4. lim

an

n

= limn an jeśli lim

Suma, różnica, iloczyn oraz iloraz dwóch funkcji ciągłych jest funkcją b

n bn 6= 0

n

limn bn

ciągłą. Wszystkie wielomiany są ciągłe. Jeśli f jest ciągła to również |f |

Analiza I

5. Jeśli |q| < 1 to limn qn = 0

√

jest ciągła. Złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe. Funkcja Dirichleta 6. lim

n

n

n = 1

D(x) = [[x ∈ Q]] nie jest ciągła w żadnym punkcie.

Def. exp(x) = P∞

xn

WPPT PWr

Tw. Jeśli ciąg jest zbieżny do granicy g to każdy jego (nieskończony) n=0 n!

podciąg jest zbieżny do g

Podstawowe własności: exp(x + y) = exp(x) exp(y), exp(x) = ex.

Tw. [Weierstrass] Każdy ograniczony ciąg posiada podciąg zbieżny.

Tw. Funkcja f : A → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ A wtedy i tylko Wprowadzenie

Tw. [O trzech ciągach] Jeśli a

wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (a

n ≤ bn ≤ cn dla wszystkich n oraz

n) punktów ze zbioru A zbieżnego

lim an = lim cn = g to lim bn = g.

do x0 mamy limn f (an) = f (limn an)

Ważne wzory, fakty i nierówności

Def. e = P

1 = 2.7182818284590452353602874713...

k k!

Tw. Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest ciągła i f(a)<0<f(b), to istnieje 1. 1 + 2 + . . . + n = n(n+1)

Def. Ciąg (an) jest ciągiem Cauchy’ego jeśli

takie c ∈ (a, b), że f (c) = 0.

2

(∀ε > 0)(∃N )(∀n, m > N )(|an − am| < ε)

Tw. Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest ciągła i monotoniczna, to 2. 12 + 22 + . . . + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1)

6

Tw. Każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

f [(a, b)] = (α, β) dla pewnych α, β oraz f −1 : (α, β) jest ciągła.

Tw. Jeśli P∞

|a

a

n=0

n| < ∞ to szereg P∞

n=0

n jest zbieżny.

Def. ln(x) = exp−1(x)

3. Jeśli q 6= 1 to 1 + q + q2 + . . . + qn = 1−qn+1

1−q

Ważne granice :

Podstawowe własności logarytmu: ln(exp(x)) = x,

√

4.

2 /

∈ Q

1. lim(1 + 1 )n = e

ln(x · y) = ln x + ln y, ln(xa) = a ln x, xa = exp(a ln x), n

log

, ln(2) ≈ 0.693147.

5. Bernouli: (∀x ≥ −1)(∀n ∈

1

2 x = ln x

ln 2

N) ((1 + x)n ≥ 1 + nx)

2. P∞

= 1

n=1 n(n+1)

Def. Niech f : A → R i x0 ∈ (a, b). Wtedy limx→x f (x) = g jeśli 0

6. n! = 1 · 2 · . . . n

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)(0 < |x − x

3. P∞

1 = ∞

0| < δ → |f (x) − g| < ε)

n=1 n

Funkcja f jest ciągła w punkcie a jeśli lim

7.

n =

n!

x→a f (x) = f (a)

k

k!(n−k)!

4. P∞

1

Tw.

n=1

[Weierstrass] Jeśli f : [a, b] →

na < ∞ ↔ a > 1

R jest ciągła to istnieje x0 ∈ [a, b]

8.

n +

n = n+1

takie, że f (x0) = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}

k

k+1

k+1

(−1)n+1

5. P∞

jest zbieżny

n=1

n

Def. Niech f : R → R. Wtedy limx→∞ f (x) = g jeśli

9. |x + y| ≤ |x| + |y|

Def. Liczba g jest punktem skupienia ciągu (a

(∀ε > 0)(∃D)(∀x > D)(|f (x) − g| < ε)

n) jeśli

10. Nierówność trójkąta: |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|

(∀ε > 0)(∀N )(∃n > N )(|a

Def. Niech f : A →

f (x) = ∞ jeśli

n − g| < ε)

R i x0 ∈ (a, b). Wtedy limx→x0

(∀E)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)(0 < |x − x0| < δ → f (x) > E) 11. Wzór dwumianowy: (x + y)n = Pn

nxkyn−k

Tw. g jest punktem skupienia ciągu (an) wtedy i tylko wtedy, gdy k=0

k

istnieje pociąg ciągu (a

Istnieje szereg dalszych wariantów granicy: w −∞, lewostronne, n) zbieżny do g

q

q

prawostronne itd.

