Twierdzenie 1 (o działaniach na pochodnych). Jeżeli funkcje f, g są różniczkowalne w punkcie x

0

, to:

1. (C · f (x

0

))

0

= C · f

0

(x

0

),

2. (f ± g)

0

(x

0

) = f

0

(x

0

) ± g

0

(x

0

),

3. (f · g)

0

(x

0

) = f

0

(x

0

) · g(x

0

) + f (x

0

) · g

0

(x

0

),

4.

f

g

!

0

(x

0

) =

f

0

(x

0

) · g(x

0

) − f (x

0

) · g

0

(x

0

)

g

2

(x

0

)

, jeśli g(x

0

) 6= 0.

Twierdzenie 2. Wzory bezpośrednie:

1. (C)

0

= 0,

C ∈ R

2. (x

α

)

0

= αx

α−1

3. (e

x

)

0

= e

x

,

x ∈ R

4. (ln x)

0

=

1

x

,

x > 0

5. (sin x)

0

= cos x,

x ∈ R

6. (cos x)

0

= − sin x,

x ∈ R

7. (tg x)

0

=

1

cos

2

x

,

x 6=

(2k + 1)π

2

, k ∈ Z

8. (ctg x)

0

= −

1

sin

2

x

,

x 6= kπ, k ∈ Z

9. (arctg x)

0

=

1

1 + x

2

,

x ∈ R

10. (arcctg x)

0

= −

1

1 + x

2

,

x ∈ R

11. (arcsin x)

0

=

1

√

1 − x

2

,

x ∈ (−1, 1)

12. (arccos x)

0

= −

1

√

1 − x

2

,

x ∈ (−1, 1)

Twierdzenie 3 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja złożona F (x) = f (g(x)) jest określona

a pewnym otoczeniu punktu x

0

, funkcja g ma pochodną w punkcie x

0

oraz funkcja f ma pochodną w

punkcie g

0

= g(x

0

), to funkcja F ma pochodną w punkcie x

0

oraz

F

0

(x

0

) = f

0

(g(x

0

)) · g

0

(x

0

).

(Francesco Fa´

a di Bruno 1825–1888)