TWIERDZENIA RACHUNKU RÓśNICZKOWEGO
1. Monotoniczność funkcji
Twierdzenie Rolle’a.
Jeżeli funkcja x a f ( x)
1) jest ciągła w przedziale [a,b];
2) jest różniczkowalna w przedziale (a,b) (tzn. istnieje pochodna
x a f ' ( x) wewnątrz przedziału [a,b]) oraz
3) spełniony jest warunek f(a)=f(b), to istnieje punkt c∈(a,b) taki, że f ‘(c) = 0.
Geometrycznie Twierdzenie Rolle’a wyraża fakt, że jeżeli funkcja f
1) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b],
2) jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a,b) i
3) przyjmuje na końcach przedziały równe wartości, to istnieje w
przedziale (a,b) punkt c taki, w którym styczna do wykresu funkcji f jest równoległa do osi OX (zob.: Rys. 1)
Y
f’(c)=0
y=f(x)
f(a)=f(b)
0
a
c
c1
b
f’(c1)
Rys 1.
47
Twierdzenie Lagrange’a (twierdzenie o wartości średniej).
Jeżeli funkcja x a f ( x)
1) jest ciągła w przedziale [a,b];
2) jest różniczkowalna w przedziale (a,b), to istnieje punkt c∈(a,b) taki, f b
( ) − f ( a
że f '( c) =
) .
b − a
Interpretację geometryczną twierdzenia o wartości średniej można
f '( c) = t α
g
Y
f b
( ) − f ( a)
styczna
sieczna
= t β
g
b − a
P2
P3
P = ( a, f ( a))
1
y=f(x)
P = ( ,
b f ( b))
2
P = ( c, f ( c))
P
3
1
α
β
t α
g
= t β
0
a
c
g
b
odczytać z Rys. 2.
Rys 2.
Wnioski:
Niech będzie dana funkcja f : ( a, b)∈ x → y = f ( x)∈ R . Zakładamy, że funkcja f jest różniczkowalna w ( ,
a )
b , tzn. istnieje pochodna x a f '( x) .
Twierdzenie 1.1.
Jeżeli f '( x) = 0 dla x ∈( ,
a )
b , to funkcja f jest stała w przedziale ( ,
a )
b .
48
Twierdzenie 1.2.
Jeżeli f '( x) < 0 dla każdego x ∈( ,
a )
b , to funkcja f jest malejąca
w przedziale ( ,
a )
b .
Twierdzenie 1.3.
Jeżeli f '( x) > 0 dla każdego x ∈( ,
a )
b , to funkcja f jest rosnąca
w przedziale ( ,
a )
b .
Uwagi:
1. Twierdzenia 1.1, 1.2, 1.3, są prawdziwe również w przypadkach,
gdy przedziałami są (− ,
∞ b),( a,+ )
∞ ,(− ,
∞ + )
∞ .
2. Z Twierdzeń 1.2 i 1.3 wynika, że przedziałami monotoniczności
funkcji będą te przedziały, w których pierwsze pochodne funkcji
zachowały stały znak.
Przykład 1.1.
Rozważmy funkcję
2
x a f ( x) = 1− x .
Funkcja f jest określona w zbiorze D = [− ]
1
,
1
, bo dla −1 ≤ x ≤1 będzie
1
2
− x ≥ 0 .
Jako przedział ( ,
a )
b możemy przyjąć przedział ( ,
a )
b = (− )
1
,
1
. W tym
przedziale
funkcja
f
jest
różniczkowalna,
bo
istnieje
1
− x
x a f '( x) =
(−2 x) =
, gdy x ∈ (− )
1
,
1
. Ponieważ dla x ∈ (− )
1
,
1
2
2
2 1− x
1− x
będzie 1
2
− x > 0 , więc znak pochodnej f '( x) będzie zależał od znaku wyrażenia − x .
49
Jeżeli −1 ≤ x ≤ 0 , to − x > 0 i wtedy f '( x) > 0 . Zatem w przedziale (-1,0) funkcja jest funkcją rosnącą.
Jeżeli 0 ≤ x < 1, to − x < 0 i wtedy f '( x) < 0 . Zatem w przedziale (-1,0) funkcja jest funkcją malejącą.
− 0
Dla x = 0 będzie f '( )
0 =
= 0 .
1 − 02
Otrzymane wyniki możemy zestawić w następującej tabelce:
x
−1 < x < 0
x = 0
0 < x < 1
f ' ( x)
+
= 0
-
f ( x)
rosnąca
f (0) = 1
malejąca
Ćwiczenie 1.1.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności dla funkcji :
1. x a y = ax , gdy:
1.1. a = −3 ,
1.2. a = 3
,
2 .
a
2. x a y = h( x) = , gdy:
x
2.1. a = − 5
,
0 ,
2.2. a = 4 .
