W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

-

PRZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber,

Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski

Poznań 2002/2003

MECHANIKA BUDOWLI 3

Metoda przemieszczeń

Wzory transformacyjne na momenty przęsłowe przywęzłowe:

l

)

2

(

6

)

2

(

6

)

3

2

(

2

)

3

2

(

2

2

2

ik

i

k

ki

ik

k

i

ik

ik

i

k

ki

i

k

ik

ik

k

i

ik

l

EI

T

l

EI

T

l

EI

M

l

V

V

l

EI

M

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ψ

ϕ

ϕ

−

+

−

=

−

+

−

=

−

+

=

−

=

−

+

=

(3.1)

k

ϕ

i

ϕ

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

l

)

(

3

0

ik

k

ki

ik

l

EI

M

M

ψ

ϕ −

=

=

)

(

3

)

(

3

2

2

ik

k

ki

ik

k

ik

l

EI

T

l

EI

T

ψ

ϕ

ψ

ϕ

−

−

=

−

−

=

(3.2)

l

)

(

3

0

ik

i

ik

ki

l

EI

M

M

ψ

ϕ −

=

=

)

(

3

)

(

3

2

2

ik

k

ki

ik

k

ik

l

EI

T

l

EI

T

ψ

ϕ

ψ

ϕ

−

−

=

−

−

=

(3.3)

l

)

(

)

(

k

i

ik

k

i

ki

l

EI

M

l

EI

M

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

+

−

=

0

0

=

=

ki

ik

T

T

(3.4)

k

ϕ

i

ϕ

k

ϕ

i

ϕ

k

ϕ

i

ϕ

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W powyższych przypadkach pomijamy wpływ sił normalnych
Wykresy momentów na prętach obustronnie utwierdzonych:

Przykład
Założenie metody: pręty pracują jako obustronnie utwierdzone

h

l

12

2

ql

12

2

ql

8

2

ql

8

Pl

Pl

16

3

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper











=

+

+

+

=

=

+

+

+

=

=

+

+

+

=

0

)

,

,

(

)

(

)

(

)

(

0

)

,

,

(

)

(

)

(

)

(

0

)

,

,

(

)

(

)

(

)

(

3

3

3

2

3

1

3

3

2

3

2

2

2

1

2

2

1

3

1

2

1

1

1

1

M

q

p

R

u

R

R

R

R

M

q

p

R

u

R

R

R

R

M

q

p

R

u

R

R

R

R

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

1

11

1

1

)

(

ϕ

ϕ

r

R

=

3

3

2

2

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

Z

Z

Z











=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

0

0

0

3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

P

P

P

r

Z

r

Z

r

Z

r

r

Z

r

Z

r

Z

r

r

Z

r

Z

r

Z

r

gdzie:
r

ik

- reakcja węzła „i” spowodowana jednostkowym przemieszczeniem

węzła „k”

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

r

iP

- reakcja węzła i spowodowana obciążeniem zewnętrznym

stan Z

1

=1 (φ

1

=1)

0

,

0

,

0

,

1

2

0

1

=

=

=

=

ik

ψ

ϕ

ϕ

ϕ

Na podstawie wzorów 1.1-2.2 otrzymujemy następujące wartości
momentów przywęzłowych:

l

EI

M

l

EI

M

h

EI

M

M

r

r

s

2

4

3

0

21

12

10

01

=

=

=

=

h

EI

s

3

l

EI

r

4

h

EL

l

EI

r

M

s

r

3

4

0

11

1

−

=

=

∑

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Reakcje r

3i

obliczyć można np. za pomocą równania pracy

wirtualnej. Przy obliczaniu reakcji r

31

posłużymy się jednak siłami

tnącymi zapisując równanie równowagi (tnące obliczone z momentów)

Dla stanu 2 postępujemy analogicznie do 1

stan Z

3

=1 (u

2

=1)

l

EI

r

2

l

EI

r

M

r

2

0

21

2

=

=

∑

h

EI

s

3

2

3

10

10

0

3

0

3

0

h

EI

T

h

EI

h

T

M

s

−

=

=

+

⋅

=

∑

2

31

23

10

31

3

h

EI

r

T

T

r

s

−

=

+

=

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Ze wzorów 1.1-2.2

2

32

2

23

21

12

2

10

01

6

6

0

0

3

0

h

EI

M

h

EI

M

M

M

h

EI

M

M

s

s

s

−

=

−

=

=

=

−

=

=

Reakcję r

33

obliczymy korzystając z równania pracy wirtualnej:

