107

1025

.

.

-1= 4.39%

inwestora z kraju B w kraju B: p

B

=

118
114

.
.

-1 = 3.51%

inwestora z kraju A w kraju B: p

AB

=

118

1025

.

.

-1= 15.12%

Jeżeli w międzyczasie w kraju B nastąpi 13.5%-owa dewaluacja waluty kraju A to
mamy:

p

AB

=

(

.

) .

.

1 0135 118

1025

−

⋅

-1=

-

0.42%

przy czym wartość P

B

po dewaluacji nie ulega zmianie.

................................................................................................................................

4.10. Na koniec każdego kolejnego miesiąca wpłacasz do banku 500 zł.
Stopa oprocentowania oszczędności 15%, kapitalizacja kwartalna.

Jeżeli koszt mieszkania wynosi obecnie 60000 i rośnie corocznie o 9%, to po ilu
latach oszczędzania będziesz dysponować kwotą pozwalającą
na zakup mieszkania.

Koszt mieszkania po n latach:

60000

⋅

1.09

n

45

Kwota zaoszczędzona po n latach:

500(3+

3 1

2

015

4

1

015

4

1

015

4

4

− ⋅

⋅

+

−

.

)

(

.

)

.

n

= 40500

⋅

(1.15865042

n

-1)

Kwota zaoszczędzona po

jedenastu

latach (164112.26 zł.) będzie wystarczająca dla

zakupu mieszkania (jego koszt będzie wynosił: 154825.58).
................................................................................................................................

4.11. Przez 35 lat wpłacasz do kasy ubezpieczeniowej pewną część, zawsze tę samą,
otrzymywanego wynagrodzenia (wpłaty z dołu).

Przyjmijmy:
- wynagrodzenie w roku pierwszym: 1000 miesięcznie,
- wynagrodzenie jest stałe w ciągu roku,
- w latach 2-20 wynagrodznie wzrasta w tempie o 1.5% wyższym niż roczna
stopa inflacji, w latach 21-35 o 0.5%,
- roczna stopa inflacji w całym okresie oszczędzania: 4%,
- stopa oprocentowania oszczędności: 6%.

Po okresie oszczędzania przez 20 lat chcesz otrzymywać rentę miesięczną w
wysokości 70% zarobków z roku ostatniego (35-tego), utrzymując w kolejnych
latach jej wartość realną.
Jaką część (s) wynagrodzenia powinieneś wpłacać do kasy ubezpieczeniowej?

Miesięczne wpłaty przez pierwsze 20 lat (X

k,20

):

X

k,20

= 1000

⋅

1.055

k-1

⋅

s

Kwota zgromadzona dla kolejnego roku, w okresie pierwszych 20 lat (Y

k,20

):

Y

k,20

= 1000

⋅

1.055

k-1

⋅

s

⋅

24 11 0 005

2

+

⋅

.

= 12027.50

⋅

1.055

k-1

⋅

s

Kwota zgromadzona po 20 latach (K

20

):

K

20

= 12027.50

⋅

s

⋅

106

1055

0 005

20

20

.

.

.

−

= 696098.73

⋅

s

Miesięczne wpłaty przez kolejne 15 lat:

X

k,15

= 1000

⋅

1.055

19

⋅

1.045

k

⋅

s = 2890.10

⋅

1.045

k-1

⋅

s

46

Kwota zgromadzona dla kolejnego roku, w okresie kolejnych 15 lat:

Y

k,15

= 2890.10

⋅

1.045

k-1

⋅

s

⋅

24 11 0 005

2

+

⋅

.

= 34760.68

⋅

1.045

k-1

⋅

s

Kwota zgromadzona po kolejnych 15 latach:

K

15

= 34760.68

⋅

s

⋅

106

1045

0 015

15

15

.

.

.

−

= 1068950.58

⋅

s

Kwota zgromadzona po 35 latach (K):

K = 696098.73

⋅

s

⋅

(1+0.06)

15

+ 1068950.58

⋅

s = 2737191.69

⋅

s

Kwota miesięcznego wynagrodzenia w ostatnim roku oszczędzania (M):

M = 1000

⋅

1.055

24

⋅

1.045

15

= 6995.25

Kwota miesięcznej renty w k-tym roku:

Rm

k

= 6995.25

⋅

1.04

k-1

⋅

0.7 = 4896.68

⋅

1.04

k-1

Kwota wypłat w k-tym roku:

Rw

k

= 4896.68

⋅

1.04

k-1

⋅

24 11 0 005

2

+

⋅

.

= 58894.82

⋅

1.04

k-1

Kwota wypłat na koniec okresu ubezpieczenia (R):

R = 58894.82

⋅

106

104

0 02

20

20

.

.

.

−

= 2991893.16

Z zależności:

R = K

⋅

1.06

20

otrzymujemy:

s = 0.3408

≅

34%

____________________________________________________________________

47

5. Dyskonto.

Dyskonto

- opłata naliczana za prawo do korzystania z cudzego kapitału.

Dyskontowanie - naliczanie opłaty od danej wartości kapitału.

Przyjmijmy oznaczenia:

n - liczba lat (okresów czasu),
d - roczna (dla danego okresu czasu) stopa dyskontowa,
K - kwota (końcowa) kapitału,
P - kwota początkowa kapitału.

Dyskonto handlowe (bankowe) D

H :

D

H

= K

⋅

d

⋅

n

P = K-D

H

= K(1-d

⋅

n)

K = P+D

H

=

P

d n

1

− ⋅

d =

K P

n K

−

⋅

Dyskonto handlowe dla okresu czasu =

t

:

D

H

= K

⋅

d

⋅

t

360

P = K(1-d

t

360

)

K =

P

1 d

t

360

−

d =

K P

K

360

t

−

⋅

48

Kwota początkowa (P) dla szeregu równych rat realizowanych w równych
odstępach czasu, przy dyskontowaniu rat, jest równa:

P = A

⋅

N

2

1

2

m d N

m

−

±

(

)

gdzie:
m - ilość rat dla okresu dla którego określono stopę dyskontową d,
N - liczba rat zrealizowanych
+ dla rat z dołu,
- dla rat z góry.

dla N=m jest:

P = A

2

1

2

m d m

−

±

(

)

Dyskonto rzeczywiste ( r, proste, matematyczne) D:

dla n lat:

D = K-P = K-

K

r n

1

+ ⋅

=

⋅

⋅

+ ⋅

K

r n

1 r n

K = P(1+r

⋅

n)

P =

K

r n

1

+ ⋅

r =

K P

P

n

− ⋅

1

dla t dni:

D =

K

r t

360 r t

⋅

+ ⋅

K = P(1+r

t

360

)

49

P = K

1

1 r

t

360

+

r =

K P

P

360

t

−

⋅

gdzie: r - stopa procentowa (rentowność)

Jeżeli: r = d to: D < D

H

(r,d>0)

Jeżeli: D = D

H

to: r =

d

1 d

t

360

−

, lub: d =

r

1 r

t

360

+

Przykład.

Zestawienie dyskonta handlowego i matematycznego (P - wartość bieżąca,obecna)

dla różnych okresów oczekiwania (t) na zapłatę, dla d=r=24%, K = 1000.

t D

H

P

D

M

P

7 4.67 995.33 4.64

995.36

15 10.00 990.00 9.90

990.10

30 20.00 980.00 19.61

980.39

180 120.00 880.00 107.14 892.86

360 240.00

760.00

193.55

806.45

720 480.00

520.00

324.32

675.68

1800 1200.00

-

-

545.45

454.55

____________________________________________________________________

50

Zadania.

5.1. Bank oferuje 17% oprocentowanie oszczędności w skali roku przy kapitalizacji
kwartalnej. Jaka, co najmniej, powinna być stopa dyskontowa (d), w skali roku,
zakupu papierów wartościowych aby rentowność tej operacji była większa od
rentowności lokaty bankowej.

efektywne oprocentowanie bankowe: p = (1+

017

4

.

)

4

-1 = 18.11%

stąd: d >

01811

1 01811

.

.

+

= 15.33%

................................................................................................................................

5.2. Jaka jest rentowność oraz stopa dyskontowa zakupu za 900 papieru
wartościowego o wartości nominalnej 1000 i terminie jego wykupu za 5 miesięcy.

r =

1000 900

900

12

5

−

= 26.67% d =

1000 900

1000

12

5

−

= 24.0%

...............................................................................................................................

5.3. Za ile, co najwyżej, powinieneś kupić papier wartościowy o nominale 10000 i
terminie wykupu 15 dni aby osiągnąć rentowność 25%?

P < 10000-10000

15 0 25

360 0 25 15

⋅

+

⋅

.

.

= 9896.91

...............................................................................................................................

5.4. Możliwy jest zakup papieru wartościowego przy stopie dyskontowej: 25%
lub rentowności: 30%. Na ile dni przed terminem wykupu ta druga możliwość
jest korzystniejsza?

0.3 =

0 25

1 0 25

360

.

.

−

t

→

t < 240 dni

...............................................................................................................................

5.5. Przy zakupie towaru udzielono skonta 1.5% za przyśpieszenie zapłaty o co
najmniej 14 dni. Podaj stopę procentową dla udzielonego kredytu kupieckigo.

r =

0 015

1 0 015

360

14

.

.

−

⋅

= 39.16%

Skonto

-

dostosowana stopa dyskonta dla danego okresu przyśpieszenia zapłaty.

____________________________________________________________________

51

II. Rozliczenia spłat kredytu.

Finansowanie bieżącej i rozwojowej działalności może być realizowane poprzez
wykorzystanie kapitału własnego lub kapitału obcego. Kapitał obcy występuje,
przede wszystkim, pod postacią kredytów lub pożyczek. Ze względu na specyfikę
kredytów (sposób ich udzielenia oraz wykorzystania) określa się je jako:
krótkoterminowe, średnioterminowe, długoterminowe, na rachunku bieżącym,na
rachunku kredytowym, obrotowe, inwestycyjne, lombardowe, preferencyjne, itd.
Pomiędzy pożyczką a kredytem istnieją istotne różnice prawno-ekonomiczne,
jednakże podstawowe zasady ich rozliczania (spłacania) są podobne.
Szczegółowe warunki spłaty kredytu (pożyczki) reguluje umowa pomiędzy
kredytobiorcą (pożyczkobiorcą) a kredytodawcą (pożyczkodawcą). W większości
umów kredytowych wymaga się aby odsetki spłacane były w pierwszej kolejności,
czyli według metody uzupełnieniowej.

Podstawowe wskźniki oceny sposobu spłaty kredytu przedstawione są poniżej.

Przyjmijmy, że pożyczony kapitał (S) jest spłacany w n ratach, w kwotach R

n

:

R

n

= T

n

+O

n

+G

n

+X

n

gdzie:
n - numer kolejnej raty,

r - stopa oprocentowania nominalnego.

T

n

- spłata pożyczonego kapitału w n-tej racie: S =

T

i

i

n

=

∑

1

,

O

n

- kwota odsetek,

G

n

- opłata dodatkowa; na ogół - część T

n

lub niespłaconego kapitału,

X

n

- opłata stała, na ogół - nie zależy od n.

Nominalny koszt kredytu (S

n

) jest równy:

S

n

=

R

i

i 1

n

=

∑

- S

Efektywny (rzeczywisty) koszt kredytu (S

e

):

S

e

=

R (1

r

m

)

i

i 1

n

n i

=

−

∑

+

- S =

R (K / P,

r

m

, n i) S

i

i 1

n

− −

=

∑

52

Jeżeli wszystkie raty są równe to:

S

e

= R

m

r

r

m

S

n

[(

)

]

1

1

+

− −

gdzie:
r - nominalna stopa oprocentowania kredytu,
m

-

ilość rat spłacanych w okresie dla którego określone jest nominalne

oprocentowanie.

