3. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów doskonałych
Równanie Bernoulliego wyraża zasadę, że w ruchu ustalonym nieściśliwego płynu idealnego
odbywającym się w polu sił ciężkości, całkowita energia płynu składająca się z energii kinetycznej,
energii potencjalnej ciśnienia i energii położenia jest stała wzdłuż danej linii prądu.
Najczęściej spotykana, algebraiczna postać równania Bernoulliego, wyrażająca zasadę zachowania
energii mechanicznej przedstawia się następująco:
2
U p
+ + z = const
2g Á Å" g
gdzie:
2
U
- wysokość prędkości
2g
p
- wysokość ciśnienia
Á Å" g
z - wysokość położenia (wzniesienie)
Niewiadomymi w równaniu sÄ… prÄ™dkość U i ciÅ›nienie p, gÄ™stość Á jest znana i niezmienna,
podobnie jak przyspieszenie ziemskie g.
Jeżeli uwzględnimy równanie ciągłości dla przepływu płynów nieściśliwych i przyjmiemy, że
równanie Bernoulliego ważne jest dla średniej linii prądu, otrzymamy:
S1U1 = S2U2 = ... = Q = idem
2
U12 p1 U p2
2
+ + z1 = + + z2 = ... = const
2g Á Å" g 2g Á Å" g
Rozwiązanie powyższych równań pozwoli nam uzyskać wartości prędkości średniej i ciśnienia
panującego w każdym z przekrojów.
Szczególnym przypadkiem prawa zachowania energii, jest prawo Torricellego, określające
prędkość wypływu cieczy ze zbiornika przez mały otwór w ścianie:
42
2
U12 pa U pa
2
+ + h = +
2g Å‚ 2g Å‚
gdzie:
Å‚ = Á Å" g - ciężar wÅ‚aÅ›ciwy w N/m3
Z równania ciągłości dla obu przekrojów mamy:
S1
U1 Å" S1 = U Å" S2 Ò! U2 = U1
2
S2
Jeżeli pole przekroju zbiornika jest znacznie większe od pola przekroju wylotu otworu wtedy
możemy pominąć U1 i określić prędkość wypływu U2 jako:
U = 2gh
2
Powyższa zależność została wyznaczona dla przypadku, w którym na powierzchni zbiornika jak i w
przestrzeni do której odbywał się wypływ, panowało ciśnienie atmosferyczne. Prawo Torricellego
można również odnieść do przypadku przepływu cieczy ze zbiornika A do B, w których występują
różne ciśnienia.
ëÅ‚ pA - pB öÅ‚
U2 = 2gìÅ‚ + h÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wartości prędkości wypływu np. wody i oleju obliczone z prawa Torricellego są takie same,
ponieważ prawo dotyczy przepływu płynu doskonałego i nie uwzględnia strat przepływu
występujących między przekrojami kontrolnymi, spowodowanych lepkością płynu. W przypadku
płynów lepkich prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej, a związek pomiędzy prędkością
rzeczywistą Urz a teoretyczną przyjęto wyrażać w formie iloczynu:
U = Ä… Å" U
rz
w którym Ä… jest współczynnikiem prÄ™dkoÅ›ci, wartość którego zawiera siÄ™ w granicach Ä… = 0.96 ÷
0.99.
Bezwładność poruszających się elementów płynu powoduje, że w niewielkiej odległości za
otworem występuje przewężenie strumienia. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją strumienia, a
iloÅ›ciowo okreÅ›la je bezwymiarowy współczynnik kontrakcji ², bÄ™dÄ…cy ilorazem najmniejszego
przekroju strumienia f0 do przekroju otworu f:
f0
² = .
f
43
Wartość współczynnika kontrakcji uzależniona jest głównie od ostrości krawędzi otworu, a także
od kształtu i usytuowania otworu. Dla otworów kołowych o ostrych krawędziach współczynnik
kontrakcji zawiera siÄ™ w granicach ² = 0.60 ÷ 0.64.
Mniejsze wartości rzeczywistej prędkości wypływu Urz i pola przekroju strumienia f0 powodują, że
i rzeczywisty strumień objętości cieczy wypływającej przez mały otwór jest mniejszy od
teoretycznego. Iloraz rzeczywistego strumienia objętości do strumienia teoretycznego nazywamy
współczynnikiem przepływu:
&
Vrz
µ = .
