1

CI

Ą

GI LICZBOWE

Na ogół przyjmuje si

ę

,

ż

e zbiorem liczb naturalnych jest zbiór

IN = {1, 2, 3, ...}

Niekiedy (w pewnych teoriach) przyjmuje si

ę

za zbiór liczb

naturalnych zbiór {0,1, 2, 3, ...}.

1. Okre

ś

lenia i przykłady

Ci

ą

giem

nazywamy funkcj

ę

a: D

∋

n

→

a(n)

∈

Y,

gdzie D

⊂

IN jest podzbiorem liczb naturalnych, za

ś

Y mo

ż

e by

ć

dowolnym zbiorem.

a(n) – nazywamy n-tym wyrazem ci

ą

gu i oznaczamy przez a

n

.

Ci

ą

g a o wyrazach a

n

oznaczamy przez (a

n

)

n

∈

D

lub (a

n

).

Je

ż

eli zbiór warto

ś

ci ci

ą

gu (zbiór jego elementów) jest podzbiorem

liczb rzeczywistych R, to taki ci

ą

g nazywamy

ci

ą

giem liczbowym

.

Przykład 1.

Ci

ą

gami liczbowymi s

ą

np. ci

ą

gi:

(a

n

) n

→

a

n

=

)

5

(

)

3

(

1

−

−

+

n

n

n

;

(b

n

) n

→

b

n

= (-1)

n

n

1

;

(c

n

) n

→

c

n

=

)

4

(

2

−

n

n

.

Ci

ą

gi te s

ą

funkcjami okre

ś

lanymi w zbiorach

D

1

= IN-{3,5}, D

2

= IN, D3=IN-{4}

2

Przykład 2.

Niech Y b

ę

dzie zbiorem wszystkich przedziałów jako

podzbiorów liczb R.

Funkcja

f: IN

∋

n

→

f(n) = f

n

=[-1, 1 + n]

∈

Y

jest ci

ą

giem (f

n

), ale nie jest ci

ą

giem liczbowym. Wyrazy tego ci

ą

gu

s

ą

przedziałami.

Przykład 3.

Niech Y = RxR = R

2

. Niech p=(x,y)

∈

R

2

. We

ź

my pod

uwag

ę

funkcj

ę

IN

∋

n

→

p

n

= (x

n

,y

n

)

∈

R

2

Ci

ą

g (p

n

) jest ci

ą

giem punktów przestrzeni R

2

, ale nie jest ci

ą

giem

liczbowym.

Przykładami ci

ą

gów punktów przestrzeni R

2

mog

ą

by

ć

np.:

p

n

= (x

n

,y

n

) = (-

n

1

,

n

1

); q

n

= (x

n

,y

n

) = (3+

n

1

,7);

r

n

= (x

n

,y

n

) = (-2n,3n).

2. Ci

ą

gi ograniczone

Ci

ą

g (a

n

) nazywamy

ograniczonym z dołu (z góry)

wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje liczba m

∈

R taka,

ż

e dla ka

ż

dego n spełniony

jest warunek

m

≤

a

n

(a

n

≤

m)

Ci

ą

g (a

n

) nazywamy

ograniczonym

wtedy i tylko wtedy, gdy istniej

ą

liczby m

∈

R oraz M

∈

R takie,

ż

e dla ka

ż

dego n

m

≤

a

n

≤

M,

tzn. gdy ci

ą

g (a

n

) jest ograniczony z dołu i jest ograniczony z góry.

3

Ć

wiczenie 1.

Wykaza

ć

,

ż

e ci

ą

gi o wyrazach

1.1) a

n

= 5+3

n

, b

n

= n

2

- 2 s

ą

ograniczone z dołu;

1.2) c

n

= -3n +7, d

n

= 1-n

2

s

ą

ograniczone z góry;

1.3) e

n

= (-1)

n

n

1

, f

n

=

1

1

+

n

;

1.4) g

n

= (-1)

n

n, h

n

= (-1)

n

4

n

nie s

ą

ograniczone.