3. x a y = ax + b , gdy :
3.1. a = 2 i b = 1,
3.2. a = −1 i b = −3 .
3.3. a = 5
,
0 i b = 1
− ,
3.4. a = 3 i b = ,
0 7 .
4. x
y =
1
a
, gdy :
x − a
50
− ,
4.2. a = 1.
5. x
y = ax 2
a
− bx , gdy :
5.1. a = −1 i b = −3 ,
5.2. a = −1 i b = 3 ;
5.3. a = 2 i b = −1 ,
5.4. a = 1 i b = 4 .
2. Ekstremum lokalne funkcji
Zakładamy, że funkcja x a f ( x) jest określona w pewnym otoczeniu Ot( x ,δ ) = ( x − δ , x + δ ) punktu x .
0
0
0
0
Definicja 2.1.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x maksimum lokalne (minimum 0
lokalne), jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S( x ,δ ) = ( x − δ , x ) ∪ ( x , x + δ ) 0
0
0
0
0
punktu x , że :
0
f ( x) ≤ f ( x ) dla każdego x ∈ S( x ,δ ) , 0
0
( f ( x ) ≤ f ( x) dla każdego x ∈ S( x ,δ ) ).
0
0
y=f(x)
y=f(x)
max
ymax
min
ymin
X0-δ
0
X
X0+
0
δ
0
X0-δ
X0
X0+δ
51
Uwaga:
Jeżeli w podanych określeniach zamiast nierówności :
f ( x) ≤ f ( x ) ( f ( x ) ≤ f ( x) ) 0
0
są spełnione nierówności
f ( x) < f ( x ) ( f ( x ) < f ( x) ) 0
0
to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x maksimum (minimum) lokalne właściwe.
Maksimum lub minimum funkcji nazywamy ekstremum funkcji.
Twierdzenie 2.1. (Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji)
Jeżeli funkcja x a f ( x)
1. jest różniczkowalna (tzn. istnieje x a f '( x) ); 2. ma w punkcie x ekstremum lokalne, to f '( x ) = 0 .
0
0
Twierdzenie 2.2. (Warunek wystarczający na to, aby funkcja różniczkowalna f miała w punkcie x ekstremum lokalne)
0
Jeżeli funkcja x a f ( x)
1. jest różniczkowalna (tzn. istnieje x a f '( x)
52
0
3. w pewnym otoczeniu Ot( x ,δ ) punktu x pochodna f ' zmienia 0
0
znak. Przy czym:
3.1. jeżeli
f ' ( x) < 0 dla x − δ < x < x i f ' ( x) > 0 dla x x
x
to
0 <
< 0 + δ
0
0
funkcja f ma w punkcie x minimum lokalne;
0
3.2. jeżeli
f ' ( x) > 0 dla x − δ < x < x i f ' ( x) < 0 dla x x
x
to
0 <
< 0 + δ
0
0
funkcja f ma w punkcie x maksimum lokalne.
0
Twierdzenie 2.3. (Warunek wystarczający na to, aby funkcja różniczkowalna f miała w punkcie x ekstremum lokalne)
0
Jeżeli funkcja x a f ( x)
1. jest różniczkowalna (tzn. istnieje x a f '( x)
2. ma w pewnym otoczeniu Ot( x ,δ ) punktu x drugą pochodną 0
0
x a f ' '( x)
3. f '( x ) = 0 i f ''( x ) = 0 , to :
0
0
3.1. jeżeli f ''( x ) > 0 , to funkcja f ma w punkcie x minimum 0
0
lokalne;
3.2. jeżeli f ''( x ) < 0 , to funkcja f ma w punkcie x maksimum 0
0
lokalne.
53
Ćwiczenie 2.1.
Wskazać lub wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji x a f ( x) , gdy:
1
1. f ( x) = x 2 − 3 x ; 2. f ( x) =
; 3. f ( x) = x ; 4. f ( x) = ( x + 4)( x − ) 1 ;
x 2 − 3 x
1
5. f ( x) = ( x + )
4 ( x − )
1 ; 6.
f ( x)
2
= x + 4 ; 7. f ( x) =
; 8. f ( x) = sin x ;
2
x + 4
9. f ( x) = cos x .
Ćwiczenie 2.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji :
1. g( x) = ,
0 6 5
x − ,
2 25 4
x + 2 ;
2.
