Oznaczenia
R(t)
−
funkcja niezawodności,
F(t)
−
funkcja zawodności,
ET
−
oczekiwany czas zdatności,
r(t)
−
pozostały oczekiwany czas zdatności,
f(t)
−
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia,
λλλλ
(t)
−
intensywność uszkodzeń,
µµµµ
−
intensywność odnowy.
Wzory ogólne
1
F(t)
R(t)
=
+
,
(t)
R
f(t)
'
−
=
,
R(t)
(t)
R
R(t)
f(t)
λ(t)
'
−
=
=
Rozkład wykładniczy czasu zdatności elementu
λ
−
intensywność uszkodzeń elementu
Dla elementu:
λt
e
e
(t)
R
−
=
,
λt
e
e
1
(t)
F
−
−
=
,
λt
e
λe
(t)
f
−
=
,
λ
1
(t)
r
e
=
λ
(t)
R
(t)
f
(t)
λ
e
e
e
=
=
−
dla rozkładu wykładniczego intensywność uszkodzeń elementu jest stała
λ
1
ET
e
=
−
oczekiwany czas zdatności elementu,
∫
∞
=
0
u
u
dt
(t)
R
ET
−
oczekiwany czas zdatności urządzenia,
∫
∞
=
t
u
u
u
dx
(x)
R
(t)
R
1
(t)
r
−
pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,
Rozkład jednostajny czasu zdatności elementu
k
−
kres górny czasu zdatności elementu
Dla elementu:
k
t
1
(t)
R
e
−
=
,
k
t
(t)
F
e
=
k
1
(t)
f
e
=
−
2
t
k
(t)
r
e
−
=
,
t
k
1
(t)
R
(t)
f
(t)
λ
e
e
e
−
=
=
2
k
ET
e
=
−
oczekiwany czas zdatności elementu,
∫
=
k
0
u
u
dt
(t)
R
ET
−
oczekiwany czas zdatności urządzenia,
∫
=
k
t
u
u
u
dx
(x)
R
(t)
R
1
(t)
r
−
pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,
dla rozkładu jednostajnego gęstość prawdopodobieństwa
uszkodzenia elementu jest stała
Struktury niezawodnościowe
−
szeregowa
1
2
n
Funkcja niezawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji niezawodności poszczególnych
elementów:
(t)
R
...
(t)
R
(t)
R
(t)
R
n
2
1
u
⋅
⋅
⋅
=
Intensywność uszkodzeń takiej struktury jest równa sumie intensywności uszkodzeń
poszczególnych elementów:
(t)
λ
...
(t)
λ
(t)
λ
(t)
λ
n
2
1
u
+
+
+
=
−
równoległa
1
2
n
Funkcja zawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji zawodności poszczególnych
elementów:
(t)
F
...
(t)
F
(t)
F
(t)
F
n
2
1
u
⋅
⋅
⋅
=
Rezerwa nieobciążona
1
2
n
Oczekiwany czas zdatności takiego układu jest równy sumie oczekiwanych czasów zdatności
poszczególnych elementów:
n
2
1
u
ET
...
ET
ET
ET
+
+
+
=
Rezerwa obciążona (zwykłe równoległe połączenie)
1
2
n
Tu oczekiwany czas zdatności urządzenia liczymy wg wzoru całkowego. Pozostałe parametry
[f
u
(t),
λ
u
(t)] liczymy z podstawowych wzorów.
Używane w zadaniach całki i pochodne
∫
+
=
+
1
n
t
dt
t
1
n
n
,
λt
λt
-
e
λ
1
dt
e
−
∫
−
=
,
( )
1
n
'
n
t
n
t
−
=
,
( )
λt
'
λt
λe
e
−
−
−
=
Zadanie 14
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i
dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma
rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest
równy 1500 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.
k
1
(t)
f
e
=
, k = ?
ET
u
= ET
e
+ ET
e
+ ET
e
= 3ET
e
,
2
k
ET
e
=
→
k
2
3
ET
u
=
1500
k
2
3
=
→ k = 1000 [h] →
=
h
1
1000
1
(t)
f
e
Odp.
h
1000
t
dla
0
1000h
0,
t
dla
h
1
1000
1
(t)
f
e
>
>
<
∈
=
.
Zadanie 15
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i
dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma
rozkład wykładniczy z parametrem
λ
równym 0,005 [1/h]. Wyznaczyć oczekiwany czas
zdatności urządzenia.
ET
u
= ET
e
+ ET
e
+ ET
e
= 3ET
e
, ET
e
= ?
λ
1
ET
e
=
→
[h]
600
λ
3
ET
u
=
=
Odp. ET
u
= 600 [h].
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy z parametrem
λ
Dane:
λ
= 0,005 [1/h]
Szukane: ET
u
= ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu
−
jednostajny
Dane: ET
u
= 1500 [h]
Szukane: f
e
(t) = ?
Zadanie 16
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych
elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0.
Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności
urządzenia.
A
B
ET
u
= ET
A
+ ET
B
,
[h]
120
ET
ET
e
B
=
=
,
∫
=
k
0
A
A
dt
(t)
R
ET
, R
A
(t) = ?
(t)
R
(t)
R
(t)
R
(t)
R
2
e
e
e
A
=
⋅
=
,
k
t
1
(t)
R
e
−
=
,
2
2
2
A
k
t
k
t
2
1
k
t
1
(t)
R
+
−
=
−
=
[ ]
?
k
k,
3
1
3
k
k
k
3
k
k
1
2
k
k
2
k
3
t
k
1
2
t
k
2
t
dt
t
k
1
dt
t
k
2
dt
dt
k
t
k
t
2
1
ET
3
2
2
k
0
3
2
k
0
2
k
0
k
0
2
2
k
0
k
0
k
0
2
2
A
=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∫
∫
∫
∫
2
k
ET
e
=
→
120
2
k
=
→ k = 240 [h] → ET
A
= 80 [h] → ET
u
= 200 [h]
Odp. ET
u
= 200 [h].
Zadanie 17
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych
elementów. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany
czas zdatności urządzenia, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.
A
A
ET
u
= ET
A
+ ET
A
= 2ET
A
, ET
A
= ?
A
A
λ
1
ET
=
,
λ
A
=
λ
+
λ
+
λ
= 3
λ
→
3λ
1
ET
A
=
,
λ
= ?
e
ET
1
λ
=
→
=
h
1
120
1
λ
→ ET
A
= 40 [h] → ET
u
= 2ET
A
= 80 [h]
Odp. ET
u
= 80 [h].
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy
Dane: ET
e
= 120 [h]
Szukane: ET
u
= ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu
−
jednostajny
Dane: ET
e
= 120 [h]
Szukane: ET
u
= ?
Zadanie 18
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych
elementów. Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest równa 1/300 [1/h].
Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.