3. Ci

ą

gi monotoniczne

Ci

ą

g liczbowy (a

n

), okre

ś

lany na całym zbiorze liczb naturalnych IN

nazywamy:

•

rosn

ą

cym

a

n+1

- a

n

> 0 dla ka

ż

dego n

∈

N

•

niemalej

ą

cym

a

n+1

- a

n

≥

0 dla ka

ż

dego n

∈

N

•

malej

ą

cym

a

n+1

- a

n

< 0 dla ka

ż

dego n

∈

N

•

nierosn

ą

cym

a

n+1

- a

n

≤

0 dla ka

ż

dego n

∈

N

•

stałym

a

n+1

- a

n

= 0 dla ka

ż

dego n

∈

N

Uwaga!.

Je

ż

eli ci

ą

g (a

n

) jest okre

ś

lony w zbiorze D

⊂

IN, to do

badania monotoniczno

ś

ci ci

ą

gu trzeba stosowa

ć

definicj

ę

funkcji

monotonicznych (rosn

ą

cej, niemalej

ą

cej, malej

ą

cej, nierosn

ą

cej,

stałej) do ci

ą

gu (a

n

) jako funkcji

a: D

∋

n

→

y = a(n) = a

n

∈

R

Ć

wiczenie 2.

Sprawdzi

ć

monotoniczno

ść

ci

ą

gu o wyrazach

2.1) a

n

=5+ 3

n

;

b

n

=-3n + 7;

2.2) c

n

=

1

1

+

n

;

d

n

= (-1)

n

n;

2.3) e

n

=

3

2

+

n

;

f

n

= n-n

2

.

4

Ć

wiczenie 3.

Zbada

ć

monotoniczno

ść

ci

ą

gów o wyrazach:

3.1) a

n

= a

1

+(n-1)r, gdy r < 0 oraz r > 0;

3.2) a

n

= a

1

q

n-1

,

gdy:

1) a

1

< 0 i q < 0; 2) a

1

< 0 i q > 0;

3) a

1

> 0 i q > 0;

4) a

1

> 0 i q < 0.

4. Działania na ci

ą

gach liczbowych

Niech b

ę

d

ą

dane ci

ą

gi

(a

n

) dla n

∈

D

1

⊂

IN oraz (b

n

) dla n

∈

D

2

⊂

IN

Sum

ą

ci

ą

gów

(a

n

) i (b

n

) nazywamy ci

ą

g (a

n

) + (b

n

) = (a

n

– b

n

)

dla n

∈

D

1

∩

D

2

.

Ró

ż

nic

ą

ci

ą

gów

(a

n

) i (b

n

) nazywamy ci

ą

g (a

n

) – (b

n

) dla n

∈

D

1

∩

D

2

.

Iloczynem ci

ą

gów

(a

n

) i (b

n

) nazywamy ci

ą

g (a

n

).(b

n

) = (a

n

b

n

)

dla n

∈

D

1

∩

D

2

.

Ilorazem ci

ą

gów

(a

n

) i (b

n

) nazywamy ci

ą

g (a

n

):(b

n

) = (

n

n

b

a

)

dla n

∈

D

1

∩

D

2

– {n

∈

D

2

: b

n

= 0}.

Ć

wiczenie 4.

4.1) Dane s

ą

ci

ą

gi

(a

n

) = (

3

1

−

n

); (b

n

) = (

1

1

2

−

+

n

n

)

Wyznaczy

ć

ich dziedziny D

1

i D

2

oraz ci

ą

gi

1) (a

n

)+(b

n

);

2) (a

n

)–(b

n

);

2) (a

n

).(b

n

);

4) (a

n

):(b

n

).

5

4.2) Dane s

ą

ci

ą

gi

(a

n

) = (

2

2

+

−

n

n

);

(b

n

) = (2

n

);

(cn) = ((-1)

n

n)

Wyznaczy

ć

ci

ą

gi

1) (1) : (a

n

);

2) (1) : (b

n

);

3) (1) : (c

n

).

5. Ci

ą

gi sko

ń

czone

Niech b

ę

dzie dany ci

ą

g a: D

∋

n

→

a

n

∈

Y

⊂

R.

Je

ż

eli zbiór D jest zbiorem sko

ń

czonym, to ci

ą

g (a

n

) nazywamy

ci

ą

giem sko

ń

czonym

.

W zastosowaniach przyjmuje si

ę

D = {1,2,..., n} lub D = {0,1,..., n}.

