Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

24

3

Twierdzenia o rozszerzaniu miary

3.1

Miara zewnętrzna

Jak zwykle, niech X będzie niepustym zbiorem.

Definicja 3.1 Funkcję zbiorów µ

∗

: 2

X

→ [0, +∞] spełniającą warunki:

(i) µ

∗

(∅) = 0;

(ii) A ⊂ B ∈ 2

X

⇒ µ

∗

(A) ≤ µ

∗

(B);

(iii) A

n

∈ 2

X

, n ≥ 1 ⇒ µ

∗

S

∞
n=1

A

n

≤ P

∞
n=1

µ

∗

(A

n

)

nazywamy miarą zewnętrzną.

Zapoznamy się teraz z prostymi przykładami miary zewnętrznej.

Przykład 3.2 Niech

µ

∗

(E) =

(

1

gdy

E 6= ∅,

0

gdy

E = ∅.

Łatwo sprawdzić, że µ

∗

jest miarą zewnętrzną.

Przykład 3.3 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Określmy

µ

∗

(E) =

(

1

gdy

E > IN

0

gdy

E ≤ IN.

Również w tym przypadku łatwo sprawdzamy, że µ

∗

jest miarą zewnętrzną.

Podaną poniżej konstrukcję miary zewnętrznej będziemy wielokrotnie wykorzystywać

Przykład 3.4 Niech C ⊂ 2

X

będzie niepustą rodziną podzbiorów X zawierającą zbiór

pusty i niech będzie dana funkcja zbiorów ϕ : C → [0, +∞] taką, że ϕ(∅) = 0. Określmy

(3.1)

µ

∗

(E) = inf

n

∞

X

n=1

ϕ(B

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

B

n

, B

n

∈ C, n ≥ 1

o

,

E ⊂ X.

Wtedy µ

∗

jest miarą zewnętrzną.

Rzeczywiście;

(i) µ

∗

(∅) = 0, bo ϕ(∅) = 0;

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

25

(ii) Niech A, B ∈ 2

X

i A ⊂ B. Wtedy każde pokrycie zbioru B jest pokryciem zbioru A.

Zatem µ

∗

(A) ≤ µ

∗

(B).

(iii) Niech A

n

∈ 2

X

, n ≥ 1. Jeśli µ

∗

(A

n

) = ∞ dla pewnego n ≥ 1 to zachodzi nierówność

µ

∗

∞

[

n=1

A

n

≤

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

).

Załóżmy, że µ

∗

(A

n

) < ∞ dla każdego n ≥ 1. Wtedy z definicji kresu dolnego otrzy-

mujemy

(3.2)

^

n≥1

_

{A

n,j

}

j≥1

⊂C

A

n

⊂

∞

[

j=1

A

n,j

∧

∞

X

j=1

ϕ(A

n,j

) < µ

∗

(A

n

) +

ε

2

n

.

Ponieważ

∞

[

n=1

A

n

⊂

∞

[

n=1

∞

[

j=1

A

n,j

więc z definicji µ

∗

i (3.2) dostajemy

µ

∗

∞

[

n=1

A

n

≤

∞

X

n=1

∞

X

j=1

ϕ(A

n,j

) ≤

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

) +

ε

2

n

=

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

) + ε.

Z dowolności ε > 0 dostajemy warunek (iii) definicji 3.1. Zatem µ

∗

określona wzorem

(3.1) jest miarą zewnętrzną.

Definicja 3.5 Niech µ

∗

będzie miarą zewnętrzną. Zbiór A ⊂ X nazywamy µ

∗

-mierzalnym

jeśli

(3.3)

^

E⊂X

µ

∗

(E) = µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

).

Rodzinę wszystkich zbiorów µ

∗

-mierzalnych oznaczać będziemy przez A(µ

∗

).

Uwaga. Z warunku (i) oraz (iii) definicji miary zewnętrznej wynika, że dla dowolnego
zbioru A ⊂ X zachodzi

^

E⊂X

µ

∗

(E) ≤ µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

).

Zatem dla dowodu warunku (3.3) wystarczy sprawdzić, że

(3.4)

^

E⊂X

µ∗(E)<∞

µ

∗

(E) ≥ µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

).

Pokażemy teraz, że rodzina zbiorów µ

∗

-mierzalnych jest niepusta. Zachodzi mianowicie

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

26

Twierdzenie 3.6 Niech µ

∗

będzie miarą zewnętrzną. Jeśli µ

∗

(A) = 0 lub µ

∗

(A

0

) = 0 to

A ∈ A(µ

∗

). W szczególności ∅ ∈ A(µ

∗

) oraz X ∈ A(µ

∗

).

Dowód. Niech µ

∗

(A) = 0. Wtedy dla dowolnego E ⊂ X mamy µ

∗

(E ∩ A) = 0, bo

E ∩ A ⊂ A. Podobnie µ

∗

(E) ≥ µ

∗

(E ∩ A

0

). Stąd

µ

∗

(E) ≥ µ

∗

(E ∩ A

0

) = µ

∗

(E ∩ A

0

) + µ

∗

(E ∩ A).

Podobnie, gdy µ

∗

(A

0

) = 0 mamy µ

∗

(E) ≥ µ

∗

(E ∩ A) oraz µ

∗

(E ∩ A

0

) ≤ µ

∗

(A

0

) = 0. Zatem

µ

∗

(E) ≥ µ

∗

(E ∩ A) = µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

).

W obu przypadkach warunek (3.4) jest spełniony, co kończy dowód twierdzenia.

2

Twierdzenie 3.7 Niech A

i

∈ A(µ

∗

), 1 ≤ i ≤ n będą takie, że A

i

∩ A

j

= ∅ dla dowolnych

1 ≤ i 6= j ≤ n. Wtedy

^

E⊂X

µ

∗

E ∩

n

[

i=1

A

i

=

n

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

).

Dowód. Metodą indukcji. Dla n = 1 teza jest oczywista. Niech n > 1. Ponieważ
A

n+1

∈ A(µ

∗

) więc na mocy(3.3) mamy

(3.5)

µ

∗

E ∩

n+1

[

i=1

A

i

= µ

∗

E ∩

n+1

[

i=1

A

i

∩ A

n+1

+ µ

∗

E ∩

n+1

[

i=1

A

i

∩ A

0
n+1

.