A
A
ET
u
= ET
A
+ ET
A
= 2ET
A
, ET
A
= ?,
∫
=
k
0
A
A
dt
(t)
R
ET
, R
A
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
A
A
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
e
e
e
A
=
⋅
=
,
k
t
(t)
F
e
=
→
2
2
A
k
t
(t)
F
=
→
2
2
A
k
t
1
(t)
R
−
=
[ ]
3
2k
3
k
k
3
k
k
1
k
3
t
k
1
t
dt
t
k
1
dt
dt
k
t
1
ET
3
2
k
0
3
2
k
0
k
0
2
2
k
0
k
0
2
2
A
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
3
4k
3
2k
2
ET
u
=
⋅
=
, k = ?,
k
1
(t)
f
e
=
→
300
1
k
1
=
→ k = 300 [h] →
[h]
400
3
300
4
ET
u
=
⋅
=
Odp. ET
u
= 400 [h].
Zadanie 19
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych
elementów. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 450 [h]. Obliczyć oczekiwany
czas zdatności elementu, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.
A
A
A
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności
−
jednostajny
Dane:
=
h
1
300
1
(t)
f
e
Szukane: ET
u
= ?
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności
−
wykładniczy
Dane: ET
u
= 450 [h]
Szukane: ET
e
= ?
ET
u
= ET
A
+ ET
A
+ ET
A
= 3ET
A
, ET
A
= ?,
∫
=
k
0
A
A
dt
(t)
R
ET
, R
A
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
A
A
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
e
e
e
A
=
⋅
=
,
λt
e
e
1
(t)
F
−
−
=
(
)
λt
2
λt
2
λt
A
e
e
2
1
e
1
(t)
F
−
−
−
+
−
=
−
=
→
(
)
λt
2
λt
λt
2
λt
A
e
e
2
e
e
2
1
1
(t)
R
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
(
)
[ ]
[ ]
2λ
3
2λ
1
λ
2
1)
(0
λ
2
1
1)
(0
λ
2
e
λ
2
1
e
λ
2
dt
e
dt
e
2
dt
e
e
2
ET
0
λt
2
0
λt
0
λt
2
0
λt
0
λt
2
λt
A
=
−
=
−
+
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
−
∫
∫
∫
2λ
9
2λ
3
3
ET
u
=
⋅
=
,
λ
1
ET
e
=
→
2
9ET
ET
e
u
=
→
[h]
100
9
450
2
9
2ET
ET
u
e
=
⋅
=
=
Odp.
[h]
100
ET
e
=
.
Zadanie 20
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech
jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o wartości
oczekiwanej 1/
λ
. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia rozpatrywanego
urządzenia.
A
A
(t)
R
(t)
f
'
u
u
−
=
, R
u
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
u
u
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
A
A
A
u
=
⋅
=
Skorzystamy w tym momencie z wyniku
zadania 36, w którym wyliczono funkcję
zawodności [F
A
(t)] struktury A (rezerwa nieobciążona):
λt
A
e
)
t
λ
1
(
1
(t)
F
−
+
−
=
→
(
)
2
λt
u
e
)
t
λ
1
(
1
(t)
F
−
+
−
=
→
(
)
2
λt
u
e
)
t
λ
1
(
1
1
(t)
R
−
+
−
−
=
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
λt
λt
2
λt
λt
λt
'
2
λt
u
e
)
t
λ
1
(
1
te
λ
2
λ)e
)(
t
λ
1
(
λe
e
)
t
λ
1
(
1
2
e
)
t
λ
1
(
1
1
(t)
f
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
+
−
−
+
−
=
+
−
−
−
=
Odp.
(
)
λt
λt
2
u
e
)
t
λ
1
(
1
te
λ
2
(t)
f
−
−
+
−
=
Układ mieszany: rezerwa nieobciążona i obciążona
Rozkład czasu zdatności
−
wykładniczy
Dane:
=
h
1
λ
1
ET
e
Szukane: f
u
(t) = ?
Zadanie 21
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech
elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane.
Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 500 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy
zdatności elementów wiedząc, że intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy
większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego.
1
1
2
A
A
2
∫
∞
=
0
u
u
dt
(t)
R
ET
, R
u
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
u
u
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
A
A
A
u
=
⋅
=
(t)
R
1
(t)
F
A
A
−
=
,
(t)
R
(t)
R
(t)
R
e2
e1
A
⋅
=
,
t
λ
e1
1
e
(t)
R
−
=
,
t
λ
e2
2
e
(t)
R
−
=
λ
1
= 2
λ
2
→
t
λ
2
e1
2
e
(t)
R
−
=
→
t
λ
3
t
λ
t
λ
2
A
2
2
2
e
e
e
(t)
R
−
−
−
=
⋅
=
t
λ
3
A
2
e
1
(t)
F
−
−
=
,
(
)
t
λ
6
t
λ
3
2
t
λ
3
u
2
2
2
e
e
2
1
e
1
(t)
F
−
−
−
+
−
=
−
=
(
)
t
λ
6
t
λ
3
t
λ
6
t
λ
3
u
2
2
2
2
e
e
2
e
e
2
1
1
(t)
R
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
(
)
[ ]
[ ]
2
2
2
2
2
2
0
t
λ
6
2
0
t
λ
3
2
0
t
λ
6
0
t
λ
3
0
t
λ
6
t
λ
3
u
λ
2
1
λ
6
3
λ
6
1
λ
3
2
1)
(0
λ
6
1
1)
(0
λ
3
2
e
λ
6
1
e
λ
3
2
dt
e
dt
e
2
dt
e
e
2
ET
2
2
2
2
2
2
=
=
−
=
−
+
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
−
∫
∫
∫
500
λ
2
1
2
=
→
=
h
1
1000
1
λ
2
,
[h]
1000
λ
1
ET
2
2
=
=
,
=
=
h
1
500
1
λ
2
λ
2
1
,
[h]
0
0
5
λ
1
ET
1
1
=
=
Odp. ET
1
= 500 [h], ET
2
= 1000 [h].
Zadanie 22
Czas zdatności pewnego obiektu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0, a
kres górny nie jest znany. Wiadomo, że oczekiwany czas zdatności obiektu jest równy 5 lat.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt:
a) uszkodzi się w czwartym roku użytkowania,
b) bezawaryjnie przepracował trzy lata, uszkodzi się w czwartym roku pracy.
2
k
ET
e
=
→
5
2
k
=
→ k = 10 lat
−
kres górny czasu zdatności obiektu
T
−
zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
a)
?
4)
T
P(3
=
≤
<
,
(3)
F
(4)
F
4)
T
P(3
e
e
−
=
≤
<
,
k
t
(t)
F
e
=
10
4
(4)
F
e
=
,
10
3
(3)
F
e
=
→
10
1
10
3
10
4
4)
T
P(3
=
−
=
≤
<
b)
(
)
(
)
?
3
T
4
T
3
P
=
>
≤
<
,
(
)
(
)
[
]
3)
P(T
4)
T
P(3
3)
P(T
3)
(T
4)
T
(3
P
3
T
4
T
3
P
>
≤
<
=
>
>
∩
≤
<
=
>
≤
<
10
7
10
3
1
(3)
F
1
3)
P(T
1
3)
P(T
e
=
−
=
−
=
≤
−
=
>
,
10
1
4)
T
P(3
=
≤
<
(policzone w punkcie a)
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy
Dane:
λ
1
= 2
λ
2
, ET
u
= 500 [h]
Szukane: ET
1
= ?, ET
2
= ?
