Podstawy metrologii

Błędy pomiarów. Niepewność pomiarowa.

Podstawy

Metrologii

Wykład 3

Teoria błędów

Program na dziś

•Definicja i rodzaje błędów;
•Charakterystyka metrologiczna;
•Funkcja błędu.
•Niepewność pomiarowa
•Rodzaje niepewności Typ A i B
•Rozkład Gaussa
•Wykresy danych pomiarowych

Wprowadzenie

Przy omawianiu błędów wygodnie jest
przypomnieć na wzór terminologii
stosowanej w literaturze zachodniej
rozróżnienie pomiędzy pojęciami

dokładność

i

precyzja

.

Wynik pomiaru określamy wówczas jako

dokładny

, gdy jest on wolny od błędów

systematycznych, natomiast jako

precyzyjny

, gdy jego błąd przypadkowy

jest bardzo mały.

Wprowadzenie

Każdy eksperyment, każdy pomiar i

prawie każda operacja składowa
pomiaru daje wyniki obarczone
różnymi typami błędów

Wprowadzenie

Teoria błędów

- dział matematyki stosowanej

zajmujący się metodami oceny dokładności
pomiarów lub rachunków przybliżonych.

Teoria błędów umożliwia m.in. określenie

dopuszczalnych wartości błędów
popełnianych przy pomiarach lub
rachunkach, tak aby wynik całości obliczeń
(czy też pomiarów) zapewniał wymaganą
dokładność (tzw. dyskusja błędu).

Wprowadzenie

a

a

a

F1

F2

F3

x

i

z

z

z

z

z

x

x"



Pomiar

• Pomiar

— pewna sekwencja czynności

doświadczalnych i obliczeniowych,
prowadząca do wyznaczenia liczbowej
wartości wielkości fizycznej.

Ta wybrana sekwencja powinna

minimalizować wpływ oddziaływań
zewnętrznych na badane zjawisko i
przyrządy.

Wynik pomiaru

wartość pomiaru

±

błąd

pomiarowy

Błąd pomiaru

Błąd pomiarowy niepewność

pomiarowa,

dokładność pomiaru

Błąd w pomiarach = pomyłka

.

Definicja błędu

Jeżeli wartość wielkości wynosi

x

, a

przyjęto wartość

x`

, to różnica

Δx = x`-x

jest błędem - jest to najlepsza definicja

w przypadku eksperymentów
myślowych;

Definicja błędu

Błąd jest to różnica między

wartością wielkości a wartością

poprawną tej samej wielkości

– definicja ta wyraża błąd w dziedzinie

abstrakcji

Definicja błędu

Błąd jest to różnica między

stanem danej wielkości a stanem

rzeczywistym jej wielkości

- definicja ta wyraża błąd w

dziedzinie rzeczywistości powstający
przy tworzeniu obrazu rzeczywistości za
pomocą pomiarów.

Rodzaje błędów

Rozróżnia się trzy rodzaje miar
błędu:

•błędy prawdziwe,
•błędy umownie prawdziwe
•błędy graniczne

Podział błędów

Wyniki pomiarów podlegają pewnym

prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla

zmiennej losowej. Z tego względu błędy

dzielimy na:

•

Błędy grube

(pomyłki), które należy

eliminować

•

Błędy systematyczne

, które można

ograniczyć udoskonaląjąc pomiar

•

Błędy przypadkowe

, które podlegają prawom

statystyki i rachunku prawdopodobieństwa,

wynikają z wielu losowych przyczynków i nie

dają się wyeliminować

Krzywe rozkładu błędu

Błąd systematyczny Błąd przypadkowy

Błędy grube

• Są wynikiem pomyłki eksperymentatora

np. przy

odczytywaniu wartości mierzonych, przy

przeliczaniu jednostek etc., nieprawidłowego

stosowania przyrządu pomiarowego, poważnego

i nieuświadomionego uszkodzenia przyrządu

pomiarowego, zastosowania nieodpowiedniej

metody pomiaru lub niewłaściwych wzorów

teoretycznych do opracowania wyników.

• Fakt zaistnienia błędu grubego należy sobie jak

najszybciej uświadomić a wynik obarczony takim

błędem wykluczyć z dalszych analiz.

• Jeśli to możliwe, pomiar powtórzyć.

Rodzaje błędów

Wartość oczekiwana błędu

przypadkowego jest równa zeru

,

- właściwość ta nie zawsze jest zgodna z

sensem fizycznym błędów
przypadkowych.

Rodzaje błędów

Błąd może być przedstawiany w

trzech postaciach:

• błędu bezwzględnego,
• błędu względnego,
• błędu unormowanego

(czyli

zakresowego lub sprawdzonego)

Rodzaje błędów

Podział błędów ze względu na warunki

pomiaru:

• w warunkach odniesienia popełniany

błąd nazywa się

błędem podstawowym

,

• w innych warunkach występują

ponadto

błędy dodatkowe

.

Rodzaje błędów

• Podział błędów ze względu na

charakter mierzonej

wielkości:

-

błędy statyczne

- błędy dynamiczne

Błąd dynamiczny można zdefiniować dwojako:

a)

jest to błąd spowodowany odmiennymi niż idealne

właściwościami dynamicznymi układu pomiarowego;

b) jest to błąd spowodowany zastosowaniem statycznej

procedury wzorcowania dla układu przy pomocy
którego dokonujemy pomiarów dynamicznych
mierzonej wielkości.