Z rozłączności A

i

dla 1 ≤ i ≤ n + 1 mamy

E ∩

S

n+1
i=1

A

i

∩ A

n+1

= E ∩ A

n+1

oraz

S

n
i=1

A

i

⊂ A

0

n+1

, a stąd

E ∩

S

n+1
i=1

A

i

∩ A

0

n+1

= E ∩

S

n
i=1

A

i

. Z tych rozważań oraz z

(3.5) dostajemy

µ

∗

E ∩

n+1

[

i=1

A

i

= µ

∗

(E ∩ A

n+1

) + µ

∗

E ∩

n

[

i=1

A

i

=

n+1

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

)

na mocy założenia indukcyjnego.

2

Rozszerzeniem udowodnionego co twierdzenia jest

Twierdzenie 3.8 Niech A

i

∈ A(µ

∗

), i ≥ 1 będą takie, że A

i

∩ A

j

= ∅ dla dowolnych i 6= j,

i, j ≥ 1. Wtedy

^

E⊂X

µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

=

∞

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

).

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

27

Dowód. Niech E ⊂ X. Wtedy dla dowolnego n ≥ 1 na mocy Twierdzenia 3.7 oraz z
definicji miary zewnętrznej otrzymujemy

n

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

) = µ

∗

E ∩

n

[

i=1

A

i

≤ µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

= µ

∗

∞

[

i=1

E ∩ A

i

≤

∞

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

).

(3.6)

Przechodząc w (3.6) z n → ∞ dostajemy

∞

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

) ≤ µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

≤

∞

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

).

Co kończy dowód Twierdzenia 3.8.

2

Podamy teraz z dowodem podstawowe twierdzenie o konstrukcji miary na σ-algebrze.

Twierdzenie 3.9 (Caratheodory’ego) Niech µ

∗

będzie miarą zewnętrzną na X. Wtedy

A(µ

∗

) jest σ-algebrą oraz µ

∗

zawężona do A(µ

∗

) jest miarą.

Dowód. Wykażemy najpierw, że A(µ

∗

) jest algebrą.

(i) Z Twierdzenia 3.6 wynika, że ∅ ∈ A(µ

∗

);

(ii) Implikacja A ∈ A(µ

∗

) ⇒ A

0

∈ A(µ

∗

) wynika natychmiast z definicji µ

∗

-mierzalności;

(iii) Niech A, B ∈ A(µ

∗

). Chcemy pokazać, że A ∪ B ∈ A(µ

∗

) tzn.

(3.7)

^

E⊂X

µ

∗

(E) = µ

∗

E ∩ (A ∪ B)

+ µ

∗

E ∩ (A ∪ B)

0

.

Ponieważ A ∈ A(µ

∗

) więc z definicji µ

∗

-mierzalności zastosowanej do pierwszego

składnika sumy prawej strony równania (3.7) otrzymujemy

µ

∗

E ∩ (A ∪ B)

+ µ

∗

E ∩ (A ∪ B)

0

= µ

∗

E ∩ (A ∪ B) ∩ A

+ µ

∗

E ∩ (A ∪ B) ∩ A

0

+ µ

∗

E ∩ (A ∪ B)

0

= µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ B ∩ A

0

) + µ

∗

(E ∩ A

0

∩ B

0

)

= µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

∩ B) + µ

∗

(E ∩ A

0

∩ B

0

)

= µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

) = µ

∗

(E).

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

28

A więc A(µ

∗

) jest algebrą. Załóżmy teraz, że A

i

∈ A(µ

∗

), i ≥ 1 oraz A

i

∩ A

j

= ∅ dla

dowolnych i 6= j, i, j ≥ 1. Udowodnimy, że

S

∞
i=1

A

i

∈ A(µ

∗

). Z tego, że A(µ

∗

) jest algebrą

oraz z Twierdzenia 3.7 dla E ⊂ X i dowolnego n ≥ 1 otrzymujemy

µ

∗

(E) = µ

∗

E ∩

n

[

i=1

A

i

+ µ

∗

E ∩

n

[

i=1

A

i

0

≥ µ

∗

E ∩

n

[

i=1

A

i

+ µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

0

=

n

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

) + µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

0

.

Przechodząc teraz z n → ∞ otrzymujemy z Twierdzenia 3.8

µ

∗

(E) ≥

∞

X

i=1

µ

∗

(E ∩ A

i

) + µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

0

= µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

+ µ

∗

E ∩

∞

[

i=1

A

i

0

co na mocy (3.4) daje

S

∞
i=1

A

i

∈ A(µ

∗

).

Niech teraz A

i

∈ A(µ

∗

), i ≥ 1 będą dowolne (tzn. nie muszą być parami rozłączne).

Określmy

B

1

= A

1

∈ A(µ

∗

);

B

n

= A

n

\

n−1

[

i=1

A

i

∈ A(µ

∗

), n > 1.

Zauważmy, że B

n

∩ B

m

= ∅ dla n 6= m i m, n ≥ 1 oraz

∞

[

i=1

A

i

=

∞

[

n=1

B

n

∈ A(µ

∗

) na mocy udowodnionej powyżej własności.

Zatem udowodniliśmy, że A(µ

∗

) jest σ-algebrą. Korzystając z Twierdzenia 3.8 łatwo za-

uważyć (wystarczy podstawić E := X), że µ

∗

zawężona do A(µ

∗

) jest miarą. Tym samym

dowód twierdzenia Caratheodory’ego został zakończony.

2

Twierdzenie 3.10 (O rozszerzeniu miary) Niech µ będzie miarą na algebrze C. Wtedy
µ może być rozszerzona do miary na σ-algebrze σ(C). Jeśli ponadto µ jest σ-skończona to
rozszerzenie to jest jednoznaczne.

Dowód. Określmy funkcję zbiorów

(3.8)

µ

∗

(E) = inf

n

∞

X

n=1

µ(A

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

A

n

, A

n

∈ C, n ≥ 1

o

,

E ⊂ X.

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

29

Z przykładu 3.4 wynika, że µ

∗

jest miarą zewnętrzną. Z twierdzenia Caratheodory’ego

rodzina A(µ

∗

) zbiorów µ

∗

-mierzalnych jest σ-algebrą. Wykażemy, że

C ⊂ A(µ

∗

).

