www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
W
ZORY REDUKCYJNE
Wzory redukcyjne pozwalaj ˛
a sprowadzi´c liczenie warto´sci funkcji trygonometrycznej do-
wolnego k ˛
ata do liczenia warto´sci funkcji trygonometrycznych k ˛
atów ostrych. Innymi sło-
wy, je ˙zeli umiemy liczy´c funkcje trygonometryczne dla k ˛
atów ostrych, to umiemy je liczy´c
dla dowolnych k ˛
atów.
Wzorów redukcyjnych jest du ˙zo (w zasadzie niesko ´nczenie wiele), wi˛ec nic dziwnego,
˙ze sprawiaj ˛
a kłopoty. Warto jednak ich si˛e nauczy´c, bo s ˛
a one kluczowe w wielu zadaniach
z trygonometrii.
Okresowo´s´c
Najprostsze wzory redukcyjne to wzory na okresowo´s´c funkcji trygonometrycznych:
sin
(
x
+
2kπ
) =
sin x
cos
(
x
+
2kπ
) =
cos x
tg
(
x
+
kπ
) =
tg x
ctg
(
x
+
kπ
) =
ctg x.
Te wzory s ˛
a łatwe do zapami˛etania i powinni´smy je stosowa´c zupełnie automatycznie.
Obliczmy sin
π
3
+
sin
5π
3
.
Liczymy
sin
π
3
+
sin
5π
3
=
sin
π
3
+
sin
2π
−
π
3
=
=
sin
π
3
+
sin
−
π
3
=
sin
π
3
−
sin
π
3
=
0.
Je ˙zeli my´slimy, ˙ze wzory na okresowo´s´c pozwalaj ˛
a nam przesuwa´c argumenty sinusa/cosinusa
o wielokrotno´s´c 2π, to pełne wzory redukcyjne pozwalaj ˛
a przesuwa´c te argumenty o wielo-
krotno´sci
π
2
, czyli znacznie drobniej.
Ogólne wzory redukcyjne
Nie przedłu ˙zaj ˛
ac, ogólna posta´c wzorów redukcyjnych jest nast˛epuj ˛
aca
f unkcja
k
·
π
2
±
x
=
(
±
f unkcja
(
x
)
je ˙zeli k jest parzyste
±
ko f unkcja
(
x
)
je ˙zeli k jest nieparzyste.
Wzór wygl ˛
ada gro´znie, ale postaramy si˛e wszystko wyja´sni´c.
Słowo ’funkcja’ w tym wzorze mo ˙ze by´c jedn ˛
a z funkcji sin, cos, tg, ctg. Słowo ko f unkcja
odpowiada zamianom
sin
↔
cos
tg
↔
ctg,
czyli np. je ˙zeli f unkcja
=
cos to ko f unkcja
=
sin itd. To, czy funkcja zostaje bez zmian, czy
te ˙z zamienia si˛e na kofunkcj˛e, zale ˙zy od parzysto´sci k. O wyra ˙zeniu
±
x nale ˙zy my´sle´c, ˙ze
jest to albo
+
x albo
−
x.
Ostatnia kwestia do wyja´snienia to znak
±
z prawej strony wzoru. W jego miejsce wpi-
sujemy ’+’ lub ’-’ w zale ˙zno´sci od tego, w której ´cwiartce jest k ˛
at k
·
π
2
±
x. Przypomnijmy
regułk˛e znaków funkcji trygonometrycznych.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
W pierwszej wszystkie s ˛
a dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i
cotangens, a w czwartej cosinus.
Wracaj ˛
ac do znaków, patrzymy w której ´cwiartce jest k ˛
at k
·
π
2
±
x (przy czym o x nale ˙zy
my´sle´c jak o k ˛
acie ostrym!), z regułki patrzymy jaki jest znak f unkcji (tej z lewej strony
wzoru!) i taki znak piszemy z prawej strony.
Przykłady
Zróbmy kilka przykładów.
Wyprowad´zmy wzór na sin
(
π
−
x
)
.
Mamy k
=
2, czyli funkcja nam si˛e nie zmieni. π
−
x to druga ´cwiartka, czyli sinus
jest dodatni. Zatem
sin
(
π
−
x
) =
sin x.
Podobnie jest dla sin
(
π
+
x
)
, ale tym razem jest to trzecia ´cwiartka, czyli sinus jest
ujemny. Zatem
sin
(
π
+
x
) = −
sin x.