0

)

)(

6

6

(

)

(

3

1

23

2

2

01

2

33

=

+

−

−

⋅

ψ

ψ

h

EI

h

EI

h

EI

r

s

s

s

3

33

15

h

EI

r

s

=

h

h

1

1

32

23

10

01

=

=

=

=

ψ

ψ

ψ

ψ

h

EI

s

3

h

EI

s

6

h

EI

s

6

2

23

2

13

6

3

h

EI

r

h

EI

r

s

s

−

=

−

=

01

ψ

23

ψ

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

stan P

Wykres momentów ma postać:

Reakcję r

3p

otrzymamy z równowagi wyciętej części (momenty w prętach

01 i 23 równa zeru, więc tnące w tych prętach również są zerowe)

12

12

2

2

2

1

ql

r

ql

r

p

p

=

−

=

P

r

p

−

=

3

12

2

ql

12

2

ql

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Obliczone wartości reakcji r

ik

oraz r

ip

podstawiamy do układu równań

kanonicznych:











=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

0

0

0

3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

P

P

P

r

Z

r

Z

r

Z

r

r

Z

r

Z

r

Z

r

r

Z

r

Z

r

Z

r

Obliczamy wartości Z

1

, Z

2

, Z

3

równych φ

1

, φ

2

, u

2

,

Końcową wartość momentów otrzymujemy na drodze superpozycji:

P

M

u

M

M

M

M

+

+

+

=

2

3

2

2

1

1

ϕ

ϕ

gdzie:
M

1

-wartość momentu wywołanego stanem Z

1

M

2

-wartość momentu wywołanego stanem Z

2

M

3

-wartość momentu wywołanego stanem Z

3

M

P

-wartość momentu wywołanego stanem P

φ

1

,

φ

2

,

u

2

-wartości obliczone z układu równań kanonicznych

Momenty końcowe uzyskać można za pomocą wzorów
transformacyjnych:

)

3

2

(

2

ik

k

i

ik

l

EI

M

ψ

ϕ

ϕ

−

+

=

)

(

3

ik

k

ki

l

EI

M

ψ

ϕ −

=

podstawiając za odpowiednie φ

i

,

φ

k

wartości z równań kanonicznych φ

1

,

φ

2

, natomiast w miejsce ψ

ik

odpowiednie ψ=u

2

/h

Wartości końcowych sił tnących obliczamy dla poszczególnych prętów za
pomocą znanych już wartości momentów, natomiast siły normalne
otrzymujemy z równowagi węzłów.

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

Równania pracy wirtualnej w metodzie przemieszczeń

Stosowanie równań pracy wirtualnej do obliczania reakcji w

metodzie przemieszczeń wiąże się z przyjęciem określonych założeń.
Nawiążmy do powyższego przypadku.

Zakładamy istnienie stanu wieloprzegubowego:

Wymuszając w powyższym stanie obrót węzła lub przemieszczenie, nie
wywołujemy powstawania sił wewnętrznych (M=0).Momenty powstałe w
stanie Z

1

(str....) traktujemy jako obciążenie zewnętrzne pracujące na

wirtualnym przemieszczeniu. W wyniku tego zabiegu prawe strony
równań pracy wirtualnej zerują się.

W stanie wieloprzegubowym wymuszamy jednostkowy obrót węzła 1:

Równania pracy wirtualnej mają postać:

h

EI

s

3

l

EI

r

4

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

- P

RZYKŁAD

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

2

31

31

11

11

3

1

0

)

0

(

4

)

1

(

3

1

3

4

1

0

1

4

1

3

1

h

EI

r

h

EI

h

h

EI

r

h

EI

h

EI

r

h

EI

h

EI

r

s

r

s

s

r

r

s

−

=

⋅

=

−

+

⋅

−

=

⋅

=

⋅

−

⋅

+

⋅

Przy obliczaniu reakcji r

ip

pamiętać trzeba o uwzględnieniu prócz

pracy momentów wywołanych stanem P o uwzględnieniu w równaniach
pracy wirtualnej, pracy sił zewnętrznych P na odpowiednich
przemieszczeniach δ (obliczonych z równania łańcucha kinematycznego).