(
)
(
)
7
1
10
7
10
1
3
T
4
T
3
P
=
=
>
≤
<
.
Odp.
10
1
4)
T
P(3
=
≤
<
,
(
)
(
)
7
1
3
T
4
T
3
P
=
>
≤
<
Zadanie 23
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i
elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Intensywności elementów są stałe i
równe 0,01 [1/h]. Intensywności odnowy również są stałe i równe 0,1 [1/h]. Obliczyć
stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne. Pomijamy
tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie oraz zakładamy, że nie ma żadnych ograniczeń, co
do liczby elementów, które mogą być odnawiane w tym samym czasie.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 – wszystkie elementy zdatne
1 – jeden element niezdatny
2 – dwa elementy niezdatne
0
1
2λ
µ
2
λ
2µ
P
o
, P
1
, P
2
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w
stanie 0, 1, 2, szukamy P
2
=
+
+
=
+
−
=
+
+
−
−
=
+
−
1
P
P
P
0
λ
P
µ
2
P
0
2µ
P
λ
2
P
λ
P
µ
P
0
µ
P
λ
2
P
2
1
o
1
2
2
o
1
1
1
o
Z drugiego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)
Z pierwszego równania:
2λ
µ
P
P
1
o
=
Z trzeciego równania:
λ
2µ
P
P
2
1
=
, czyli:
2
2
2
o
λ
µ
P
P
=
i podstawiamy do ostatniego równania
1
P
λ
2µ
P
λ
µ
P
2
2
2
2
2
=
+
+
→
1
λ
λ
2µ
µ
P
2
2
2
2
=
+
+
→
2
2
2
2
2
2
λ)
(µ
λ
λ
2µ
µ
λ
P
+
=
+
+
=
Podstawiając dane liczbowe:
=
h
1
100
1
λ
,
=
h
1
10
1
µ
otrzymujemy:
121
1
P
2
=
Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest
równe
121
1
.
Zadanie 24
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i
elementu rezerwowego. Element rezerwowy jest rezerwą obciążoną. Intensywność uszkodzeń
elementu jest równa 0,001 [1/h]. Po wystąpieniu uszkodzenia dowolnego elementu urządzenie
jest nadal zdatne, ale intensywność uszkodzeń działającego elementu wzrasta o 1,5. Do
odnowy uszkodzonych elementów przystępuje się, gdy urządzenie jako całość przechodzi w
stan niezdatności. Intensywność odnowy całego urządzenia jest równa 0,1 [1/h]. W trakcie
odnowy usuwa się wszystkie uszkodzenia. Uszkodzenia o wspólnej przyczynie pomijamy.
Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 – wszystkie elementy zdatne
1 – jeden element niezdatny
2 – dwa elementy niezdatne
0
1
2λ
µ
2
2,5λ
(λ + 1,5λ)
P
o
, P
1
, P
2
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w
stanie 0, 1, 2, szukamy P
2
.
=
+
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
1
P
P
P
0
2,5λ
P
µ
P
0
2λ
P
2,5λ
P
0
µ
P
2λ
P
2
1
o
1
2
o
1
2
o
z jednego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)
z pierwszego równania:
2λ
µ
P
P
2
o
=
, z trzeciego równania:
λ
2,5
µ
P
P
2
1
=
i podstawiamy do ostatniego równania otrzymując:
1
P
λ
2,5
µ
P
2λ
µ
P
2
2
2
=
+
+
po przekształceniach otrzymujemy:
5λ
µ
4,5
5λ
P
2
+
=
podstawiając dane liczbowe:
=
h
1
1000
1
λ
,
=
h
1
10
1
µ
otrzymujemy:
91
1
P
2
=
.
Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest
równe
91
1
.
Zadania z ćwiczeń
Zadanie 25
Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny , którego kres dolny jest równy zero,
kres górny jest równy 10 lat. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt:
a) uszkodzi się w trzecim lub czwartym roku użytkowania,
b) uszkodzi się w dziesiątym roku użytkowania, jeśli wiadomo, że bezawaryjnie
przepracował dziewięć lat.
k = 10 lat
−
kres górny czasu zdatności obiektu
T
−
zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
a)
?
)
4
T
P(2
=
≤
<
,
(2)
F
(4)
F
)
4
T
P(2
e
e
−
=
≤
<
,
k
t
(t)
F
e
=
5
2
10
4
(4)
F
e
=
=
,
5
1
10
2
(2)
F
e
=
=
→
5
1
5
1
5
2
)
4
T
P(2
=
−
=
≤
<
b)
(
)
(
)
?
9
T
0
1
T
9
P
=
>
≤
<
,
(
)
(
)
[
]
9)
P(T
)
0
1
T
P(9
9)
P(T
9)
(T
)
0
1
T
9
(
P
9
T
0
1
T
9
P
>
≤
<
=
>
>
∩
≤
<
=
>
≤
<
(9)
F
(10)
F
)
0
1
T
P(9
e
e
−
=
≤
<
,
1
10
10
(10)
F
e
=
=
,
10
9
(9)
F
e
=
→
10
1
10
9
1
)
0
1
T
P(9
=
−
=
≤
<
10
1
10
9
1
(9)
F
1
9)
P(T
1
9)
P(T
e
=
−
=
−
=
≤
−
=
>
(
)
(
)
1
10
1
10
1
9
T
0
1
T
9
P
=
=
>
≤
<
.
Zadanie 26
Czas zdatności obiektu ma rozkład wykładniczy z parametrem
λ
. Wiadomo, że obiekt
przepracował bezawaryjnie s jednostek czasu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że nie
przepracuje następnych x jednostek czasu.
T
−
zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
(
)
(
)
?
s
T
x
s
T
s
P
=
>
+
≤
<
(
)
(
)
[
]
s)
P(T
x)
s
T
P(s
s)
P(T
s)
(T
x)
s
T
(s
P
s
T
x
s
T
s
P
>
+
≤
<
=
>
>
∩
+
≤
<
=
>
+
≤
<
(s)
F
x)
(s
F
x)
s
T
P(s
e
e
−
+
=
+
≤
<
,
λt
e
e
1
(t)
F
−
−
=
,
x)
λ(s
e
e
1
x)
(s
F
+
−
−
=
+
,
λs
e
e
1
(s)
F
−
−
=
(
)
x)
λ(s
λs
λs
x)
λ(s
e
e
e
1
e
1
x)
s
T
P(s
+
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
=
+
≤
<
s)
P(T
1
s)
P(T
≤
−
=
>
,
λs
e
e
1
(s)
F
s)
P(T
−
−
=
=
≤
,
(
)
λs
λs
e
e
1
1
s)
P(T
−
−
=
−
−
=
>
(
)
(
)
(
)
λx
λs
λx
λs
λs
λx
λs
λs
λs
x)
λ(s
λs
e
1
e
e
1
e
e
e
e
e
e
e
e
s
T
x
s
T
s
P
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
−
=
−
=
−
=
−
=
>
+
≤
<
.
