Metrologia

wielkości geometrycznych

Błędy pomiarów. Niepewność pomiarowa.

Błędy pomiarów

Podstawowy aksjomat metrologii:

NIE MA POMIARÓW BEZBŁĘDNYCH

Z każdym pomiarem wiąże się błąd, który wyraża
niezgodność wartości uzyskanej w wyniku pomiaru z
rzeczywistą wielkością wartości mierzonej

2

Błędy pomiarów

-

definicja

Błąd pomiaru

Jest to różnica miedzy wynikiem pomiaru,

a wartością prawdziwą wielkości mierzonej

3

Błędy pomiarów

–

wartość prawdziwa

Wartość prawdziwa (wielkości)

Jest to wartość, jaką uzyskałoby się jako wynik

bezbłędnego pomiaru.

WARTOŚCI PRAWDZIWE SĄ ZE SWEJ NATURY NIEZNANE

4

Błędy pomiarów

–

wartość umownie prawdziwa

Wartość umownie prawdziwa

(wartość poprawna)

Wartość przypisana wielkości określonej i uznana,

niekiedy umownie, jako wartość wyznaczona

z niepewnością akceptowalną

w danym zastosowaniu.

Wartość umownie prawdziwa jest niekiedy nazywana: wartością

przypisaną, najlepszym oszacowaniem wartości, wartością umowną lub

wartością odniesienia.

5

Błędy pomiarów

-

rodzaje

6

Błędy pomiarów

-

błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy

Jest to błąd pomiaru, który podczas wielokrotnego

wykonywania pomiaru tej samej wartości pewnej

wielkości, w praktycznie tych samych warunkach,

przybiera różne wartości i znaki, zmieniające się

według nieustalonego prawa.

7

Błędy pomiarów

-

błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy - wartość

Jest to różnica między wynikiem pomiaru

a średnią z nieskończonej liczby

wyników pomiarów

tej samej wielkości mierzonej,

wykonanych w warunkach powtarzalności

.

8

Błędy pomiarów

-

błąd systematyczny

Błąd systematyczny

Jest błąd pomiaru, który podczas wielokrotnego

wykonywania pomiaru tej samej wartości pewnej

wielkości, w praktycznie tych samych warunkach,

pozostaje niezmienny, lub zmienia się w funkcji

parametru, według ustalonego prawa.

9

Błędy pomiarów

-

błąd systematyczny

Błąd systematyczny - wartość

Jest to różnica między średnią z nieskończonej

liczby wyników pomiarów tej samej wielkości

mierzonej, wykonanych w warunkach

powtarzalności, a wartością prawdziwą

wielkości mierzonej.

10

Błędy pomiarów

-

błąd nadmierny

Błąd nadmierny

Jest to błąd zbyt duży w stosunku do błędów

przypadkowych i systematycznych

11

Błędy pomiarów

–

wynik pomiaru

Wynik pomiaru

Jest to wartość przypisana wielkości mierzonej,

uzyskana drogą pomiaru.

12

Błędy pomiarów

-

surowy wynik pomiaru

Surowy wynik pomiaru

Jest to wynik pomiaru

przed korektą błędu systematycznego

13

Błędy pomiarów

-

poprawiony wynik pomiaru

Poprawiony wynik pomiaru

Jest to wynik pomiaru

po korekcie błędu systematycznego

(po zastosowaniu poprawki)

14

Błędy pomiarów

-

wynik pomiaru

Wynik pomiaru

Wartość zmierzona ± błąd pomiaru

15

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci bezwzględnej

D

x = y – x

r

(x

p

)

Gdzie:

D

x – wartość błędu

y – wynik
x

r

(x

p

) – miara rzeczywista (poprawna) wielkości

16

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci bezwzględnej

• jest liczbą mianowaną

• wyrażany jest w jednostkach wielkości mierzonej

• jest opatrzony znakiem (+ lub -)

Znak:
„+” oznacza, że wynik pomiaru jest większy od wartości rzeczywistej

(umownie prawdziwej),

„-” oznacza, że wynik pomiaru jest mniejszy od wartości rzeczywistej

(umownie prawdziwej) mierzonej wielkości

17

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci względnej

D

x =

--------

·100%

Gdzie:

