Analiza Matematyczna
Zestaw D
Zadanie 1
Korzystajac z twierdzenia o ciagu monotonicznym i ograniczonym, prosz¸ uzasadnić
¸ ¸ e
zbieżność ciagu o wyrazie
¸
an
1 1 1
an = 1 - 1 - . . . 1 - .
3 32 3n
Rozwi¸
azanie
Przypomnijmy twierdzenie o ciagu monotonicznym i ograniczonym.
¸
Każdy ciag monotoniczny i ograniczony ma granic¸ a,
¸ e
wÅ‚aÅ›ciw¸ czyli jest zbieżny.

an+1
1
Zauważmy, że ciag (an) jest malej¸ bo = 1 - < 1 Pokażemy jeszcze, że
¸ acy,
an 3n+1
ciag ten jest ograniczony z doÅ‚u przez liczb¸ 0.
¸ e
n
1 1 1 1
an = 1 - 1 = . . . 1 - > 1 - = (2)n 0, gdy n ".
3 32 3n 3 3
Co mieliśmy wykazać.
Zadanie 2
Prosz¸ sprawdzić, korzystajac z definicji pochodnej funkcji w punkcie, czy istnieje po-
e ¸
chodna funkcji f w punkcie x0 = 0, jeżeli

x2 sin 3x Ä„
dla 0 < |x| <
sin 5x 3
f(x) =
0 dla x = 0
Rozwi¸
azanie
Korzystajac z definicji pochodnej prawostronnej funkcji w punkcie
¸
h2 sin 3h sin 3h
- 0
3h 1 3
sin 5h 3h
f+(0) = lim = lim h = 0 · · = 0
h0+ h h0+ sin 5h 5h 1 5
5h
Istnieje zatem pochodna funkcji w punkcie x = 0 i jest równa 0.
Zadanie 3
Prosz¸ obliczyć granic¸
e e
ln (1 - 2x3)
lim
x0
7x3
Rozwi¸
azanie
ln (1 - 2x3) -12 12 2
lim = lim = - = -
x0 x0
7x3 42 + 210x4 42 7
Prosz¸ sprawdzić, stosujac trzykrotnie reguÅ‚¸ markiza de lHospitala.
e ¸ e
1
Zadanie 4
Prosz¸ znalez
ć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)), jeśli
e
"
3
f(x) = x2 - 1.
Rozwi¸
azanie
Równanie stycznej w punkcie (x0, f(x0)) y = f (x0)(x - x0) + f(x0).
2x 2 1
"
f (x) = , f (3) = = , f(3) = 2.
3
8 4
3 (x2-1)2
St¸
ad
1
y = (x - 3) + 2
4
2