Wyprowad´zmy wzór na tg
π
2
+
x
. Mamy k
=
1, czyli funkcja zmieni si˛e na ctg.
Jeste´smy w drugiej ´cwiartce, czyli funkcja tangens jest ujemna. Daje to nam wzór
tg
π
2
+
x
= −
ctg x.
I tak dalej, idea powinna by´c ju ˙z jasna. W ramach ´cwicze ´n radz˛e wyprowadzi´c sobie wzorki
sin
π
2
+
x
=
cos x
cos
π
2
+
x
= −
sin x
tg
3π
2
+
x
= −
ctg x
ctg
5π
2
−
x
=
tg x
cos
(
π
−
x
) = −
cos x
ctg
(
5π
+
x
) =
ctg x
sin
x
−
π
2
= −
cos x
cos
x
−
3π
2
= −
sin x
oraz
f unkcja
π
2
−
x
=
ko f unkcja
(
x
)
.
Obliczmy sin
π
7
+
cos
9π
14
.
Liczymy
sin
π
7
+
cos
9π
14
=
sin
π
7
+
cos
7π
+
2π
14
=
=
sin
π
7
+
cos
π
2
+
π
7
=
sin
π
7
−
sin
π
7
=
0.
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Jest łatwy sposób zapami˛etania, kiedy we wzorze redukcyjnym funkcja zostaje bez zmian,
a kiedy zmienia si˛e na kofunkcj˛e: funkcja pozostaje bez zmian wtedy i tylko wtedy je ˙zeli we
wzorze mamy wielokrotno´s´c π (czyli k parzyste). W pozostałych przypadkach, czyli gdy π
wyst˛epuje w ułamku z mianownikiem 2 (k nieparzyste), funkcj˛e zmieniamy na kofunkcj˛e.
We wzorach na sin
(
3π
−
x
)
, tg
(
x
−
5π
)
, ctg
(
x
+
π
)
funkcja si˛e nie zmieni, a we
wzorach na sin
3π
2
−
x
, tg x
−
5π
2
, ctg x
+
π
2
funkcja zmieni si˛e na kofunkcj˛e.
2
Jak to zwykle bywa, im wi˛ecej rzeczy pami˛etamy, tym mniej tracimy czasu na wertowanie
tablic. Najcz˛e´sciej wyst˛epuj ˛
ace wzory redukcyjne to
sin
(
π
−
x
) =
sin x
sin
(
π
+
x
) = −
sin x
cos
(
π
−
x
) = −
cos x
cos
(
π
+
x
) = −
cos x
sin
π
2
+
x
=
cos x
cos
π
2
+
x
= −
sin x
oraz
f unkcja
π
2
−
x
=
ko f unkcja
(
x
)
.
Powy ˙zsze wzory, plus wzory na okresowo´s´c i parzysto´s´c/nieparzysto´s´c funkcji trygonome-
trycznych, w zasadzie wystarczaj ˛
a do rozwi ˛
azania wi˛ekszo´sci szkolnych zada ´n.
Wiedz ˛
ac, ˙ze cos α
=
1
9
znajd´z k ˛
at β, dla którego cos β
= −
1
9
.
Ze wzoru redukcyjnego cos
(
π
−
x
) = −
cos x, mo ˙zemy wzi ˛
a´c β
=
π
−
α
.
Wiedz ˛
ac, ˙ze cos x
=
√
7
7
oblicz sin
5π
2
+
x
.
Liczymy
sin
5π
2
+
x
=
sin
2π
+
π
2
+
x
=
sin
π
2
+
x
=
cos x
=
√
7
7
.
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
3
Jeden z najwa ˙zniejszych wzorów redukcyjnych to
f unkcja
π
2
−
x
=
ko f unkcja
(
x
)
.
Wzór ten pozwala zamienia´c funkcj˛e na kofunkcj˛e.
Upro´s´cmy wyra ˙zenie tg
π
8
tg
3π
8
.
Liczymy
tg
π
8
tg
3π
8
=
tg
π
8
tg
π
2
−
π
8
=
tg
π
8
ctg
π
8
=
1.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie tg x
=
ctg x.