&
V
W prosty sposób można udowodnić, że:
µ = Ä… Å" ² .
Wartość współczynnika przepływu przy wypływie z otworu o ostrych krawędziach zależy głównie
od wartoÅ›ci współczynnika kontrakcji i mieÅ›ci siÄ™ w granicach µ = 0.60 ÷ 0.62.
PRZYKA
ADOWE ZADANIA
Zadanie 3.1 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.1, str. 47)
Obliczyć, z jaką prędkością U1 będzie przepływać woda przez
mały otwór znajdujący się w ściance zbiornika. Nad zwierciadłem
wody w zbiorniku i na wylocie z otworu panuje ciśnienie
atmosferyczne. Otwór znajduje się ma wysokości h = 5 m. Poziom
wody w zbiorniku jest stały.
Dane: Wyznaczyć:
p0 = p1 = pa U1
h = 5 m
RozwiÄ…zanie:
Obierzmy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni cieczy oraz 1-1 na wylocie ze zbiornika. Dla tych
dwóch przekrojów ułożymy równanie Bernoulliego. Jako poziom odniesienia przyjmijmy oś
otworu:
U02 p0 U12 p1
+ + z0 = + + z1
2g Ág 2g Ág
gdzie p0 = p1 = pa, z0 = h, z1 = 0. W przypadku h = const prędkość U0 = const. Po uwzględnieniu
tych warunków równanie przybierze postać
0 pa U12 pa
+ + h = + + 0
2g Ág 2g Ág
skÄ…d
U12 m
= h, U1 = 2gh = 2 Å" 9.81Å" 5 = 9.9
2g s
44
Zadanie 3.2 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.2, str. 48)
Z dużego otwartego zbiornika wypływa woda przez
przewód składający się z dwóch odcinków o średnicach
d1 = 30 mm, d2 = 20 mm. OÅ› przewodu znajduje siÄ™ w
odległości h = 4 m od zwierciadła wody w zbiorniku.
Obliczyć prędkości U1, U2 oraz ciśnienia p1 i p2 panujące
w określonych odcinkach przewodu. Ciśnienie
atmosferyczne pa = 100 kN/m2.
Dane: Wyznaczyć:
d1 = 30 mm U1, U2, p1, p2
d2 = 20 mm
h = 4 m
pa=100 kN/m2 =100000 Pa
RozwiÄ…zanie:
Obieramy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni wody w zbiorniku i 2-2 na wylocie. Układamy dla
nich równanie Bernoulliego:
U02 pa U22 pa
+ + h = + + 0
2g Á Å" g 2g Á Å" g
W równaniu tym mamy dwie niewiadome prędkości: U0 i U2. W przypadku dużego zbiornika
można przyjąć U0 = 0. Przy tym założeniu znajdziemy:
m
U2 = 2gh = 2 Å" 9.81Å" 4 = 8.85
s
Prędkość U1 obliczamy z równania ciągłości:
Q1 = Q2
gdzie Q1=(Ąd12/4)U1  strumień objętości w przewodzie o średnicy d1, Q2=(Ąd22/4)U2 - strumień
objętości w przewodzie o średnicy d2, a więc:
2 2
Ä„d1 Ä„d2
U1 = U2 ,
4 4
skÄ…d
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
d2 0.02 m
ìÅ‚ ÷Å‚
U1 = U2ìÅ‚ ÷Å‚ = 8.85ëÅ‚ öÅ‚ = 3.94
ìÅ‚ ÷Å‚
d1 0.03 s
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Aby obliczyć ciśnienie p1 w przewodzie o średnicy d1, obieramy dodatkowy przekrój 1-1 i
układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 oraz 1-1:
U02 pa U12 p1
+ + h = + + 0
2g Á Å" g 2g Á Å" g
Z równania tego, przyjmując U0 = 0, znajdziemy p1:
2
p1 pa U1
= h + -
Á Å" g Á Å" g 2g
2
ÁU1 1000 Å" 3.942
p1 = Á Å" g Å" h + pa - = 1000 Å" 9.81Å" 4 +100000 - =
2 2
kN
= 132.1 (ciśnienie absolutne)
m2
45
lub p1n = 32100 N/m2 (nadciśnienie).