12. Cauchy: | Pk

a

Pk

a2

Pk

a2

Def. g = lim supn an jeśli dla każdego ε > 0 istnieje N takie, że n=1

nbn| ≤

n=1

n

n=1

n

(∀n > N )(an < g + ε) oraz (∀ε > 0)(∀N )(∃n > N )(an > g − ε) Różniczkowanie

Indukcja matematyczne

Tw. lim supn an = sup{g : g jest punktem skupienia (an)}

an+1

f (x+h)−f (x)

1. Wariant 1: Każdy niepusty podzbiór

Tw. [Kryterium d’Alamberta] Jeśli lim sup |

| < 1 to

N ma element najmniejszy.

n

a

Def.

f 0(x) = lim

n

h→0

h

P∞

|an| < ∞.

2. Wariant 2: Jeśli A ⊆

n=0

N, a ∈ A oraz

| n

p|

Podstawowe wzory

(∀n)(n ∈ A → n + 1 ∈ A)

a

, to (∀n ∈

Tw. [Kryterium Cauchy’ego] Jeśli lim sup

n| < 1 to

N)(n ≥ a → n ∈ A)

n

P∞

|a

1. (xa)0 = axa−1

n=0

n| < ∞.

3. Wariant 3: Nie istnieje ostro malejący nieskończony ciąg liczb Tw. [O zagęszczaniu] Jeśli a0 ≥ a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ 0 to naturalnych.

2. (f ± g)0 = f 0 ± g, (f · g)0 = f 0 · g + f · g0,

P∞

a

2na

n=0

n < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy P∞

n=0

2n < ∞.

(f /g)0 = (f 0 · g − f · g0)/(g2)

Uwaga: wszystkie powyższe warianty indukcji są równoważne.

Def. (an) = O((bn)) jeśli istnieje C > 0 oraz N takie, że (∀n > N )(|a

3. (f ◦ g)0(x) = f 0(g(x)) · g0(x)

n| ≤ C |bn|)

Supremum

Tw. (an) = O((bn)) wtedy i tylko wtedy, gdy lim sup | an |

n

< ∞.

bn

4. (f −1)0(x) = 1/f 0(f −1(x))

Def. α = sup(A) jeśli (∀x ∈ A)(x ≤ α) oraz

Def. (an) = Θ((bn)) jeśli (an) = O((bn)) i (bn) = O((an)) 5. (ex)0 = ex, (ln x)0 = 1/x, sin0(x) = cos(x),

(∀β) ((∀x ∈ A)(x ≤ β) → α ≤ β)

Funkcje ciągłe

cos0(x) = − sin(x) (ln(x))0 = 1/x,

√

arcsin(x)0 = 1/ 1 − x2, (arctan(x))0 = 1/(1 + x2),

Zasada supremum: Każdy ograniczony z góry zbiór liczb Trygonometria w kapsułce: ei·t = cos(t) + i sin(t), gdzie t ∈ R.

(ax)0 = ln(a)ax

rzeczywistych ma supremum.

1. sin2(x) + cos2(x) = 1

Def. f ma lokalne maksimum (minimum) w punkcie a jeśli istnieje Ciągi

2. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

ε > 0 takie, że f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)) dla wszystkich Def. g = limn an jeśli

3. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)

x ∈ (a − ε, a + ε)

Tw. Jeśli f jest różniczkowalna w (a, b) oraz ma lokalne ekstremum w (∀ε > 0)(∃N )(∀n > N )(|an − g| < ε)

4. tan(x + y) = tan(x)+tan(y)

1−tan(x) tan(y)

punkcie c ∈ (a, b) to f 0(c) = 0.

Tw. Każdy monotoniczny, ograniczony ciąg jest zbieżny.

Def. Funkcja f : A →

Tw. [Rolle] Jeśli f : [a, b] →

R jest ciągła w punkcie x

R jest ciągła, różniczkowalna w (a, b)

0 ∈ A jeśli

Ważne granice i wzory:

oraz f (a) = f (b) = 0 to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f 0(c) = 0.