Zadanie 27
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech
jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkłady wykładnicze o znanym
parametrze
λ
. Obliczyć oczekiwany czas zdatności rozpatrywanego urządzenia.
A
B
∫
∞
=
0
u
u
dt
(t)
R
ET
, R
u
(t) = ?
(t)
R
(t)
R
(t)
R
B
A
u
⋅
=
, R
A
(t) = ?, R
B
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
A
A
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
e
e
e
A
=
⋅
=
,
λt
e
e
1
(t)
F
−
−
=
(
)
λt
2
λt
2
λt
A
e
e
2
1
e
1
(t)
F
−
−
−
+
−
=
−
=
→
(
)
λt
2
λt
λt
2
λt
A
e
e
2
e
e
2
1
1
(t)
R
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
(t)
R
(t)
R
(t)
R
(t)
R
2
e
e
e
B
=
⋅
=
,
λt
e
e
(t)
R
−
=
→
λt
2
B
e
(t)
R
−
=
(
)
λt
4
λt
3
λt
2
λt
2
λt
u
e
e
2
e
e
e
2
(t)
R
−
−
−
−
−
−
=
⋅
−
=
(
)
[ ]
[ ]
2λ
1
5
λ
4
1
λ
3
2
1)
(0
λ
4
1
1)
(0
λ
3
2
e
λ
4
1
e
λ
3
2
dt
e
dt
e
2
dt
e
e
2
ET
0
λt
4
0
λt
3
0
λt
4
0
λt
3
0
λt
4
λt
3
u
=
−
=
−
+
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
−
∫
∫
∫
Odp.
2λ
1
5
ET
u
=
.
Zadanie 28
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów,
których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach wynoszących
odpowiednio
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
. Obliczyć intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.
1
1
2
A
B
3
3
C
(t)
λ
(t)
λ
(t)
λ
(t)
λ
C
B
A
u
+
+
=
(t)
R
(t)
R
(t)
λ
A
'
A
A
−
=
,
2
B
λ
(t)
λ
=
,
(t)
R
(t)
R
(t)
λ
C
'
C
C
−
=
, R
A
(t) = ?, R
C
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
A
A
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
e1
e1
e1
A
=
⋅
=
,
t
λ
e1
1
e
1
(t)
F
−
−
=
(
)
t
λ
2
t
λ
2
t
λ
A
1
1
1
e
e
2
1
e
1
(t)
F
−
−
−
+
−
=
−
=
→
(
)
t
λ
2
t
λ
t
λ
2
t
λ
A
1
1
1
1
e
e
2
e
e
2
1
1
(t)
R
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
t
λ
2
1
t
λ
1
t
λ
2
1
t
λ
1
'
A
1
1
1
1
e
λ
2
e
λ
2
e
)
λ
2
(
e
)
λ
(
2
(t)
R
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
=
t
λ
t
λ
1
t
λ
t
λ
t
λ
t
λ
1
t
λ
2
t
λ
t
λ
2
1
t
λ
1
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
e
2
)
e
(1
λ
2
)
e
2
(
e
)
e
(1
e
λ
2
e
e
2
e
λ
2
e
λ
2
(t)
λ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
(t)
F
1
(t)
R
C
C
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
e3
e3
e3
C
=
⋅
=
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy
Dane:
λ
Szukane: ET
u
= ?
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy
Dane:
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
Szukane:
λ
u
(t) = ?
(
)
t
λ
2
t
λ
2
t
λ
C
3
3
3
e
e
2
1
e
1
(t)
F
−
−
−
+
−
=
−
=
→
(
)
t
λ
2
t
λ
t
λ
2
t
λ
C
3
3
3
3
e
e
2
e
e
2
1
1
(t)
R
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
t
λ
2
3
t
λ
3
t
λ
2
3
t
λ
3
'
C
3
3
3
3
e
λ
2
e
λ
2
e
)
λ
2
(
e
)
λ
(
2
(t)
R
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
=
t
λ
t
λ
3
t
λ
t
λ
t
λ
t
λ
3
t
λ
2
t
λ
t
λ
2
1
t
λ
3
C
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
e
2
)
e
(1
λ
2
)
e
2
(
e
)
e
(1
e
λ
2
e
e
2
e
λ
2
e
λ
2
(t)
λ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
t
λ
t
λ
3
2
t
λ
t
λ
1
u
3
3
1
1
e
2
)
e
(1
λ
2
λ
e
2
)
e
(1
λ
2
(t)
λ
−
−
−
−
−
−
+
+
−
−
=
Odp.
t
λ
t
λ
3
2
t
λ
t
λ
1
u
3
3
1
1
e
2
)
e
(1
λ
2
λ
e
2
)
e
(1
λ
2
(t)
λ
−
−
−
−
−
−
+
+
−
−
=
.
Zadanie 29
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4
jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie
dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 800 [h]. Obliczyć
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu rozpatrywanego urządzenia.
A
A
k
1
(t)
f
e
=
, k = ?
∫
=
k
0
u
u
dt
(t)
R
ET
, R
u
(t) = ?
(t)
R
(t)
R
(t)
R
(t)
R
2
A
A
A
u
=
⋅
=
, R
A
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
A
A
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
e
e
e
A
=
⋅
=
,
k
t
(t)
F
e
=
→
2
2
A
k
t
(t)
F
=
2
2
A
k
t
1
(t)
R
−
=
→
4
4
2
2
2
2
2
u
k
t
k
t
2
1
k
t
1
(t)
R
+
−
=
−
=
[ ]
k
15
8
5
k
3
2k
k
5
k
k
1
3
k
k
2
k
5
t
k
1
3
t
k
2
t
dt
t
k
1
dt
t
k
2
dt
dt
k
t
k
t
2
1
ET
5
4
3
2
k
0
5
4
k
0
3
2
k
0
k
0
4
4
k
0
2
2
k
0
k
0
4
4
2
2
u
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∫
∫
∫
∫
800
k
15
8
=
→ k = 1500 [h] →
=
h
1
1500
1
(t)
f
e
Odp.
h
1500
t
dla
0
1500h
0,
t
dla
h
1
1500
1
(t)
f
e
>
>
<
∈
=
.
Rozkład czasu zdatności elementu
−
jednostajny
Dane: ET
u
= 800 [h]
Szukane: f
e
(t) = ?
Zadanie 30
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów,
których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach odpowiednio
równych
λ
1
i
λ
2
. Obliczyć oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń
rozpatrywanego urządzenia.