W analogiczny sposób obliczamy ciśnienie p2:
2
ÁU2 1000 Å"8.852 kN
p2 = Á Å" g Å" h + pa - = 1000 Å" 9.81Å" 4 +100000 - = 100
2 2
m2
lub p2n = 0 (nadciśnienie).
Zadanie 3.3 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.3, str. 48)
Tunel aerodynamiczny z otwartą częścią pomiarową ma wylot o
średnicy d = 500 mm. Do szerokiej części tunelu o średnicy D =
1200 mm podłączono wodny manometr U-rurkowy. Znalez
ć
prędkość powietrza U w części pomiarowej tunelu, jeśli wskazanie
manometru wynosi H = 200 mm. GÄ™stość powietrza Áp = 1.29
kg/m3. Pominąć straty tarcia.
Dane: Wyznaczyć:
d = 500 mm U
D = 1200 mm
H = 200 mm
Áp = 1.29 kg/m3
RozwiÄ…zanie:
Obieramy dwa przekroje kontrolne: 1-1 w miejscu podłączenia manometru do szerokiej części
tunelu oraz 2-2 w przestrzeni pomiarowej. Dla tych dwóch przekrojów układamy równanie
Bernoulliego:
2 2
U1 p1 U2 pa
+ = +
2g Á Å" g 2g Á Å" g
p p
W równaniu tym pominięto wysokość położenia z, gdyż obrana struga jest pozioma.
Niewiadomymi wielkościami są U1, U2 i p1.
Z równania ciągłości:
Q1 = Q2
2
Ä„D2 Ä„d
U1 = U
2
4 4
otrzymujemy:
2
d
ëÅ‚ öÅ‚
U1 = U
ìÅ‚ ÷Å‚
2
D
íÅ‚ Å‚Å‚
Podstawiając wyrażenie na U1 do równania Bernoulliego znajdziemy:
2(p1 - pa )
U = U2 =
4
îÅ‚ Å‚Å‚
d
ëÅ‚ öÅ‚
ïÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚
śłÁ
p
D
ïÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Różnica ciśnień:
p1 - pa = H Å" Áw Å" g.
46
Ostatecznie:
2g Å" H Å" Áw 2 Å" 9.81Å" 0.2 Å"1000 m
U2 = = = 32 .
4 4
s
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
d 0.5
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ïÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚
śłÁ ïÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚
śł Å"1.29
p
D 1.2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 3.4 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.4, str. 48)
Dwa zbiorniki wypełnione wodą połączono
przewodem o średnicy d = 50 mm. Obliczyć
strumień objętości wody przepływającej z lewego
zbiornika do prawego, jeśli różnica poziomów
wody w zbiornikach jest stała i wynosi H = 2.1 m.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty
tarcia).
Dane: Wyznaczyć:
d = 50 mm Q1
H = 2.1 m
RozwiÄ…zanie:
Obieramy pierwszy przekrój kontrolny 0-0 na poziomie zwierciadła wody w lewym zbiorniku, a
przekrój drugi 1-1 na wylocie z przewodu do zbiornika prawego. Wprowadzamy dodatkową
niewiadomą h; jest to głębokość zanurzenia wylotu przewodu do zbiornika prawego. Układamy dla
tych przekrojów równanie Bernoulliego. Za poziom odniesienia przyjmujemy poziom wylotu z
przewodu.
2 2
U0 pa U1 pa + hÁg
+ + H + h = + + 0.
2g Á Å" g 2g Á Å" g
Jeśli H = const, to prędkość U0 = 0. Otrzymujemy wtedy:
2
pa U1 pa + h Å" Á Å" g
+ H + h = +
Á Å" g 2g Á Å" g
Po uproszczeniu widzimy, że wprowadzona wielkość h zredukowała się, a prędkość:
U1 = 2gH .
Strumień objętości:
2
Ä„d Ä„ Å" 0.052 m3 dm3
Q = S Å"U1 = 2gH = 2 Å" 9.81Å" 2.1 = 0.0126 = 12.6
4 4 s s
Zadanie 3.5 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.11, str. 50)
W zbiorniku znajduje się woda, która wypływa przez
przewód pionowo do góry. Odległość między
poziomem cieczy w zbiorniku a wylotem H = 2 m.
Nadciśnienie panujące w zbiorniku pn = 50 kN/m2.