Korzystaj ˛
ac ze wzoru tg
π
2
−
x
=
ctg x mamy
tg x
=
tg
π
2
−
x
⇐⇒
x
=
π
2
−
x
+
kπ
⇐⇒
2x
=
π
2
+
kπ
⇐⇒
x
=
π
4
+
kπ
2
, k
∈
C
4
Zamiast uczy´c si˛e regułki o znakach funkcji trygonometrycznych, niektóre osoby wol ˛
a ko-
rzysta´c z definicji funkcji trygonometrycznych w okr˛egu jednostkowym. Dokładnie omówi-
li´smy to w
poradniku o funkcjach trygonometrycznych
, ale krótko przypomnijmy, ˙ze współ-
rz˛edne ko ´nca promienia okr˛egu jednostkowego, który tworzy z osi ˛
a Ox k ˛
at α s ˛
a równe
(
cos α, sin α
)
.
α
(cos(α),sin(α))
sin(α)
cos(α)
1
Z tej interpretacji łatwo sobie przypomnie´c, ˙ze sinus (druga współrz˛edna) jest dodatni w
I i II ´cwiartce, a cosinus (pierwsza współrz˛edna) w I i IV.
Tangens/cotangens jest dodatni tam, gdzie sinus i cosinus maj ˛
a ten sam znak, czyli w I i
III ´cwiartce, a jest ujemny w II i IV ´cwiartce.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
5
Niezwykle istotne jest pami˛etanie, ˙ze ustalaj ˛
ac ´cwiartk˛e, w której jest k ˛
at k
·
π
2
±
x (lewa
strona ogólnego wzoru redukcyjnego) musimy o k ˛
acie x my´sle´c jak o k ˛
acie ostrym! – nawet,
je ˙zeli x wcale nie jest k ˛
atem ostrym!
Przekształcaj ˛
ac wyra ˙zenie sin
(
3π
+
7
9
π
)
my´slimy o wzorze
sin
(
3π
+
x
) = −
sin x,
gdzie znak wybrali´smy traktuj ˛
ac x jako k ˛
at ostry. Z tego wzoru mamy
sin
(
3π
+
7
9
π
) = −
sin
7
9
π
,
pomimo, ˙ze
7
9
π
nie jest k ˛
atem ostrym!
6
Sk ˛
ad si˛e bior ˛
a wzory redukcyjne? W przypadku funkcji sinus i cosinus, wzory redukcyjne
s ˛
a poł ˛
aczeniem trzech własno´sci tych funkcji:
a) okresowo´sci sinusa: sin
(
x
+
2kπ
) =
sin x;
b) symetrii wykresu sinusa wzgl˛edem prostej x
=
π
2
, daje to wzór sin
(
π
−
x
) =
sin x;
c) faktu, ˙ze wykresy sinusa i cosinusa s ˛
a przesuni˛ete wzgl˛edem siebie o
π
2
, daje to wzór
sin
(
π
2
−
x
) =
cos x
Gdy si˛e człowiek chwil˛e zastanowi i pozbiera te trzy własno´sci razem, to wzory redukcyjne
robi ˛
a si˛e do´s´c oczywiste.
O ile pierwsze dwa z powy ˙zszych wzorów s ˛
a wła´sciwie cz˛e´sci ˛
a procedury roz-
szerzenia dziedziny sinusa poza k ˛
aty ostre, o tyle trzeci wzór jest natychmiastow ˛
a
konsekwencj ˛
a definicji funkcji trygonometrycznych w trójk ˛
acie prostok ˛
atnym:
sin
(
90
◦
−
α
) =
b
c
=
cos α.
a
b
c
α
90-α
o
Wzory dla tangensa i cotangensa najlepiej traktowa´c jako wniosek ze wzorów dla sinusa i
cosinusa.
Materiał pobrany z serwisu
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Trygonometria, wzory redukcyjne
wzory redukcyjne
matematyka wzory redukcyjne
matematyka wzory redukcyjne
wzory redukcyjne
metody redukcji odpadów miejskich ćwiczenia
W15 reakcje utlenienia redukcji
REDUKCJE POMIARÓW ASTRONOMICZNYCH
Sposoby redukcji stresu
Enzymatyczna redukcja związków karbonylowych i zawierających wiązania C=C
matematyka podstawowe wzory i Nieznany
Fizyka 2 zadania, wzory
Fizyka Wzory I Prawa Z Objaśnieniami cz 1 [Jezierski, Kołodka]
9a Napiecia dotykowe wzory ozna Nieznany (2)
wniosek o wydanie odpisu aktu urodzenia, Wzory dokumentow
więcej podobnych podstron