Efektywna stopa oprocentowania kredytu (r

e

):

r

e

=

(

1+

r

m

)

m

-1

Tak wznaczona stopa kredytu nie zależy od sposobu jego spłaty.

Rzeczywistą efektywną nominalną stopę oprocentowania kredytu (r

r

) oraz

stopę rzeczywistego efektywnego oprocentowania kredytu można (r

er

)

wyznaczyć jak poniżej:

wyznacz r

r

z równania:

S =

i 1

n

i

r

i

R

(1 r )

=

∑

+

Wyznacz r

er

:

r

er

=

(

1+

r
m

r

)

m

-1

Średni czas trwania kredytu (T

w

):

T

w

=

1

1

S

t T

i

i

i

n

⋅

=

∑

t

i

- okres czasu od zaciągnięcia kredytu do spłaty i-tej raty.

Przykłady rozliczeń kredytu, dla różnych warunków, zostaną przedstawione w
poniższych zadaniach (przykładach).
____________________________________________________________________

53

Zadania.

1.

A.a. Pożyczasz 10000 zł. przy poniższych warunkach:

- spłaty kredytu w równych ratach spłacanych na koniec kolejnego półrocza,
przez 3 lata,
- stopa oprocentowania nominalnego kredytu: 27%, kapitalizacja półroczna,
-

przy każdej kolejnej racie wpłacasz dodatkowo 0.1% pozostałego do spłaty

kredytu oraz 5 zł. opłaty stałej.

Rozlicz kredyt, wyznacz stopę efektywnego oprocentowania.

A = 10000(A/P,

0 27

2

.

, 6) = 2536.46 zł.

A - rata półroczna zawierająca spłatę kapitału i należnych odsetek.

Przyjmijmy oznaczenia:

Y

n

- kapitał do

spłacenia na początku kolejnego n-tego okresu

(w tym przypadku - kolejnego półrocza),

O

n

- kwota odsetek,

T

n

- kwota spłaty kapitału,

A

n

- A

n

=O

n

+T

n

G

n

- opłata dodatkowa,

X

n

- opłata stała,

R

n

- łączne koszty spłacania kredytu w n-tym okresie: R

n

=A

n

+G

n

+X

n

.

54

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

G

n

X

n

R

n

1

10000

2536.46

1350.00

1186.46

8813.54

8.81

5.00

2550.27

2

8813.54

2536.46

1189.83

1346.63

7466.91

7.47

5.00

2548.93

3

7466.91

2536.46

1008.03

1528.43

5938.48

5.94

5.00

2547.40

4

5938.48

2536.46

801.69

1734.77

4203.71

4.20

5.00

2545.66

5

4203.71

2536.46

567.50

1968.96

2234.75

2.23

5.00

2543.69

6

2234.75

2536.46

301.69

2234.77

0

0

5.00

2541.46

-0.02

-0.02

-0.02

razem

15218.74

5218.74

10000.00

28.65

30.00

15277.39

nominalny koszt kredytu: 15277.39-10000 = 5277.39 zł.

efektywny koszt kredytu:

R

i

i

i

=

−

∑

+

1

6

6

1

0 27

2

(

.

)

- S = 21466.15-10000 = 11466.15 zł.

stopę rzeczywistego efektywnego oprocentowanie kredytu (r

er

):

wyznacz r

r

z równania:

S -

R

r

i

r

i

i

(

)

1

1

6

+

=

∑

= 0

dla r

r

= 0.135 lewa strona równania jest równa -41.05

dla r

r

= 0.14 lewa strona równania jest równa 95.99

z aproksymacji liniowej otrzymamy: r

r

= 13.65%

ostatecznie: r

er

=1.1365

2

-1 = 29.2%

Stopa oprocentowania efektywnego wynikająca z przyjętej stopy oprocentowania
nominalnego kredytu i częstości kapitalizacji jest równa: (1+0.135)-1 = 28.8%.
Różnica pomiędzy tak wyznaczoną stopą a wyżej wznaczoną rzeczywistą stopą
oprocentowania efektywnego (r

er

) wynika z przyjęcia opłat dodatkowych i stałych

przy spłacie rat kredytu.

średni czas trwania kredytu: 1.93 roku

....................................

55

A.b. Jak w A.a. przykładzie lecz:
- brak opłat dodatkowych i opłat stałych,
- spłaty zaokrągla się do kwoty 2550; równoważność zachowuje się
wyznaczając odpowiednią wartość dla ostatniej spłaty.

Plan spłaty kredytu:

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

1

10000

2550

1350

1200

8800

2

8800

2550

1188

1362

7438

3

7438

2550

1004.13

1545.87

5892.13

4

5892.13

2550

795.44

1754.56

4137.57

5

4137.57

2550

558.57

1991.43

2146.14

6

2146.14

2550

289.73

2260.27

0

-114.13

-114.13

razem

15185.87

5185.87

10000.00

...............................................................................

B. Warunki kredytu jak w wariancie A., z jedną zmianą
- pożyczony kapitał spłacany jest w równych ratach kapitałowych.

T

n

=

10000

6

= 1666.67

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

G

n

X

n

R

n

1

10000

3016.67

1350

1666.67

8333.33

8.33

5.00

3030

2

8333.33

2791.67

1125

1666.67

6666.66

6.67

5.00

2803.34

3

6666.66

2566.67

900

1666.67

4999.99

5.00

5.00

2576.67

4

4999.99

2341.67

675

1666.67

3333.32

3.33

5.00

2350

5

3333.32

2116.67

450

1666.67

1666.65

1.67

5.00

2123.34

6

1666.65

1891.65

225

1666.67

0

0

5.00

1896.65

-0.02

razem

14725

4725

10000

25.00

30.00

14780

56

nominalny koszt kredytu: 4780 zł.

efektywny koszt kredytu: 11460.80 zł.

efektywna rzeczywista stopa oprocentowania kredytu: 29.2%

średni czas trwania kredytu: 1.75 roku

................................................................................

W dalszych przykładach pominięto opłaty dodatkowe i opłaty stałe (stąd: R

n

=A

n

).

C.
Spłaty kredytu dokonywane są w trzech równych ratach począwszy od końca
roku drugiego.

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

4

10000

6245.10

6245.10

0

10000

5

10000

6245.10

1747.41

4497.69

5502.31

6 5502.31 6245.10

742.81

5502.29

0

+0.02

+0.02

razem

18735.32

8735.32

10000

Wyznaczenie wielkości rat (A):

10000(K/P, 13.5%, 3) = A(P/A, 13.5%, 3)

A = 6245.10

O

4

= 10000(K/P, 13.5%, 4)-10000 = 6595.24

Ponieważ kwota odsetek jesr większa od kwoty raty: O

4

= A = 6245.10

O

5

= 10000

⋅

0.135+(6595.24-6245.10)

⋅

1.135 = 1747.41

nominalny koszt kredytu: 8735.32 zł.
efektywny koszt kredytu: 11378.40 zł.
średni czas trwania kredytu: 2.78 lat
................................................................................

57

D.
W porównaniu z wariantem C. jedna zmiana
- spłaty dokonywane są w trzech ratach w kwotach: X, 2X, 3X.

Wtedy:
10000(K/P, 13.5%, 2) = X(P/G, 13.5%, 4)
X = 3259.78

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

4

10000

3259.78

3259.78

0

10000

5

10000

6519.56

5135.75

1383.81

8616.19

6

8616.19

9779.34

1163.19

8616.15

0

+0.04

+0.04

razem

19558.72

9558.72

10000

O

5

= 10000

⋅

0.135+(6595.24-3259.78)

⋅

1.135 = 5135.75

nominalny koszt kredytu: 9558.72 zł.
efektywny koszt kredytu: 11378.41 zł.
średni czas trwania kredytu: 2.93 lat
................................................................................

E.
W porównaniu z wariantem C.:
- spłaty dokonywane są w dwu równych ratach (A) na koniec drugiego i trzeciego
roku.

10000(K/P,13.5%,4) = A

+

+

A

(

.

)

1 0135

2

A = 9342.79

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

4

10000

9342.79

6595.24

2747.55

7252.45

6

7252.45

9342.79

2090.34

7252.45

0

razem

18685.58

8685.58

10000

58

nominalny koszt kredytu: 8685.58 zł.
efektywny koszt kredytu: 11378.41 zł.
średni czas trwania kredytu: 2.73 lat
....................................................................

F.
Jak w C., lecz spłaty dokonywane są w miesięcznych ratach.

Kwotę rat miesięcznych wyznaczamy z zależności:

A = P

2

2

1

N r N

+

−

⋅

(

)

r r

r

n

n

(

)

(

)

+

+

−

1

1

1

wtedy:

A = 10000

2

2 6 0135 5

⋅ +

⋅

⋅

.

0135 1 0135

1 0135

1

6

6

.

(

.

)

(

.

)

+

+

−

= 400.23

nominalny koszt kredytu: 4408.28 zł.

efektywny koszt kredytu: 11840.40 zł.

stopa efektywnego rzeczywistego oprocentowania kredytu: 28.7%

(przy przyjęciu dostosowanej stopy procentowej = 2.25% w skali miesiąca)

Równoważną ratę (A=2536.46) w okresie kapitalizacji (półrocza) wyznacza się jak
w wariancie A., dalsze rozliczenie kredytu - identycznie jak w wariancie A.

.......................................................

Przeglądając wyniki kalkulacji dla wariantów A-E można zauważyć, że:
- efektywne koszty kredytu różnią się praktycznie nieistotnie,
- średni okres trwania kredytu i nominalny koszt kredytu są silnie dodatnio
skorelowane,

Stąd wniosek: jeżeli nie występują inne

uwarunkowania, wybierz taki wariant

spłaty
kredytu (

pamiętając jednocześnie, że najważniejszym kryterium wyboru jest

minimalizacja
efektywnej rzeczywistej stopy oprocentowania kredytu

) który daje namniejszą

wartość
nominalnego kosztu kredytu lub najmniejszy średni czas trwania kredytu.

........................................................

59

G.
Pożyczka w kwocie 10000 zł. spłacana jest po trzech latach, przy stopie
procentowej 27%. Należne odsetki spłacane są po każdym kolejnym półroczu.

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

1

10000

1350

1350

0

10000

2

10000

1350

1350

0

10000

3

10000

1350

1350

0

10000

4

10000

1350

1350

0

10000

5

10000

1350

1350

0

10000

6

10000

11350

1350

10000

0

razem

18100

8100

10000

nominalny koszt kredytu: 8100 zł.
efektywny koszt kredytu: 11378.40 zł.
średni czas trwania kredytu: 3 lata
................................................................................................................................

2.

A.

Pożyczasz 100 zł. na poniższych warunkach:
- spłaty kredytu w równych ratach kapitałowych, spłacanych na koniec
5-u kolejnych miesięcy,
- oprocentowanie nominalne kredytu: 24%,
- przy spłacie raty spłacasz oprocentowanie od pozostałego do zwrócenia kredytu.