Obliczyć prędkość wypływu wody oraz wysokość h na
jaką wzniesie się strumień. Przekrój 2-2 obrany jest na
takiej wysokości, aby prędkość U2 = 0. Wodę traktować
jako płyn idealny (straty tarcia w przewodzie oraz opór
powietrza pominąć). GÄ™stość wody przyjąć Á = 1000 kg/m3.
47
Dane: Wyznaczyć:
H = 2 m U1, h
pn = 50 kN/m2
U2 = 0
Á = 1000 kg/m3
RozwiÄ…zanie
a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1 z równania Bernoulliego określamy prędkość U1 przy założeniu że
poziom odniesienia znajduje siÄ™ na poziomie wylotu z przewodu:
2 2
U0 pa + pn U1 pa
+ + H = +
2g Á Å" g 2g Á Å" g
Dla H = const U0 = 0, zatem:
ëÅ‚ pn öÅ‚
U1 = 2gìÅ‚ H + ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Á Å" g
íÅ‚ Å‚Å‚
b) Wysokość h obliczamy z równania Bernoulliego ułożonego dla przekrojów 1-1 i 2-2:
2 2
U1 pa U pa
2
+ = + + h,
2g Á Å" g 2g Á Å" g
skÄ…d:
2
U1 pn 50000
h = = H + = 2 + H" 7 m.
2g Á Å" g 1000 Å" 9.81
Zadanie 3.6 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.15, str. 51)
Woda z lewego zbiornika przepływa przez otwór w bocznej
ściance o średnicy d1 do prawego zbiornika, z którego z kolei
przez otwór o średnicy d2 do atmosfery. Mając stałą różnicę
poziomów wody w zbiornikach H = 1 m oraz głębokość
zanurzenia drugiego otworu h2 = 1.5 m, obliczyć prędkość
przepływu w poszczególnych otworach oraz stosunek średnic.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).
Dane: Wyznaczyć:
H = 1 m U1, U2, d1/d2
h2 = 1.5 m,
RozwiÄ…zanie:
Układamy równania Bernoulliego:
a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1:
2 2
U0 pa U1 pa + Á Å" g Å" h
+ + H + h = + ,
2g Á Å" g 2g Á Å" g
przy czym U0 = 0, h  założona głębokość położenia otworu o średnicy d1; stąd:
m
U1 = 2gH = 2 Å" 9.81Å"1 = 4.4 ,
s
48
b) Dla przekrojów 3-3 i 2-2
2 2
U3 pa U2 pa
+ + h2 = + ,
2g Á Å" g 2g Á Å" g
U3 = 0, zatem:
m
U2 = 2gh2 = 2 Å" 9.81Å"1.5 = 5.45
s
c) Z równania ciągłości znajdziemy:
d1 U 5.45
2
= = = 1.11
d2 U1 4.4
Zadanie 3.7 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.18, str. 52)
Ze zbiornika prostokÄ…tnego o przekroju a×b = 2 m ×1.2 m
przez przewód wypływa woda do atmosfery. Wysokość
wody w zbiorniku H = 1.2 m. Åšrednice przewodu: d1 = 100
mm, d2 = 70 mm, d3 = 50 mm. Określić strumień objętości
wypływającej wody i ciśnienia w przekrojach 1-1 i 2-2.
Płyn jest doskonały (h1 = 0.5 m i h 2 = 2.4 m).
Dane: Wyznaczyć:
a = 2 m, b = 1.2 m Q, p1, p2
H = 1.5 m
d1 = 100 mm
d2 = 70 mm
d3 = 50 mm
h1 = 0.5 m
h 2 = 2.4 m
RozwiÄ…zanie:
a) Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 3-3:
2 2
U0 p0 U3 p3
+ + (H + h1 + h2) = + .
2g Á Å" g 2g Á Å" g
Ponieważ p0 = p3 = pa, równanie to uprości się do postaci:
2 2
U0 U3
+ H + h1 + h2 = .
2g 2g
Z równania ciągłości S0źU0 = S3źU3 znajdziemy:
2
S3 Ä„d3
U0 = U3 = U3 .
