Wstęp

Celem dwiczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie pomiaru okresu drgao
wahadła matematycznego oraz sprawdzenie zależności okresu drgao wahadła od jego długości.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici,
umieszczony w polu siły ciężkości. Układ taki nie istnieje w rzeczywistości , ale przybliżonym modelem
wahadła matematycznego może byd ciężkie ciało (metalowa kulka) zawieszona na lekkiej nici, której długośd
jest znacznie większa od wymiarów tego ciała. Ogólna wartośd przyspieszenia wynosi 9.80665 m/s

2

-

wykorzystuje się nią do obliczeo nie wymagających bardzo wysokiej precyzji. Wartośd ta została przyjęta przez
3 Generalną Konferencję Miar i Wag w 1901 roku. Odpowiada ona ziemskiemu przyspieszeniu grawitacyjnemu
na poziomie morza na szerokości geograficznej około 45,5°.

Obliczenia i pomiary

Pomiary długości nici wahadła matematycznego zostały wykonane z dokładnością określoną jako 0,05±0,06m.
Zmierzono czasy wychylenia wahadła 40 okresów dla każdej długości nici. Czynnośd tę powtórzono 2 krotnie, a czasy uśredniono i
zapisano w tabeli poniżej.
Wykorzystane do obliczeo dane zostały uwzględnione bez zaokrąglenia.
Do przedstawienia wyników wykonane zostało zaokrąglenie zgodnie z instrukcjami laboratoryjnymi do 2 miejsc znaczących.
Tabela 1. przestawia wartości okresu T dla czasów zapisanych w karcie pomiarowej z uwzględnieniem długości nici wahadła.
Do obliczenia czasów użyto mierników cyfrowych z dokładnością ±0,01s. Pojedynczy okres drgao dla wahadła dla opisywanego
przypadku obliczono ze wzoru:

𝑇

1,2,ś𝑟

=

𝑡

1,2,ś𝑟

40

Następnie wykonana została analiza niepewności dla uśrednionych wartości okresu (T

śr

) co przedstawia Tabela 2.

Tabela 1. Dane pomiarowe - czasy, okresy oraz uśrednione wartości danych

Wartości niepewności zostały obliczone przy wykorzystaniu następującego wzoru:

𝑢 𝑇ś𝑟 =

(𝑇

𝑖

−𝑇

ś𝑟

)

2

𝑛

𝑖=1

𝑛(𝑛−1)

Tabela 2. Niepewności pomiarowe okresu T

śr

Kolejnym krokiem było obliczenie wartości zmiennej x wg wzoru:

𝑥 =

𝑇

2𝜋

2

.

Niepewnośd u(x) :

𝑢 𝑥 =

𝜕𝑥

𝜕𝑇

ś𝑟

𝑢(𝑇ś𝑟)

2

=

𝑇

ś𝑟

2𝜋

2

∗ 𝑢 𝑇ś𝑟

t

1

[s]

T

1

[s]

t

2

[s]

T

2

[s]

t

śr

[s]

T

śr

[s]

l[m]

26,59

0.66475

26,51

0.66275

26,55

0.66375

0,1

36,41

0.91025

36,31

0.90775

36,36

0.90900

0,2

44,89

1.12225

44,14

1.10350

44,51

1.11275

0,3

51,10

1.27750

51,43

1.28575

51,26

1.28150

0,4

57,54

1.43850

57,28

1.43200

57,41

1.43525

0,5

62,51

1.56275

62,49

1.56225

62,50

1.56250

0,6

67,64

1.69100

67,46

1.68650

67,55

1.68875

0,7

71,91

1.79775

72,05

1.80125

71,98

1.79950

0,8

76,39

1.90975

76,43

1.91075

76,41

1.91025

0,9

80,59

2.01475

80,40

2.01000

80,50

2.01250

1,0

84,21

2.10525

84,25

2.10625

84,23

2.10575

1,1

87,69

2.19225

87,70

2.19250

87,69

2.19225

1,2

dł. wahadła - l [m]

okres T

śr

[s]

Niepewność u( T

śr

)

0,1

0.66375

0,00110

0,2

0.90900

0,00130

0,3

1.11275

0,00940

0,4

1.28150

0,00420

0,5

1.43525

0,00330

0,6

1.56250

0,00026

0,7

1.68875

0,00230

0,8

1.79950

0,00180

0,9

1.91025

0,00051

1

2.01250

0,00240

1,1

2.10575

0,00051

1,2

2.19225

0,00018

𝑢 𝑔 =

𝑔

𝑡𝑎𝑏𝑙 .

− 𝑔

2

𝑛

𝑖=1

𝑛(𝑛 − 1)

𝒈

𝒕𝒂𝒃𝒍.

= 𝟗. 𝟖𝟎𝟔 𝒎/𝒔

𝟐

.

𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟕(𝟒𝟏) 𝒎/𝒔

𝟐

.

𝒖(𝒈) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟏 𝒎/𝒔

𝟐

.

y = 9.747034x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

D

Ł. W

A

H

A

D

ŁA

L [M]

X [S

2

]

l [m]

x[s

2

]

u(x)

1,2

0.011170

0.000037

1,1

0.020951

0.000060

1,0

0.031396

0.000530

0,9

0.041640

0.000273

0,8

0.052231

0.000240

0,7

0.061904

0.000021

0,6

0.072312

0.000197

0,5

0.082107

0.000164

0,4

0.092525

0.000049

0,3

0.102695

0.000245

0,2

0.112433

0.000054

0,1

0.121859

0.000020

Wnioski

W dostępnych warunkach laboratoryjnych największy wpływ na dokładnośd wyników miało niejednakowe
wychylanie kulki od pionu oraz błąd ustawienia długości nici wahadła. Przy każdej próbie kąt wychylenia kulki z
położenia równowagi był inny, a zastosowany wzór stanowi tylko przybliżenie i jest właściwy tylko dla małych
kątów.