Tw. [Lagrange] Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła oraz różniczkowalna w 1. lim

1

n

= 0

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)(|x − x

n

0| < δ → |f (x) − f (x0)| < ε)

(a, b) to istnieje c ∈ (a, b) takie, że

2. limn(an ± bn) = limn an ± limn bn

Def. Funkcja f : A → R jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie f (b) − f (a)

3. lim

= f 0(c)

n(an · bn) = limn an · limn bn

zbioru A.

b − a

Tw. [Cauchy] Jeśli f, g : [a, b] → R są ciągłe i różniczkowalna w (a, b) gdzie Σ jest zbiorem wszystkich podziałów odcinka [a, b]. Liczbę tę Szeregi potęgowe

oraz g0(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b) to istnieje c ∈ (a, b) takie, że nazywamy całką Riemana z funkcji f na odcinku [a, b] i oznaczana jest Def. Niech f (x) = P∞

a

n=0

nxn. Promieniem zbieżności f (x)

f (b) − f (a)

f 0(c)

symbolem R b f (x)dx.

a

nazywamy liczbę r = sup{x : P∞

|anxn| < ∞}.

=

Tw. Funkcje ciągłe są całkowalne w sensie Riemanna.

n=0

g(b) − g(a)

g0(c)

Tw. r = (lim sup n

p|a

Przykład: Funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych n|)−1

Tw. Jeśli r jest promieniem zbieżności f (x) oraz x ∈ (−r, r) to f jest f (k)(x)

(f (x) = 1 dla x ∈

Tw. [Wzór Taylora] f (x + h) = Pn−1

hk + f(n)(ζ) hn dla

Q oraz f (x) = 0 dla x ∈ R \ Q) nie jest całkowalna

różniczkowalna w x, f 0(x) = P

na

k=0

k!

n!

(w sensie Riemana) na żadnym przedziale.

n≥1

nxn−1 oraz promie ń

pewnego ζ ∈ (x, x + h)

zbieżności f 0 również wynosi r

Tw. Jeśli a < b < c to R c f (x)dx = R b f (x)dx + R c f (x)dx a

a

b

Tw. Jeśli r jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego f (x) =

Badanie własności funkcji

Tw. Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła, to istnieje c ∈ (a, b) takie, że P∞

a

1

nxn, oraz |x| < r to R x f (t)dt = P

anxn+1.

R b

n=0

0

n≥0 n+1

Każda funkcja jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej: f (x)dx = f (c) · (b − a)

a

Tw. ln

1

= P∞

1 xk dla |x| < 1

Tw. [Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego] Jeśli funkcja 1−x

k=1 k

f (x) + f (−x)

f (x) − f (−x)

f (x) =

+

f : R → R jest ciągła, to

Tw. sin(x) = P∞ (−1)k x2k+1

k=0

(2k+1)!

2

2

d Z x

Tw. cos(x) = P∞ (−1)k x2k

Tw. Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) mamy f 0(x) > 0 to f jest ostro f (t)dt

= f (x)

k=0

(2k)!

dx

a

rosnąca na (a, b)

Funkcje specjalne

Tw. Jeśli δ > 0 i f 0(x) < 0 dla x ∈ (a − δ, a) oraz f (x) > 0 dla Całka nieoznaczona

√

x ∈ (a, a + δ) i f jest ciągła w punkcie a to f ma lokalne ekstremum w

n

Def. (F (x) = R g(x)dx) ⇔ (F 0 = g)

Tw. [Wzór Stirlinga] n! ≈

2πn n

e

punkcie a

Całkę nieoznaczoną z funkcji f nazywamy również funkcją pierwotną Def. Γ(x) = R ∞ tx−1e−tdt (dla x > 0)

Def. Funkcja f : (a, b) →

0

R jest wypukła jeśli dla każdych

funkcji f .

Tw. Jeśli n ∈ N to Γ(n + 1) = n!