S0 4a Å" b
Podstawiamy do równania Bernoulliego:
49
2
2 2 2
u3 ëÅ‚ Ä„d3 öÅ‚ u3
ìÅ‚ ÷Å‚
+ H + h1 + h2 =
ìÅ‚ ÷Å‚
2g 4ab 2g
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 2
u3 ëÅ‚ ëÅ‚ Ä„d3 öÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
= H + h1 + h2,
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2g 4ab
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
skÄ…d:
2g(H + h1 + h2 ) 2 Å" 9.81(1.5 + 0.5 + 2.4) 86.328 m
U3 = = = = 9.29
2 2
0.9999 s
2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
Ä„d3 Ä„ Å" 0.052 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1-
1-
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4a Å" b
4 Å" 2 Å"1.2
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Strumień objętości wyniesie:
2
Ä„d3 m3
QU = S3 Å"U3 = Å"U3 = 0.001963Å"9.29 = 0.0182
4 s
b) Prędkości w poszczególnych odcinkach przewodu:
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
d3 0.05 m
ìÅ‚ ÷Å‚
U2 = U3ìÅ‚ ÷Å‚ = 9.29ëÅ‚ öÅ‚ = 4.74 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
d2 0.07 s
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
d3 0.05 m
ìÅ‚ ÷Å‚
U1 = U3ìÅ‚ ÷Å‚ = 9.29ëÅ‚ öÅ‚ = 2.32 .
ìÅ‚ ÷Å‚
d1 0.1 s
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
c) Ciśnienia w przekrojach 2-2 i 1-1:
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 2-2 i 3-3:
2 2
U p2 U3 p3
2
+ + h2 = + , gdzie p3 = pa ,
2g Á Å" g 2g Á Å" g
2 2
Á(U3 -U2 )
p2 = - Á Å" g Å" h2 + pa
2
1000(9.292 - 4.742 )
p2 = -1000 Å" 9.81Å" 2.4 +100000 = 31916 - 23544 +100000 = 108372 Pa
2
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 3-3:
2 2
Á(U3 -U1 )
p1 = - Á Å" g(h1 + h2 )+ pa
2
1000(9.292 - 2.322 )
p1 = -1000 Å" 9.81(0.5 + 2.4)+100000 = 41959 - 28449 +100000 = 113510 Pa
2
50
Zadanie 3.8 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.10, str. 50)
Woda o temperaturze t = 40 0C wypływa ze zbiornika przez przewód z
przewężeniem. Obliczyć stosunek średnic d/D, dla którego wystąpi
kawitacja w przewężeniu przewodu. Przyjąć H = 400 mm, h = 800 mm,
pa = 90 kN/m2. Dla wody o temperaturze 40 0C ciśnienie wrzenia wynosi
pw = 7520 N/m2.
Dane: Wyznaczyć:
H = 400 mm d/D
h = 800 mm
pa = 90 kN/m2
pw = 7520 N/m2
RozwiÄ…zanie:
Obieramy przekroje: 0-0 na powierzchni zwierciadła wody, 1-1 w przewężeniu, i 2-2 na wylocie do
atmosfery. Z równania ciągłości mamy:
Q1 = Q2
2
Ä„ Å" d Ä„ Å" D2
U1 = U2
4 4
d U2
=
D U1
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 wyznaczamy U2:
2 2
U0 pa U2 pa
+ + H + h = + ,
2g Á g 2g Á g
Przy założeniu, że U0 = 0 mamy:
U2 = 2g(H + h)
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1 wyznaczamy U1 przy założeniu że ciśnienie w
tym przekroju równe jest ciśnieniu wrzenia pw:
2 2
U0 pa h U1 pw
+ + H + = +
2g Á g 2 2g Á g
ëÅ‚ h pa - pw öÅ‚
ìÅ‚
U1 = 2gìÅ‚ H + + ÷Å‚
÷Å‚
2 Á Å" g
íÅ‚ Å‚Å‚
Stosunek średnic wyniesie wtedy:
d H + h
= = 0,64
h pa - pw
4
D
H + +
2 Á Å" g
51
Zadanie 3.9 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.13, str. 50)
Woda ze zbiornika wypływa przez przewód rozgałęziający.
Średnice rozgałęzień przewodów wylotowych są równe i
wynoszą d = 25 mm. Odległość h = 1,2 m. Jaka musi być
wysokość H wody w zbiorniku, aby strumień objętości
wody wypływającej przez przewód górny był dwa razy
mniejszy od strumienia objętości wody płynącej przez
przewód dolny. Obliczyć strumienie objętości Q1 i Q2.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).