Ci

ą

gami sko

ń

czonymi s

ą

m.in.:

•

para uporz

ą

dkowana

(ci

ą

g dwuelementowy)

(a

1

, a

2

)

•

trójka uporz

ą

dkowana

(ci

ą

g trójelementowy)

(a

1

, a

2

, a

3

)

•

n–tka uporz

ą

dkowana

(ci

ą

g n-elementowy)

(a

1

, a

2

, ..., a

n

)

6. Ci

ą

gi warto

ś

ci funkcji

Niech b

ę

dzie dana funkcja f: A

∋

x

→

y = f(x)

∈

R, A

⊂

R.

Przyjmuj

ą

c ci

ą

g liczbowy (x

n

) taki,

ż

e dla ka

ż

dego n

∈

N x

n

∈

A.

Wtedy mo

ż

emy wyznaczy

ć

ci

ą

g (f(x

n

)) o wyrazach f(x

n

).

Ci

ą

g (f(x

n

)) nazywamy

ci

ą

giem warto

ś

ci

funkcji f.

6

Przykład 6.1.

Niech b

ę

dzie dana funkcja

f: R

∋

x

→

y = f(x) = 2x – 1 oraz ci

ą

g liczbowy (x

n

) = (1 -

n

1

).

Wtedy otrzymujemy ci

ą

g warto

ś

ci funkcji (f(x

n

)), gdzie

f(x

n

)= 2x

n

– 1 = 2(1 -

n

1

) – 1 = 2 -

n

2

- 1 = 1 -

n

2

.

Zatem (f(x

n

)) = (1 -

n

2

).

Przykład 6.2.

We

ź

my pod uwag

ę

funkcj

ę

g: [a,b]

∋

x

→

y = g(x)

∈

R.

Dziel

ą

c przedział [a,b] na n cz

ęś

ci otrzymujemy h =

n

a

b

−

.

Przyjmuj

ą

c ci

ą

g sko

ń

czony (x

0

, x

1

, x

2

,..., x

n

) taki,

ż

e x

0

= a,

x

i

= x

0

+ ih dla i = 1,2,..., n, mo

ż

emy wyznaczy

ć

ci

ą

g warto

ś

ci funkcji

g (g(x

i

)) dla i = 0, 1, 2, ..., n, gdzie g(x

c

) = g(a), za

ś

g(x

n

) = g(b).

Ć

wiczenie 6.1.

Dane s

ą

funkcje

1) x

→

y = f(x) =

2

1

x

;

2) x

→

y = g(x) =

1

2

3

+

−

x

x

3) x

→

y = h(x) =

1

−

x

.

Wyznaczy

ć

ci

ą

gi warto

ś

ci tych funkcji (o ile istniej

ą

) dla

a) x

n

= (-1)

n

n;

b) x

n

=

n

1

;

c) x

n

= 3

n

−

.

7

7. Sumy niealgebraiczne

We

ź

my pod uwag

ę

ci

ą

g sko

ń

czony (a

1

, a

2

,..,a

n

).

Mo

ż

emy wyznacza

ć

sumy wyrazów tego ci

ą

gu

s

2

= a

1

+ a

2

=

∑

=

2

1

i

i

a

, s

3

= a

1

+ a

2

+ a

3

=

∑

=

3

1

i

i

a

,

s

n

= a

1

+ a

2

+ ... + a

n

=

∑

=

n

i

i

a

1

.

Przyjmuj

ą

c ponadto s

1

= a

1

mo

ż

emy uwzgl

ę

dnia

ć

ci

ą

g (s

n

) sum

cz

ęś

ciowych ci

ą

gu (a

1

, a

2

,..., a

n

).

Niech b

ę

dzie dany ci

ą

g (a

n

) dla n

∈

IN, tzn. (a

1

, a

2

, ...) ci

ą

g liczbowy

niesko

ń

czony.

Mo

ż

emy wyznacza

ć

sumy cz

ęś

ciowe

s

1

= a

1,

s

2

= a

1

+ a

2

=

∑

=

2

1

i

i

a

, s

3

= a

1

+ a

2

+ a

3

=

∑

=

3

1

i

i

a

,

s

n

= a

1

+ a

2

+ ...+ a

n

=

∑

=

n

i

i

a

1

Sum

ę

wszystkich wyrazów ci

ą

gu niesko

ń

czonego (a

n

) zapisujemy

symbolicznie

s = a

1

+ a

2

+ ... =

∑

∞

=

1

i

i

a

Taka suma jest

sum

ą

niealgebraiczn

ą

(wykorzystuje si

ę

w niej

niesko

ń

czenie wiele składników).