Rodzaje błędów

Podział błędów ze względu na fizyczne

przyczyny powstawania błędu - wyróżnia
się tu m.in.:

• błąd wzorcowania,
• błąd niestałości,
• błędy kwantowania,
• błędy próbkowania,
• błędy zliczania,
• itd.

Rodzaje błędów

• Podział błędów ze względu na charakter błędu -

wyróżnia się tu:

• błąd systematyczny
• błąd przypadkowy (błąd losowy)

- Błąd systematyczny jest to błąd, który przy

wielokrotnym wykonywaniu pomiaru tej samej
wielkości w tych samych warunkach ma wartość
stałą lub zmienia się według znanego prawa.

- Wszystkie pozostałe błędy określa się jako

przypadkowe.

Błąd systematyczny

• Błąd pomiarowy systematyczny

jest to

stała, nieznana, wartość zmiany wyniku

pomiaru, wynikająca z ograniczoności

modelu fizycznego zjawiska, którym się (w

danej chwili) posługujemy, ograniczoności

metody pomiaru, czy też niewłaściwej

kalibracji przyrządu pomiarowego; błąd ten

ujawnia się zwykle dopiero po zmianie

metody pomiaru lub modelu fizycznego

zjawiska.

• Błąd systematyczny

o znanej wartości

nazywamy

poprawką.

Błędy systematyczne

• Błędy systematyczne

zawsze w ten sam

sposób wpływają na wyniki pomiarów
wykonanych za pomocą tej samej metody i
aparatury pomiarowej.

• Minimalna wartość błędu

systematycznego

jest określona dokładnością

stosowanego przyrządu (lub klasą w
przypadku analogowych mierników
elektrycznych).

Źródłem błędu systematycznego

są:

-

skale mierników

(np. niewłaściwe ustawienie

„zera”),

- nieuświadomiony

wpływ czynników

zewnętrznych

(temperatura, wilgotność) na

wartość wielkości mierzonej,

- niewłaściwy

sposób odczytu

(błąd paralaksy)

lub pomiaru,

- przybliżony

charakter wzorów

stosowanych

do wyznaczenia wielkości złożonej.

Błąd przypadkowy

• Błąd pomiarowy przypadkowy

(statystyczny)

jest to średnia wartość

zmiennych zaburzeń mierzonej wielkości
fizycznej, pochodzących od wielu słabych
oddziaływań zewnętrznych, lub skutek tzw.
nieokreśloności obiektu.

Błąd ten jest najczęściej nieznany, a wyznacza

się go w pomiarach (razem z wartością
pomiaru, jako tzw. błąd pojedynczego pomiaru).

Błędy przypadkowe

Błędy przypadkowe

zawsze występują w

eksperymencie powodują rozrzut kolejnych
odczytów wokół rzeczywiste wartości mierzonej
wielkości (oczywiście, gdy występuje błąd
systematyczny, pomiary układają się wokół
pewnej, przesuniętej względem rzeczywistej,
wartości).

Błędy przypadkowe

można wykryć drogą

powtarzania pomiarów, przy okazji poprawiając
precyzję pomiarów, korzystając ze średniej
wartości serii pomiarów.

Błędy przypadkowe

Błędy przypadkowe zawsze towarzyszą
eksperymentowi, nawet jeśli inne błędy

zostaną wyeliminowane.

W przeciwieństwie do błędu systematycznego,

ich wpływ na wynik ostateczny pomiaru nie

można ściśle określić.

Błędy przypadkowe

Występują zawsze

w pomiarach, lecz

ujawniają się, gdy

wielokrotnie dokonujemy pomiaru przyrządem

,

którego dokładność jest bardzo duża a błędy
systematyczne wynikające z innych przyczyn są
bardzo małe.

Wynikają one z własności obiektu mierzonego

(np.

wahania średnicy drutu na całej jego długości),
własności przyrządu pomiarowego (np. wskazania
przyrządu zależą od przypadkowych drgań budynku,
fluktuacji ciśnienia czy temperatury, docisku dla
suwmiarki), lub mają podłoże fizjologiczne (refleks
eksperymentatora, subiektywność oceny maksimum
natężenia dźwięku czy równomierności oświetlenia
poszczególnych części pola widzenia)

Błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy

manifestuje się rozrzutem

wartości pomiaru przy jego powtarzaniu ( pomiar

wielokrotny).

Małe a liczne zaburzenia pomiaru: efekty mechaniczne

(zmienne tarcie, kurczliwość, wstrząsy), wahania

napięcia zasilania przyrządów, prądy powietrza, zmienne

pola elektromagnetyczne, itp.

•

Błędy przypadkowe metody

(np. błąd

paralaksy)

•

Błędy przypadkowe przyrządu

Błąd (dokładność) przyrządu

jest w błędem

przypadkowym pod warunkiem, że przyrząd jest dobrze

wykalibrowany, w przeciwnym razie, do błędu

przypadkowego dochodzi jeszcze błąd systematyczny.

•

Błąd przypadkowy obiektu

Błąd - paralaksa

Błąd przypadkowy metody
pomiarowej

pomiar suwmiarką
pomiar dokładniejszy

Δd = 0.05 mm = 50 µm Δ d
=0.001mm = 1 µm

Pomiar wielokrotny:

• 20.15, 20.15, 20.15, 20.15 mm ... 20.12, 20.19, 20.11, 20.21, 20.09

mm, ...

Obliczenia błędu
przypadkowego

x

– wielkość fizyczna mierzona,

x

i

– wartości zmierzone, gdzie:

i = 1, ...n

,

n

– liczba pomiarów.

• Szukamy tzw.