Dane: Wyznaczyć:
d = 25 mm H, Q1, Q2.
h = 1,2 m
Q2 = 2 Q1
RozwiÄ…zanie:
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1:
2 2
U0 pa U1 pa
+ + H = + + h
2g Á g 2g Á g
Zakładając, że U0 = 0, U1 wynosi:
U1 = 2g(H - h)
Z równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 otrzymamy U2:
U = 2g(H + h)
2
Wysokość H wyliczamy z zależności między strumieniami objętości:
Q2 = 2źQ1,
2 2
Ä„ Å" d Ä„ Å" d
2g(H + h) = 2Å" 2g(H - h)
4 4
StÄ…d:
5
H = h = 2 m
3
Strumienie objętości wyniosą:
2 2
Ä„ Å" d Ä„ Å" d dm3
Q1 = U1 = 2g(H - h) = 1,95
4 4 s
2 2
Ä„ Å" d Ä„ Å" d dm3
Q2 = U2 = 2g(H + h) = 3,89
4 4 s
Zadanie 3.10
W dnie stalowego zbiornika znajduje się ostrokrawędziowy otwór o średnicy d = 2 cm przez który
wypływa woda. Poziom wody w zbiorniku jest stały i znajduje się na wysokości h = 1.5 m od dna.
Wyznaczyć współczynnik przepływu jeżeli wiadomo, że w ciągu 5-ci minut wypłynęło ze zbiornika
330 litrów wody. Obliczyć współczynnik kontrakcji otworu przy założeniu, że współczynnik
prędkości wynosi ą = 0.95.
52
Dane: Wyznaczyć:
d = 2 cm µ, ²
h = 1,5 m
t = 5 min
V = 330 l
Ä… = 0.95
RozwiÄ…zanie:
Współczynnik przepływu obliczamy ze wzoru definicyjnego:
&
Vrz
µ = .
&
V
Rzeczywisty strumień objętości wynosi:
V 330 Å"10-3 m3
&
Vrz = = = 0.0011 .
t 5 Å" 60 s
Strumień objętości teoretyczny liczymy jako iloczyn pola otworu i prędkości teoretycznej
obliczonej ze wzoru Torricellego:
2
Ä„ Å" d 3.14 Å" 0.022 m3
&
V = f Å"U = Å" 2gh = Å" 2 Å" 9.81Å"1.5 = 0.000314 Å" 5.42 = 0.0017 .
4 4 s
Wtedy:
0.0011
µ = = 0.647 H" 0.65
0.0017
Współczynnik kontrakcji liczymy z kolei ze wzoru:
µ 0.65
² = = = 0.684 H" 0.68
Ä… 0.95
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI
ZANIA
Zadanie 3.11 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.5, str. 55)
W przewód o średnicy D = 100 mm wstawiono zwężkę
Venturiego. Do zwężki podłączono manometr rtęciowy.
Obliczyć strumień objętości wody przepływającej przez
przewód jeśli różnica poziomów rtęci w manometrze H =
200 mm. Nad rtęcią w jednym i drugim ramieniu znajduje
się woda. Średnica przewężenia zwężki d = 50 mm.
Odpowiedz
: Q = 0.01429 m3/s
Zadanie 3.12 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.4, str. 55)
W celu zmierzenia prędkości przepływających przez przewód spalin
wstawiono do niego statyczną rurkę Pitota i podłączono ją do
manometru spirytusowego. Różnica poziomów wynosił H = 5 mm.
o
Temperatura spalin t = 400 C. Gęstość spalin w warunkach
normalnych Á0 = 1.29 kg/m3. (Åšrednica d rurki Pitota jest dużo
mniejsza od Å›rednicy przewodu D). Przyjąć Ám = 827 kg/m3.
Wskazówka: W warunkach normalnych: t = 0 oC, p = 760 mm Hg
(1013 hPa).
Odpowiedz
: U0 = 12.45 m/s
53
Zadanie 3.13 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.3, str. 54)
Określić strumień objętości Q za pomocą zwężki Venturiego o
wymiarach D = 100 mm, d = 50 mm wstawionej do poziomego
przewodu którym płynie woda, jeśli różnica wskazań ciśnień
na wlocie do zwężki i w przewężeniu wynosi H = 50 mm.