1
1
2
2
A
A
1
2
A
∫
∞
=
0
u
u
dt
(t)
R
ET
,
(t)
R
(t)
R
(t)
λ
u
'
u
u
−
=
, R
u
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
u
u
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
3
A
A
A
A
u
=
⋅
⋅
=
,
(t)
R
1
(t)
F
A
A
−
=
,
(t)
R
(t)
R
(t)
R
e2
e1
A
⋅
=
t
λ
e1
1
e
(t)
R
−
=
,
t
λ
e2
2
e
(t)
R
−
=
,
)t
λ
λ
(
t
λ
t
λ
A
2
1
2
1
e
e
e
(t)
R
+
−
−
−
=
⋅
=
,
)t
λ
λ
(
A
2
1
e
1
(t)
F
+
−
−
=
(
)
)t
λ
λ
(
3
)t
λ
λ
(
2
)t
λ
λ
(
3
)t
λ
λ
(
u
2
1
2
1
2
1
2
1
e
e
3
e
3
1
e
1
(t)
F
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
=
−
=
(
)
)t
λ
λ
(
3
)t
λ
λ
(
2
)t
λ
λ
(
)t
λ
λ
(
3
)t
λ
λ
(
2
)t
λ
λ
(
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
e
e
3
e
3
e
e
3
e
3
1
1
(t)
R
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−
+
−
−
=
(
)
[
]
[
]
[
]
[h]
)
λ
6(λ
11
)
λ
3(λ
1
)
λ
2(λ
3
)
λ
(λ
3
1)
(0
)
λ
3(λ
1
1)
(0
)
λ
2(λ
3
1)
(0
)
λ
(λ
3
e
)
λ
3(λ
1
e
)
λ
2(λ
3
e
)
λ
(λ
3
dt
e
dt
e
3
dt
e
3
dt
e
3e
3e
ET
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
)t
λ
3(λ
2
1
0
)t
λ
2(λ
2
1
0
)t
λ
(λ
2
1
0
)t
λ
3(λ
0
)t
λ
2(λ
0
)t
λ
(λ
0
)t
λ
3(λ
)t
λ
2(λ
)t
λ
(λ
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
+
=
+
+
+
−
+
=
−
+
−
−
+
+
−
+
−
=
+
−
+
+
−
−
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∞
+
−
∞
+
−
∞
+
−
∞
+
−
∞
+
−
∞
+
−
∞
+
−
+
−
+
−
∫
∫
∫
∫
)t
λ
λ
(
3
2
1
)t
λ
λ
(
2
2
1
)t
λ
λ
(
2
1
)t
λ
λ
(
3
2
1
)t
λ
λ
(
2
2
1
)t
λ
λ
(
2
1
'
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)e
λ
λ
(
3
)e
λ
λ
(
6
)e
λ
λ
(
3
)]e
λ
λ
(
3
[
)]e
λ
λ
(
2
[
3
)]e
λ
λ
(
[
3
(t)
R
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
=
+
−
+
+
−
−
+
−
=
(
)
+
−
−
+
=
+
−
+
+
+
−
+
=
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
h
1
e
e
3
3
e
1
)
λ
λ
(
3
e
e
3
e
3
)e
λ
λ
(
3
)e
λ
λ
(
6
)e
λ
λ
(
3
(t)
λ
2
)t
λ
λ
(
2
)t
λ
λ
(
)t
λ
λ
(
2
1
)t
λ
λ
(
3
)t
λ
λ
(
2
)t
λ
λ
(
)t
λ
λ
(
3
2
1
)t
λ
λ
(
2
2
1
)t
λ
λ
(
2
1
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Odp.
[h]
)
λ
λ
(
6
11
ET
2
1
u
+
=
,
(
)
+
−
−
+
=
+
−
+
−
+
−
h
1
e
e
3
3
e
1
)
λ
λ
(
3
(t)
λ
2
)t
λ
λ
(
2
)t
λ
λ
(
)t
λ
λ
(
2
1
u
2
1
2
1
2
1
.
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy
Dane:
λ
1
,
λ
2
Szukane: ET
u
= ?,
λ
u
(t) = ?
Zadanie 31
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4
jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie
dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest znany i równy 300 [h]. Obliczyć
oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia dla
czasu równego oczekiwanego czasowi zdatności elementu.
A
B
B
C
∫
=
k
0
u
u
dt
(t)
R
ET
, R
u
(t) = ?
(t)
R
(t)
R
(t)
R
B
C
u
⋅
=
,
(t)
F
1
(t)
R
C
C
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
B
A
C
⋅
=
(t)
R
1
(t)
F
A
A
−
=
,
(t)
R
(t)
R
(t)
R
(t)
R
2
e
e
e
A
=
⋅
=
,
k
t
1
(t)
R
e
−
=
,
2
2
2
A
k
t
k
t
2
1
k
t
1
(t)
R
+
−
=
−
=
2
2
2
2
A
k
t
k
t
2
k
t
k
t
2
1
1
(t)
F
−
=
+
−
−
=
,
k
t
(t)
F
(t)
F
e
B
=
=
,
3
3
2
2
2
2
C
k
t
k
t
2
k
t
k
t
k
t
2
(t)
F
−
=
−
=
3
3
2
2
3
3
2
2
C
k
t
k
t
2
1
k
t
k
t
2
1
(t)
R
+
−
=
−
−
=
,
k
t
1
(t)
R
(t)
R
e
B
−
=
=
4
4
3
3
2
2
3
3
2
2
u
k
t
k
t
3
k
t
2
k
t
1
k
t
1
k
t
k
t
2
1
(t)
R
−
+
−
−
=
−
⋅
+
−
=
[ ]
k
60
23
5
k
4
3k
3
2k
2
k
k
5
k
k
1
4
k
k
3
3
k
k
2
2
k
k
1
k
5
t
k
1
4
t
k
3
3
t
k
2
2
t
k
1
t
dt
t
k
1
dt
t
k
3
dt
t
k
2
tdt
k
1
dt
dt
k
t
k
t
3
k
t
2
k
t
1
ET
5
4
4
3
3
2
2
k
0
5
4
k
0
4
3
k
0
3
2
k
0
2
k
0
k
0
4
4
k
0
3
3
k
0
2
2
k
0
k
0
k
0
4
4
3
3
2
2
u
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
k
ET
e
=
→
00
3
2
k
=
→
[h]
00
6
k
=
→
[h]
230
ET
u
=
(t)
R
(t)
R
(t)
λ
u
'
u
u
−
=
,
4
3
3
2
2
'
u
k
t
4
k
t
9
k
t
4
k
1
(t)
R
−
+
−
−
=
→
4
4
3
3
2
2
4
3
3
2
2
u
k
t
k
t
3
k
t
2
k
t
1
k
t
4
k
t
9
k
t
4
k
1
(t)
λ
−
+
−
−
+
−
+
=
=
=
−
+
−
−
+
−
+
=
=
=
=
h
1
150
1
k
4
16k
k
8k
k
3
4k
k
2
2k
k
1
8k
k
4
4k
k
9
2k
k
4
k
1
2
k
t
λ
)
ET
(t
λ
4
4
3
3
2
2
4
3
3
2
2
u
e
u
Odp.
[h]
230
ET
u
=
,
=
=
h
1
150
1
)
ET
(t
λ
e
u
.
