Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw C1
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e

2
x3e-x dx.
Rozwi¸
azanie
Stosujemy podstawienie: y = x2. St¸ dy = 2xdx
ad
Otrzymujemy

2
x3e-x dx = 1/2 ye-ydy = -1/2 (e-y) ydy = -1/2e-yy + 1/2 e-y1dy =
2
= -1/2e-yy - 1/2e-y + C = -1/2e-x (x2 + 1) + C.
Zadanie 2
8
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = i y = |x| - 1.
e
x2+4
Rozwi¸
azanie
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸ osi OY.
edem
8
Rozwiazuj¸ ukÅ‚ad równaÅ„ y = i y = |x| - 1, otrzymujemy punkty wspólne krzy-
¸ ac
x2+4
wych: (-2, 1) (2, 1).
St¸ pole obszaru O
ad

2 2
8 8
|P (O)| = ( - |x| + 1)dx = 2 ( - x + 1)dx =
x2 + 4 x2 + 4
-2 0

2
-x3 + x2 - 4x - 12
= 2 dx
x2 + 4
0
1
Dzielac licznik przez mianownik funkcji wymiernej wyst¸ acej pod znakiem caÅ‚ki otrzy-
¸ epuj¸
mujemy

2 2 2
-x3 + x2 - 4x - 12 8
2 dx = 2 (-x + 1)dx + 2 dx = c1 + c2
x2 + 4 x2 + 4
0 0 0

2
c1 = 2 (-x + 1)dx = -4 + 4 = 0
0

2 1
8 dt Ä„
c2 = 2 dx = 8 = 8 arctan 1 = 8 = 2Ä„
x2 + 4 t2 + 1 4
0 0
t
w ostatniej caÅ‚ce zastosowaliÅ›my podstawienie ¾ = .
2
Pole obszaru |P (O) = 0 + 2Ä„ = 2Ä„.
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f(x) ( o ile istniej¸ oraz jej miejsca zerowe.
e a)
f(x) = x2(x2 - 4)-3/2.
Rozwi¸
azanie
Dziedzina funkcji to zbiór tych wszystkich jej argumentów x dla których x2 - 4 > 0.
Jest to suma przedziałów (-", -2), (2, ").
Zauważmy, że
x2 x2
= 0, gdy x -" i x "
(x2 - 4)3 |x3| (1 - 4/x2)3
Wykres funkcji posiada wi¸ asymptot¸ poziom¸ obustronn¸ o równaniu y = 0 (oÅ› OX).
ec e a a
Ponadto
x2 x2
= ", gdy x -2-i x 2+
(x2 - 4)3 |x3| (1 - 4/x2)3
2
Wykres funkcji f(x) posiada asymptot¸ pionow¸ lewostronn¸ o równaniu x = -2 i asymp-
e a a
tot¸ pionow¸ prawostronn¸ o równaniu x = 2.
e a a
Funkcja posiada jedno miejsce zerowe x = 0 (ułamek jest równy 0, gdy jego licznik
jest 0 i mianownik różny od 0).
Zadanie 4
Prosz¸ znalez
ć najmniejsz¸ i najwi¸ a wartość funkcji
e a eksz¸
f(x) = 2exlnx
na przedziale [1, 2].
Rozwi¸
azanie
Pierwsza pochodna funkcji f(x)
f (x) = 2ex(lnx + 1/x)
jest dodatnia na przedziale [1, 2], zatem funkcja jest Å›ciÅ›le rosn¸ na tym przedziale.
aca
Najmniejsz¸ wartość przyjmuje w lewym koÅ„cu przedziaÅ‚u równ¸ 0, zaÅ› wartość najwi¸ a
a a eksz¸
w jego prawym końcu 2e2ln2 H" 10.2.
3