W tym celu wystarczy pokazać dla każdego A ∈ C warunek

^

E⊂X

µ∗(E)<∞

µ

∗

(E) ≥ µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

).

Niech ε > 0 i A ∈ C. Wtedy z definicji µ

∗

istnieją zbiory A

n

∈ C, n ≥ 1 takie, że

(3.9)

E ⊂

∞

[

n=1

A

n

oraz

∞

X

n=1

µ(A

n

) < µ

∗

(E) + ε.

Mamy

E ∩ A ⊂

∞

[

n=1

(A ∩ A

n

),

E ∩ A

0

⊂

∞

[

n=1

(A

0

∩ A

n

).

Z definicji µ

∗

(podanej w (3.8)) oraz z (3.9) dostajemy

µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

) ≤

∞

X

n=1

µ(A ∩ A

n

) +

∞

X

n=1

µ(A

0

∩ A

n

) =

∞

X

n=1

µ(A

n

) < µ

∗

(E) + ε.

Z dowolności ε > 0 dostajemy

µ

∗

(E ∩ A) + µ

∗

(E ∩ A

0

) ≤ µ

∗

(E).

Zatem A ∈ A(µ

∗

) czyli C ⊂ A(µ

∗

). Stąd σ(C) ⊂ A(µ

∗

). Wykażemy teraz, że µ

∗

jest

rozszerzeniem miary µ tzn.

^

A∈C

µ

∗

(A) = µ(A).

Niech A ∈ C. Wtedy z definicji µ

∗

mamy µ

∗

(A) ≤ µ(A). W druga stronę. Niech zbiory

A

n

, n ≥ 1 będą dowolnym pokryciem zbioru A tzn. A ⊂

S

∞
n=1

A

n

. Z własności miary

dostajemy

µ(A) = µ

A ∩

∞

[

n=1

A

n

≤

∞

X

n=1

µ(A ∩ A

n

) ≤

∞

X

n=1

µ(A

n

).

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

30

Stąd, z dowolności pokrycia zbioru A oraz z definicji µ

∗

otrzymujemy µ(A) ≤ µ

∗

(A). Zatem

µ

∗

(A) = µ(A),

dla A ∈ C.

Ponieważ µ

∗

jest miarą na A(µ

∗

) więc jest też miarą na σ(C) ⊂ A(µ

∗

) oraz jak pokazaliśmy

przed chwilą µ

∗

|

C

= µ czyli µ

∗

jest rozszerzeniem µ na σ(C). Z Wniosku 2.8 wynika, że

gdy µ jest σ-skończona na C to µ

∗

jest jednoznacznym rozszerzeniem µ.

2

Z dowodu powyższego twierdzenia mamy

Wniosek 3.11 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Wtedy (X, A(µ

∗

), µ

∗

), gdzie

µ

∗

dane jest wzorem (3.10) jest przestrzenią z miarą oraz A ⊂ A(µ

∗

) i µ

∗

|

A

= µ.

2

Twierdzenie 3.12 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech µ

∗

będzie miarą

zewnetrzną określoną wzorem (patrz Przykład 3.4)

(3.10)

µ

∗

(E) = inf

n

∞

X

n=1

µ(A

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

A

n

, A

n

∈ A, n ≥ 1

o

,

E ⊂ X.

Wtedy

(3.11)

^

E⊂X

_

B∈A

E⊂B

µ

∗

(E) = µ(B).

Dowód. Niech E ⊂ X. Gdy µ

∗

(E) = ∞ to kładziemy B := X (bo µ(X) = ∞, co wynika

z ciągu nierówności: +∞ = µ

∗

(E) ≤ µ

∗

(X) ≤ µ(X) z definicji µ

∗

). gdy µ

∗

(E) < +∞ to

^

n≥1

_

{A

n,i

}

i≥1

⊂A

E ⊂

∞

[

n=1

A

n,i

∧

∞

X

i=1

µ(A

n,i

) < µ

∗

(E) +

1

n

.

Oznaczmy dla n ≥ 1

B

n

=

∞

[

i=1

A

n,i

∈ A.

Korzystając z σ-subaddytywności miary µ otrzymujemy

µ(B

n

) ≤

∞

X

i=1

µ(A

n,i

) < µ

∗

(E) +

1

n

.

Określmy

B =

∞

\

n=1

B

n

∈ A.

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

31

Wtedy E ⊂

T

∞
n=1

B

n

= B oraz dla n ≥ 1 z dowodu Twierdzenia 3.10 mamy

µ

∗

(E) ≤ µ

∗

(B) = µ(B) ≤ µ(B

n

) < µ

∗

(E) +

1

n

.

Biorąc n → ∞ dostajemy tezę.

2

Uwaga. Niech µ będzie miarą na algebrze C. Określmy

µ

∗

(E) = inf

n

∞

X

n=1

µ(A

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

A

n

, A

n

∈ C, n ≥ 1

o

,

E ⊂ X.

Wtedy ma mocy Twierdzeń 3.9 i 3.10 (X, A(µ

∗

), µ

∗

) jest przestrzenią z miarą oraz

µ

∗

|

C

= µ

∧

C ⊂ A(µ

∗

).

Powtórzmy powyższą procedurę definiując

µ

∗∗

(E) = inf

n

∞

X

n=1

µ

∗

(A

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

A

n

, A

n

∈ A(µ

∗

), n ≥ 1

o

,

E ⊂ X.

Wtedy µ

∗

= µ

∗∗

, a stąd A(µ

∗

) = A(µ

∗∗

).

Dowód. Jest oczywiste, że

(3.12)

µ

∗∗

(E) ≤ µ

∗

(E),

E ⊂ X.

W drugą stronę. Z Twierdzenia 3.12 dla dowolnego E ⊂ X istnieje B ∈ A(µ

∗

) taki, że

E ⊂ B oraz µ

∗∗

(E) = µ

∗

(B). Stąd

(3.13)

µ

∗

(E) ≤ µ

∗

(B) = µ

∗∗

(E)

Teraz (3.12) i (3.13) dają równość µ

∗

= µ

∗∗

, a stąd już wynika, że A(µ

∗

) = A(µ

∗∗

).