Rozkład czasu zdatności elementu
−
jednostajny
Dane: ET
e
= 300 h
Szukane: ET
u
= ?,
λ
u
(t = ET
e
) = ?
Zadanie 32
Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej ma zostać zbudowane z
jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym
równym zero. Oczekiwany czas zdatności urządzenia ma być dwa razy większy od
oczekiwanego czasu zdatności elementu. Z ilu elementów należy zbudować rozpatrywane
urządzenie?
1
2
n
2
k
ET
e
=
→
k
2
k
2
ET
u
=
=
,
∫
=
k
0
u
u
dt
(t)
R
ET
, R
u
(t) = ?,
(t)
F
1
(t)
R
u
u
−
=
(t)
F
(t)
F
...
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
n
e
n
3
2
1
u
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
,
k
t
(t)
F
e
=
→
n
n
n
u
k
t
k
t
(t)
F
=
=
→
n
n
u
k
t
1
(t)
R
−
=
[ ]
1
n
nk
1
n
k
k
1
n
k
k
1
k
1
n
t
k
1
t
dt
t
k
1
dt
dt
k
t
1
ET
1
n
n
k
0
1
n
n
k
0
k
0
n
n
k
0
k
0
n
n
u
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
+
+
∫
∫
∫
k
1
n
nk
=
+
→
1
1
n
n
=
+
→ 1
≠
0
Opisana w zadaniu sytuacja jest w praktyce niemożliwa do zrealizowania.
Teoretycznie można ją zrealizować przy użyciu nieskończonej liczby elementów (n →
∞
).
Zadanie 33
Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny, którego kres dolny jest równy 0.
Obiekt bezawaryjnie przepracował 1200 [h]. Oczekiwany pozostały czas zdatności tego
obiektu jest równy 400 [h]. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń
rozpatrywanego obiektu.
k
1
(t)
f
e
=
, k = ?
∫
=
k
t
e
e
e
dx
(x)
R
(t)
R
1
(t)
r
,
k
t
k
k
t
1
(t)
R
e
−
=
−
=
,
k
x
k
(x)
R
e
−
=
[ ]
(
)
(
)
2
t
k
2
t
k
t
k
1
2
t
2
k
t
k
k
t
k
1
2
x
x
k
t
k
1
xdx
dx
k
t
k
1
dx
k
x
k
t
k
k
(t)
r
2
2
2
k
t
2
k
t
k
t
k
t
k
t
e
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
(
)
[h]
400
[h]
1200
t
r
e
=
=
→
400
2
1200
k
=
−
→ k = 2000 [h] →
=
h
1
2000
1
(t)
f
e
Odp.
h
2000
t
dla
0
2000h
0,
t
dla
h
1
2000
1
(t)
f
e
>
>
<
∈
=
.
Rozkład czasu zdatności elementu
−
jednostajny
Dane: ET
u
= 2ET
e
Szukane: n
−
ilość elementów
Zadanie 34
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z dwóch
jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym
parametrze
λ
. Wyznaczyć oczekiwany pozostały czas zdatności [r
u
(t)] tego urządzenia oraz
obliczyć granicę, do jakiej dąży jego wartość, gdy czas dąży do nieskończoności.
∫
∞
=
t
u
u
u
dx
(x)
R
(t)
R
1
(t)
r
, R
u
(t) = ?
(t)
F
1
(t)
R
u
u
−
=
,
(t)
F
(t)
F
(t)
F
(t)
F
2
e
e
e
u
=
⋅
=
,
λt
e
e
1
(t)
F
−
−
=
→
(
)
λt
2
λt
2
λt
u
e
e
2
1
e
1
(t)
F
−
−
−
+
−
=
−
=
(
)
λt
2
λt
λt
2
λt
u
e
e
2
e
e
2
1
1
(t)
R
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
,
λx
2
λx
u
e
e
2
(x)
R
−
−
−
=
(
)
[ ]
[ ]
)
e
2
(
2λ
e
4
)
e
2
(
λe
2
)
e
4
(
e
e
e
2
e
λ
2
1
e
λ
2
)
e
0
(
λ
2
1
)
e
0
(
λ
2
e
e
2
1
e
λ
2
1
e
λ
2
e
e
2
1
dx
e
dx
e
2
e
e
2
1
dx
e
e
2
e
e
2
1
(t)
r
λt
λt
λt
λt
λt
λt
λt
2
λt
λt
2
λt
λt
2
λt
λt
2
λt
t
λx
2
t
λx
λt
2
λt
t
λx
2
t
λx
λt
2
λt
t
λx
2
λx
λt
2
λt
u
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∞
−
∞
−
−
−
∞
−
∞
−
−
−
∞
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
+
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
λ
1
)
0
2
(
2λ
0
4
lim
)
e
2
(
2λ
e
4
lim
(t)
r
lim
t
λt
λt
t
u
t
=
−
−
=
−
−
=
∞
→
−
−
∞
→
∞
→
Odp.
)
e
2
(
2λ
e
4
(t)
r
λt
λt
u
−
−
−
−
=
,
λ
1
(t)
r
lim
u
t
=
∞
→
.
Zadanie 35
Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas
zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0 i kresie górnym
równym k. Obliczyć pozostały oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.
∫
=
k
t
u
u
u
dx
(x)
R
(t)
R
1
(t)
r
, R
u
(t) = ?
(t)
R
(t)
R
(t)
R
(t)
R
2
e
e
e
u
=
⋅
=
,
k
t
k
k
t
1
(t)
R
e
−
=
−
=
→
2
2
2
u
k
t)
(k
k
t
k
(t)
R
−
=
−
=
,
2
2
u
k
x)
(k
(x)
R
−
=
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
[h]
3
t
k
t)
(k
t)
3(k
1
k
t
0
t)
3(k
1
k
x
3
1
t)
(k
1
k
x
3
1
dx
k)
(x
dx
k)
(x
t)
(k
1
dx
k
x)
(k
t)
(k
k
(t)
r
3
2
3
2
k
t
3
2
3
2
k
t
2
2
k
t
2
2
2
2
u
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
Odp.
[h]
3
t
k
(t)
r
u
−
=
dla t
∈
(0, k >.
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy
Dane:
λ
Szukane:
?
(t)
r
u
=
,
=
∞
→
(t)
r
lim
u
t
Rozkład czasu zdatności elementu
−
jednostajny
Szukane:
?
(t)
r
u
=
Zadanie 36
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech
jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym
parametrze
λ
. Elementy rezerwowe stanowią rezerwę nieobciążoną. Wyznaczyć funkcję
niezawodności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.