Plan spłaty kredytu:

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

1

100

22

2

20

80

2

80

21.6

1.6

20

60

3

60

21.2

1.2

20

40

4

40

20.8

0.8

20

20

5

20

20.4

0.4

20

0

razem

106

6

100

60

nominalny koszt kredytu: 6.00 zł.
efektywny koszt kredytu: 10.41 zł.
efektywne oprocentowanie: 26.8%

................................................................................

B. Jak w A., lecz spłaty kredytu następują w równych ratach.

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

1

100

21.22

2

19.22

80.78

2

80.78

21.22

1.62

19.60

61.18

3

61.18

21.22

1.22

20.00

41.18

4

41.18

21.22

0.82

20.40

20.78

5

20.78

21.22

0.42

20.80

0

-0.02

-0.02

razem

106.08

6.08

100

Kwotę raty wyznaczamy z zależności:

A =P(A/P, r, n)

dla: P=100, n=5, r=0.02 otrzymujemy: A = 21.2158

nominalny koszt kredytu: 6.08 zł.
efektywny koszt kredytu: 10.43 zł.
efektywne oprocentowanie: 26.8%
................................................................................

C. Warunki jak dla A., lecz kapitalizacja odsetek półroczna.

Korzystamy z zależności:

P = K

(

1+r

N
m

)

-1

= A

⋅

N

⋅

2

1

2

m r N

m rN

+

−

+

(

)

(

)

61

otrzymujemy dla miesięcznej raty(A):

100 = A

⋅

5

⋅

12 012 4

2 6 012 5

+

⋅

+

⋅

.

(

.

)

A = 21.15

łączna kwota odsetek:

O = 5

⋅

21.15-100 = 5.75

..............................................................................

D. Jak w C. lecz przyjmijmy, że wartość pożyczki jest równa teraz 10000,
kapitalizacja kwartalna.

Wartość obecna spłat jest równoważna sumie dwu wartości obecnych
wyznaczonych dla:

P

1

- trzech pierwszych rat,

P

2

- pozostałych rat.

wtedy:

P

1

= A

⋅

3

⋅

6 0 06 3 1

2 3 0 06 3

+

−

+

⋅

. (

)

(

.

)

P

2

można wyznaczyć na kilka różnych sposobów, np.:

a. P

2

= (

A

A

102 104

.

.

+

)

⋅

1.06

-1

b. P

2

= [A(1-0.02+A(1-0.04)]

⋅

1.06

-1

c. P

2

= (

A

A

106

106

1 3

2 3

.

.

/

/

+

)

⋅

1.06

-1

W zależności od tego który wzór zastosujemy otrzymamy następujące
wartości dla rat:

a. A = 2119.18
b. A = 2120.00
c. A = 2118.87

Wyznaczając w sposób przybliżony ratę, z wzoru wg. metody wskaźnika N,
otrzymujemy kwotę raty: A = 2120.81

................................................................................................................................

62

3.

Wstępnie uzgodniono następujące warunki spłaty pożyczki:

- spłaty w sześciu równych miesięcznych ratach = 100, płaconych z góry,
- stopa procentowa = 24%,
- kwartalna kapitalizaca odsetek.

Później zmieniono warunki następująco:

- spłaty w czterech równych kwartalnych ratach,

- rozpoczęcie spłat w terminie o trzy miesiące późniejszym niż wstępnie

uzgodniono,

- kapitalizacja odsetek miesięczna.

Podaj kwotę raty (A) po zmianie warunków.
Podaj plan spłaty kredytu - przed i po zmianie warunków.

kwota kredytu (P):

P = 100

3 2

3 1

0 24

4

2

106

1

0 06

2

⋅ +

+

⋅

−

(

)

.

.

.

.

= 572.02

P

⋅

102

102

1

102

1

12

12

3

.

.

.

=

−

−

A

A = 165.54

Plan spłaty kredytu po zmianie warunków:

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

1

572.02

165.54

35.01

130.53

441.49

2

441.49

165.54

27.02

138.52

302.97

3

302.97

165.54

18.54

147.00

155.97

4

155.97

165.54

9.55

159.99

0

-0.02

-0.02

razem

662.14

90.12

572.02

63

Plan spłaty kredytu przed zmianą warunków:

A

=

⋅ +

+ ⋅

=

100

3 2

3 1 0 06

2

(

) .

312

n

Y

n

A

n

O

n

T

n

Y

n+1

1

572.02

312

34.32

277.68

294.34

2

294.34

312

17.66

294.34

0

razem

662.14

90.12

572.02

................................................................................................................................

1.

Kredyt w kwocie 1200 spłacasz w 12 miesięcznych równych ratach
kapitałowych

(czyli po 100). Dla spłaty kredytu przyjęto stopę procentową (koszt kredytu) =
24%. Należności wynikające z tego oprocentowania spłacasz w dwu równych
ratach - pierwszą w terminie pobrania kredytu, drugą przy spłacie ostatniej raty.

Podaj kwoty (X) tych rat dla dwu przypadków kapitalizacji odsetek:

a. miesięcznej,
b. rocznej.

ad.a. 100

(

. )

.

(

)(

. )

1 0 02

1

0 02

1200

1 0 02

12

12

+

− + =

−

+

X

X

X = 79.66

ad.b. 100

2 12

12 1 0 24

2

⋅

+

− ⋅

(

) .

+ X = (1200-X)

⋅

1.24

X = 69.64
................................................................................................................................

5.

Jak w 2.4.b lecz odsetki (X, koszt nominalny kredytu) spłacasz jednorazowo

przy spłacie ostatnie raty kapitałowej.

100

2 12

12 1 0 24

2

⋅

+

− ⋅

(

) .

+ X = 1200

⋅

1.24

X = 156.00
____________________________________________________________________

64

III. Wycena papierów wartościowych.

1. Weksle.

Weksel to papier wartościowy, o ściśle określonej przez prawo formie,
zobowiązujący wystawcę, albo osobę przez niego wskazaną, do zapłaty określonej
kwoty pieniężnej w określonym terminie.

Niech:
W

a

- wartość aktualna weksla (obecna cena zakupu),

W

n

- wartość nominalna w chwili wykupu (suma wekslowa)

a. wycena wg. dyskonta handlowego:

W

a

= W

n

- D

H

= W

n

-W

n

d t

360

⋅

= W

n

⋅

(1-

d t
360

⋅

)

gdzie:
t - liczba dni do wykupu weksla,
d - stopa dyskontowa,
D

H

- dyskonto handlowe (różnica między wartością nominalną a wartością

obecną)

b. wycena wg. dyskonta rzeczywistego

(matematycznego)

:

W

a

= W

n

- D

M

= W

n

- W

n

⋅

r t

r t

⋅

+ ⋅

360

= W

n

⋅

360

360 r t

+ ⋅

r - stopa dyskonta rzeczywistego,
D

M

- dyskonto rzeczywiste (matematyczne).

c. wycena wg. rzeczywistego kosztu złożenia weksla do dyskonta (W

a,r

):

W

a,r

= W

n

-D

r

gdzie:

D

r

= D+R+W

n

⋅

p

w

⋅

t

360

65

D

r

- dyskonto wg. rzeczywistego kosztu złożenia weksla do dyskonta,

R - opłata ryczałtowa,
D - dyskonto (handlowe lub matematyczne),
p

w

- współczynnik proporcjonalności.

Rzeczywista stopa zdyskontowania weksla (r):

r =

W

W

W

360

t

n

a,r

a,r

−

⋅

Z zależności:

r =

W

W

W

360

t

n

a

a

−

⋅

oraz:

d =

W

W

W

t

n

a

n

−

⋅

360

jest:

r

W

d

W

n

a

=

____________________________________________________________________

2. Bony skarbowe.

Bony skarbowe emitowane są przez skarb państwa z terminem wykupu nie
przekraczającym jednego roku. Bony skarbowe są dokumentami na okaziciela. Bank
określa każdorazowo maksymalną wysokość dyskonta która nie może być
przekroczona w ofertach zakupu. Przy wcześniejszym wykupie stopa dyskontowa
jest wyższa niż przyjęta przy zakupie.

Metody kalkulacji - analogicznie jak w przypadku weksli:

C

z

= W

n

-D = W

n

⋅

(

1-

d t

360

⋅

)

66

gdzie:
C

z

- cena zakupu bonu,

W

n

- wartość nominalna, otrzymywana przy wykupie bonu; w ofertach cenę

zakupu podaje się dla W

n

=100 jednostek pieniężnych,

d - stopa dyskontowa,
t - liczba dni do wykupu bonu,
D - dyskonto.
____________________________________________________________________

3. Certyfikaty depozytowe.

Certyfikat depozytowy to dokument potwierdzający przyjęcie wkładów
terminowych. Certyfikat jest dokumentem na okaziciela. Termin wykupu - od 7-u
dni do kilku lat. Sprzedawane są wg. wartości nominalnej. Dochodem dla
właściciela są odsetki kapitalizowane i wypłacane wraz z zainwestowanym
kapitałem w terminie wykupu lub odsetki wypłacane w pewnych odstępach czasu.
Atrakcyjność zakupu certyfikatów depozytowych wynika z ich dużego
bezpieczeństwa oraz możliwości obrotu na rynku wtórnym, stąd często niższa ich
rentowność niż lokat.
Podstawowe cechy certyfikatu, oprócz emitenta, czyli banku który przyjął depozyt,
to:
- wartość nominalna (cena na rynku pierwotnym) W

n

,

- okres trwania, czyli data początkowa i data wykupu (zapadłości),
- nominalna stopa procentowa (kupon) - zmienna lub stała, odsetki mogą być
kapitalizowane.

Wartość certyfikatu w dniu wykupu (W

x

):

W

x

= W

n

(1+

r t

360

⋅

) = W

n

+ O

gdzie:
r - roczna stopa procentowa,
t - okres trwania (dni),
O

-

odsetki.

W przypadku zakupu

certyfikatu na rynku wtórnym

po cenie Wr

x

, przy uzgodnionej

rentowności zakupu (stopie procentowej), do terminu wykupu,

r

w

zachodzi:

67

W

x

= Wr

x

(

1

r

t

360

w

w

+

⋅

)

68

wtedy:

Wr

x

= W

n

360 r t

360 r

t

w

w

+ ⋅

+

⋅

=

360W

360 r

t

x

w

w

+

⋅

gdzie:
t

w

- liczba dni od dnia zakupu certyfikatu do dnia jego wykupu,

t

- okres trwania (od ostatniego dnia odsetkowego).

Na rynku wtórnym

wartość rynkową certyfikatu ze zmiennym kuponem

(Wz) określa

się, minn., jak poniżej:

Wz = Wr

x

- O

O - odsetki narosłe od terminu ostatniej ich płatności.

Wszystkie powyższe zależności dotyczą wyceny certyfikatu wg. oprocentowania prostego,
a więc dla okresu trwania nie dłuższego niż jeden rok.

____________________________________________________________________

4. Obligacje.

Obligacje to papier wartościowy (długoterminowy) przynoszący posiadaczowi
określony dochód. W zależności od emitenta wyróżnia się obligacje: skarbu państwa,
instytucji finansowych, organów samorządowych, przedsiębiorstw. Obligacje mogą
być imienne bądź na okaziciela. Termin wykupu - od roku do kilkunastu lat.
Na dochód z obligacji mogą składać się: dochód z różnic kursowych oraz dochód z
odsetek. Sposób wyceny na rynku pierwotnym regulują szczegółowe ustalenia
zawarte w dokumentach emisyjnych. Poniżej podane zostaną ogólne, najczęściej
stosowane, metody wyceny obligacji.

a. obligacje bezkuponowe (z kuponem zerowym):

P

0

=

W

(1

r

m

)

n

n m

+

⋅

gdzie:
P

0

-

cena bieżąca obligacji,

r - rentowność (stopa dyskontowa, stopa procentowa) do dnia wykupu,
m

- liczba płatności odsetek dla obligacji ze stałym kuponem,

realizowanych w ciągu roku,

n

- liczba lat do wykupu obligacji,

W

n

-

wartość nominalna obligacji.