Symbol (zapis)

∑

∞

=

1

i

i

a

mo

ż

e oznacza

ć

liczb

ę

, ale mo

ż

e nie istnie

ć

taka liczba.

8

Je

ż

eli we

ź

miemy ci

ą

g (a

n

) = (

1

2

1

−

n

), to

s = a

1

+ a

2

+ ... = 1 +

2

1

+

4

1

+

8

1

+ ... = 2

Zatem

∑

∞

=

1

i

1

2

1

−

n

= 2.

Je

ż

eli b

ę

dzie dany ci

ą

g (b

n

) = (1) to

s = b

1

+ b

2

+ ... = 1 + 1 ...

Nie istnieje liczba, która byłaby sum

ą

niesko

ń

czenie wielu liczb

równych 1.

Sum

ę

s mo

ż

emy zapisa

ć

∑

∞

=

1

i

i

b

=

∑

∞

=

1

1

i

,

ale tej sumie nie odpowiada

ż

adna liczba.

Dla ci

ą

gu niesko

ń

czonego (a

n

), n

∈

IN, ci

ą

g jego sum cz

ęś

ciowych

(s

n

), gdzie

s

n

=

∑

∞

=

1

i

i

a

nazywamy

szeregiem liczbowym

o wyrazach a

n

.

9

CI

Ą

GI LICZBOWE

Zestaw

ć

wicze

ń

1. Dane s

ą

ci

ą

gi: (a

n

) = (3 +

1

1

+

−

n

n

), (b

n

) = ((-1)

n

*

n

1

), (c

n

) = (1-3

n

),

(d

n

) = (2

n

+ 5n).

Sprawd

ź

, które z tych ci

ą

gów s

ą

: 1.1) monotoniczne, 1.2)

ograniczone z góry, 1.3) ograniczone z dołu, 1.4) ograniczone ?

2. Dane s

ą

ci

ą

gi: (a

n

) =













n

1

, (b

n

) = (2n – 1), (c

n

) =













−

+

1

1

n

n

.

Wyznaczy

ć

ci

ą

gi:













n

a

1

,













n

b

1

,













n

c

1

.

Zbada

ć

monotoniczno

ść

i ograniczono

ść

ci

ą

gów danych oraz

ci

ą

gów wyznaczonych.

3. Dane s

ą

: 1.1) a

1

oraz d, 1.2) a

1

oraz q. Wyznaczy

ć

rozwi

ą

zania równa

ń

:

1.1) a

n+1

– a

n

= d, 1.2) a

n

= q * a

n-1

.

4. Dana jest funkcja:

4.1) f(x) = -3x + 1,

4.2) g(x) = x

2

,

4.3) h(x) =

n

1

,

4.4) k(x) =













+

−

1

1

x

x

oraz ci

ą

gi:

1) x

n

=

n

2

,

2) y

n

= -5

n

,

3) z

n

= (-1)

n

* n.

Wyznaczy

ć

ci

ą

gi warto

ś

ci funkcji

f(x

n

), f(y

n

), f(z

n

);

g(x

n

), g(y

n

), g(z

n

);

h(x

n

), h(y

n

), h(z

n

);

k(x

n

), k(y

n

), k(z

n

).

10

5. Sprawd

ź

,

ż

e rozwi

ą

zaniem równania:

5.1) y

n+1

– 3y

n

= 0 jest ci

ą

g y

n

= A * 3

n

;

5.2) y

n+1

+ 2y

n

= 0 jest ci

ą

g y

n

= A * (-2)

n

;

5.3) y

n+1

+ 4y

n

= 0 z warunkiem y

1

= -10 jest ci

ą

g y

n

= 2,5 * (-4)

n

.

Uwaga.

A = const.

6. Sprawd

ź

,

ż

e rozwi

ą

zaniem równania:

6.1) y

n+2

– y

n+1

– 6y

n

= 0 jest ci

ą

g y

n

= A * 2

n

– B * 3

n

,

6.2) y

n+2

– y

n+1

– 5y

n

= 0 jest ci

ą

g y

n

= A + b * 5

n

,

6.3) y

n+2

– 4y

n+1

+ 4y

n

= 0 jest ci

ą

g y

n

= (A +B

n

) * 2

n

,

gdzie A = const. oraz B = const.

Uwaga.

