Ćwiczenie odbywa się w sali 303

REZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY

Wstęp

Rezonans napięć

Zjawisko rezonansu napięć występuje w gałęzi szeregowej RLC i polega na tym, że przy określonej
częstotliwości sygnałów w obwodzie , zwanej częstotliwością rezonansową, napięcie

na cewce oraz

na kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma jest równa

zero. Jeśli szeregowy obwód RLC (rys. 1) zasilany jest ze źródła napięciowego sinusoidalnego

(1)

to prąd płynący w obwodzie ma charakter sinusoidalny

(2)

Prąd zespolony wyraża się stosunkiem napięcia zespolonego do impedancji obwodu

(3)

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

W zależności od częstotliwości źródła przeważa w obwodzie reaktancja indukcyjna

lub reaktancja

pojemnościowa

lub obie te reaktancje są sobie równe

(rys. 2). Właśnie ten przypadek

(4)

natomiast

(5)

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Impedancja obwodu rezonansowego wynosi:

(6)

czyli w stanie rezonansu dwójnik szeregowy składający się z elementów RLC ma charakter rezystancyjny

(współczynnik mocy

. Wartość skuteczna prądu płynącego w obwodzie zależy jedynie od

rezystancji i osiąga maksimum

. Napięcie na cewce wynosi:

(7)

a na kondensatorze

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

(8)

Z równości reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej wynika dla obwodu szeregowego RLC równość modułów
napięć na cewce i kondensatorze

Wartości chwilowe napięć na kondensatorze i na cewce są przesunięte w fazie o kąt

. W stanie

rezonansu całkowicie się kompensują, czyli napięcie zasilające

(patrz rys. 1).

Wartości chwilowe energii

nagromadzonej w polu elektrycznym kondensatora oraz

nagromadzonej w

polu magnetycznym cewki dla częstotliwości (pulsacji) rezonansowej wynoszą:

(9)

(10)

Energia nagromadzona w układzie jest wielkością stałą i wynosi:

(11)

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

W stanie rezonansu występuje odwracalny proces zamiany co ćwierć okresu energii pola magnetycznego
cewki w energię pola elektrycznego kondensatora i odwrotnie. Stąd częstotliwość drgań energii w każdym z

elementów jest dwa razy większa od częstotliwości napięcia źródłowego. W ciągu jednego okresu
opornik pobiera ze źródła energię

. W procesie nie bierze udziału ani cewka ani kondensator.

W obwodach rezonansowych wykorzystuje się pojęcie dobroci. Dobroć cewki

w stanie rezonansu

jest równa dobroci kondensatora

. Dobroć całego układu wynosi

. Zależność prądu

zespolonego od częstotliwości przedstawia się następująco:

(12)

a dla częstotliwości rezonansowej

(13)

Stosunek tych dwóch prądów wynosi

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

(14)

gdzie:

- pulsacja względna

Szerokość pasma określa przedział pulsacji (częstotliwości), w którym wartość zespolonego prądu

względnego

nie zmniejsza się poniżej wartości

.

Stąd

(15)

gdzie:

, - pulsacje, dla których

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

(16)

Zależność zespolonego napięcia względnego na cewce od częstotliwości

(17)

i analogicznie

(18)

(19)

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Dla

,

co jest zgodne z definicją dobroci.

Z charakterystyk częstotliwościowych zespolonego prądu względnego

można odczytać, że gdy zwiększa

się dobroć, pasmo przepuszczania maleje, charakterystyka

jest coraz bardziej stroma (rys. 4), czyli

selektywność jest większa.

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Od wartości dobroci w sposób wprost proporcjonalny zależą wartości napięć występujących na cewce i
kondensatorze. Napięcia te przy dużej dobroci obwodu są większe od napięcia zasilania

(20)

Są to tzw. przepięcia.

W obwodach bardziej złożonych niż gałąź szeregowa RLC warunkiem rezonansu napięć jest znikanie
reaktancji gałęzi

Z

gałęzi

= R

gałęzi

+ jX

gałęzi

= R

(21)

Z warunku X

gałęzi

=0 można wyznaczyć częstotliwość rezonansową. Z analizy wykresu wektorowego

wykonanego dla obwodu wynika które napięcia się kompensują (są w rezonansie).

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Występujące w układach elektroenergetycznych nieprzewidziane zjawisko rezonansu napięć stanowi
poważne niebezpieczeństwo przebicia izolacji układów. Szeregowe obwody rezonansowe wykorzystane są
natomiast jako filtry selektywne, wydzielające wśród sygnałów elektrycznych o różnych częstotliwościach
sygnały o częstotliwościach pożądanych.