„wartości prawdziwej”

µ

wielkości fizycznej

x

, dysponując

n

liczbami

– wynikami

pomiarów.

• Poszukujemy również wartości błędu

pomiarowego pojedynczego pomiaru

σ

,

charakteryzującej warunki pomiaru (liczba,

„ukryta”

w rozrzucie wartości

x

i

).

• średnia wyników pomiaru

(„wynik pomiaru”),

• błąd (średni kwadratowy)

pojedynczego pomiaru

-

odchylenie standardowe

lub

przyjmowane jest za „wartość pomiaru” Δx

nie jest „błędem pomiarowym” („błędem

wartości pomiaru”); jest to

błąd pojedynczego

pomiaru

, charakteryzujący takie same warunki

pomiaru.

Błąd wartości pomiaru będzie zależny

również od krotności pomiarów

n

:

-

błąd wartości średniej („błąd

pomiarowy”).

Ostatecznie:

Charakterystyka
metrologiczna

Pod pojęciem charakterystyka

metrologiczna rozumie się ogół

wiadomości o błędach układu

pomiarowego przedstawionych w

pewien uporządkowany sposób.

Różnorodność przyrządów i

rozmaitość ich zastosowań
powodują, że nie istnieje jednolity
sposób opracowywania
charakterystyk metrologicznych.

Istnieją pewne zalecenia

normatywne, producenci aparatury
korzystają z różnych wariantów
charakterystyk, upraszczając je w
dość dowolny sposób.

Charakterystyka metrologiczna

Rozkład prawdopodobieństwa błędu
niestałości

Przebieg błędu niestałości i jego
prognoza

Klasa niedokładności

Klasa niedokładności przyrządu

(systemu

pomiarowego) określa nam zakres, którego nie
może przekroczyć błąd podstawowy w całym
zakresie pomiarowym.

Sprawdzanie wskazań przeprowadza się w

warunkach odniesienia w punktach skali
przyrządu opisanych cyframi. Punkty te oznacza
się

x

j

, j = 1, ..., k

. Wynikiem sprawdzania jest

zbiór błędów

{D

j

}.

Układ pomiarowy spełnia

wymagania klasy niedokładności, gdy

|D

j

|  D

dop

dla

j = 1, ..., k

.

Adiustacją

nazywa się wykonanie ściśle

określonych stosowną instrukcją
czynności regulacji (kalibrowania)
układu pomiarowego, przy wykorzystaniu
wzorca jako niezbędnego elementu
pomocniczego, sprowadzające błąd do
zadanej wartości (najczęściej do zera).

Oczywiście, gdy np. przyrząd nie ma
możliwości regulacji zamiast adiustacji
można przeprowadzić zwykłe
wzorcowanie.

Wzorcowanie

, jest to zbiór operacji

ustalających relację między
wartościami wielkości mierzonej
wskazanymi przez przyrząd
pomiarowy a odpowiednimi
wartościami wielkości, realizowanymi
przez wzorce jednostki miary.

- legalizacja

jest sprawdzeniem,

stwierdzeniem i poświadczeniem przez organ

administracji miar (wyłącznie), że przyrząd

pomiarowy spełnia wymagania przepisów

metrologicznych,

- uwierzytelnienie

jest to sprawdzenie,

stwierdzenie i poświadczenie, że przyrząd

pomiarowy spełnia wymagania metrologiczne

i ustalone w przepisach, normach i

zaleceniach międzynarodowych lub innych

właściwych dokumentach, a jego wskazania

zostały odniesione do państwowych wzorców

jednostek miar i są z nimi zgodne w granicach

określonych błędów pomiarów.

- Legalizacja i uwierzytelnienie,

ma na

celu sporządzenie oficjalnego dowodu

potwierdzającego możliwość stosowania

danego przyrządu pomiarowego. Jeżeli

wymaga tego przepis nadrzędny lub

kontrakt z klientem (umowa, zamówienie,

zlecenie), wówczas legalizacji/

uwierzytelnienia dokonać musi

uprawniona jednostka i ta jednostka

"wystawia" stosowny

dokument:

legalizujący

(np. pod rygorem spełnienia

ściśle określonych warunków

eksploatacyjnych) użytkowanie przyrządu,

oraz

zapewniający wiarygodność

wyników

pomiaru (i oczywiście monitorowania).

Funkcja błędu

Jeżeli pomiary pewnej wielkości x narażone są na
wpływ wielu niewielkich i przypadkowych zaburzeń,
to rozkład wyników jest rozkładem normalnym.
Całka

funkcji

gęstości

prawdopodobieństwa

opisującej rozkład normalny, oznaczana czasem jako
erf(t) i obliczana zgodnie ze wzorem:

nosi nazwę

funkcji błędu

lub

normalnej całki błędu

i

określa prawdopodobieństwo tego, że wartość
pomiaru znajdzie się w promieniu t odchyleń
standardowych od wartości prawdziwej X.















t

X

t

X

X

x

x

f

t

d

)

(

)

erf(

,

Niepewność pomiaru

Podstawowe terminy i definicje

•

wartość oczekiwana

– wartość

zgodna ze zdefiniowana, jest nazywana

często wartością rzeczywista; jest to

wartość, która może być uzyskana w

wyniku doskonałego pomiaru;

•

wartość oznaczana

– wartość

uzyskana w wyniku zastosowania danej

procedury analitycznej; wynik pomiaru

to najczęściej średnia arytmetyczna z

uzyskanych wartości oznaczanych;