A
A
Funkcja zawodności struktury A (rezerwa nieobciążona) urządzenia może być
potraktowana jako dystrybuanta sumy niezależnych zmiennych losowych i wyrażona wzorem
(indeks „1” jest przypisany dla elementu podstawowego, zaś „2” dla elementu rezerwowego):
∫
−
=
t
0
1
2
A
)
(τ
dF
τ)
(t
F
(t)
F
,
dτ
dF
)
(τ
f
1
1
=
→
)dτ
(τ
f
dF
1
1
=
→
∫
⋅
−
=
t
0
1
2
A
dτ
)
(τ
f
τ)
(t
F
(t)
F
Wzór ten korzystając z oznaczeń na poniższym rysunku można interpretować jak niżej:
t
− ττττ
ττττ
0
d
τ
t
}
Iloczyn f
1
(τ)dτ przedstawia prawdopodobieństwo tego, że element podstawowy
uszkodził się w bezpośrednim sąsiedztwie „chwili” τ (w bardzo małym przedziale czasu,
którego środkiem jest τ). F
2
(t
−
τ) jest to prawdopodobieństwo tego, że element rezerwowy
przepracował mniej niż (t
−
τ) jednostek czasu. Należy rozpatrzyć wszystkie możliwości tego,
że element pierwszy uszkodził się w chwili τ, a element drugi nie przetrwał w stanie zdatności
czasu (t
−
τ), co przedstawia powyższa całka oznaczona obliczana w granicach od 0 do t.
Elementy są jednakowe, zatem funkcja zawodności i gęstość prawdopodobieństwa
uszkodzeń każdego z nich są odpowiednio równe:
λt
e
1
F(t)
−
−
=
λt
'
'
'
λe
(t)
F
F(t)]
1
[
(t)
R
f(t)
−
=
=
−
=
−
=
Funkcja zawodności struktury A urządzenia zatem jest równa:
(
)
[ ]
[ ]
(
)
λt
λt
λt
t
0
λt
t
0
λτ
t
0
λt
t
0
λτ
t
0
λτ
τ)
λ(t
A
e
)
t
λ
1
(
1
t
λe
1
e
τ
λe
e
λ
1
λ
dτ
λe
dτ
e
λ
dτ
λe
e
1
(t)
F
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
Funkcja niezawodności struktury A może być obliczona ze wzoru:
λt
A
A
e
)
t
λ
1
(
(t)
F
1
(t)
R
−
+
=
−
=
(t)
R
(t)
R
(t)
R
(t)
R
2
A
A
A
u
=
⋅
=
→
λt
2
2
u
e
)
t
λ
1
(
(t)
R
−
+
=
Intensywność uszkodzeń urządzenia obliczamy ze wzoru:
λ
u
(t) =
λ
A
(t) +
λ
A
(t) = 2
λ
A
(t),
(t)
R
(t)
R
(t)
λ
A
'
A
A
−
=
λt
2
λt
λt
λt
'
A
e
t
λ
e
)
t
λ
1
(
e
λ
e
λ
(t)
R
−
−
−
−
−
=
+
−
=
→
t
λ
1
t
λ
e
)
t
λ
1
(
e
t
λ
(t)
λ
2
λt
λt
2
A
+
=
+
=
−
−
→
+
=
h
1
t
λ
1
t
2λ
(t)
λ
2
u
Odp.
λt
2
2
u
e
)
t
λ
1
(
(t)
R
−
+
=
,
+
=
h
1
t
λ
1
t
2λ
(t)
λ
2
u
.
Rozkład czasu zdatności elementu
−
wykładniczy
Dane:
λ
Szukane: R
u
(t) = ?,
λ
u
(t) = ?
Zadanie 37
Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z pięciu
jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa
λ
, a intensywność
odnowy jest równa µ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia,
zakładając, że element może ulec zniszczeniu wtedy, gdy urządzenie działa oraz, że nie
rozpatrujemy tzw. uszkodzenia o wspólnej przyczynie.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 – urządzenie zdatne,
1 – urządzenie niezdatne
0
1
5λ
µ
P
o
, P
1
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1
=
+
=
+
−
1
P
P
0
µ
P
λ
5
P
1
o
1
o
Współczynnik gotowości
−
k
g
= P
o
µ
5λ
P
P
o
1
=
,
1
µ
5λ
P
P
o
o
=
+
→
5λ
µ
µ
P
o
+
=
Odp.
5λ
µ
µ
k
g
+
=
.
Zadanie 38
Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z trzech
jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa
λ
, a intensywność
odnowy jest równa µ. W przypadku wystąpienia uszkodzenia o wspólnej przyczynie
uszkodzenie urządzenia następuje z intensywnością
λ
w
. Odnowienie tak uszkodzonego
urządzenia następuje z intensywnością odnowy µ
w
. Obliczyć stacjonarny współczynnik
gotowości tego urządzenia.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 – wszystkie elementy zdatne,
1 – jeden element niezdatny,
3 – trzy elementy niezdatne
0
1
3λ
µ
3
λ
w
µ
w
P
o
, P
1
, P
3
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 3
=
+
+
=
→
=
+
−
=
→
=
+
−
1
P
P
P
µ
λ
P
P
0
λ
P
µ
P
µ
λ
3
P
P
0
µ
P
λ
3
P
3
1
o
w
w
o
3
w
o
w
3
o
1
1
o
Współczynnik gotowości
−
k
g
= P
o
1
µ
λ
P
µ
3λ
P
P
w
w
o
o
o
=
+
+
→
µ
λ
µ
3λ
µµ
µµ
P
w
w
w
w
o
+
+
=
Odp.
µ
λ
µ
3λ
µµ
µµ
k
w
w
w
w
g
+
+
=
Zadanie 39
Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z dwóch
jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa
λ
. Intensywność
odnowy elementu może przyjmować jedną z dwóch wartości. Jest ona równa µ
1
, gdy
odnawiany jest jeden element. Jeśli w tym samym czasie „równolegle” są poddawane
odnowie obydwa elementy intensywność odnowy elementu spada, przyjmując wartość µ
2
. W
rozpatrywanym przypadku nie ma żadnych ograniczeń, co do liczby elementów, które mogą
być odnawiane w tym samym czasie. Wyznaczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego
urządzenia, pomijając tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 – wszystkie elementy zdatne,
1 – jeden element niezdatny,
2 – dwa elementy niezdatne
Ponieważ nie uwzględniamy uszkodzeń o wspólnej przyczynie, przejścia oznaczonego
linią przerywaną nie bierzemy dalej pod uwagę.
0
1
2λ
µ
1
2
λ
2µ
2
P
o
, P
1
, P
2
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
=
+
+
=
+
−
=
+
+
+
−
=
+
−
(3)
1
P
P
P
(2)
0
λ
P
µ
2
P
0
2µ
P
λ
2
P
λ)
µ
(
P
(1)
0
µ
P
λ
2
P
2
1
o
1
2
2
2
2
o
1
1
1
1
o
z tego równania możemy zrezygnować
Ostatnie równanie tworzymy korzystając z warunku normującego.