69

b. obligacje wieczyste (konsole):

P

0

=

O

(1 r)

O

r

i

i 1

+

=

=

∞

∑

gdzie:
O - wartość kuponu:
r - rentowność (stopa procentowa, stopa dyskontowa).

c. obligacje o stałym oprocentowaniu

:

P

0

=

O

m

(1

r

m

)

W

(1

r

m

)

k

n

n m

k 1

n m

+

+

+

⋅

=

⋅

∑

gdzie:

O = W

n

⋅

r

1

r

1

- procentowa stopa odsetkowa obligacji w skali roku.

Stopa przychodu bieżącego obligacji

(I):

I =

O

P

0

100%

d. Obligacje o stałym oprocentowaniu przy uwzględnieniu inflacji:

P

0

=

O

i 1

+

1

(1 r )

W

(1 r )

r

k

n

r

n

k 1

n

+

+

+

=

∑

=

= O

⋅

(1 r)

(1 i)

(r i)(1 r)

n

n

n

+

−

+

−

+

+

W

(1 r )

n

r

n

+

= O(P/G,i,r,n)+W

n

(P/K,r

r

,n)

70

gdzie:
i

- stopa inflacji w danym okresie,

r

- nominalna stopa procentowa (dyskontowa),

r

r

- realna stopa rentowności obligacji:

r

r

=

1

1

1

+

+

−

r

i

e. przykład wyceny obligacji (Państwowa Pożyczka Jednoroczna - 1.6.1992)

Cena obligacji w

k

-tym dniu

m

-tego miesiąca (C

k,m

)

:

C

k,m

= C

e

+

β

k,m

+A

q

gdzie:
C

e

- cena emisyjna,

β

k-1,m

- kwota zwiększenia, wynikająca z inflacji, za okres od początku

sprzedaży serii do k-tego dnia w m-tym miesiącu sprzedaży:

β

k-1,m

= W

n

⋅

[

(1+i

m

)

k

t

−

1

(

)

1

1

1

+

=

−

∏

i

r

r

m

-1

]

i

r

- miesięczna stopa inflacji w r-tym miesiącu,

t - ilość dni w m-tym miesiącu,
A

q

- marża odsetkowa:

A

q

= W

n

p

365

(q-1)

p - stopa procentowa,
q - ilość dni od dnia emisji obligacji.
____________________________________________________________________

71

Zadania.

6.1. Dysponujesz trzema wekslami:
a. wartość nominalna 2000 zł., płatny za 30 dni, stopa dyskontowa 30%,
b. wartość nominalna 5000 zł., płatny za 35 dni, stopa dyskontowa 28%,
c. wartość nominalna 1000 zł., płatny za 20 dni, stopa dyskontowa 32%.

Czy opłaca się zamienić te trzy weksle na jeden o wartości nominalnej 8100 zł.,
płatny za 37 dni, o stopie dyskontowej 37%.
Obliczenia wykonaj dla dyskonta:
a. handlowego,
b. rzeczywistego,

ad.a.

Wartość aktualna trzech posiadanych weksli (W

a

):

W

a

= 2000-2000

⋅

⋅

0 3 30

360

.

[phone]

⋅

⋅

0 28 35

360

.

[phone]

⋅

⋅

0 32 20

360

.

= 7796.11 zł.

Wartość aktualna czwartego (co najmniej - równoważnego) W

a,4

:

W

a,4

= 8100

(

1-

0 37 37

360

.

⋅

)

=7791.98 zł.

W

a,4

= 7791.98 zł. < W

a

= 7796.11 zł.

ad.b.

W

a

=2000

360

360 0 3 30

+

⋅

.

+5000

360

360 0 28 35

+

⋅

.

+1000

360

360 0 32 20

+

⋅

.

=7801.25 zł.

W

a,4

= 8100

360

360 0 37 37

+

⋅

.

=7803.26 zł. > 7801.25 zł. > W

a

................................................................................................................................

6.2. Chcesz zdyskontować weksel o wartości nominalnej 1000 zł. płatny za 60 dni.
Dwa banki oferują poniższe warunki:

1. stopa dyskontowa: 25%, współczynnik proporcjonalności: 0.9%,
opłata ryczałtowa: 15 zł.,
2. stopa dyskontowa: 28%, współczynnik proporcjonalności: 0.5%,
opłata ryczałtowa: 10 zł.

Która oferta jest korzystniejsza ?

72

Rzeczywiste koszty złożenia weksla są, odpowiednio, równe (wg. dyskonta
handlowego):

D

n,1

= 1000

0 25 60

360

.

⋅

+1000

0 009 60

360

.

⋅

+15 = 58.17 zł.

D

n,2

= 1000

0 28 60

360

.

⋅

+1000

0 005 60

360

.

⋅

+10 = 57.50 zł.

Rentowność zdyskontowania weksla jest, odpowiednio, równa:

r

1

=

5817

1000 5817

360

60

.

.

−

⋅

= 37.06%

r

2

=

57 50

1000 57 50

360

60

.

.

−

⋅

= 36.6%

Rzeczywiste stopy dyskontowe są, odpowiednio, równe:

d

1

=

5817

1000

360

60

.

⋅

= 34.9%

d

2

=

57 50

1000

360

60

.

⋅

= 34.5%

Zdyskontowanie weksla w drugim banku jest korzystniejsze, tak ze względu na
rzeczywiste koszty zdyskontowania jak i rzeczywistą stopę dyskontową.
................................................................................................................................

6.3. Chcesz kupić bony 12-tygodniowe bony skarbowe.
Jaką maksymalnie cenę (C

a

) możesz zapłacić aby uzyskać stopę rentowności nie

mniejszą niż 30%?

C

a

=

100

1

0 3 12 7

360

+

⋅

⋅

.

= 93.46

................................................................................................................................

73

6.4. Bony skarbowe kupiono za 95.50, do wykupu pozostało 50 dni.
Po 30 dniach sprzedano przy stopie procentowej: 25%.

Jaka była cena sprzedaży (C

s

), stopa dyskontowa (d) oraz efektywna stopa (p)

procentowa (rentowność) tej operacji?

C

s

=

100

1

0 25 20

360

+

⋅

.

= 98.63

d =

0 25

1 0 25

20

360

.

.

+

= 24.66%

p =

98 63 9550

9550

360

30

.

.

.

−

⋅

= 39.33%

...............................................................................................................................

6.5. Bony skarbowe kupiono za 95, do wykupu pozostało 60 dni. Po dwudziestu
dniach sprzedaję przy 30% rentowności operacji kupno-sprzedaż.

Przy jakim dyskoncie (D), stopie dyskontowej (d), stopie procentowej (r) oraz
cenie (C

s

) dokonano sprzedaży.

0.3 =

C

s

−

⋅

95

95

360

20

C

s

= 96.58

D = 100-96.58 = 3.42

d =

342

100

40

360

.

= 30.78%

r =

0 3078

1 0 3078

40

360

.

.

−

⋅

= 31.87%

...............................................................................................................................

74

6.6. Bon skarbowy kupuję z dyskontem D

H

= 10, termin wykupu - 5 miesięcy.

Sprzedaję po dwu miesiącach przy stopie dyskontowej 20%.

a. Za jaką cenę sprzedałem (C

s

) i jaka jest rentowność tej operacji (r).

Cena zakupu = 100-10 = 90

C

s

= 100(1-0.2

90

360

) = 95

r =

95 90

90

360

60

−

⋅

= 33.33%

b. Jaka jest stopa rentowności (r

1

) dla kupującego, jeśli utrzymał bon do terminu

wykupu?

r

1

=

100 95

95

360

90

−

⋅

= 21.05%

................................................................................................................................

6.7. Stocznia lokuje 1 mln. zł kupując w banku centralnym bony skarbowe

(transakcja

Reverse REPO)

, przy stopie kredytowej:17%, stopie dyskontowej: 32%.

Do wykupu bonów pozostało 90 dni.

Jaka będzie wartość nominalna zakupionych bonów (W

n

) ? Jaka będzie cena

odkupienia przez bank centralny bonów po 12 dniach (C

s

) ?

W

n

=

1000000

1

0 32 90

360

−

⋅

.

= 1086956.52 zł.

C

s

= 1086956.52(1+

017

12

360

.

) = 109311.5.94 zł.

................................................................................................................................

6.8 Kupujiono na rynku pierwotnym miesięczny certyfikat o kuponie 22%
i wartości nominalnej 1000 zł. Po 20-u dniach sprzedajesz go na rynku wtórnym
przy stopie procentowej 19%.

Jaka była cena sprzedaży (Wr

x

) i jaką uzyskano rentowność (r)?

Wr

x

= 1000

360 0 22 30

360 019 10

+

⋅

+

⋅

.

.

= 1012.99 zł.

75

r =

1012 99 1000

1000

360

20

.

−

⋅

= 23.38%

................................................................................................................................

6.9. Certyfikat o nominale 100 kupuję przy stopie procentowej 30%, termin wykupu
- cztery miesiące. Po miesiącu sprzedaję przy stopie procentowej 25%.

Jaka jest rentowność tego przedsięwzięcia?

cena zakupu =

100

1 0 3

120

360

+

.

= 90.91

cena sprzedaży =

100

1 0 25

90

360

+

.

= 94.12

r =

94 12 90 91

90 91

360

30

.

.

.

−

⋅

= 42.37%

................................................................................................................................

6.10. Jaka jest cena obecna obligacji (P

0

) o: wartości nominalnej 1000 zł., terminie

wykupu za 5 lat, oprocentowaniu 17%, kwartalnej kapitalizacji odsetek,
stopie dyskontowej 14%?

P

0

= 1000(P/K,

14%

4

, 20) + 1000

017

4

.

(P/A,

0 14

4

.

, 5

⋅

4) =

= 1000(1+

014

4

.

)

-20

+ 42.5

⋅

(

.

)

.

(

.

)

1 0 035

1

0 035 1 0 035

20

20

+

−

+

= 1106.59 zł.

................................................................................................................................

6.11. Oblicz cenę bieżącą obligacji z kuponem zerowym (P

0

) o: wartości nominalnej

1000 zł., terminie wykupu za trzy lata, przy rentowności 19%, oraz przyjmując dla
obligacji ze stałym kuponem wypłaty półroczne.

P

0

= 1000(P/K,

19

2

%, 3

⋅

2) = 1000(1+0.095)

-6

= 580.12 zł.

................................................................................................................................

76

6.12. Obligację o cenie nominalnej 100 kupujesz na rynku pierwotnym.
Stopa odsetkowa jest równa 16%, termin wykupu - 5 lat, wypłaty
odsetek - kwartalne. Jaka jest rentowność (r, stopa dyskontowa) tej inwestycji?

Niech: x =

r

4

, wtedy:

100 = 100(P/K, x, 20)+4(P/A, x, 20)

100 =

100

1

4

1

1

1

20

20

20

(

)

(

)

(

)

+

+

+

−

+

x

x
x x

x = 0.04

r = 0.16 =16%

Przy cenie zakupu mniejszej od wartości nominalnej rentowność będzie większa
od stopy odsetkowej, przy większej - mniejsza.
................................................................................................................................