•

dokładność pomiaru

– stopień

zgodności pomiędzy wynikiem
pojedynczego pomiaru a wartością
rzeczywista;

•

poprawność pomiaru

– stopień

zgodności pomiędzy wynikiem analizy
(średnią) a wartością rzeczywistą;

•

precyzja pomiaru

– zgodność pomiędzy

uzyskiwanymi niezależnymi pomiarami;

• niepewność pomiaru

(uncertainty) –

parametr związany z wynikiem
pomiaru, który określa przedział wokół
wartości średniej, w którym może (na
założonym poziomie istotności) znaleźć
się wartość oczekiwana;

• standardowa niepewność pomiaru

(standard uncertainty) –

u(xi)

-

niepewność pomiaru przedstawiona i
obliczona jako odchylenie standardowe;

• złożona standardowa niepewność

(combined standard uncertainty) –

uc(y)

–

standardowa niepewność wyniku

y

pomiaru,

której wartość jest obliczona na podstawie
niepewności parametrów wpływąjących na
wartość wyniku analizy z zastosowaniem
prawa propagacji niepewności;

•

rozszerzona niepewność

(expanded

uncertainty) -

U

– wielkość określająca

przedział wokół uzyskanego wyniku analizy, w
którym można, na odpowiednim, przyjętym
poziomie istotności (prawdopodobieństwa)
oczekiwać wystąpienia wartości rzeczywistej;

•

współczynnik rozszerzenia

(coverage

factor) –

k

– wartość liczbowa użyta do

wymnożenia złożonej standardowej
niepewności pomiaru w celu uzyskania
rozszerzonej niepewności, wartość
współczynnika zależy od przyjętego
poziomu prawdopodobieństwa (np.: dla
95 % wynosi 2) i najczęściej jest
wybierana z przedziału liczb 2-3;

Niepewność

• W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych

wielkości mierzonych i szacujemy
niepewności pomiarowe wynikające ze
statystycznych praw rozrzutu pomiarów

.

• Niepewność pomiaru jest związanym

rezultatem pomiaru parametrem,
charakteryzującym rozrzut wyników, który
można w uzasadniony sposób przypisać
wartości mierzonej.

• Niepewność u

lub

u(x)

(ang.

uncertainty) posiada wymiar, taki sam
jak wielkość mierzona

• Niepewność względna ur(x)

to

stosunek niepewności (bezwzględnej) do
wielkości mierzonej:

• Niepewność względna

jest wielkością

bezwymiarową i może być wyrażona w %

Niepewność

Istnieją dwie miary niepewności

pomiaru:

•

niepewność standardowa u(x)

• niepewność maksymalna Δx

Niepewność standardowa

1. Rezultat pomiaru jest zmienną losową

x

i

, której rozrzut wokół wartości średniej

x

charakteryzuje parametr zwany

odchyleniem standardowym

2. Dokładnej wartości odchylenia

standardowego nie znamy. Niepewność

standardowa jest jego niezbyt dokładnym

oszacowaniem (estymatorem, oceną).

Niepewność maksymalna

Jest miarą deterministyczną, gdyż zakłada, że można

określić przedział wielkości mierzonej x, w którym
na pewno znajdzie się wielkość rzeczywista.

W tym przypadku staramy się określić przedział,

x

o

- Δx < x

i

< x

o

+ Δx

w którym mieszczą się wszystkie wyniki pomiaru xi,
aktualnie wykonane i przyszłe.
Zaleca się obecnie niepewność maksymalną

specyfikowaną przez producenta zamieniać na
niepewność standardową wg wzoru:

Typy oceny
niepewności

Typ A

Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii

pomiarów:

•wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń

pomiaru

• ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ B

Opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora

wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i

źródłach jego niepewności

•

stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa

•dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku

pomiaru

Typ A

Seria wyników (próba)

x

1

,x

2

, ….x

n

obarczonych

niepewnością
przypadkową jest duża
gdy 30<n<100. W
próbie takiej wyniki się
powtarzają:

n

k

jest

liczbą pomiarów, w
których wystąpił wynik

x

k

,

n

k

/n

jest częstością

występowania wyniku

Opracowanie serii

pomiarów

bezpośrednich dużej

próby

Rozkład normalny Gaussa

Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości

x lub jej błędu Δx podlega rozkładowi Gaussa

x

0

jest wartością najbardziej prawdopodobną i może

być nią średnia arytmetyczna, jest odchyleniem

standardowym, jest wariancją rozkładu

• Pomiar o większym

σ

charakteryzuje się

większym rozrzutem wyników wokół
wartości średniej a zatem mniejszą
precyzją

Typ B

Dla oceny typu B wykorzystać można

m.in.:

•

dane z pomiarów poprzednich,

• doświadczenie i wiedzę na temat

przyrządów i obiektów mierzonych,

• informacje producenta przyrządów,
• niepewności przypisane danym

zaczerpniętym z literatury

Gdy informacja o pomiarze i źródle jego niepewności

jest dobra, dokładność oceny typu B jest porównywalna

z dokładnością oceny typu A.

NIEPEWNOŚĆ WIELKOŚCI
ZŁO

ż

ONEJ

–

PRAWO PRZENOSZENIA

BŁĘDU

Metoda różniczki zupełnej

Dla wielkości złożonej

y=f(x

1

,x

2

,...x

n

)

gdy niepewności

maksymalne Δx

1

, Δx

2

, ... Δx

n

są

małe w porównaniu z wartościami
zmiennych x

1

,x

2

, ... x

n

niepewność

maksymalną wielkości y
wyliczamy z praw rachunku
różniczkowego:

Prawo przenoszenia
niepewności

Niepewność standardową wielkości

złożonej

y=f(x

1

,x

2

,...x

n

) obliczamy z tzw.

prawa

przenoszenia niepewności

jako

sumę geometryczną różniczek
cząstkowych

Zasada rysowania wykresów

2. Trzeba nanieść błąd pomiaru

3. Dobrać zakresy osi współrzędnych

odpowiednio do zakresu zmienności
danych pomiarowych !!!