2

Z Uwagi tej wynika wniosek, że powtórzenie procedury Caratheodory’ego nie prowadzi do
rozszerzenia na jeszcze wiekszą σ-algebrę.

3.2

Miara Lebesgue’a

Zastosujmy teraz procedurę Caratheodory’ego do rozszerzenia miary Lebesgue’a. Wcześniej
na mocy Twierdzenia 2.10 mieliśmy miarę Lebesgue’a określoną na algebrze generowanej
przez rodzinę C tj. przez przedziały postaci (a, b], a, b ∈ IR oraz (c, ∞), c ∈ IR. Jak
wiadomo każdy element tej algebry jest skończoną i rozłączną sumą powyższych przedzia-
łów. Określmy zewnętrzną miarę Lebesgue’a (patrz Twierdzenie 3.10 o rozszerzaniu miary)
wzorem

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

32

(3.14)

λ

∗

(E) = inf{

∞

X

n=1

(b

n

− a

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

(a

n

, b

n

] },

E ⊂ IR.

W tym przypadku σ-algebrę A(λ

∗

) (tj. σ-algebrę zbiorów λ

∗

-mierzalnych) oznaczamy

symbolem L(IR) i nazywamy σ-algebrą zbiorów Lebesgue’a, a jej elementy zbiorami Lebes-
gue’a. Jak wiadomo z Twierdzenia Caratheodory’ego λ

∗

zawężona do σ-algebry L(IR) jest

miarą. Z drugiej strony z Twierdzenia 3.10 o rozszerzaniu miary wynika, że λ

∗

jest rozsze-

rzeniem miary Lebesgue’a λ określonej na algebrze α(C) i dlatego będziemy ją oznaczać
nadal symbolem λ. Ponadto z dowodu Twierdzenia 3.10 wynika, że każdy zbiór borelowski
jest zbiorem Lebesgue’a tzn. mamy zawieranie B(IR) ⊂ L(IR). Można wykazać, że zawie-
ranie to jest istotne. Przestrzeń z miarą (IR, L(IR), λ) nazywamy przestrzenią Lebesgue’a.
Z dowodu Twierdzenia 3.10 wynika również, że λ((a, b]) = b − a dla a < b, a, b ∈ IR. Stąd
λ({x}) = 0, bo

λ({x}) = λ

∞

\

n=1

(x − 1/n, x + 1/n]

= lim

n→∞

λ((x − 1/n, x + 1/n]) = lim

n→∞

2

n

= 0.

Zatem dla a < b, a, b ∈ IR mamy

λ([a, b]) = λ((a, b)) = λ([a, b)) = λ((a, b]) = b − a,

czyli miara Lebesgue’a przedziałów ograniczonych jest równa ich długosci. Okazuje się,
że w definicji miary zewnętrznej Lebesgue’a zamiast przedziałów prawostronnie domknię-
tych (ograniczonych) możemy użyć przedziałów tylko lewostronnie domkniętych lub tylko
domkniętych czy też tylko otwartych. Mianowicie mamy

Twierdzenie 3.13 Określmy miary zewnętrzne:

λ

∗
1

(E) = inf{

∞

X

n=1

(b

n

− a

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

[a

n

, b

n

) },

λ

∗
2

(E) = inf{

∞

X

n=1

(b

n

− a

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

[a

n

, b

n

] },

λ

∗
3

(E) = inf{

∞

X

n=1

(b

n

− a

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

(a

n

, b

n

) },

E ⊂ IR.

Wtedy λ

∗

= λ

∗

1

= λ

∗

2

= λ

∗

3

.

Dowód. Zadanie domowe (ćwiczenia).

2

Kolejne twierdzenie podaje charakteryzację zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a

(inaczej lebegowskich)

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

33

Twierdzenie 3.14 Niech A ⊂ IR. Następujące warunki są równoważne:

(i) Zbior A jest mierzalny w sensie Lebesgue’a (na IR).

(ii) Dla każdego ε > 0 istnieje zbiór otwarty G ⊂ IR taki, że A ⊂ G oraz λ

∗

(G \ A) < ε.

(iii) Istnieje zbiór H ⊂ IR typu G

δ

taki, że A ⊂ H oraz λ

∗

(H \ A) = 0.

(iv) Dla każdego ε > 0 istnieje zbiór domknięty F ⊂ IR taki, że F ⊂ A oraz λ

∗

(A \ F ) < ε.

(v) Istnieje zbiór J ⊂ IR typu F

σ

taki, że J ⊂ A oraz λ

∗

(A \ J ) = 0.

Dowód. Dawód zaczniemy od następującego spostrzeżenia. Niech A ∈ L(IR). Wtedy

A =

[

k∈ZZ

A ∩ (k, k + 1] =

[

k∈ZZ

A

k

.

Zauważmy, że A

n

∩ A

m

= ∅ dla n 6= m oraz A

k

∈ L(IR) , λ(A

k

) < ∞. Zatem dowolny

zbiór A mierzalny w sensie Lebesgue’a możemy przedstawić jako rozłączną, przeliczalną
sumę zbiorów A

k

mierzalnych w sensie Lebesgue’a i takich, że λ(A

k

) < ∞.

(i)⇒ (ii). Określmy

(3.15)

λ

∗

(E) = inf{

∞

X

n=1

(b

n

− a

n

) : E ⊂

∞

[

n=1

(a

n

, b

n

) },

E ⊂ IR.

Załóżmy, że A ∈ L(IR). Z rozumowania powyżej możemy A przedstawić jako sumę A =
S

∞
k=1

A

k

, gdzie A

k

∩ A

n

= ∅ dla n 6= k, A

k

∈ L(IR) oraz λ(A

k

) < ∞, k ≥ 1. Ustalmy ε > 0.