6.13. Kupujesz na rynku pierwotnym półroczny certyfikat depozytowy (C

z

)

z kuponem 27%. Po trzech mesiącach sprzedajesz go na rynku wtórnym (C

s

)

po 21%.
Czy bardziej opłacalna (rentowna) była lokata bankowa z oprocentowaniem 24%?

C

z

=

100

1

0 27

2

+

.

= 88.11

C

s

=

100

1 021

3

12

+

⋅

= 95.01

R

c

=

C

C

C

s

z

z

−

⋅

12

3

=

95 01 8811

8811

12

3

.

.

.

−

⋅

= 31.32% > 24%

...............................................................................................................................

6.14. Aktualna stopa procentowa przy zakupie obligacji trzyletniej wynosi 12%.
Kurs emisyjny obligacji jest równy 75%. Czy zakup obligacji jest opłacalny?

1

1 012

3

(

. )

+

= 0.7118 < 0.75

...............................................................................................................................

77

6.15. Kurs emisyjny (C

e

) 5-letniej obligacji z kuponem 7% wynosi 93.

Jaką stopę procentową (p) przyjęto przy emisji tej obligacji?

Rozwiązując równanie:

C

n

+ C

n

⋅

r

⋅

(

)

p

p

n

+

−

1

1

- C

e

⋅

(1+p)

n

= 0

dla danych:
C

n

= 100

- cena nominalna obligacji,

n

=

5

- liczba lat do wykupu obligacji,

r

= 0.07 -

kupon,

C

e

= 95

- kurs emisyjny.

otrzymujemy:

100 + 7

⋅

(

)

p

p

+

−

1

1

5

- 93

⋅

(1+p)

5

= 0

Rozwiązaniem powyższego równania (

uzyskanego iteracyjnymi metodami

przybliżonymi)

jest:

p = 8.79%.

Dostatecznie dobre rowiązanie daje poniższa, prosta i dostatecznie dokładna dla
praktycznych zastosowań, zależność:

p =

100 r

C

C

C

100 n

e

n

e

⋅ + −

⋅

Otrzymamy wtedy:

p =

100 0 07

93

100 93

100 5

⋅

+

−

⋅

.

= 8.9%

____________________________________________________________________

78

IV. Analiza efektywności projektów inwestycyjnych

.

Inwestowanie to podejmowanie decyzji o wydatkowaniu zgromadzonych lub

otrzymanych kapitałów w celu nabycia wartości trwałych (ich odnowy), nabycia

technologii i wiedzy (inwestycje bezpośrednie, rzeczowe), dokonania wkładów

kapitałowych i lokat (inwestycje pośrednie, finansowe).

Podstawy oceny (kalkulacji) efektywności inwestycji pośrednich omówiono w rozdz.

I. W tym rozdziale omówione zostaną kryteria i metody stosowane dla oceny

efektywności inwestycji rzeczowych, mogą one być również wykorzystywane do

oceny inwestycji finansowych. Przedsięwzięcia inwestycyjne rzeczowe można

podzielić na: odtworzeniowe, modernizacyjne, innowacyjne, rozwojowe,

strategiczne.

Wypracowanie decyzji o charakterze gospodarczym, a więc również decyzji

inwestycyjnych, jest procesem złożonym, minn. z poniższych powodów:

-

aspekt czasu

; przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych należy przewidzieć

zachowanie systemu gospodarczego (również: ekonomicznego, finansowego,

prawnego), często z bardzo dużym wyprzedzeniem czasowym. Powoduje to,

że w przypadku wypracowywania decyzji o charakterze gospodarczym

winniśmy mówić raczej o ich racjonalizacji niż optymalizacji.

Decyzja optymalna przestaje być optymalną w chwili jej podjęcia.

O tym znanym paradoksie należy pamiętać przy podejmowaniu decyzji w tego

typu sytuacjach;

- istnieje, na ogół,

wiele kryteriów oceny

, przy jednoczesnym braku jasności (zgody)

co do ich ważności (hierarchii);

-

złożoność problemu

(obiektu modelowanego) - utrudnia, bądź wręcz

uniemożliwia, wiarygodne odwzorowanie obiektu rzeczywistego (jego

struktury

informacyjnej i funkcjonalnej) w konsekwencji prowadzi to do

podejmowania

79

mało wiarygodnych decyzji.

80

Podstawowe elementy procesu decyzyjnego to:

1. rozpoznanie problemu,
2. definicja celu,
3. zbieranie odpowiednich danych,
4. identyfikacja dopuszczalnych alternatyw,
5. selekcja kryteriów dla oceny alternatyw,
6. konstrukcja (wybór) modelu,
7. określenie wyników dla każdej alternatywy,
8. wybór najlepszej alternatywy zapewniającej ociągnięcie zamierzonego celu,
9. weryfikacja rezultatów (decyzji).

Wynikiem procedury decyzyjnej związanej z uruchomieniem inwestycji jest

projekt (plan) inwestycyjny. Szczegółowość projektu zależy od bardzo wielu

czynników, takich między innymi jak:

- przewidzianych dla jego realizacji środków finansowych oraz czasu,
- kwalifikacji kadry opracowującej projekt,
- możliwości (pracochłonności) odwzorowania struktury informacyjnej
i funkcjonalnej obiektu,
- możliwości przewidzenia i uwzględnienia uwarunkowań wewnętrznych oraz
zewnętrznych (otoczenia) obiektu rzeczywistego, zmiennych, na ogół, w czasie.

Dalej przedstawione zostaną kryteria oraz wskaźniki - przyjęte i stosowane

powszechnie dla oceny efektywności pojedyńczego projektu inwestycyjnego, jak i

wyboru ekonomicznie uzasadnionej alternatywy inwestowania bądź wariantu

rozwoju (modernizacji) przedsiębiorstwa.

W niniejszym opracowaniu oparto się, głównie, na standardzie przyjętym przez

UNIDO. Zgodnie z tym standardem - analizę efektywności projektu

(przedsięwzięcia) przeprowadza się przy założeniu zmiany ilości pieniądza w czasie.

Metodę tę zalicza się do metod dynamicznych (dyskontowych).

81

Założenia i oznaczenia.

Przyjmijmy:

B

i

- dochód (nadwyżka finansowa, przepływ pieniędzy) w i-tym okresie

(terminie) czasu, będący różnicą pomiędzy wpływami (I

i

) i wydatkami

(kosztami, O

i

):

B

i

=I

i

-O

i

(i =0



n)

n - okres analizy (czas eksploatacji obiektu, czas ‘życia’, ‘cykl życia’;
useful life); jako jednostkę czasu przyjmuje się, jeśli nie jest to
określone inaczej, jeden rok.

p

- stopa oprocentowania kapitału (stopa zmiany ilości kapitału, koszt kapitału,

żądana stopa zwrotu, minimalna atrakcyjna stopa zwrotu) w okresie roku;
w dalszych rozważaniach przyjmuje się oprocentowanie składane dla
wyznaczania zmiany ilości kapitału w czasie,

C

i

- koszty inwestycyjne w i-tym okresie czasu (przyjmuje się dalej koszt = koszt

inwestycyjny, chyba, że zostanie wyraźnie określone o jaki koszt chodzi).

Wartości C

i

oraz B

i

określają więc roczny przepływ pieniędzy (annual cash flow).

a

i

=

1

1

(

)

+

p

i

- wpólczynnik dyskontujący.

Przy analizie konkretnych przedsięwzięć inwestycyjnych powyższe założenia
mogą być zbyt ogólne. Przyjęty poziom ogólności umożliwia przedstawienie
omawianych dalej wskaźników oraz kryteriów oceny przedsięwzięć inwestycyjnych
w sposób pełny, a jednocześnie przejrzysty, unikając nieistotnych dla tej
prezentacji komplikacji rachunkowych.

82

B

4

B

n

C

0

1

0

2

3

4

5

6

7

8

n

...................

.

B

1

B

2

B

8

B

7

B

6

C

8

C

5

B

5

B

3

W licznych opracowaniach wskaźniki i metody analizy efektywności inwestycji
oparte są o wyróżnienie w strumieniu przepływu gotówki:
- wpływów gotówki (dodatnie przeływy, cash inflows),
- wydatków gotówki (ujemne przepływy, cash outflows),
bez wyróżniania pozycji kosztów inwestycyjnych. Ważniejsze wskaźniki oparte
o powyższe założenia zostaną również w tym opracowaniu podane.

1. Podstawowe wskaźniki oceny inwestycji.

1.1. Wartość obecna netto (NPV).

Wartość obecna netto (NPV - net present value):

NPV = PVB - PVC

gdzie:
PVB - wartość obecna dochodu:

PVB =

a B

j

j

j

n

⋅

=

∑

0

=

B P K p j

j

j

n

( / , , )

=

∑

0

PVC - wartość obecna kosztu (nakładów inwestycyjnych):

PVC =

a C

j

j

j

n

⋅

=

∑

0

=

C

j

( / , , )

P K p j

j

n

=

∑

0

Jeżeli wartość obecna jest jest wartością kryterialną to z dwu alternatyw A i B
wbieramy tę która spełnia: max (NPV

A

, NPV

B

)

gdzie:
NPV

X

- wartość obecna dla alternatywy (wariantu) X,

Jeżeli PVC

A

= PVC

B

wtedy wyboru korzystniejszej alternatywy dokonuje się

zgodnie z kryterium: max (PVB

A

, PVB

B

)

Jeżeli PVB

A

= PVB

B

wtedy wyboru korzystniejszej alternatywy dokonuje się

zgodnie z kryterium: min (PVC

A

, PVC

B

)

Jeżeli PVC

A

< PVC

B

oraz PVB

A

> PVB

B

to, oczywiście, bardziej korzystną

jest alternatywa A.

83

1.2. Wartość przyszła netto (NFV).

Wartość przyszła netto (wartość terminalowa, net future value):

NFV = FVB - FVC
gdzie:
FVB - wartość przyszła dochodu:

FVB =

B

a

j

n j

j

n

−

=

∑

0

=

B K P p j

j

j

n

( / , , )

=

∑

0

FVC - wartość przyszła kosztu (nakładów inwestycyjnych):

FVC =

C

a

j

n j

j

n

−

=

∑

0

=

C P K p j

j

j

n

( / , , )

=

∑

0

Stosowanie wartości przyszłej netto (NFV) jako wielkości kryterialnej
- analogicznie jak dla wartości obecnej netto.

1.3. Wartość równych rocznych rat netto (NRR).

Wartość równych rocznych rat netto (NRR):

NRR = RRB - RRC

gdzie:
RRB - wartość równych rocznych rat dla dochodu (

equivalent uniform annual

benefits

):

RRB = PVB

⋅

(A/P, p, n) = FVB

⋅

(A/K, p, n)

RRC - wartość równych rocznych rat kosztu (nakładów inwestycyjnych)
(

equivalent uniform annual cost

):

RRC = PVC

⋅

(A/P, p, n) = FVC

⋅

(A/K, p, n)

jest więc również:

NRR = (PVB-PVC)(A/P, p, n) = (FVB-FVC)(A/K, p, n)

Stosowanie wartości równych rocznych rat netto jako wielkości kryterialnej
- analogicznie jak dla wartości obecnej netto.

Uwaga

:

Jeżeli przy wyborze najkorzystniejszej inwestycji okresy analizy (useful life) są

różne to należy stosować kryteria jak dla równych rat (NRR), a nie kryteria wg. NPV lub
NFV.