4. Właściwie opisać osie współrzędnych

i dobrać skalę, tak aby łatwo można
było odczytać wartości zmierzone.

5. Nie łączyć punktów

eksperymentalnych linią łamaną!!!
Jeśli znany jest przebieg teoretyczny
to dokonać dopasowania teorii do
doświadczenia

6. Zadbać o aspekt estetyczny wykresu

(opis, zamknięcie ramką, itp.)

Metoda najmniejszych
kwadratów
Regresja liniowa

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:

• Otrzymuje się układ równań liniowych dla

niewiadomych a i b

• Rozwiązując ten układ równań otrzymuje

się wyrażenia na a i b

Z praw statystyki można wyprowadzić

wyrażenia na odchylenia
standardowe obu parametrów
prostej:

Linearyzacja danych
eksperymentalnych

PODSUMOWANIE

• Każdy pomiar w laboratorium jest obarczony

niepewnością pomiarową, którą eksperymentator

musi określić zgodnie z pewnymi zasadami.

• W pierwszej kolejności należy przeanalizować

źródła błędów, pamiętając, aby wyeliminować

wyniki obarczone błędem grubym. W

laboratorium studenckim błędy systematyczne z

reguły przewyższają błędy przypadkowe.

•

Wielokrotne powtarzanie pomiarów, gdy

dominuje błąd systematyczny, nie ma sensu.

W takim przypadku dokonujemy tylko 3-5

pomiarów w tych warunkach w celu

sprawdzenia powtarzalności.

• Gdy błąd przypadkowy dominuje w

eksperymencie, należy sprawdzić czy

rozkład wyników może być opisany funkcją

Gaussa czy też należy spodziewać się innego

rozkładu. W tym celu dokonujemy

wielokrotnego (np. 100 razy) pomiaru w

tych samych warunkach, obliczamy średnią i

wariancję rozkładu, rysujemy histogram,

etc.)

•

Jako miarę niepewności stosujemy raczej

niepewność standardową, rzadziej

niepewność maksymalną.

• W przypadku wielkości złożonej, stosujemy

prawo przenoszenia błędu. Staramy się

przeprowadzić analizę niepewności wielkości

złożonej tak, aby uzyskać informacje

dotyczące wagi przyczynków, jakie wnoszą do

całkowitej niepewności pomiary

poszczególnych wielkości prostych. W tym

celu należy analizować niepewności

względne.

•

Ważnym elementem sprawozdania z

przebiegu eksperymentu (i to nie tylko w

laboratorium studenckim) jest wykres.

Wykresy sporządzamy zgodnie z dobrymi

zasadami, pamiętając o jednoznacznym

opisie.

• Zawsze, gdy to możliwe, dokonujemy

linearyzacji danych eksperymentalnych, np.

rysując y i ln (x), lub log y i log x, lub y i 1/x

itp. Do tak przygotowanych danych można

zastosować metodę regresji liniowej

•

Jeżeli znane są podstawy teoretyczne

badanego zjawiska, na wykresie
zamieszczamy krzywą teoretyczną (linia
ciągła) na tle wyraźnych punktów
eksperymentalnych (dobieramy
odpowiednie symbole i nanosimy
niepewności eksperymentalne). Możemy
wcześniej dokonać dopasowania
parametrów przebiegu teoretycznego w
oparciu o znane metody „dopasowania”

Pomiar - definicja

POMIAR

Ilościowe wyznaczenie

na drodze eksperymentu

jakiejś cechy zjawiska, ciała lub

procesu

Pomiar - definicja

Cecha

=

Wartość wielkości

— iloczyn jednostki miary i liczby

Pomiar - definicja

POMIAR

=

wyznaczenie wartości wielkości

Pomiar - wielkość

Wielkość

każda mierzalna własność zjawiska lub

ciała

Pomiar – jednostka miary

Jednostka miary

umownie wybrany stan wielkości

fizycznej

Pomiar

Miara A wielkości fizycznej

iloczyn liczby {A}

(wartości liczbowej wielkości

fizycznej)

oraz

jednostki miary [A] tej wielkości

A = {A}[A]

Pomiar

Pomiar jest zespołem działań i doświadczeń
obejmujących:

• teoretyczne i praktyczne przygotowanie,

• techniczną realizację,

• opracowanie i interpretację wyników
pomiarów.

Pomiar

Przyrząd pomiarowy przyporządkowuje zbiorowi

mierzonych cech obiektu zbiór wartości, zwykle w

postaci wartości liczbowych. Podstawą tego

przyporządkowania jest skala pomiarowa, a wiec

zbiór uporządkowanych liczb, którym odpowiadają

wartości mierzonej cechy obiektu. Skalę pomiarową

budujemy w oparciu o wzorce, a interwałem skali

jest zwykle wartość wielkości przyjęta za jednostkę

miary.