Rezonans prądów

Zjawisko rezonansu prądów występuje w gałęzi równoległej GCL i polega na tym, że przy określonej
częstotliwości , zwanej częstotliwością rezonansową, prąd

płynący przez kondensator oraz

płynący

przez cewkę mają równe amplitudy, lecz przeciwne fazy, wobec czego ich suma jest równa zero.

Jeśli równoległy obwód GLC zasilany jest ze źródła prądu sinusoidalnego

, to odpowiedzią jest

napięcie sinusoidalne

, któremu odpowiada wartość zespolona

(22)

W zależności od częstotliwości źródła przeważa w obwodzie susceptancja indukcyjna

lub

susceptancja pojemnościowa

albo, jak w rezonansie, obie te susceptancje są sobie równe

(rys.

6). Dla częstotliwości

(24)

admitancja obwodu wynosi

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

(25)

czyli obwód ma charakter rezystancyjny (współczynnik mocy

), a więc prąd jest w fazie z napięciem

. Napięcie to osiąga wartość największą

w porównaniu z wartościami skutecznymi napięć przy częstotliwościach poza rezonansowych.

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Wartości chwilowe energii

nagromadzonej w polu elektrycznym kondensatora oraz

nagromadzonej

w polu magnetycznym cewki dla częstotliwości rezonansowej wynoszą:

Suma tych energii stanowiąca energię nagromadzoną w układzie jest w każdej chwili wartością stałą i wynosi

Następuje tu proces odwracalny zamiany co ćwierć okresu energii zgromadzonej w polu elektrycznym
kondensatora w energię pola magnetycznego cewki i odwrotnie, przy czym w tym procesie wymiany energii
ani źródło, ani rezystancja nie biorą udziału. Źródło natomiast wydaje energię z mocą czynną

, którą

pobiera opornik w ciągu okresu

. Opornik pobiera energię

Dobroć układu równoległego GCL w stanie rezonansu prądów wynosi

Ponieważ równoległy obwód rezonansowy GCL jest dualny z szeregowym obwodem RLC, to charakterystyki
częstotliwościowe są dualne do poprzednich i przyjmują kształt jak na rys. 7. Dobroć układu równoległego
można więc wyznaczyć graficznie w sposób analogiczny jak w przypadku obwodu szeregowego (patrz punkt
1.1). W układach złożonych częstotliwości, przy której występuje rezonans prądów, wylicza się z warunków

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

znikania urojonej części admitancji gałęzi B

gałęzi

=0.

Y

gałęzi

= G

gałęzi

+ jB

gałęzi

= G

gałęzi

Rezonans prądów podobnie jak rezonans napięć może przedstawiać pewne niebezpieczeństwo dla obwodu,
gdyż wartości prądów i mogą być znaczne. Zjawisko rezonansu prądów wykorzystuje się w
elektroenergetyce do pełnej kompensacji mocy biernej odbiornika. W radiotechnice obwody rezonansowe LC
wykorzystuje się jako filtry dla prądów o określonej częstotliwości oraz jako część składową wzmacniaczy
rezonansowych.

Pomiary

1. Badanie rezonansu napięć

Zestawić układ pomiarowy zgodnie z rys. 8

Kontrolując stałość napięcia wyjściowego generatora wyznaczyć zależności wartości skutecznych
napięć na elementach L, C i LC w funkcji częstotliwości. Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

TABELA 1

Lp.

2. Badanie rezonansu prądów

Zestawić układ pomiarowy wg rys. 9.

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Kontrolując stałość prądu zasilania (wymuszenie prądowe) należy wyznaczyć zależności:

,

,

,

. Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 2.

TABELA 2

Lp.

Następnie kontrolując stałość napięcia zasilania (wymuszenie napięciowe) wyznaczyć charakterystyki:

,

,

,

; wyniki pomiarów umieścić w tabeli 3.

TABELA 3

Lp.

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

Zakres sprawozdania

Dla danej cewki i kondensatora obliczyć częstotliwości rezonansowe i porównać z otrzymanymi podczas
pomiarów;
Sporządzić charakterystyki:

a. dla rezonansu napięć

,

,

,

b. dla rezonansu prądów

przy wymuszeniu prądowym

,

,

,

przy wymuszeniu napięciowym

,

,

,

wykonać w obranej skali wykresy wskazowe dla:

,

,

dla każdego badanego obwodu graficznie wyznaczyć dobroć .

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!

LITERATURA:

1. Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna. Teoria obwodów elektrycznych, t. 1.,

wyd. III, WNT Warszawa 1986

2. Mikołajuk K., Trzaska Z.: Elektrotechnika teoretyczna. Analiza i synteza

elektrycznych obwodów liniowych, PWN, Warszawa 1984

Stanowisko laboratoryjne do ćwiczenia Rezonans

Aby powiększyć zdjęcie kliknij na nim

Do you need professional PDFs? Try PDFmyURL!