84

1.4. Okres zwrotu kosztów (nakładów inwestycyjnych).

Okres zwrotu kosztów inwestycyjnych

(PP - payback period) jest to okres czasu

po którym osiągnięte od początku inwestycji dochody (przed lub po opodatkowaniu,
zysk, zysk po opodatkowaniu + amortyzacja) są równe poniesionym nakładom
inwestycyjnym.

PP = k1 + k2

gdzie: k

1

i k

2

określa poniższe równanie:

(

)

C

B

i

i

i

k

−

=

∑

0

1

+ k2

⋅

(C

k1+1

-B

k1+1

) = 0 ( k1>0 , k2>0 )

Zdyskontowany okres zwrotu

(DPP - discounted payback period):

DPP = k1 + k2

gdzie: k

1

i k

2

określa równanie:

a C

B

i

i

i

i

k

(

)

−

=

∑

0

1

+ k2

⋅

(C

k1+1

-B

k1+1

)

⋅

a

k1+1

= 0 ( k1>0 , k2>0 )

Przy czym, dla poprawnego określenia okresu zwrotu (PP lub DPP) wybieramy te wartości k1 i k2
które dają minimalną jego wartość.

Jeżeli okres zwrotu jest wartością (zmienną) kryterialną to z dwu alternatyw A i B
wbieramy tę która spełnia: min (DPP

A

, DPP

B

).

Okres zwrotu winien być traktowany jako ważny wskaźnik oceny efektywności, lecz
raczej nie należy go stosować do wyboru najkorzystniejszej alternatywy (wariantu)
inwestowania.

1.5. Współczynnik dochód/koszt (B/C).

B

C

PVB
PVC

=

=

RRB
RRC

Jeżeli współczynnik B/C (benefit-cost ratio) jest jest wartością kryterialną to z dwu
alternatyw A i B wbieramy tę która spełnia: max (B/C

A

, B/C

B

)

Warunkiem przyjęcia projektu do realizacji jest: B/C > 1

85

Zbliżony do powyższego wskaźnik nazywany wskaźnikiem rentowności
(wskaźnik zyskowności, Profitability Index):

PI =

CIF (P / K,p, j)

COF (P / K,p, j)

j

j 0

n

j

j 0

n

⋅

⋅

=

=

∑

∑

gdzie:
COF

j

- ujemne przepływy (wydatki gotówki, cash outflows):

COF

j

=



B

j

- C

j



, B

j

- C

j

< 0

CIF

j

- dodatnie przepływy (wpływy gotówki, cash inflows):

CIF

j

= B

j

- C

j

, B

j

- C

j

> 0

1.6. Stopa zwrotu.

1.6.1. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR).

Wewnętrzna stopa zwrotu (internal rate of return) określa rzeczywistą stopę
dochodu uzyskiwanego z inwestycji w czasie jej całego życia ekonomicznego.

Wewnętrzna stopa zwrotu jest taką stopą procentową dla której wartość
obecna netto jest równa zeru:

NPV = 0

Wewnętrzną stopę zwrotu można również wyznaczyć z poniższych równań,
równoważnych równaniu NPV=0 :

PVC-PVB = 0

RRC-RRB = 0

PVC
PVB

=

1

IRR jest więc rozwiązaniem równania:

NPV =

B

C

(1 IRR)

i 0

n

i

i

i

=

∑

−

+

=

CF

(1 IRR)

i 0

n

i

i

=

∑

+

=

CF (P / K, IRR, i)

i

i 0

n

⋅

=

∑

= 0

gdzie:
CF

i

= B

i

- C

i

86

Dla n

≥

5 równanie to można rozwiązać tylko (w większości przypadków) w sposób

przybliżony, z dowolną praktycznie dokładnością. Liczba rozwiązań spełniających
warunek IRR>0 może być liczbą całkowitą z przedział <0,n>.

Jeżeli liczba rozwiązań jest:
równa zeru - nominalna wartość dochodu jest mniejsza od nominalnej
wartości kosztów,
większa od jedności - przyjmij jako IRR rozwiązanie o wartości najmniejszej.

Wewnętrzna stopa zwrotu jest jednym z podstawowych parametrów oceny
projektowanej inwestycji, tak dla oceny pojedyńczego projektu jak i dla wyboru
najkorzystniejszej alternatywy inwestowania. Dodatkowa zaleta - umożliwia proste i
czytelne porównanie inwestcji rzeczowych z inwestycjami finansowymi.

1.6.2. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (MIRR).

Zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu (MIRR - modified internal rate of return)
wyznaczamy z równania :

COF

P K r k

CIF

K P r n k P K MIRR n

k

k

k

n

k

n

⋅

=

⋅

−

=

=

∑

∑

( / , , )

( / , ,

)( / ,

, )

0

0

stąd:

MIRR =

[

CIF (K / P, r, n k)

COF (P / K, r, k)

k

k 0

n

k

i 0

n

⋅

−

⋅

=

=

∑

∑

]

1/n

-1

gdzie:
r - stopa procentowa osiągana z inwestowania przez inwestora dodatnich prze-
pływów pieniężnych

(stopa procentowa reinwestycji, zewnętrzna stopa zwrotu)

.

Jeżeli MIRR > r to projekt może być przyjęty do realizacji.

Inne podejście do uwzględnienia inwestowania dodatnich przepływów pieniężnych
z uwzględnieniem zewnętrznej stopy zwrotu (external rate of return) przdstawiono
w zadaniu IV.1.4.

87

1.6.3. Minimalna atrakcyjna stopa zwrotu (MARR).

Przy prawie wszystkich przedstawionych wyżej kryteriach oceny projektu
inwestycyjnego ważne jest określenie przyjmowanej (oczekiwanej) stopy zwrotu.
którą dalej będziemy nazywać minimalną atrakcyjną stopą zwrotu (MARR).

Minimalna atrakcyjna stopa zwrotu powinna być nie mniejsza od trzech
następujących stóp procentowych:

- koszt (stopa procentowa) kredytu bankowego - r

b

,

- koszt kapitału własnego - r

w

,

- koszt wynikający z możliwości inwestowania.

Koszt kredytu bankowego można ocenić następująco:

r

b

= p

⋅

(1-r

d

)

gdzie:
p

- bankowa stopa procentowa,

r

d

- stopa podatku dochodowego.

Próbą teoretycznego podejścia dla oceny kosztu kapitału własnego jest
sformułowanie, w latach sześćdziesiątych, modelu CAMP. Model ten stosowany był
pierwotnie do oceny inwestycji finansowych. W zastosowaniu do inwestycji
gospodarczych formułuje się go, i interpretuje, następująco:

r = r

f

+

β

(r

m

-r

f

)

gdzie:
r

- przyjmowana stopa zwrotu,

r

f

- stopa zwrotu dla przdsięwzięć nie wykazujących żadnego ryzyka,

r

m

- średnia rynkowa stopa zwrotu kapitału,

β

- współczynnik ryzyka (również - element subiektywnej oceny) przy

inwestowaniu w danej branży.

Pewne metody oceny kosztu (stopy procentowej) na podstawie możliwości
inwestowania podano w IV.3.
____________________________________________________________________

88

Zadania.

1.

Koszt zakupu środków trwałych (koszt inwestycyjny) jest równy 10000 zł. Po

dziesieciu latach wartość tych środków jest równa 10% kosztu zakupu. Jaki jest
średni równy roczny koszt inwestycyjny, przyjmując stopę zwrotu (minimalną
atrakcyjną stopę zwrotu, koszt kapitału - MARR) 15%?

Na ogół przyjmuje się, że wartość końcowa S (salvage value, scrap value)
zmniejsza koszt inwestycji; przyjmijmy, że wartość końcowa jest różnicą wartości
odzysku i kosztów likwidacji środka trwałego. Wtedy:

RRC = P

⋅

(A/P, p, n)-S

⋅

(A/K, p, n)

lub:

RRC = (P-S)

⋅

(A/K, p,n) + P

⋅

p

RRC = (P-S)

⋅

(A/P, p, n) + S

⋅

p

gdzie:
n - okres analizy,
p - minimalna atrakcyjna stopa zwrotu (MARR).

W niektórych opracowaniach przyjmuje się, że wartość końcowa (S) jest
przychodem w terminie jej wystąpienia.

W przypadku warunków zadania jest:

RRC = (10000-10000

⋅

0.15)(A/K,15%,10)+10000

⋅

0.15

= 8500

⋅

0.0493+1500 = 1919.05 zł.

................................................................................................................................

2.

Dysponujesz poniżej podanymi informacjami o przepływach finansowych dla

sześciu alternatyw (wariantów, możliwości) inwestowania:

koszty/dochód

rok

B/C.

A

B

C

D

E

F

0

-55

-105 -101

-80

-42

-75

1

0

35

0

0

0

21

2

20

35

20

0

25

19

3

20

35

30

0

20

-6

4

20

35

40

0

15

27

5

20

0

50

0

10

35

6

20

0

60

200

5

34

89

Przyjmując minimalną atrakcyjną stopę zwrotu nakładów inwestycyjnych (MARR)
równą 15% określ najkorzystniejszą alternatywę w oparciu o:

a. wartość obecną netto (NPV) projektu,
b. okres zwrotu, prosty i zdyskontowany,
c. wartość współczynnika B/C,
d. wewnętrzną stopę zwrotu (IRR),
e. równe raty dla dochodu (NRR).

Alt. A.

a. NPV = PVB-PVC
PVB = 20(P/A,15%,5)(P/K,15%,1) = 58.3
PVC = 55
NPV = -55+58.3 = 3.3

b.

rok

B

i

Σ

B

i

a

i

B

i

⋅

a

i

Σ

B

i

⋅

a

i

1

0

0

0.8696

0

2

20

20

0.7561

15.12

15.12

3

20

40

0.6575

13.15

28.27

4

20

60

0.5718

11.44

39.71

5

20

80

0.4972

9.94

49.65

6

20

100

0.4323

8.65

58.30

PP= 3+

55 40
60 40

−

−

= 3.75 lat

DPP = 5+

55 49 65

58 3 49 65

−

−

.

.

.

= 5.62 lat

c. B/C =

PVB
PVC

=

20(P / A,15%,5)(P / K,15%,1)

55

=

58 3

55

.

= 1.06

d. dla p

1

= 15% NPV

1

= 3.3

dla p

2

= 18% NPV

2

= -2.0

90

Przyjmując liniowy przebieg funkcji NPV(p) w przdziale (15%,18%) otrzymujemy:

IRR p

p

p

NPV

NPV

NPV

−

−

=

−

−

1

2

1

1

2

1

0

stąd:

IRR =

NPV p

p

NPV

NPV

p

1

1

2

2

1

1

(

)

−

−

+

IRR =

3 3 3

5 3

. ( )

.

−

−

+15 = 16.9%

e. NRR = NPV(A/P,15%,6)
= [-55+20(P/A,15%,5)(P/K,15%,1)](A/P,15%,6) = 0.872

Alt. B.

a. PVB = 35(P/A,15%,4) = 99.92
PVC = 105
NPV = -105+99.92 = -5.08

b.

rok

B

i

Σ

B

i

B

i

⋅

a

i

Σ

B

i

⋅

a

i

1

35

35

30.41

30.44

2

35

70

26.46

56.90

3

35

105

23.01

79.91

4

35

140

20.01

99.92

PP = 3

DPP - brak; z

arówno prosty jak i zdyskontowany okres zwrotu mogą być nieokreślone

dla przyjętego okresu analizy, jeżeli nakłady inwestycyjne są większe od
sumy uzyskanych dochodów.

c

.