Etapy procesu pomiarowego
i struktura przyrządu pomiarowego

Etapy procesu pomiarowego -
Etap I

• Przejęcie sygnału ze źródła wielkości
• Wyselekcjonowanie interesującej nas

wielkości

• Przetworzenie wielkości na porównywalną
• Dopasowanie wartości wielkości porówny-

walnej do zakresu przyrządu pomiarowego

Etapy procesu pomiarowego -
Etap II

(podstawowa struktura procesu pomiarowego)

• Odszukanie wzorca w pamięci

• Porównanie przetworzonej wielkości z

wzorcem

• Przekazanie sygnału o wyniku

porównania

Etapy procesu pomiarowego -
Etap III

• Przetworzenie surowego wyniku

pomiaru do dalszego opracowania

• Dopasowanie wielkości

• Opracowanie wyniku pomiaru według

modelu matematycznego

Etapy procesu pomiarowego -
Etap IV

• Przetworzenie wyniku pomiaru dla

ujawnienia wielkości

• Ujawnienie wyniku:

–

analogowe (wychylenie wskaźnika, wykres, itp.)

–

cyfrowe (wyświetlacz, wydruk, zapis w pamięci)

Zasada pomiaru

Zasada pomiaru

określa zjawisko fizyczne stanowiące

podstawę pomiaru

(np. zasada proporcjonalnego wydłużania słupka
rtęci pod wpływem wzrostu temperatury)

Metoda pomiarowa

Metoda pomiarowa

sposób postępowania przy porównaniu

parametrów badanego zjawiska z

wzorcem celem wyznaczenia wartości

danej

wielkości fizycznej

Sposób pomiaru

Sposób pomiaru

określa kolejność czynności

koniecznych

do wykonania pomiaru

Metody pomiarowe - rodzaje

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa bezpośrednia

W jej wyniku otrzymuje się bezpośrednio

wartość wielkości mierzonej

bez potrzeby wykonywania dodatkowych

obliczeń opartych na zależnościach

funkcjonalnych

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa bezpośrednia

Równanie

y = a · x

Gdzie
y – wynik pomiaru
x – wartość odczytana
a – stała przyrządu pomiarowego

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa bezpośrednia

Przykład

Pomiar długości śruby za pomocą przymiaru

x = 65 [mm], a = 1

y = 1 · 65[mm] = 65 [mm]

65mm

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa pośrednia

W jej wyniku otrzymuje się wartości innych

wielkości związanych funkcjonalnie z

wielkością mierzoną i znając zależność

funkcjonalną oblicza

się wielkość mierzoną

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa pośrednia

Równanie

y = f (x

1

, x

2

, x

3

,…x

n

)

Gdzie
y – wynik pomiaru
x

1

, x

2

, x

3

,…, x

n

– wielkości zmierzone bezpośrednio

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa pośrednia

Przykład

Pomiar gęstości przedmiotu na podstawie pomiarów

jego wymiarów zewnętrznych i masy

m = 2,25
[kg]
x

1

= 0,10

[m]
x

2

= 0,11

[m]
x

3

= 0,12

[m]

y =

m
x

1

· x

2

· x

3

y =

2,25 [kg]
0,10 [m] · 0,11 [m] · 0,12
[m]

y = 1704,55

kg
m

3

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa złożona

Polegająca na bezpośrednim wyznaczeniu

wartości pewnej liczy wielkości lub na

pośrednim wyznaczeniu wartości tych

wielkości grupowanych w różnych

kombinacjach, co wymaga rozwiązania

układów odpowiednich równań

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa złożona

Równanie

f

1

(y

1

, y

2

, y

3

, …, y

n

, x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

) = 0

f

2

(y

1

, y

2

, y

3

, …, y

n

, x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

) = 0

f

3

(y

1

, y

2

, y

3

, …, y

n

, x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

) = 0

f

n

(y

1

, y

2

, y

3

, … ,y

n

, x

1

, x

2

, x

3

, …, x

n

) = 0

Gdzie
y – wynik pomiaru
x

1

, x

2

, x

3

,…, x

n

– wielkości zmierzone bezpośrednio

y

1

, y

2

, y

3

,…, y

n

– wielkości zmierzone pośrednio

…

Metody pomiarowe

– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej

Metoda pomiarowa złożona

Przykład

Pomiar masy kompletu odważników wagi szalkowej przy znanej

masie jednego z nich i gdy znane są wyniki porównań mas

różnych kombinacji odważników.

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

Metoda wychyleniowa

Polega na określeniu wartości wielkości mierzonej na

podstawie odchylenia wskazówki lub innego

wskazania

(np. cyfrowego) narzędzia pomiarowego.

Odchylenie to jest miarą wielkości mierzonej.

Podczas pomiaru wzorzec wielkości mierzonej nie

występuje bezpośrednio, natomiast przy produkcji

narzędzia pomiarowego cały szereg wartości

wzorcowych został wykorzystany do odpowiedniego

wykonania podziałki (wzorcowanie podziałki).

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

m

p

= 

Metoda wychyleniowa

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

Metoda różnicowa

Jest metodą porównawczą, przy której w układzie

pomiarowym występuje wzorzec wielkości o

wartości zbliżonej do wartości mierzonej (np.

jednowartościowy wzorzec nienastawialny). W tym

przypadku bezpośrednio mierzy się różnicę obu

wartości, a wynik pomiaru określa się następująco:

y = x

w

+Δx

gdzie: x

w

- wartość wzorcowa,

Δx - zmierzona bezpośrednio różnica, z uwzględnieniem jej znaku.