α, β ∈ (a, b) oraz t ∈ (0, 1) prawdziwa jest nierówność Tw. Jeśli F = R f (x)dx to R b f (x)dx = F (b) − F (a) Def. B(a, b) = R 1 xa−1(1 − x)b−1

a

0

f (tα + (1 − t)β) ≤ tf (α) + (1 − t)f (β)

+

Podstawowe wzory

Tw. Jeśli a, b ∈ N to B(a, b) = Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b)

Tw. Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) mamy f 00(x) > 0 to f jest wypukła na

1. R 1 = ln(x) + C

Def. Dla a ∈ R oraz k ∈ N: a = ak , gdzie ak = Qk−1(a − i) i=0

(a, b)

x

k

k!

Tw. Dla każdego a ∈

a

R i |x| < 1 mamy (1 + x)a = P

xk

Tw. Jeśli f 0(a) = 0 i f 00(x) > 0 (f 00(x) < 0) w pewnym otoczeniu a 2. jeśli a 6= −1 to R xadx =

1

xa+1 + C

k≥0

k

a+1

to f ma lokalne minimum (maksimum) w punkcie a

3. R exdx = ex + C,

Podstawowe polecenia programu

Tw. [Jensen] Jeśli f jest wypukła na przedziale [a, b], to dla dowolnych 4. R sin(x)dx = cos(x) + C,

x

Mathematica

1, . . . nn ∈ [a, b] oraz t1, . . . tn ≥ 0 takich, że t1 + . . . + tn = 1

mamy f (t

5. R cos(x)dx = − sin(x) + C

1x1 + . . . + tnxn) ≤ t1f (x1) + . . . tnf (xn).

1. Plot[f[x],{x, a, b}]: rysowanie wykresu funkcji jednej zmiennej Tw. Jeśli x1, . . . , xn > 0 to

6. R

1

dx = arctan(x) + C

1+x2

n

√

x

2. Limit[a[n], n -> \[Infinity]]: granica ciągu a[n]

≤ n

1 + . . . + xn

7. R f 0(x)g(x)dx = f (x)g(x) − R f (x)g0(x)dx

x

1

1 · xn ≤

+ . . . + 1

n

x

8. Jeśli g jest monotoniczna na [a, b], to

3. D[f[n], x]: pochodna funkcji f[x]

n

xn

R b

Rachunek całkowy

f (g(t))g0(t)dt = R g(b) f (x)dx

a

g(a)

4. D[f[n], {x, 2}]: pochodna drugiego rzędu funkcji f[x]

Podział odcinka [a, b]: ciąg σ = (x

Zastosowania

0, x1, . . . , xn) taki, że

5. Integrate[f[x],x]: całka nieoznaczona z funkcji (względem a = x0 < x1 < . . . < xn = b. u

Tw. e( n )n < n! < e(n + 1)( n )n

e

e

zmiennej x)

1

Całka Riemanna

Tw. ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n), gdzie Hn = Pn

k=1 k

6. Integrate[f[x],{x, a, b}]: całka oznaczona z funkcji na przedziale Def. Niech f : [a, b] → R oraz niech σ będzie podziałem odcinka [a, b].

1. koło o promieniu r ma pole πr2

[a, b]

Sumą dolną i sumą górną Riemana funkcji f dla podziału σ nazywamy 2. elipsa zadana równaniem x2 + y2 ≤ 1 ma pole πab.

liczby

a2

b2

7. Simplify[w]: upraszczanie wyrażenia w

3. koło o promieniu r ma obwód 2πr

X

X

s(f, σ) =

inf (f (x)) · |I| ,

S(f, σ) =

sup(f (x)) · |I| .

8. FullSimplify[w]: dokładniejsze upraszczanie wyrażenia w 4. kula o promieniu r ma objętość 3 πr3

x∈I

x∈I

4

I∈σ

I∈σ

5. kula o promieniu r ma powierzchnię 4πr2

9. Solve[u == v,x]: rozwiąż równanie u = v względem zmiennej x Def. Funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna jeśli 6. jeśli f 00(t) = g dla t ∈ R, to f (t) = 1 gt2 + v

2

0t + x0, gdzie

10. Plot[f[x,y],{x, a, b}, {y, c, d}]: rysowanie wykresu funkcji sup{s(f, σ) : σ ∈ Σ} = inf{S(f, σ) : σ ∈ Σ}

x0 = f (0) oraz v0 = f 0(0).

dwóch zmiennych