Równanie ró

ż

nicowe rz

ę

du 2-go liniowe o współczynnikach stałych

ma posta

ć

:

a * y

n+2

+ b * y

n+1

+ c * y

n

= 0.

Równaniem charakterystycznym dla tego typu równania jest

równanie:

a *

λ

2

+ b *

λ

+ c = 0.

Wyznaczy

ć

rozwi

ą

zania równa

ń

charakterystycznych dla równa

ń

:

6.1), 6.2), 6.3).

11

GRANICE CI

Ą

GÓW LICZBOWYCH

1. Otoczenia

W zbiorze liczb rzeczywistych R otoczeniem liczby g o promieniu

ε

> 0 nazywamy zbiór (przedział)

Ot(g ;

ε

) = {x

∈

R; Ix – gI <

ε

} = (g -

ε

, g +

ε

).

W zbiorze liczb uogólnionych R = R

∪

{-

∞

, +

∞

} mo

ż

emy ponadto

uwzgl

ę

dni

ć

otoczenia dla -

∞

oraz +

∞

.

Otoczeniem liczby -

∞

o promieniu b < 0 nazywamy zbiór

(przedział)

Ot(-

∞

, b) = {x

∈

R; x < b} = {-

∞

, b}.

Otoczeniem liczby +

∞

o promieniu a > 0 nazywamy zbiór

(przedział)

Ot(+

∞

, a) = {x

∈

R; x > a} = {a, +

∞

}.

2. Definicje granicy sko

ń

czonej ci

ą

gu

Definicja Heinego

Mówimy,

ż

e liczba g jest granic ci

ą

gu (a

n

) lub

ż

e ci

ą

g (a

n

)

zmierza do granicy g, je

ż

eli w ka

ż

dym otoczeniu liczby g znajduj

ą

si

ę

prawie wszystkie wyrazy ci

ą

gu.

Termin prawie wszystkie oznacza wszystkie, z wyj

ą

tkiem

sko

ń

czonej liczby wyrazów.

Definicja Cauchy’ego

Mówimy,

ż

e liczba g jest granic

ą

ci

ą

gu (a

n

) lub te

ż

ci

ą

g (a

n

)

zmierza do granicy g, je

ż

eli dla ka

ż

dej, dowolnie małej liczby

ε

> 0

istnieje taki wska

ź

nik ci

ą

gu N(

ε

),

ż

e dla wszystkich dalszych

12

wyrazów, tzn. dla wyrazów o wska

ź

nikach n > N(

ε

), zachodzi

nierówno

ść

Ia

n

– gI <

ε

.

Granic

ę

ci

ą

gu (a

n

) oznaczamy

n

n

a

∞

→

lim

(czyt.: limes a

n

przy n

zmierzaj

ą

cym do niesko

ń

czono

ś

ci).

Definicj

ę

Cauchy’ego granicy ci

ą

gu mo

ż

emy zapisa

ć

symbolicznie w

sposób nast

ę

puj

ą

cy

(

)

g

a

n

n

=

∞

→

lim

⇔

(n > N(

ε

)

⇒

Ia

n

– gI <

ε

)

Stosujemy m. in. nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

n

n

a

∞

→

lim

= g

(czyt.: granic

ą

ci

ą

gu (a

n

) jest liczba g; ci

ą

g (a

n

) ma granic

ę

g),

a

n

→

g

(czyt.: ci

ą

g zmierza do granicy g; ci

ą

g (a

n

) jest zbie

ż

ny do g).

Przykład 2.1.

We

ź

my pod uwag

ę

ci

ą

g (a

n

) =













n

1

. Granic

ą

tego ci

ą

gu jest liczba

g = 0, bo dla dowolnego

ε

> 0 b

ę

dzie Ia

n

– 0I =

0

1

−

n

<

ε

dla n> N(

ε

).

St

ą

d otrzymujemy

n

1

<

ε

oraz n >

ε

1

.

Oznaczaj

ą

c przez N(

ε

) liczb

ę

naturaln

ą

bezpo

ś

rednio wi

ę

ksz

ą

od

ε

1

mamy,

ż

e dla ka

ż

dego

ε

> 0 istnieje N(

ε

)

≥

ε

1

takie,

ż

e n > N(

ε

)

⇒

0

1

−

n

<

ε

.

Przyjmuj

ą

c np.