Z definicji λ

∗

(3.15) dla każdego k ∈ IN istnieje rodzina otwartych przedziałów {B

ki

}

i≥1

taka, że

A

k

⊂

∞

[

i=1

B

ki

oraz

λ

∞

[

i=1

B

ki

≤

∞

X

i=1

λ(B

ki

) =

∞

X

i=1

|B

ki

| < λ(A

k

) +

ε

2

k

,

gdzie |B

ki

| oznacza długość otwartego przedziału B

ki

. Stąd λ

S

∞
i=1

B

ki

\ A

k

<

ε

2

k

dla

k ≥ 1. Określmy teraz G =

S

∞
k=1

S

∞
i=1

B

ki

. Wtedy A =

S

∞
k=1

A

k

⊂ G oraz

λ

∗

(G \ A) = λ(G \ A) = λ

∞

[

k=1

∞

[

i=1

B

ki

\

∞

[

k=1

A

k

≤

∞

X

k=1

λ

∞

[

i=1

B

ki

\ A

k

<

∞

X

k=1

ε

2

k

= ε,

bo

∞

[

k=1

D

k

\

∞

[

k=1

F

k

⊂

∞

[

k=1

(D

k

\ F

k

).

(ii)⇒ (iii). Na mocy (ii)

^

k≥1

_

G

k

A ⊂ G

k

,

G

k

otwarty,

λ

∗

(G

k

\ A) <

1

k

.

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

34

Określmy H =

T

∞
k=1

G

k

. Zauważmy, że A ⊂ H oraz H jest z definicji zbiorem typu G

δ

.

Dalej mamy

λ

∗

(H \ A) = λ

∗

∞

\

k=1

G

k

\ A

≤ λ

∗

(G

k

\ A) <

1

k

,

k ≥ 1.

Biorąc k → ∞ dostajemy λ

∗

(H \ A) = 0.

(iii)⇒ (i). Niech H będzie zbiorem typu G

δ

takim, że A ⊂ H oraz λ

∗

(H \ A) = 0. Wtedy

z Twierdzenia 3.6 mamy H \ A ∈ A(λ

∗

) = L(IR). Stąd i z przedstawienia A = H \ (H \ A)

dostajemy, że A ∈ L(IR).

(i)⇒ (iv) Niech A ∈ L(IR) oraz niech ε > 0. Wtedy A

0

∈ L(IR) oraz z udowdnionej już

częsci twierdznia wynika, że

_

G

A

0

⊂ G,

G otwarty,

λ

∗

(G \ A

0

) < ε.

Oznaczmy F = G

0

. Wtedy F = G

0

⊂ A oraz

λ

∗

(A \ F ) = λ

∗

(A \ G

0

) = λ

∗

(A ∩ G) = λ

∗

(G \ A

0

) < ε.

(iv)⇒ (v). Na mocy (iv)

^

k≥1

_

F

k

F

k

⊂ A,

F

k

domknięty,

λ

∗

(A \ F

k

) <

1

k

.

Określmy J =

S

∞
k=1

F

k

. Zauważmy, że J ⊂ A oraz J jest z definicji zbiorem typu F

σ

.

Dalej mamy

λ

∗

(A \ J ) = λ

∗

A \

∞

[

k=1

F

k

≤ λ

∗

(A \ F

k

) <

1

k

,

k ≥ 1.

Biorąc k → ∞ dostajemy λ

∗

(A \ J ) = 0.

(v)⇒ (i). Niech J będzie zbiorem typu F

σ

takim, że J ⊂ A oraz λ

∗

(A \ J ) = 0. Podobnie

jak powyżej z Twierdzenia 3.6 dostajemy A \ J ∈ L(IR). Korzystając z przedstawienia
A = J ∪ (A \ J ) dostajemy A ∈ L(IR), bo J ∈ L(IR) (jest zbiorem borelowskim).

2

Twierdzenie 3.15 Niech T : IR → IR będzie funkcją liniową tj. T (x) = ax + b, gdzie
a, b ∈ IR.

Wtedy dla dowolnego A ⊂ IR mamy λ

∗

(T (A)) = |a| λ

∗

(A).

Ponadto jeśli

A ∈ L(IR) to T (A) ∈ L(IR) oraz λ(T (A)) = |a| λ(A).

Dowód. Zauważmy, że jeśli a = 0 to teza twierdzenia jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
a 6= 0. Niech (x, y), x < y, x, y ∈ IR będzie otwartym przedziałem. Wtedy jego obraz

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

35

T ((x, y)) jest otwartym przedziałem, dokładniej

T ((x, y)) = (T (x), T (y)),

gdy

a > 0,

T ((x, y)) = (T (y), T (x)),

gdy

a < 0.

Jego długość wynosi

|T ((x, y))| = |(T (x), T (y))| = T (y) − T (x) = a(y − x),

gdy

a > 0,

|T ((x, y))| = |(T (y), T (x))| = T (x) − T (y) = −a(y − x),

gdy

a < 0.

Zatem

(3.16)

|T ((x, y))| = |a||(x, y)|.

Niech λ

∗

będzie zewnętrzą miarą Lebesgue’a (patrz (3.15)) i niech {(x

i

, y

i

)}

i≥1

, x

i

< y

i

,

i ≥ 1 będzie dowolnym pokryciem zbioru A ⊂ IR tj. A ⊂

S

∞
i=1

(x

i

, y

i

). Wtedy T (A) ⊂

S

∞
i=1

T ((x

i

, y

i

)). Stąd i z (3.16) dostajemy

λ

∗

(T (A)) ≤

∞

X

i=1

|T (x

i

, y

i

)| = |a|

∞

X

i=1

|(x

i

, y

i

)|.

Czyli

1

|a|

λ

∗

(T (A)) ≤

∞

X

i=1

|(x

i

, y

i

)|.

Z definicji miary zewnętrznej i z dowolności pokrycia {(x

i

, y

i

)}

i≥1

zbioru A wynika, że

1

|a|

λ

∗

(T (A)) ≤ λ

∗

(A)

czyli

λ

∗

(T (A)) ≤ |a| λ

∗

(A).

W druga stronę. Niech {(α

i

, β

i

)}

i≥1

, α

i

< β

i

, i ≥ 1 będzie dowolnym pokryciem zbioru

T (A) tj. T (A) ⊂

S

∞
i=1

(α

i

, β

i

). Ponieważ odwrotne dowzorowanie do funkcji liniowej jest

też funkcją liniową (ze współczynnikiem kierunkowym 1/a), więc A ⊂

S

∞
i=1

T

−1

((α

i

, β

i

))

oraz

λ

∗

(A) ≤

∞

X

i=1

|T

−1

((α

i

, β

i

))| =

1

|a|

∞

X

i=1

|(α

i

, β

i

)|.