Urządzenie ma strukturę równoległą, gdy co najmniej jeden element jest zdatny to
urządzenie jest zdatne. Prawdopodobieństwo stacjonarne takiej sytuacji jest tzw.
stacjonarnym współczynnikiem gotowości
−
k
g
, co można zapisać jak niżej:
2
1
o
g
P
1
P
P
k
−
=
+
=
, czyli należy wyznaczyć P
2
.
z równania (1) wyznaczamy P
o
:
2λ
µ
P
P
1
1
o
=
z równania (2) wyznaczamy P
1
:
λ
2µ
P
P
2
2
1
=
, i podstawiając do równania (1):
2
2
1
2
o
λ
µ
µ
P
P
=
podstawiamy wyliczone wartości P
o
i P
1
do równania (3):
1
P
λ
2µ
P
λ
µ
µ
P
2
2
2
2
2
1
2
=
+
+
2
2
2
1
2
2
λ
λ
2µ
µ
µ
λ
P
+
+
=
→
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
g
λ
λ
2µ
µ
µ
λ
2µ
µ
µ
λ
λ
2µ
µ
µ
λ
1
P
1
k
+
+
+
=
+
+
−
=
−
=
Odp.
2
2
2
1
2
2
1
g
λ
λ
2µ
µ
µ
λ
2µ
µ
µ
k
+
+
+
=
.
Zadanie 40
Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego.
Element rezerwowy jest rezerwą nieobciążoną. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa
λ
, zaś intensywność odnowy jest równa
µ
. Jeżeli przed zakończeniem odnowy uszkodzeniu
ulegnie również drugi element, to urządzenie ulegnie zniszczeniu
−
nie można go odnowić.
Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie, obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości
tego urządzenia.
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 – wszystkie elementy zdatne
1 – jeden element niezdatny
2 – dwa elementy niezdatne
0
1
λ
µ
2
λ
P
o
, P
1
, P
2
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
=
+
+
=
+
⋅
−
=
+
−
−
=
+
−
1
P
P
P
(2)
0
λ
P
0
P
0
λ
P
λ
P
µ
P
(1)
0
µ
P
λ
P
2
1
o
1
1
2
o
1
1
1
o
z tego równania możemy zrezygnować
2
1
o
g
P
1
P
P
k
−
=
+
=
z równania (2) P
1
= 0, czyli z równania (1) P
o
= 0, stąd P
2
= 1 i k
g
= 0.
Zadanie 41
(zadanie ze skryptu mgra inż. T. Rutkowskiego)
Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego.
Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ
1
, w gdy element pracuje i λ
2
gdy jest w
rezerwie. Uszkodzone elementy są odnawiane kolejno, a intensywność odnowy elementu jest
równa µ. Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie obliczyć stacjonarny współczynnik
gotowości tego urządzenia, gdy element rezerwowy będzie rezerwą:
a) częściowo obciążoną
b) obciążoną
c) nieobciążoną
Rozpatrywane stany urządzenia:
0 – wszystkie elementy zdatne
1 – jeden element niezdatny
2 – dwa elementy niezdatne
a)
0
1
λ
1
+ λ
2
µ
2
λ
1
µ
P
o
, P
1
, P
2
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
=
+
+
=
→
=
+
−
=
+
+
+
−
−
+
=
→
=
+
+
−
1
P
P
P
µ
λ
P
P
0
λ
P
µ
P
0
µ
P
)
λ
λ
(
P
µ
P
λ
P
λ
λ
µ
P
P
0
µ
P
)
λ
λ
(
P
2
1
o
1
1
2
1
1
2
2
2
1
o
1
1
1
2
1
1
o
1
2
1
o
z tego równania możemy zrezygnować
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P
o
i P
2
otrzymujemy:
1
µ
λ
P
P
λ
λ
µ
P
1
1
1
2
1
1
=
+
+
+
→
1
2
1
2
1
2
2
1
1
λ
)
λ
λ
(
µ
)
λ
λ
(
µ
µ
)
λ
λ
(
P
+
+
+
+
+
=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
λ
)
λ
λ
(
µ
)
λ
λ
(
µ
λ
)
λ
λ
(
µ
λ
P
P
+
+
+
+
+
=
=
→
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
gc
λ
)
λ
λ
(
µ
)
λ
λ
(
µ
µ
)
λ
λ
(
µ
P
1
k
+
+
+
+
+
+
=
−
=
b) w tym przypadku
λ
2
=
λ
1
0
1
2λ
1
µ
2
λ
1
µ
P
o
, P
1
, P
2
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
=
+
+
=
→
=
+
−
=
+
+
−
−
=
→
=
+
−
1
P
P
P
µ
λ
P
P
0
λ
P
µ
P
0
µ
P
λ
2
P
λ
P
µ
P
λ
2
µ
P
P
0
µ
P
λ
2
P
2
1
o
1
1
2
1
1
2
2
1
o
1
1
1
1
1
o
1
1
o
z tego równania możemy zrezygnować
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P
o
i P
2
otrzymujemy:
1
µ
λ
P
P
λ
2
µ
P
1
1
1
1
1
=
+
+
→
2
1
1
2
1
1
λ
2
µ
λ
2
µ
µ
λ
2
P
+
+
=
,
2
1
1
2
2
1
1
1
2
λ
2
µ
λ
2
µ
λ
2
µ
λ
P
P
+
+
=
=
2
1
1
2
1
2
2
go
λ
2
µ
λ
2
µ
µ
λ
2
µ
P
1
k
+
+
+
=
−
=
c) w tym przypadku
λ
2
= 0
0
1
λ
1
µ
2
λ
1
µ
P
o
, P
1
, P
2
−
stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
=
+
+
=
→
=
+
−
=
+
+
−
−
=
→
=
+
−
1
P
P
P
µ
λ
P
P
0
λ
P
µ
P
0
µ
P
λ
P
λ
P
µ
P
λ
µ
P
P
0
µ
P
λ
P
2
1
o
1
1
2
1
1
2
2
1
o
1
1
1
1
o
1
1
o
z tego równania możemy zrezygnować
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P
o
i P
2
otrzymujemy:
1
µ
λ
P
P
λ
µ
P
1
1
1
1
1
=
+
+
2
1
1
2
1
1
λ
µ
λ
µ
µ
λ
P
+
+
=
,
2
1
1
2
2
1
1
1
2
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
P
P
+
+
=
=
→
2
1
1
2
1
2
2
gn
λ
µ
λ
µ
µ
λ
µ
P
1
k
+
+
+
=
−
=
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
sciaga zadania 15
sciaga zadania
sciaga pair 1 15
Ściąga Widanka 15
Ściąga zadania
Ściąga zadanie
ściaga zadania mat inż
sciaga fiz , 15
04 15 belki i ramy zadanie 15
Ściągi, Ściąga 7, ZADANIE 1
os sciaga zadania 1
Egzamin - Sciaga (Zadania), BUDOWNICTWO, Geodezja i miernictwo, Egzamin
Makroekonomia - zadania (15 stron), Zadanie 1
sciaga pair 1 15 male
Ściąga zadania, Politechnika Lubelska, Studia, Semestr 6, Egzaminy, sieci
ściąga egzamin B.K.15.11, Budownictwo PCz, Technologia betonów i zapraw, Ściągi
Ściąga zadania (2), Politechnika Lubelska, Studia, Semestr 6, Egzaminy, sieci
Mech. Płynów - sciaga zadania z rozwiązaniami, Inżynieria Środowiska
więcej podobnych podstron