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

 d

N

d

d = N - d

Metoda różnicowa

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

Metoda podstawieniowa

W układzie pomiarowym musi znajdować się

wzorzec wielkości mierzonej o wartościach

nastawianych w szerokich granicach. Podczas

pomiaru wartość mierzoną x zastępuje się

wartością wzorcową x

w

, dobraną w taki sposób,

aby skutki (np. odchylenia wskazówki miernika)

wywoływane przez obie wartości były takie same,

z czego wynika zależność: y = x = x

w

.

Metoda podstawieniowa

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

m

x

= m

u

m

u

= m

w

m

x

= m

w

y =

m

w

=

>

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

Metoda zerowa - kompensacyjna

Mamy z nią do czynienia, jeżeli w procesie

porównywania wielkość wzorcowa przeciwdziała

wielkości mierzonej i kompensuje jej fizyczne

działanie na detektor. W stanie równowagi

fizyczne działanie obu wielkości (x, w) jest

jednakowe i przeciwnie skierowane.

Metoda zerowa - kompensacyjna

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

m

x

= m

w

y =

m

w

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

Metoda zerowa - komparacyjna

Polega na porównaniu bezpośrednio wielkości

mierzonej x z wielkością wzorcową w za pomocą

dodatkowej regulacji k zmniejszającej lub

zwiększającej wielkość wzorcową w.

Metoda zerowa - komparacyjna

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu porównania
wielkości

m

x

· l

x

= m

w

· l

w

m

x

= m

w

y =

m

w

l

w

l

x

l

w

l

x

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu przekształcania
sygnału

Metoda bezpośredniego

porównania

Polega na uformowaniu sygnału y przez

porównanie wielkości mierzonej x z

wielkością wzorcową x

w

. Sygnał y przenosi

informacje o wartości wielkości wzorcowej x

w

odpowiadającej stanowi równowagi, a więc i

o wartości wielkości mierzonej.

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu przekształcania
sygnału

Metoda przekształcania

Polega na uformowaniu sygnału y przez

zmianę skali wielkości mierzonej x, zmianę

rodzaju energii przenoszącej wielkość x lub

też na drodze sterowania wielkością x

procesami energetycznymi przenoszącymi

sygnał y

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu przekształcania
sygnału

Metoda analogowa

Wartość wielkości mierzonej, która

zmienia się w sposób ciągły, odpowiada

również wielkość wyjściowa (wskazanie)

o ciągłych wartościach

.

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu przekształcania
sygnału

Metoda analogowa

Przykład

Pomiar długości

suwmiarką

uniwersalną

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu przekształcania
sygnału

Metoda cyfrowa

Ciągłym przedziałom wartości wielkości

mierzonej są przyporządkowane nieciągłe

(dyskretne) przydziały wartości wielkości

wyjściowej To znaczy, że wartości wyjściowe

mają formę cyfrową, która składa się z

całkowitej liczby kwantów

Metody pomiarowe

– podział wg sposobu przekształcania
sygnału

Metoda cyfrowa

Przykład

Pomiar długości

suwmiarką

z odczytem

cyfrowym

Podstawy metrologii

Błędy pomiarów

Błędy pomiarów

Podstawowy aksjomat metrologii:

NIE MA POMIARÓW BEZBŁĘDNYCH

Z każdym pomiarem wiąże się błąd, który wyraża

niezgodność wartości uzyskanej w wyniku pomiaru z
rzeczywistą wielkością wartości mierzonej

Błędy pomiarów

Pomiar to zbiór czynności, po wykonaniu których

możemy stwierdzić, że w danej chwili

w określonych warunkach wielkość mierzona

miała wartość (x

r

), spełniającą następujący warunek:

a <= x

r

<= b

W wyniku pomiaru jesteśmy w stanie jedynie

wskazać przedział < a,b >, w którym znajduje się

faktyczna wartość wielkości mierzonej.

Błędy pomiarów

–

wartość prawdziwa

Wartość prawdziwa (wielkości)

Jest to wartość, jaką uzyskałoby się jako

wynik bezbłędnego pomiaru.

Wartości prawdziwe są ze swej natury

nieznane

Błędy pomiarów

– wartość umownie prawdziwa

Wartość umownie prawdziwa

(wartość poprawna)

Wartość przypisana wielkości określonej i

uznana, niekiedy umownie, jako wartość

wyznaczona z niepewnością akceptowalną w

danym zastosowaniu.

Wartość umownie prawdziwa jest niekiedy nazywana

wartością przypisaną, najlepszym oszacowaniem

wartości, wartością umowną lub wartością odniesienia

.

Błędy pomiarów

– wynik pomiaru

Wynik pomiaru

Jest to wartość przypisana wielkości

mierzonej, uzyskana drogą pomiaru.

Błędy pomiarów

- definicja

Błąd pomiaru

Różnica miedzy wynikiem pomiaru a

wartością prawdziwą wielkości mierzonej

Ponieważ wartość prawdziwa nie może być określona,

stosuje się w praktyce wartość umownie prawdziwą

Błędy pomiarów

- sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci bezwzględnej

x = y – x

r

Gdzie:

x – wartość błędu

y – wynik
x

p

– mara poprawna wielkości

Błędy pomiarów

- sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci bezwzględnej

• jest liczbą mianowaną

• wyrażany jest w jednostkach wielkości

mierzonej

• jest opatrzony znakiem (+ lub -)

Znak „+” oznacza, że wynik pomiaru jest większy od

wartości rzeczywistej, znak „-”, że jest mniejszy od
wartości rzeczywistej mierzonej wielkości

Błędy pomiarów

- sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci względnej

x =

--------

100%

Gdzie:

x – wartość błędu

y – wynik
x

p

– mara poprawna wielkości

y – x

p

x

p

Błędy pomiarów

- sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci względnej

• jest wyrażany liczbą niemianowaną

• jest wyrażany w procentach

Błędy pomiarów

- rodzaje

Błędy pomiarów

- błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy

Jest to błąd pomiaru, który podczas

wielokrotnego wykonywania pomiaru tej

samej wartości pewnej wielkości, w

praktycznie tych samych warunkach,

przybiera różne wartości i znaki,

zmieniające się według nie ustalonego

prawa.