Stąd

|a| λ

∗

(A) ≤

∞

X

i=1

|(α

i

, β

i

)|.

Z dowolności pokrycia i z definicji miary zewnętrznej mamy więc

|a| λ

∗

(A) ≤ λ

∗

(T (A))

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

36

co kończy dowód pierwszej części twierdzenia. Załóżmy teraz, że A ∈ L(IR) i niech E ⊂ IR
będzie dowolnym podzbiorem. Oznaczmy e

E = T

−1

(E). Mamy

λ

∗

(E ∩ T (A)) + λ

∗

(E ∩ (T (A))

0

) = λ

∗

(T ( e

E) ∩ T (A)) + λ

∗

(T ( e

E) ∩ T (A

0

)) =

λ

∗

(T ( e

E ∩ A)) + λ

∗

(T ( e

E ∩ A

0

)) = |a| λ

∗

( e

E ∩ A) + |a| λ

∗

( e

E ∩ A

0

) =

|a| λ

∗

( e

E) = λ

∗

(T ( e

E)) = λ

∗

(E).

Z definicji zbiorów λ

∗

-mierzalnych wynika, że T (A) ∈ A(λ

∗

) = L(IR). Teraz równość

λ(T (A)) = |a| λ(A) wynika z udowodnionej już równości λ

∗

(T (A)) = |a| λ

∗

(A).

2

Oczywistym jest zawieranie L(IR) ⊂ 2

R

. Można postawić pytanie: Czy dowolny podzbiór

IR jest zbiorem lebegowskim. Okazuje się, że tak nie jest. Przykład podzbioru IR, który
nie jest zbiorem lebegowskim podał już 1905 roku Vitali. Zapoznamy sie teraz z tym
przykładem. Wprowadźmy w IR relacje równoważności

x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q.

Przez [x], x ∈ IR oznaczmy klasy abstrakcji tej relacji. Rozważmy teraz rodzinę zbiorów
{[x] ∩ (0, 1)}

x∈R

. Składa sie ona z rozłącznych i niepustych podzbiorów (0, 1). Rzeczywi-

ście, rozłączność jest oczywista i są one niepuste, bo

x ∈ ZZ

⇒

1

2

∈ [x] ∩ (0, 1),

x 6∈ ZZ

⇒

x − E(x) ∈ [x] ∩ (0, 1),

gdzie E(x) oznacza część całkowitą liczby x. Z pewnika wyboru istnieje zbiór F ⊂ (0, 1)
taki, że #

F ∩ ([x] ∩ (0, 1)) = 1. Załóżmy, że F ∈ L(IR). Niech {r

n

}

n≥1

będzie ciągiem

wszystkich liczb wymiernych z przedziału (−1, 1). Oznaczmy F

n

= F + r

n

, n ∈ IN. Z

Twierdzenia 3.15 wynika, że F

n

∈ L(IR) dla n ∈ IN. Wykażemy teraz następujące własności

zbiorów F

n

.

(i) Dla n 6= m, n, m ∈ IN mamy F

n

∩ F

m

= ∅.

(ii)

S

∞
n=1

F

n

⊂ (−1, 2).

(iii) (0, 1) ⊂

S

∞
n=1

F

n

.

Ad. (i) Niech x ∈ F

n

∩ F

m

dla n 6= m, n, m ∈ IN. Wtedy x = r

n

+ e

n

= r

m

+ e

m

,

gdzie e

n

, e

m

∈ F . Stąd e

n

− e

m

= r

m

− r

n

∈ Q. Zatem e

n

i e

m

należą do tej samej klasy

abstrakcji. Ale F miał wspólny tylko jeden element z każdą klasą abstrakcji, więc e

n

= e

m

.

Stąd r

n

= r

m

czyli n = m, co daje sprzeczność.

Ad. (ii) Niech x ∈

S

∞
n=1

F

n

. Wtedy istnieje n ∈ IN takie, że x ∈ F

n

, czyli x = r

n

+ e

n

,

gdzie e

n

∈ F . Stąd x ∈ (−1, 2).

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

37

Ad. (iii) Niech x ∈ (0, 1) i niech [x] ∩ F = {e}. Stąd x − e ∈ Q oraz x − e ∈ (−1, 1). Stąd
istnieje n ∈ IN takie, że x − e = r

n

, więc x = r

n

+ e ∈ F

n

. Zatem x ∈

S

∞
n=1

F

n

.

Korzystając z udowodnionych własności i Twierdzenia 3.15 wykażemy, że założenie F ∈
L(IR) prowadzi do sprzeczności. Załóżmy, że λ(F ) = 0. Wtedy

1 = λ((0, 1)) ≤ λ

∞

[

n=1

F

n

=

∞

X

n=1

λ(F

n

) =

∞

X

n=1

λ(F ) = 0

co daje sprzeczność. Niech więc λ(F ) > 0. Wtedy

3 = λ((−1, 2)) ≥ λ

∞

[

n=1

F

n

=

∞

X

n=1

λ(F

n

) =

∞

X

n=1

λ(F ) = ∞

i też otrzymujemy sprzeczność. Zatem F 6∈ L(IR).

Uwaga W podobny sposób jak na prostej IR możemy wprowadzić zbiory lebegowskie i
miarę Lebesgue’a w przestrzeni euklidesowej IR

d

, gdzie d ∈ IN. Przedziały ograniczone w

IR

d

określamy nastepująco: Niech a = (a

1

, . . . , a

d

) ∈ IR

d

, b = (b

1

, . . . , b

d

) ∈ IR

d

bedą takie,

że a

i

< b

i

dla i = 1, . . . , d. Wtedy

(a, b) = {(x

1

, . . . , x

d

) ∈ IR

d

: a

i

< x

i

< b

i

, 1 ≤ i ≤ d },

[a, b] = {(x

1

, . . . , x

d

) ∈ IR

d

: a

i

≤ x

i

≤ b

i

, 1 ≤ i ≤ d },

(a, b] = {(x

1

, . . . , x

d

) ∈ IR

d

: a

i

< x

i

≤ b

i

, 1 ≤ i ≤ d },

[a, b) = {(x

1

, . . . , x

d

) ∈ IR

d

: a

i

≤ x

i

< b

i

, 1 ≤ i ≤ d },

Objetość (d-wymiarową) takich przedziałów określa się wzorem

|(a, b)| = |[a, b]| = |(a, b]| = |[a, b)| =

d

Y

i=1

(b

i

− a

i

).