D

x – wartość błędu

y – wynik
x

p

– mara poprawna wielkości

y – x

p

x

p

18

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci względnej

• jest wyrażany liczbą niemianowaną

• jest wyrażany w procentach

19

Błędy pomiarów

-

źródła błędów

Wyróżnia się grupy pochodzenia błędów związane z:

• Wyposażeniem pomiarowym
• Człowiekiem (operatorem sprzętu pomiarowego)
• Warunkami środowiskowymi
• Mierzonym przedmiotem
• Strategią pomiaru

20

Błędy pomiarów- źródła błędów

Wyposażenie pomiarowe

Błędy związane z wyposażeniem pomiarowym:

• Błędy wzorca
• Błędy wskazań przyrządu pomiarowego
• Błędy odczytania
• Niewystarczająca sztywność

(odkształcenie elementów przyrządu)

• itd

21

Błędy pomiarów- źródła błędów

Człowiek

Błędy związane z człowiekiem (operatorem):

• Zapewnienie czystości przedmiotu i przyrządu
• Prawidłowa obsługa
• Doświadczenie

22

Błędy pomiarów- źródła błędów

Warunki środowiskowe

Błędy związane z warunkami środowiskowymi:

• Błędy temperaturowe
• Ciśnienie i wilgotność
• Drgania
• Zakłócenia elektryczne
• Zanieczyszczenia
• Oświetlenie
• Dostęp do mierzonego elementu

23

Błędy pomiarów- źródła błędów

Mierzony przedmiot

Błędy związane z mierzonym przedmiotem:

• Odchyłki kształtu
• Chropowatość powierzchni
• Mała sztywność, podatność
• Kolor, odbijanie lub rozpraszanie światła,
• Masa przedmiotu

24

Błędy pomiarów

-

wielkość wpływająca

Wielkość wpływająca

Jest to wielkość nie będąca wielkością mierzoną,

która ma jednak wpływ na wynik pomiaru.

28

Błędy pomiarów

-

wielkość wpływająca

Wielkość wpływająca

Przykłady:

• temperatura mikrometru podczas pomiaru długości
• częstotliwość przemiennego napięcia elektrycznego

podczas pomiaru amplitudy

• stężenie bilirubiny podczas pomiaru stężenia

hemoglobiny w próbce plazmy krwi ludzkiej

• …

.

29

Błędy pomiarów

-

wynik pomiaru – sposób zapisu

Gdy podaje się wynik, należy wyraźnie zaznaczyć,
czy dotyczy on:

•wskazania wyniku surowego

•wyniku poprawionego i czy jest średnią uzyskaną
z wielu obserwacji.

Całkowite wyrażenie wyniku pomiaru zawiera dane
dotyczące niepewności pomiaru

30

Błędy pomiarów

-

dokładność pomiaru

Dokładność pomiaru

Jest to stopień zgodności wyniku pomiaru

z wartością rzeczywistą wielkości mierzonej.

31

Błędy pomiarów

-

powtarzalność (wyników pomiaru)

Powtarzalność

Jest to stopień zgodności wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielkości mierzonej,

wykonywanych w tych samych warunkach

pomiarowych.

32

Błędy pomiarów

- powtarzalność (wyników pomiaru)

Warunki powtarzalności wyników pomiarów

• ta sama procedura pomiarowa i ten sam

obserwator

• ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w tych

samych warunkach i to samo miejsce pomiaru

• powtarzanie pomiaru w krótkich odstępach

czasu

.

33

Błędy pomiarów

-

odtwarzalność (wyników pomiaru)

Odtwarzalność

Jest to stopień zgodności wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielkości mierzonej,

wykonywanych w zmienionych warunkach

pomiarowych.

34

Błędy pomiarów

- odtwarzalność (wyników pomiaru)

Warunki odtwarzalności wyników pomiarów

• Warunki podlegające zmianom mogą

obejmować: zasadę pomiaru, metodę pomiaru,
obserwatora, przyrząd pomiarowy, etalon
(wzorzec) odniesienia, miejsce, warunki
stosowania, czas.

• Odtwarzalność można wyrażać ilościowo za

pomocą charakterystyk rozrzutu wyników

.