B/C =

35

15%,4

105

99 92

105

( / ,

)

.

P A

=

=0.9517

91

d. dla p

1

= 15% NPV

1

= -5.08

dla p

2

= 12% NPV

2

= 1.31

IRR =

−

⋅

+

5 08 3

131 5 08

.

.

.

+15 = 12.6%

e. NRR = [-105+35(P/A,15%,4)](A/P,15%,6) = -1.34

Alt. C.

a. PVB = 10(P/A,15%,5)(P/K,15%,1)+10(P/G,15%,6) = 108.52
PVC = 101
NPV = 108.52-101 = 7.52

b.

rok

B

i

Σ

B

i

B

i

⋅

a

i

Σ

B

i

⋅

a

i

1

0

0

0

0

2

20

20

15.12

15.12

3

30

50

19.73

34.85

4

40

90

22.87

57.72

5

50

140

24.86

82.58

6

60

25.94

108.52

PP = 4+

101 90

140 90

−

−

= 4.22

DPP = 5+

101 82 58

108 52 82 58

−

−

.

.

.

= 5.71

c. B/C =

10

15%,5

15%,1

10

15%,1

101

( / ,

)( / ,

)

( / ,

)

P A

P K

P G

+

= 1.0646

d. dla p

1

= 15% NPV

1

= 7.32

dla p

2

= 18% NPV

2

= -3.66

IRR =

7 32 3

3 66 7 32

. ( )

.

.

−

−

−

+15 = 17.0%

e. NRR = 7.52(A/P,15%,6) = 1.99

92

Alt. D.

a. PVB = 200(P/K,15%,6) = 86.46
PVC = 80
NPV = 86.46-80 = 6.46

b. PP = 5+

80

200

= 5.4

DPP = 5+

80

86 46

.

= 5.93

c. B/C =

20

15%,6

80

( / ,

)

P K

= 1.0808

d. dla p

1

= 15% NPV

1

= 6.46

dla p

2

= 18% NPV

2

= -5.92

IRR =

6 46 3

5 92 6 46

. ( )

.

.

−

−

−

+15 = 16.6%

e. NRR = 6.46(A/P,15%,6) = 1.71

Alt. E.

a. PVB = [25(P/A,15%,5)-5(P/G,15%,5)](P/K,15%,1) = 47.76
PVC = 42
NPV = 47.76-42 = 5.76

b. PP = 2.85
DPP = 4.27

c. B/C =

47 76

42

.

= 1.1371

d. dla p

1

= 15% NPV

1

= 5.76

dla p

1

= 18% NPV

1

= 2.09

dla p

2

= 20% NPV

2

= -0.14

IRR =

2 09 2

014 2 09

. ( )

.

.

−

−

−

+18 = 19.9%

e. NRR=RRB-RRC=47.76(A/P,15%,6)-42(A/P,15%,6)=12.62-11.1= 1.52

93

Alt. F.

a. PVB =

21

1 015

19

1 015

6

1 015

27

115

35

115

34

115

2

3

4

5

6

+

+

+

+

−

+

+

+

+

.

(

. )

(

. )

.

.

.

= 76.22

PVC = 75
NPV = 76.22-75 = 1.22

b. PP = 4.4
DPP = 5.92

c. B/C =

76 22

75

.

= 1.0163

d. dla p

1

= 15% NPV

1

= 1.22

dla p

2

= 18% NPV

2

= -5.39

IRR =

122 3

5 39 122

. ( )

.

.

−

−

−

+15 = 15.6%

e. NRR = 1.22(A/P,15%,6) = 0.32

..............................................

Zestawienie wartości wskaźników

dla alternatyw A-F:

wskaź-

alternatywy

niki

zwrotu.

A

B

C

D

E

F

NPV

3.3

-5.06

7.52

6.46

5.76

1.22

PP

3.75

3

4.22

5.4

2.85

4.4

DPP

5.62

-

5.71

5.93

4.27

5.92

B/C

1.06

0.9517 1.0646 1.0808 1.1371 1.0163

IRR

16.9

12.6

17

16.6

19.9

15.6

NRR 0.872

-1.34

1.99

1.71

1.52

0.32

................................................................................................................................

94

3

. Przy następujących danych dla trzech projektów inwestycyjnych:

A

B

C

koszt inwestycji

500

450

560

dochód na koniec 1-go roku

200

200

200

dochód w kolejnych latach

100

125

100

wartość końcowa (S) po 5-ciu latach (%)

20

10

15

okres użytkowania (analizy) - lat

6

5

9

Przyjmując minimalną atrakcyjną stopę zwrotu nakładów inwestycyjnych (MARR)
równą 12% określ najkorzystniejszą alternatywę w oparciu o:

a. wartość obecną netto (NPV) projektu,
b. okres zwrotu, prosty i zdyskontowany,
c. wartość współczynnika B/C,
d. wewnętrzną stopę zwrotu (IRR),
e. równe raty dla dochodu (NRR).

Ponieważ okresy analizy dla projektów są różne, to wartość obecna projektu (NPV) może
być wielkością wskaźnikową lecz nie kryterialną.

Alt. A.

a. PVC = 500-500

⋅

0.2

⋅

(P/K,12%,5) = 443.26

PVB = 100(P/A,12%,6)+100(P/K,12%,1) = 500.43
NPV = 57.17

b. PP = 4
DPP = 4.94

rok

B

i

Σ

B

i

a

i

B

i

⋅

a

i

Σ

B

i

⋅

a

i

1

200

200

0.8929 178.58 178.58

2

100

300

0.7972

79.72

258.3

3

100

400

0.7118

71.18

329.48

4

100

500

0.6355

63.55

393.03

5

200

0.5674 113.48 506.51

6

100

0.5066

50.66

95

c. B/C =

500 43
443 26

.
.

= 1.129

d. dla p

1

= 12% NPV

1

= 57.17

dla p

1

= 15% NPV

1

= 15.13

dla p

2

= 18% NPV

2

= -21.78

IRR =

1513 3

2178 1513

. ( )

.

.

−

−

−

+15 = 16.2%

e. RRC = [500-500

⋅

0.2

⋅

(P/K,12%,5)](A/P,12%,6) = 121.7

RRB = [100(P/A,12%,6)+100(P/K,12%,1)](A/P,12%,6) = 107.8

NRR = RRB-RRC = 121.7-109.28 = 12.42

Alt. B.

a. PVC = 450-450

⋅

0.1(P/K,12%,5) = 424.47

PVB = 125(P/A,12%,5)+75(P/K,12%,1) = 517.57
NPV = 93.1

b. PP = 3
DPP = 4.03

c. B/C = 1.2193

d. dla p

1

= 12% NPV

1

= 93.1

dla p

1

= 18% NPV

1

= 24.13

dla p

1

= 20% NPV

1

= 4.41

dla p

2

= 25% NPV

2

= -39.09

IRR = 20.5%

e. RRB = 75(P/K,12%,1)(A/P,12%,5)+125 = 143.58

RRC = (450-45)(A/P,12%,5)+45

⋅

0.12 = 117.75

NRR = 143.58-117.75 = 25.83

96

Alt. C.

a. PVC = 560-560

⋅

0.15(P/K,12%,5) = 512.34

PVB = 100(P/A,12%,9)+100(P/K,12%,1) = 622.11

NPV = 109.77

b. PP = 4.33
DPP = 6.26

c. B/C = 1.2143

d. dla p

1

= 12% NPV

1

= 109.77

dla p

1

= 15% NPV

1

= 45.68

dla p

2

= 18% NPV

2

= -8.23

IRR = 17.5%

e. RRC = 512.34(A/P,12%,9) = 96.17

RRB = 622.11(A/P,12%,9) = 116.77
NRR = 20.6
..............................................

Zestawienie wartości wskaźników

dla alternatyw A-C:

wskaź-

alternatywy

niki

zwrotu.

A

B

C

NPV

57.17

93.1

109.77

PP

4

3

4.33

DPP

4.94

4.03

6.26

B/C

1.129

1.2193 1.2143

IRR

16.2

20.5

17.5

NRR

12.42

25.83

20.6

................................................................................................................................

97

4.

Przyjmijmy przepływ pieniędzy jak w poniższej tabeli, kolumna (a):

rok

(a)

(b)

(c)

0

10

17.72

0

1

5

8.05

0

2

-40

-33.06

-22.4

3

-20

-15.03

-20

4

10

12.1

10

5

20

22

20

6

40

40

40

a. Wyznaczając stopę zwrotu dla tego przepływu - kolumna (a) - otrzymamy:

IRR = 22.7%

b. Przyjmijmy teraz stopę reinwestycji (zewnętrzną stopę zwrotu) równą 10%.
W kolumnie (b) mamy przeliczone wartości przepływów: dodatnich - na termin
końcowy, ujemnych - na termin obecny (początkowy), przy przyjętej stopie
reinwestowania pieniędzy. Wyznaczmy zmodyfikowaną stopę zwrotu (MIRR):

MIRR =

99 87

48 08

1
6

1
6

.

.

-1 = 13.0%

c. W tym przypadku, przyjmijmy, że niewykorzystany początkowo kapitał może być
reinwestowany na rynku zewnętrznym, przy przyjętej zewnętrznej stopie zwrotu
(10%), lecz tylko do końca roku drugiego (ujemny przepływ).

Dla wartości przepływu w roku drugim mamy więc:

B

2

= -40+10

⋅

(1+0.1)

2

+5

⋅

(1+0.1) = -22.4

Dla tak zmodyfikowanego przepływu stopa zwrotu jest równa:

MIRR

II

= 18.6%

................................................................................................................................

98

5.

Koncern w pewnym kraju zainwestował 15 mln.$. W kolejnych sześciu latach

dochód wynosił, odpowiednio (w mln.$): 9.5, 14, 19.8, 28.6, 42.7, 31.2.

Szacunkowo wyznaczono stopę zysku następująco:

(9.5+14+19.8+28.6+42.7+31.2) : 15 = 972%

Poprawnie wyliczona stopa zwrotu jest rozwiązaniem poniższego równania:

9 5

1

14

1

19 8

1

28 6

1

42 7

1

312

1

2

3

4

5

6

.

(

)

.

(

)

.

(

)

.

(

)

.

(

)

IRR

IRR

IRR

IRR

IRR

IRR

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= 15

Rozwiązaniem jest IRR = 96.4%.

Zauważmy również, że jeżeli stopa dla reinwestycji (zewnętrzna stopa zwrotu) jest
równa 12% to MIRR = 41.5%.
................................................................................................................................

6. Kupujemy samochód na warunkach kredytowych płacąc teraz 129.90 oraz
miesięcznie przez dwa lata 700, przy stopie procentowej 12%.

Ile kosztuje (NPV) samochód teraz?

NPV = 700(P/A,1%,24)+129.9 = 15000
................................................................................................................................

7. Co jest bardziej opłacalne:
a. wydać na zakup 10000 aby przez 5 lat uzyskiwać dochód w kwocie 200
miesięcznie,
b. ulokować pieniądze na 1% miesięcznie?

NFV

a

= 200(K/A,1%,60) = 200

⋅

81.67 = 16334

NFV

b

= 10000(K/P,1%,60) = 18170

................................................................................................................................