Możemy teraz w analogiczny sposób jak na prostej IR określić zewnętrzną miarę Lebesgue’a
miarę na IR

d

. Korzystając z konstrukcji Caratheodory’ego otrzymamy σ-algebrę zbiorów

lebegowskich na IR

d

oznaczaną symbolem L(IR

d

) oraz miarę Lebesgue’a λ

d

na niej. Podane

tu twierdzenia dla miary Lebesgue’a na prostej IR zachodzą również dla miary Lebesgue’a
na IR

d

. W wersji na IR

d

Twierdznia 3.15 równość λ(T (A)) = |a| λ(A) przybiera postać

λ(T (A)) = |det(T )| λ(A) dla A ∈ L(IR

d

), podobnie dla miary zewnętrznej. Na zakończenie

tych uwag warto zauważyć, że jeśli B ⊂ IR

d−1

to λ

d

(B) = 0, bo d-wymiarowa zewnętrzna

miara Lebesgue’a zbioru B jest równa zero. Szczegóły konstrukcji d-wymiarowej miary Le-
besgue’a oraz d-wymiarowych zbiorów lebegowskich można znaleźć w podanej literaturze.

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

38

3.3

Uzupełnianie miary

Zaczniemy od definicji:

Definicja 3.16 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Miarę µ nazywamy miarą
zupełną jeśli dowolny podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny tzn.

A ∈ A ∧ µ(A) = 0 ⇒

^

B⊂A

B ∈ A.

Wtedy (X, A, µ) nazywamy przestrzenią z miarą miarą zupełną lub krótko przestrzenią zu-
pełną.

Wniosek 3.17 Z definicji miary Lebesgue’a oraz z Twierdzenia 3.6 wynika, że przestrzeń
(IR, L(IR), λ) jest przestrzenią z miarą zupełną.

Jest oczywiste, że nie każda przestrzeń z miarą jest przestrzenią zupełną. Okazuje się

jednak, że gdy tak nie jest to możemy w pewnym sensie rozszerzyć (X, A, µ) do przestrzeni
zupełnej. Załóżmy, więc że (X, A, µ) nie jest zupełna i oznaczmy

N (µ) = { A ⊂ X : µ

∗

(A) = 0 }

(definicja µ

∗

podana jest w Twierdzeniu 3.12). Z Twierdzenia 3.12 wynika, że A ∈ N (µ)

wtedy i tylko wtedy, gdy A zawarte jest w pewnym zbiorze µ - miary zero. Wprowadźmy
jeszcze oznaczenia

A

1

= σ(A, N (µ))

oraz

A

µ

= { A ⊂ X :

_

B∈A

A 4 B ∈ N (µ) }.

Twierdzenie 3.18 Przy powyższych założeniach i oznaczeniach zachodzi równość

A

1

= A

µ

.

Dowód. Wykażemy najpierw, że A

µ

⊂ A

1

. Niech A ∈ A

µ

. Wtedy z definicji A

µ

wynika,

że istnieje B ∈ A takie, że µ

∗

(A 4 B) = 0. Stąd µ

∗

(A \ B) = µ

∗

(B \ A) = 0. Zatem A \ B,

B \ A ∈ N (µ). A stąd

A = (B ∪ (A \ B)) \ (B \ A) ∈ A

1

.

W drugą stronę. Ponieważ N (µ), A ⊂ A

µ

wystarczy wykazać więc, że A

µ

jest σ-algebrą.

(i) ∅ ∈ A

µ

co jest oczywiste;

(ii) Niech A ∈ A

µ

. Z definicji A

µ

wynika, że istnieje B ∈ A takie, że µ

∗

(A 4 B) = 0.

Ale A 4 B = A

0

4 B

0

. Zatem µ

∗

(A

0

4 B

0

) = 0, a ponieważ B

0

∈ A więc A

0

∈ A

µ

.

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

39

(iii) Niech A

i

∈ A

µ

dla i ≥ 1. Dla każdego i ≥ 1 istnieje B

i

∈ A taki, że µ

∗

(A

i

4 B

i

) = 0.

Ponieważ

(3.17)

∞

[

i=1

A

i

4

∞

[

i=1

B

i

⊂

∞

[

i=1

(A

i

4 B

i

)

więc

(3.18)

µ

∗

h

∞

[

i=1

A

i

4

∞

[

i=1

B

i

i

≤ µ

∗

h

∞

[

i=1

(A

i

4 B

i

)

i

≤

∞

X

i=1

µ

∗

(A

i

4 B

i

) = 0.

Stąd mając na uwadze, że

S

∞
i=1

B

i

∈ A dostajemy

S

∞
i=1

A

i

∈ A

µ

.

2

Jeśli przestrzeń z miarą (X, A, µ) nie jest zupełna to możemy rozszerzyć miarę µ do miary
zupełnej

µ na A

µ

. W ten sposób otrzymujemy przestrzeń zupełną (X, A

µ

, µ). Zobaczmy

jak przebiega ta konstrukcja. Miarę

µ na A

µ

definiuje się następujaco:

µ(A) = µ(B),

A ∈ A

µ

gdzie

B ∈ A

oraz

µ

∗

(A 4 B) = 0.

Zauważmy, że µ jest dobrze określona na A

µ

. Rzeczywiście, niech A ∈ A

µ

oraz niech

µ(A) = µ(B

1

)

i

µ

∗

(A 4 B

1

) = 0,

B

1

∈ A,

µ(A) = µ(B

2

)

i

µ

∗

(A 4 B

2

) = 0,

B

2

∈ A.

Wtedy korzystając z zawierania

(3.19)

B

1

4 B

2

⊂ (B

1

4 A) ∪ (A 4 B

2

)

dostajemy

µ(B

1

4 B

2

) = µ

∗

(B

1

4 B

2

) ≤ µ

∗

(B

1

4 A) + µ

∗

(A 4 B

2

) = 0.

A stąd już wynika równość µ(B

1

) = µ(B

2

) co dowodzi poprawności określenia µ. Wykażemy

teraz, że µ jest miarą na A

µ

.