2
3
(
w t) = 500 + 81 t − 9 t − t dla 0 ≤ t ≤ 8 ; 2
160
3. k( x) = 9
,
0 x + 10 +
dla x > 0 .
x
Uwaga:
Jeżeli funkcja x a f ( x) :
Ma w punkcie x maksimum lokalne, to zapisujemy
0
f ( x ) = max f ( x), x ∈ Ot( x ,δ ) 0
0
max
ymax=f(x0)
y=f(x)
X0-δ
0
X
X
0
0+δ
54
Ma w punkcie x minimum lokalne, to zapisujemy
0
f ( x ) = min f ( x), x ∈ Ot( x ,δ ) 0
0
y=f(x)
min
ymin=f(x0)
0
X0-δ
X0
X0+δ
3. Wklęsłość i wypukłość funkcji (wykresu funkcji)
Zakładamy, że funkcja x a f ( x) jest określona i ciągła w przedziale ( , a )
b
Definicja 3.1. (Definicja 3.2.)
Funkcję f nazywamy wypukłą (wklęsłą) w przedziale ( ,
a )
b wtedy i tylko
wtedy, gdy:
1. dla każdych x i x z przedziału ( ,
a )
b ;
1
2
2. dla każdych α i α takich, że x + x = 1;
1
2
1
2
3. spełniony jest warunek :
f (α x + α x ) ≤ α f ( x ) + α f ( x ) zob. Rys. 7; 1 1
2
2
1
1
1
2
( f (α x + α x ) ≥ α f ( x ) + α f ( x ) zob. Rys 8.) 1 1
2
2
1
1
1
2
55
f(x2)=y2
sieczna
f (α x + α x ) ≤ α f ( x ) + α f ( x ) 1 1
2
2
1
1
1
2
P3
y=f(x)
funkcja f wypukła
P1
f(x
P4
1)=y1
α 1f(x1)+α 2f(x2)
f(α 1x1+α 2x2)
0
X
x=α1x1+α2x2
X
1
2
χ
y=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)
P2
styczna
f (α x + α x ) ≥ α f ( x ) + α f ( x ) P0
1 1
2
2
1
1
1
2
y0=f(x0)
P1
funkcja f wklęsła
f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)
f(x)
y=f(x)
0
Jeżeli ponadto założymy, że funkcja f ma w przedziale ciągłą
pochodną x a f ' ( x) , to:
Wykres funkcji f będzie krzywą wypukłą (wklęsłą) w przedziale ( , a )
b ,
jeżeli dla każdego x ∈ ( a, b) styczna do tej krzywej w punkcie P = ( x , f ( x )) 0
0
0
0
o odciętej x leży pod tą krzywą (leży nad tą krzywą) – zob. Rys. 9 (Rys.
0
10).
56
P1
f wypukła
styczna w punkcie P0 jest
y=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)
pod wykresem funkcji f
P2
styczna
f(x)
P0
y0=f(x0)
f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)
0
y=f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)
P2
styczna
P
f wkl
0
ęsła
y0=f(x0)
P1
styczna w punkcie P0 jest
nad wykresem funkcji f
f(x0)+f ‘(x0)(x-x0)
f(x)
y=f(x)
0
Twierdzenie 3.1.
Zakładamy, że funkcja x a f ( x) ma w przedziale ( , a )
b drugą pochodną
ciągłą.
Jeżeli f ''( x) > 0 dla x ∈ ( a, b) , to funkcja f jest wypukła w ( , a )
b
Jeżeli f ''( x) < 0 dla x ∈ ( a, b) , to funkcja f jest wklęsła w ( , a )
b
Przykłady:
1. Funkcja
2
x a f ( x) = x jest wypukła w (−∞,+∞) .
2. Funkcja
2
x a f ( x) = − x jest wklęsła w (−∞,+∞) .
3. Funkcja
3
x a f ( x) = x jest wklęsła w (−∞,0) , zaś wypukła w ( , 0 +∞) .
57
x
x a y = a jest wypukła w (−∞,+∞) , gdy a > 1, zaś wklęsła w (−∞,+∞) , gdy 0 < a < 1 .
5. Funkcja x a y = log x w przedziale ( ,
0 +∞) jest wypukła, gdy 0 < a < 1,
a
zaś wklęsła, gdy a > 1 .
6. Funkcja x a y = cos x jest wklęsła w przedziale ( π
− / ,
2 π / 2) .
4. Punkty przegięcia wykresu funkcji
Zakładamy, że funkcja x a f ( x) jest określona i ciągła w przedziale ( , a )
b .
Definicja 4.1.