8. Inwestor kupił na rynku pierwotnym bon skarbowy za 1000 o wartości
nominalnej 1000. Odsetki w wysokości 6% wypłacane są co pół roku. Termin
wykupu: 10 lat. Po półtora roku sprzedał go za 900.

Wyznacz stopę zwrotu (r

a

) dla pierwszego inwestora oraz stopę zwrotu dla drugiego

(r

b

) odkupującego bon, który utrzymał bon do terminu wykupu.

99

NPV

a

= 900(P/K,r,3)+0.06

⋅

1000(P/A,r,3)-1000

r

1

= 2% NPV

1

= 21.11

r

2

= 3% NPV

2

= -6.67

r =

2111 1

2111 6 67

. ( )

.

.

−

−

−

+2 = 2.76%

r

a

=(1+0.0276)

2

-1 = 5.6%

NPV

b

= 60(P/A,r,17)+1000(P/K,r,17)-900

r

1

= 5% NPV

1

= 212.74

r

1

= 7% NPV

1

= 2.38

r

2

= 8% NPV

2

= -82.38

r =

2 38 1

28 38 2 38

. ( )

.

.

−

−

−

+7 = 7.08%

r

b

=(1+0.0708)

2

-1 = 14.6%

................................................................................................................................

9. Lokujesz posiadane pieniądze na 4 lata w akcje. Oferowane warunki są jak
poniżej:

cena

roczna

wartość akcji

akcje

akcji

dywidenda po 4-ech latach

Ck

D

Cs

A

24

2

30

B

45

5

45

C

31

0

43

D

12

0

20

E

34

3

37

Zakup których akcji jest najkorzystniejszy przy kryterium:
- maksymalnej wartości obecnej (NPV), przyjmując MARR=10%,
- maksymalnej wewnętrznej stopie zwrotu (IRR).

100

NPV

x

= D

x

(P/A,10%,4)+Cs

x

(P/K,10%,4)-Ck

x

akcje

NPV

IRR

A

2.49

13.05

B

1.58

11.11

C

-1.63

8.52

D

1.66

13.62

E

0.78

10.71

................................................................................................................................

10. Roczny przychód z wynajmu mieszkania wynosi 9000. Roczny koszt jego
utrzymania: 500. Jeżeli mieszkanie może być sprzedane za 150000 po dziesięciu
latach, to za ile (P) powinno się je kupić teraz, przyjmując MARR=9%?

PVB = 9000(P/A,9%,10)+150000(P/K,9%,10)

PVC = P+500(P/A,9%,10)

PVB > PVC

→

P < 181273

................................................................................................................................

11. Która z alternatyw sfinansowania zakupu samochodu jest korzystniejsza:

a. 15000 - wpłacane przy zakupie (teraz),
b. 5000 teraz, oraz 36 miesięcznych rat po 355,
c. 3000 teraz, oraz 48 miesięcznych rat po 350.

Kalkulację przeprowadź przy minimalnej atrakcyjnej stopie zwrotu: 18%.

PVC

a

=15000

PVC

b

= 5000+355(P/A,1.5%,36) = 14820

PVC

c

= 3000+350(P/A,1.5%,48) = 14915

...............................................................................................................................

101

12. Który z trzech projektów służących ochronie środowiska jest ze względów
ekonomicznych nakorzystniejszy:

koszt

roczny koszt

roczny

wartość

projekt projektu

eksploatacji

przychód

końcowa

A

30

9

1

20

B

50

7

2

10

C

100

3

3

0

Okres analizy: 20 lat, minimalna atrakcyjna stopa zwrotu: 6%.

NPV

A

= -30-9(P/A,6%,20)+(P/A,6%,20)+20(P/K,6%,20) = -115.52

NPV

B

= -50-7(P/A,6%,20)+2(P/A,6%,20)+10(P/K,6%,20) = -104.23

NPV

C

= -100

____________________________________________________________________

102

2. Wybór kryterium oceny efektywności projektu inwestycyjnego.

Wybór metody oraz kryterium optymalizacji (kryterium racjonalnego wyboru)
jest jedną z najważniejszych części teorii systemów.

Wcześniej przedstawione zostały pewne wskażniki i kryteria oceny efektywności
projektów inwestycyjnych. Mogą być one stosowane również do wyboru najbardziej
ekonomicznie uzasadnionej alternatywy, jeśli inwestor jest w sytuacji wyboru
najkorzystniejszego wariantu inwestowania (modernizacji, rozwoju).

Przypomnijmy najważniejsze (najczęściej stosowane):

NPV

- wartość obecna netto projektu,

PP (DPP) - okres zwrotu (zdyskontowany okres zwrotu),
B/C

-

wskaźnik: dochód/koszty,

IRR

- wewnętrzna stopa zwrotu,

Można skonstruować taki przykład, że dla wyborów dokonanych o powyższe
wielkości orzymamy jako ‘optymalną’ w każdym przypadku inną alternatywę.

W praktycznych zastosowaniach da się zauważyć, że wybory są zbliżone, bądź
identyczne, dla dwu grup wskaźników i odpowiadających im kryteriów:

a. IRR, B/C, PP(DPP)

b. NPV

W przypadku a. wybrana zostanie alternatywa dla której z jednostki
zainwestowanego kapitału osiąga się najwyższy dochód.

W przypadku b. wybrana zostanie alternatywa dla której wartość obecna dochodu
jest maksymalna.

(Powyższe dwa ostatnie sformułowania określają oczywiście ogólną tendencję a nie kryteria ‘wyższego poziomu’).

____________________________________________________________________

103

3. Metody wyboru najkorzystniejszego zestawu projektów
inwestycyjnych.

Przedstawione zostaną tutaj pewne propozycje postępowania w sytuacji gdy
istnieje kilka projektów inwestycyjnych i należy zadecydować które wybrać przy
określonych możliwościach inwestowania (środkach finansowych).

a. wybór wg. wewnętrznej stopy zwrotu

(IRR).

Dane dla sześciu alternatywnych projektów określono jak poniżej (dwa pierwsze
wiersze - PVC oraz RD):

alternatywy

G

A

B

C

D

E

F

koszt inwest.: (PVC)

100

120

150

150

200

250

350

roczny dochód: (RD)

21

23

33

30

40

52

78

PVB

105.39 115.43 165.62 150.56 200.75 260.98 391.46

PVC/RD

4.76

5.22

4.56

5.00

5.00

4.81

4.49

kolejność

3

7

2

5

6

4

1

Okres analizy dla wszystkich projektów: 10 lat.
Posiadane środki inwestycyjne:

500 j.p.

Dla warunków zadania wewnętrzną stopę zwrotu (IRR) wyznaczyć można
z równania:

PVC = RD

⋅

(P/A, IRR, 10)

(P/A, IRR, 10)=

PVC

RD

Wyznaczanie IRR jest czynnością kłopotliwą. W powyższym, prostym, przypadku
skorzystamy z zależności, że wartość funkcji (P/A,IRR,n) oraz IRR są wiekościami
odwrotnie proporcjonalnymi.

W wierszu ostatnim tabeli mamy wyznaczoną, w oparciu o powyższą zależność,
kolejność doboru alternatyw, od najwyższej do najniższej wewnętrznej stopy zwrotu:
F, B, G, E, C, D, A.

Sumując kolejno nakłady inwestycyjne otrzymujemy: 350

F

+ 150

B

= 500

Przy posiadanych środkach finansowych najkorzystniejsze jest więc ich ulokowanie
w projektach F oraz B.

104

Powyższe postępowanie umożliwia jednocześnie

oszacowanie minimalnej

atrakcyjnej stopy zwrotu

(MARR), co może być przydatne dla oceny pojawiających

się nowych możliwości inwestowania. Jest uzasadnione przyjęcie, dla dalszych
ewentualnych analiz, że MARR jest, w przybliżeniu, równe wewnętrznej stopie
zwrotu dla ostatniego zaakceptowanego projektu.

W przedstawionym przykładzie jest to alternatywa B.

Wyznaczając IRR dla tej alternatywy otrzymujemy: IRR

B

=17.7%

≅

MARR.

b. wybór w oparciu o wartość obecną projektu.

Przytoczę tutaj, tylko w zarysie, dwa postępowania stosowane dla wyboru zestawu

projektów. W obu w oparciu o wartość obecną projektu (NPV) i wartość obecną
kosztów (PVC) wyznacza się wskażnik W

i

:

(A.) W

i

= NPV

i

- p

⋅

PVC

i

p - mnożnik z przedziału (0,1)

(B.) W

i

=

NPV

PVC

i

i

Algorytm doboru oparty jest na heurystycznej przesłance:
z dwu alternatyw korzystniejsza jest alternatywa z wyższą wartością wskaźnika W

i

.

Szczególnie interesujące wydaje się być postępowanie oparte o pierwszy wskaźnik
wyboru (A.).

(Lorie J.,Savage L., ”Three Problems in Rationing Capital”, Journal of Business, Oct., 1955).

____________________________________________________________________

105

Literatura.

[1]. M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Agencja Wydawnicza, Warszawa 1995.

[2]. D.G. Newnan, Engineering Economic Analysis, Engineering Press Inc,

San Jose, Calfornia 1991.

[3]. Manual for Evaluation of Industrial Projects, UNIDO, Wiedeń 1986.

[4]. M. Dobija, E.Smaga, Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej,

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków 1996.

[5]. K. Dziworska, A. Dziworski, Podstawy matematyki finansowej,

Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 1995.

[6]. M. Gottlieb, W. Lewczyński, Cash flows, Instytut Przedsiębiorczości,

Sopot 1993.

[7]. T. Waśniewski, W. Skoczylas, Cash flow, Fundacja Rozwoju Rachunkowości

w Polsce, Warszawa 1995.

[8]. W. Pluta, T. Jajuga, Inwestycje, Fundacja Rozwoju Rachunkowości

w Polsce, Warszawa 1995.

[9]. S. Marciniak [red.], Ekonomia dla inżynierów, Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa 1995.

Najobszerniejszą literaturę przedmiotu przedstawiono w pracy [1].

106

A. Tabele.

Załączone dalej tabele zawierają wartości poniższych funkcji dla zmiennych
parametrów:
p - stopa oprocentowania składanego w przyjętym okresie czasu,
n - liczba okresów czasu.

a. dla pojedyńczych wpłat (rat, wypłat):

oznaczenie kolumny w tabeli

:

(K/P, p, n) = (1+p)

n

K/P

gdzie:
P - ilość obecna pieniądza,
K - ilość końcowa (przyszła) pieniądza.

(P/K, p, n) = (1+p)

-n

P/K

b. dla wpłat zgodnych w równych ratach:

A - kwota raty

(K/A, p, n) =

(p 1)

1

p

n

+

−

K/A

(A/K, p, n) =

p

(p 1)

1

n

+

−

A/K

(P/A, p, n) =

(p 1)

1

p(p 1)

n

n

+

−

+

P/A

(A/P, p, n) =

p(p 1)

(p 1)

1

n

n

+

+

−

A/P

c. dla rat tworzących postęp arytmetyczny:

G - różnica między wielkością kwot dla kolejnych rat (G>0)

(P/G, p, n) =

(p 1)

p n 1

p (p 1)

n

2

n

+

− ⋅ −

+

P/G

(A/G, p, n) =

(p 1)

p n 1

p(p 1)

1

n

n

+

− ⋅ −

+

−

A/G

Jeżeli w obliczeniach potrzebna jest (występuje) wartość końcowa to należy

z powyższych wzorów (c.) korzystać w powiązaniu z wzorami podanymi w a.

107