(i) µ(∅) = 0, co jest oczywiste.

(ii) Niech A

i

∈ A

µ

dla i ≥ 1 oraz A

i

∩ A

j

= ∅ dla i 6= j. Stąd dla każdego i ≥ 1 istnieje

B

i

∈ A taki, że µ

∗

(A

i

4 B

i

) = 0 oraz µ(A

i

) = µ(B

i

). Korzystając teraz z tego, że

A

i

∩ A

j

= ∅

⇒

B

i

∩ B

j

⊂ (A

i

4 B

i

) ∪ (A

j

4 B

j

)

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

40

dostajemy

µ(B

i

∩ B

j

) = µ

∗

(B

i

∩ B

j

) ≤ µ

∗

(A

i

4 B

i

) + µ

∗

(A

j

4 B

j

) = 0

Stąd, z (3.17) i (3.18) oraz z definicji µ mamy

µ

∞

[

i=1

A

i

= µ

∞

[

i=1

B

i

=

∞

X

i=1

µ(B

i

) =

∞

X

i=1

µ(A

i

).

Zatem

µ jest miarą na A

µ

. Wykażemy teraz zupełność miary µ na A

µ

. Niech A ∈ A

µ

będzie takie, że µ(A) = 0 oraz niech F ⊂ A. Trzeba pokazać, że F ∈ A

µ

. Z założenia i z

definicji

µ istnieje B ∈ A takie, że

0 = µ(A) = µ(B)

∧

µ

∗

(A 4 B) = 0.

korzystając teraz m.in z zawierania postaci (3.19), własności µ

∗

oraz z założeń dostajemy

µ

∗

(F 4 B) ≤ µ

∗

(F 4 A) + µ

∗

(A 4 B) = µ

∗

(F 4 A)

F ⊂A

= µ

∗

(A \ F ) ≤ µ

∗

(A)

≤ µ

∗

(A ∪ B) ≤ µ

∗

(A \ B) + µ

∗

(B) = µ

∗

(B) = µ(B) = 0.

Stąd F ∈ A

µ

. Zauważmy również, że µ jest jednoznacznym rozszerzeniem miary µ na A

µ

.

Rzeczywiście, załóżmy, że mamy drugą miarę µ na A

µ

taką, że

µ

A

= µ

A

= µ.

Wykażmy równość µ = µ na A

µ

. Niech więc A ∈ A

µ

. Wtedy istnieje B ∈ A taki, że

µ

∗

(A 4 B) = 0 oraz µ(A) = µ(B). Z Twierdzenia 3.12 istnieje F ∈ A taki, że A 4 B ⊂ F

oraz µ

∗

(A 4 B) = µ(F ). Stąd i z tego, że A 4 B ∈ A

µ

mamy

0 = µ

∗

(A 4 B) = µ(F ) = µ(F ).

Zatem

µ(A 4 B) = 0,

bo

A 4 B ⊂ F.

Stąd µ(A \ B) = 0 i µ(B \ A) = 0. Mamy, więc

µ(A) = µ(A) + µ(B \ A) = µ(A ∪ B) = µ(B) + µ(A \ B) = µ(B) = µ(B) = µ(A).

Zachodzi pytanie jak się mają do siebie σ-algebry A

µ

oraz A(µ

∗

) będące rozszerzeniami

wyjściowej σ-algebry A. Odpowiedź na to pytanie daje

Twierdzenie 3.19 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną µ. Wtedy

A

µ

= A(µ

∗

).

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3

41

Dowód. Ponieważ A

µ

= σ(A, N (µ)) oraz A ⊂ A(µ

∗

) i N (µ) ⊂ A(µ

∗

) (z Twierdzenia

3.6), więc A

µ

⊂ A(µ

∗

). W drugą stronę. Niech A ∈ A(µ

∗

). Ponieważ miara µ jest σ-

skończona to istnieje rodzina {E

n

}

n≥1

⊂ A taka, że X =

S

∞
n=1

E

n

oraz µ(E

n

) < ∞ dla

n ≥ 1. mamy

(3.20)

A = A ∩ X = A ∩

∞

[

n=1

E

n

=

∞

[

n=1

A ∩ E

n

.

Na mocy (3.20) wystarczy wykazać A ∩ E

n

∈ A

µ

, n ≥ 1. Zauważmy oszacowanie

µ

∗

(A ∩ E

n

) ≤ µ

∗

(E

n

) = µ(E

n

) < ∞,

n ≥ 1.

Z Twierdzenia 3.12 dla każdego n ≥ 1 istnieje B

n

∈ A taki, że A ∩ E

n

⊂ B

n

oraz

µ

∗

(A ∩ E

n

) = µ(B

n

).

Stąd dla n ≥ 1 mamy

µ

∗

(A ∩ E

n

) = µ(B

n

) = µ

∗

(B

n

) = µ

∗

(B

n

∩ A ∩ E

n

) + µ

∗

(B

n

∩ (A ∩ E

n

)

0

) =

µ

∗

(A ∩ E

n

) + µ

∗

(B

n

\ (A ∩ E

n

)).

Ponieważ µ

∗

(A ∩ E

n

) < ∞ dla n ≥ 1, więc z powyższej równości dostajemy

µ

∗

(B

n

\ (A ∩ E

n

)) = 0

tzn.

B

n

\ (A ∩ E

n

) ∈ A

µ

.

Zatem A ∩ E

n

= B

n

\ (B

n

\ (A ∩ E

n

)) ∈ A

µ

, dla n ≥ 1, bo B

n

∈ A ⊂ A

µ

, n ≥ 1, co z

(3.20) daje A ∈ A

µ

.

2

Uwaga. Zauważmy, że założenie o σ-skończoności miary µ jest istotne. Rzeczywiscie,
niech A = {∅, X} oraz µ(∅) = 0 i µ(X) = ∞. Zauważmy, że µ

∗

(E) = ∞ dla każdego

niepustego podzbioru E ⊂ X. Stąd A(µ

∗

) = 2

X

. Z drugiej strony natychmiast widzimy,

że A

µ

= {∅, X}. Zatem A

µ

6= A(µ

∗

), gdy X ma przynajmniej dwa elementy.