Odpowiedz
: Q = 2 dm3/s
Zadanie 3.14 (poz. bibl. [3], zad. 3.2.9, str. 56)
Na jaką wysokość h podniesie się rtęć w rurce podłączonej jednym
końcem do zwężki Venturiego a drugim do otwartego naczynia z
rtęcią, jeśli zwężkę umieścimy w powietrzu przepływającym z
prędkością U = 40 m/s. Wymiary zwężki: D = 80 mm, d = 40 mm.
Odpowiedz
: h = 0.114 m
Zadanie 3.15 (poz. bibl. [6], zad. 3.1.6, str. 42)
W dnie naczynia cylindrycznego o średnicy D znajduje się otwór którego
średnica jest równa d. Nad cieczą wypełniającą naczynie umieszczono tłok
o ciężarze G, poruszający się szczelnie lecz bez tarcia. Pomijając straty w
otworze wypływowym, określić zależność pomiędzy prędkością U1
wypływającej cieczy a położeniem tłoka h. Przyjąć gęstość cieczy równą
Á.
ëÅ‚ öÅ‚
4G
ìÅ‚ ÷Å‚
2ìÅ‚h Å" g +
÷Å‚
Ä„D2Á
íÅ‚ Å‚Å‚
Odpowiedz
: U1 =
4
d
1-
D4
Zadanie 3.16 (poz. bibl. [6], zad. 3.1.21, str. 48)
Ze zbiornika ciśnieniowego wypływa woda (o
temperaturze T = 313 K) przez przewód o średnicy D, w
którym znajduje się przewężenie. Średnica przewężenia d
= 0.8D. Przy jakim nadciśnieniu pn panującym w
zbiorniku, może wystąpić zjawisko kawitacji? Przyjąć:
wysokość poziomu cieczy w zbiorniku H = 1.2 m,
ciśnienie wrzenia wody w danej temperaturze pw = 7.5
kPa, ciśnienie barometryczne pa = 101 kPa oraz gęstość
wody Á = 1000 kg/m3. Wszystkie straty pominąć.
Odpowiedz
: pn = 0.6938(pa - pw)- Á Å" g Å" H = 53 kPa
54
Zadanie 3.17 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.6, str. 49)
Woda z większego zbiornika przepływa do zbiornika mniejszego
za pomocą lewara. Różnica poziomów wody w zbiornikach
wynosi h = 3 m. Kolano lewara znajduje się na wysokości H = 6
m. Wyznaczyć: a) jaka musi być średnica przewodu, aby strumień
objętości wody wynosił Q = 27.8 dm3/s, b) jakie ciśnienie panuje
w kolanie lewara.
Odpowiedz
: a) d = 68 mm, b) ciśnienie absolutne p2 = 41140 Pa.
Zadanie 3.18 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.8, str. 49)
Na cylindrycznej części wlotu do wentylatora o średnicy D = 200
mm, zasysajÄ…cego powietrze z atmosfery, umieszczono szklanÄ…
rurkę, której drugi koniec jest zatopiony w naczyniu z wodą.
Obliczyć strumień objętości powietrza przepływającego przez
wentylator jeśli woda w rurce podniosła się do wysokości h =
250 mm. GÄ™stość powietrza Áp = 1.29 kg/m3.
Odpowiedz
: Q = 1.94 m3/s.
Zadanie 3.19
Ciecz o gÄ™stoÅ›ci Á pÅ‚ynie wzdÅ‚uż poziomego rurociÄ…gu
o zwężającym się przekroju jak na rysunku. Do
rurociągu podłączono manometr różnicowy rtęciowy
mierzący różnicę ciśnień przed i za przewężeniem,
którego wskazanie wynosi H. Obliczyć strumień
objętości cieczy przepływającej przez rurociąg.
2
2
Odpowiedz
: Q = Ä„ Å" d gH(Ám - Á) .
15
Zadanie 3.20
W Å›cianie otwartego zbiornika znajduje siÄ™ maÅ‚y prostokÄ…tny otwór o wymiarach 2 cm × 1 cm
zanurzony na głębokość h = 1 m poniżej zwierciadła, przez który wypływa woda. Obliczyć, jaka
objętość teoretyczna wody wypłynie przez ten otwór w czasie 1 minuty. O ile litrów będzie
mniejsza objÄ™tość rzeczywista przy zaÅ‚ożeniu, że współczynnik przepÅ‚ywu wynosi µ = 0.64.
Odpowiedz
: V = 53 l, "V = 19 l.
55