Punkt P = ( x , f ( x )) , gdzie x ∈ ( a, b) nazywamy punktem przegięcia 0
0
0
wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Ot( x ,δ ) 0
punktu x takie, że:
0
1. Wykres funkcji jest wypukły dla x − δ < x < x (na lewo od x ) i 0
0
0
wklęsły dla x
x
x
;
0 <
< 0 + δ
2. Wykres funkcji jest wklęsły dla x − δ < x < x (na lewo od x ) i 0
0
0
wypukły dla x
x
x
;
0 <
< 0 + δ
Punkt przegięcia
Punkt przegięcia
y=f(x)
wykres
wklęsły
wykres
y=f(x)
P
wklęsły
P0
wykres
0
wykres
wypukły
wypukły
X
X
0-δ
X0
X
0-δ
X
0+δ
0
X0+δ
0
0
58
Zakładamy, że funkcja x a f ( x) :
1. jest określona w przedziale ( ,
a )
b ;
2. ma w przedziale ( ,
a )
b drugą pochodną x a f ''( x) ciągłą.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to by punkt P = ( x , f ( x )) , 0
0
0
gdy x ∈ ( a, b) , był punktem przegięcia wykresu funkcji f jest : 0
f ' ' ( x) < 0 dla x < x ; f ''( x ) = 0 , f ' ' ( x ) > 0 dla x > x .
0
0
0
0
albo :
f ' '( x) > 0 dla x < x ; f ''( x ) = 0 , f ''( x ) < 0 dla x > x .
0
0
0
0
f”(x)<0
P
P
0
f”(x)<0
0
f(x
f(x0)=y0
0)=y0
f”(x)>0
f”(x)>0
X0-δ
X
X
0
X0+δ
0-δ
X0
X0+δ
0
0
Ćwiczenie 4.1.
Wyznaczyć punkty przegięcia (o ile istnieją) funkcji x a f ( x) , gdy : 1
1. f ( x) =
;
2. f ( x) = sin x , gdy 0 ≤ x ≤ 2Π ;
2
x + 1
1
3. f ( x) = cos x , gdy 0 ≤ x ≤ 2Π ;
4.
3
f ( x) = x ;
5. f ( x) = x + .
x
59
5.1. Asymptoty pionowe
Definicja 5.1.
Prostą o równaniu x = x nazywamy asymptotą pionową funkcji y = f ( x) , 0
jeżeli przynajmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f w punkcie x 0
jest niewłaściwa, tzn., gdy:
1)
lim f ( x) = −∞ lub
lim f ( x) = +∞ (dla asymptot pionowych
−
−
x→
x→
0
x
0
x
prawostronnych)
2)
lim f ( x) = −∞ lub
lim f ( x) = +∞ (dla asymptot pionowych
+
+
x→
x→
0
x
0
x
lewostronnych)
Ćwiczenie 5.1.
Wyznaczyć asymptoty pionowe dla funkcji y = f ( x) , gdy: 1
1
1
1. f ( x) =
;
2. f ( x) =
;
3. f ( x) =
x
xe −1;
2
x −1
( x + )
3 ( x − )
1
−1
4.
2
f ( x)
−
= x ;
5. f ( x) =
.
x
5.2. Asymptoty poziome
Definicja 5.2.
Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji y = f ( x) , jeżeli lim f ( x) = b lub lim f ( x) = b .
x→+∞
x→−∞
60
Wyznaczyć asymptoty poziome funkcji y = f ( x) , gdy: 2
x
1
1. f ( x) =
; 2.
x
f ( x) = e ;
3.
x
f ( x) = 1
( + ) ;
2
1 − x
x
4.
x
f ( x) = 2 ;
5.
x
f ( x) = (
)
5
,
0
.
5.3. Asymptoty ukośne
Definicja 5.3.
Prostą o równaniu y = ax + b , gdy a ≠ 0 , nazywamy asymptotą ukośną
(asymptotą pochyłą) wykresu funkcji y = f ( x) , jeżeli: lim [ f ( x) − ( ax + b)] = 0 lub lim [ f ( x) − ( ax + b)] = 0 .
x→−∞
x→+∞
Uwaga:
Asymptoty ukośne mogą mieć funkcje określone w przedziałach
nieskończonych
i
mające
granice
niewłaściwe
w
punktach
niewłaściwych.
Twierdzenie 5.1.
Jeżeli wykres funkcji y = f ( x) ma asymptotę ukośną o równaniu y = ax + b , to:
f ( x)
1. a = lim
oraz b = lim[ f ( x) − ax] lub
x→+∞
x
x→+∞
f ( x)
2. a = lim
oraz b = lim[ f ( x) − ax] .
x→−∞
x
x→−∞
61
Wyznaczyć asymptoty ukośne dla funkcji x a y = f ( x) , gdy: 3
x
x
1. f ( x) =
; 2.
x
f ( x) = xe ;
3. f ( x) =
.
2
4 − x
x −1
62