Błędy pomiarów

- błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy - wartość

Jest to różnica między wynikiem pomiaru a

średnią z nieskończonej liczby wyników

pomiarów tej samej wielkości mierzonej,

wykonanych w warunkach powtarzalności

.

Błędy pomiarów

- błąd systematyczny

Błąd systematyczny

Jest błąd pomiaru, który podczas

wielokrotnego wykonywania pomiaru tej

samej wartości pewnej wielkości, w

praktycznie tych samych warunkach,

pozostaje niezmienny, lub zmienia się w

funkcji parametru, według ustalonego

prawa.

Błędy pomiarów

- błąd systematyczny

Błąd systematyczny - wartość

Jest to różnica między średnią z

nieskończonej liczby wyników pomiarów tej

samej wielkości mierzonej, wykonanych w

warunkach powtarzalności, a wartością

prawdziwą wielkości mierzonej.

Błędy pomiarów

- błąd nadmierny

Błąd nadmierny

Jest to błąd zbyt duży w stosunku do błędów

przypadkowych i systematycznych

Błędy pomiarów

- graficzna interpretacja

Błędy pomiarów

- surowy wynik pomiaru

Surowy wynik pomiaru

Jest to wynik wynik pomiaru

przed korektą błędu systematycznego

Błędy pomiarów

- poprawiony wynik pomiaru

Poprawiony wynik pomiaru

Jest to wynik pomiaru

po korekcie błędu systematycznego

Błędy pomiarów

- wynik pomiaru – sposób zapisu

Gdy podaje się wynik, należy wyraźnie
zaznaczyć, czy dotyczy on:

•wskazania wyniku surowego

•wyniku poprawionego i czy jest średnią
uzyskaną z wielu obserwacji.

Całkowite wyrażenie wyniku pomiaru
zawiera dane dotyczące niepewności
pomiaru

Błędy pomiarów

- wskazanie

Wskazanie przyrządu pomiarowego

Jest to wartość wielkości

podawana przez przyrząd pomiarowy.

Błędy pomiarów

- wielkość wpływająca

Wielkość wpływająca

Jest to wielkość nie będąca wielkością

mierzoną, która ma jednak wpływ na wynik

pomiaru.

Błędy pomiarów

- wielkość wpływająca

Wielkość wpływająca

Przykłady:

• temperatura mikrometru podczas pomiaru

długości

• częstotliwość podczas pomiaru amplitudy

przemiennego napięcia elektrycznego

• stężenie bilirubiny podczas pomiaru stężenia

hemoglobiny w próbce plazmy krwi ludzkiej

.

Błędy pomiarów

- dokładność pomiaru

Dokładność pomiaru

Jest to stopień zgodności wyniku pomiaru

z wartością rzeczywistą wielkości mierzonej.

Błędy pomiarów

- powtarzalność (wyników pomiaru)

Powtarzalność

Jest to stopień zgodności wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielkości mierzonej,

wykonywanych w tych samych warunkach

pomiarowych.

Błędy pomiarów

- powtarzalność (wyników pomiaru)

Warunki powtarzalności wyników

pomiarów

• ta sama procedura pomiarowa i ten sam

obserwator

• ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w

tych samych warunkach i to samo miejsce

• powtarzanie pomiaru w krótkich odstępach

czasu

.

Błędy pomiarów

- odtwarzalność (wyników pomiaru)

Odtwarzalność

Jest to stopień zgodności wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielkości mierzonej,

wykonywanych w tych samych warunkach

pomiarowych.

Błędy pomiarów

- odtwarzalność (wyników pomiaru)

Warunki odtwarzalności wyników

pomiarów

• Warunki podlegające zmianom mogą obejmować:

zasadę pomiaru, metodę pomiaru, obserwatora,
przyrząd pomiarowy, etalon (wzorzec)
odniesienia, miejsce, warunki stosowania, czas.

• Odtwarzalność można wyrażać ilościowo za

pomocą charakterystyk rozrzutu wyników

.

Podstawy metrologii

Niepewność pomiarowa i jej wyznaczanie

Błędy pomiarów

- błędy przypadkowe

Błędy pomiarów
-

niepewność pomiarowa

Niepewność pomiarowa

Nieujemny parametr,

charakteryzujący rozproszenie wartości

wielkości przyporządkowanych do mezurandu,

obliczony na podstawie uzyskanej informacji

Międzynarodowy Słownik
Metrologiczny

Błędy pomiarów
-

niepewność pomiarowa

Niepewność pomiarowa

• Parametrem niepewności może być odchylenie

standardowe albo połowa szerokości przedziału

odpowiadającego określonemu poziomowi

ufności.

• Przyjmuje się, ze wynik pomiaru stanowi

najlepsze oszacowanie wartości wielkości

mierzonej i że wszystkie składniki niepewności,

włącznie z tymi, które pochodzą od efektów

systematycznych, jak na przykład składniki

związane z poprawkami lub z wzorcami

odniesienia, wnoszą swój udział do rozrzutu.