35

Błędy pomiarów

- dokładność i precyzja

36

Pomiar

precyzyjny

i dokładny

Pomiar

precyzyjny

i niedokładny

Pomiar

dokładny

i nieprecyzyjny

Pomiar

niedokładny

i nieprecyzyjny

Precyzja mówi nam coś o jakości działania przyrządu

Dokładność mówi nam coś o jakości lub poprawności otrzymanego wyni

ku

Niepewność pomiaru

Niepewność pomiaru

to parametr związany z wynikiem pomiaru,

charakteryzujący rozrzut wartości, które

można w uzasadniony sposób przypisać

wielkości mierzonej.

„Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”

Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO 1993

Niepewność pomiaru

Błąd jest zmienną losową

Niepewność jest parametrem rozkładu

prawdopodobieństwa błędu

Niepewność pomiaru

Wynik pomiaru jest liczbą przybliżoną

różną od wartości prawdziwej,

można go interpretować jako przedział na osi liczbowej,

wewnątrz którego znajduje się wartość prawdziwa

a <= x

r

<= b

Przedział ten, nazywamy

przedziałem niepewności wyniku pomiaru

lub przedziałem ufności

39

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność standardowa (u)

niepewność wyniku pomiaru wyrażona

w formie odchylenia standardowego

lub estymaty tego odchylenia

Niepewność pomiaru

odchylenie standardowe

gdzie:

x

i

– wyniki kolejnych pomiarów

x

śr

– średnia arytmetyczna wyników serii pomiarów

n – liczba pomiarów w serii

S

σ

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność typu A (u

A

)

obliczana metodą analizy statystycznej

serii pojedynczych obserwacji

(najczęściej wykorzystując

rozkład normalny lub

rozkład t-Studenta)

Niepewność pomiaru

Współczynnik t rozkładu Studenta

n

p = 0,68

p = 0,95

p = 0,997

t

t

t

1
3
4
5
6
7

1.80
1,32
1,20
1,15
1,11
1,08

1,30
0,76
0,60
0,51
0,45
0,38

12,7

4,3
3,2
2,8
2,6
2,7

9,0
2,5
1,6

1,24
1,05
0,84

233

19,2

9,2
6,6
5,5
4,5

166

11,1

4,6
3,0
2,3
1,6

10
20
30

1,06
1,03
1,02

0,34
0,23
0,19

2,3
2,1
2,0

0,72
0,47
0,37

4,1
3,4
3,3

1,29
0,77
0,60

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Dla n dążącego do nieskończoności

rozkład t-Studenta

jest zbieżny

z rozkładem normalnym (Gaussa)

W zastosowaniach technicznych już dla

n > 30

różnice są pomijalnie małe

Niepewność pomiaru

Rozkład Gaussa (normalny)

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność typu B (u

B

)

obliczana innymi metodami niż w przypadku A,

najczęściej wykorzystując rozkład prostokątny

opisujący błędy systematyczne

spowodowane nierozpoznanym

oddziaływaniem systematycznym

Niepewność pomiaru

rozkład prostokątny

Jeżeli znany jest błąd graniczny przyrządu

pomiarowego to rozkład przyjmuje postać:

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Złożona niepewność standardowa (u

c

)

określana w przypadku występowania

wielu składowych niepewności

• dla pomiarów bezpośrednich jest pierwiastkiem sumy

kwadratów niepewności składowych

• dla pomiarów pośrednich sumowanie kwadratów

niepewności składowych odbywa się z odpowiednimi
wagami, zgodnie z prawem propagacji

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Złożona niepewność standardowa (u

c

)

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność rozszerzona (U)

jest iloczynem niepewności standardowej

i współczynnika rozszerzenia k



U = k



∙ u

c

Określa ona granice przedziału niepewności,

któremu można przypisać określony poziom ufności

Niepewność pomiaru

poziom ufności

Poziom ufności (p



)

jest prawdopodobieństwem tego,

że w przedziale niepewności wyniku pomiaru

(w przedziale ufności)

znajduje się wartość prawdziwa,

co można zapisać

p



= P {x

r

∈ (x − U, x + U) }

Błędy pomiarów

- Rozkład Gaussa

52

k = 1 => P

α

= 68,26 %

k = 2 => P

α

= 95,44 %

k = 3 => P

α

= 99,73 %

k = 4 => P

α

= 99,997 %