ε

= 0,01 otrzymujemy N(

ε

) = 101. Dla np.

ε

= 0,0001

b

ę

dzie N(

ε

) = 1001.

13

Ć

wiczenie 2.1.

Pokaza

ć

,

ż

e ci

ą

g o wyrazach:

1)

)

1

(

+

=

n

n

a

n

ma granic

ę

a = 1;

2)

n

n

b

n

2

4

1

3

+

−

=

ma granic

ę

b =

2

3

;

3)

n

c

n

n

1

)

1

(

∗

−

=

ma granic

ę

c = 0.

Ci

ą

g, który ma granic

ę

nazywamy ci

ą

giem zbie

ż

nym. Ci

ą

g który nie

ma granicy nazywamy ci

ą

giem rozbie

ż

nym.

Przykład 2.2.

Ci

ą

gi o wyrazach

a

n

= (-1)

n

(-1, 1, -1, 1, -1, ...);

b

n

= 4 + (-1)

n

*n (3, 6, 1, 8, -1, 10, -3, ...) nie maj

ą

granic, a wi

ę

c

s

ą

ci

ą

gami rozbie

ż

nymi.

Twierdzenie 2.1.

Ci

ą

g zbie

ż

ny nie mo

ż

e mie

ć

dwóch ró

ż

nych granic.

Twierdzenie 2.2.

Ka

ż

dy ci

ą

g zbie

ż

ny jest ci

ą

giem ograniczonym.

Twierdzenie 2.3.

Ka

ż

dy ci

ą

g rosn

ą

cy i ograniczony od góry (malej

ą

cy i ograniczony

od dołu) ma granic

ę

, czyli jest zbie

ż

ny.

14

3. Działania na ci

ą

gach (twierdzenia o granicach ci

ą

gów)

Prawdziwe s

ą

nast

ę

puj

ą

ce twierdzenia.

Twierdzenie 3.1.

Je

ż

eli

n

n

a

∞

→

lim

= a oraz

n

n

b

∞

→

lim

= b, to

(

)

n

n

n

b

a

+

∞

→

lim

= a + b,

(

)

n

n

n

b

a

−

∞

→

lim

=

a – b.

Twierdzenie 3.2.

Je

ż

eli

n

n

a

∞

→

lim

= a,

n

n

b

∞

→

lim

= b i

λ

oraz

µ

s

ą

liczbami stałymi, to

(

)

n

n

n

b

a

∗

+

∗

∞

→

µ

λ

lim

=

λ

* a +

µ

* b.

Twierdzenie 3.3.

Je

ż

eli

n

n

a

∞

→

lim

= a,

n

n

b

∞

→

lim

= b, to

(

)

n

n

n

b

a

∗

∞

→

lim

= a * b.

Twierdzenie 3.4.

Je

ż

eli ci

ą

g (a

n

) jest ograniczony, za

ś

n

n

b

∞

→

lim

= 0, to

(

)

n

n

n

b

a

∗

∞

→

lim

= 0.

Twierdzenie 3.5.

Je

ż

eli

n

n

a

∞

→

lim

= a,

n

n

b

∞

→

lim

= b, i ponadto b

n

≠

0 dla ka

ż

dego n oraz b

≠

0,

to

(

)

n

n

n

b

a :

lim

∞

→

= a : b.

Przykład 3.1.

2

)

1

3

)(

1

2

(

lim

n

n

n

n

−

+

∞

→

=













−

∗

+

∞

→

n

n

n

n

n

1

3

1

2

lim

=

n

n

n

1

2

lim

+

∞

→

*

n

n

n

1

3

lim

−

∞

→

=













+

∞

→

n

n

1

2

lim

*













−

∞

→

n

n

1

3

lim

= 2 * 3 = 6.

15

Ć

wiczenie 3.1.

Zastosowa

ć

powy

ż

sze twierdzenie do wyznaczenia granicy ci

ą

gu

...

5

2

2

3

lim

5

2

2

3

lim

=

+

−

=

+

−

∞

→

∞

→

n

n

n

n

n

n

...

)

2

)(

2

(

)

3

)(

2

(

lim

4

6

5

lim

2

2

=

+

−

−

−

=

−

+

−

∞

→

∞

→

n

n

n

n

n

n

n

n

n

...

6

5

4

3

lim

2

2

=

+

+

−

−

∞

→

n

n

n

n

n

4. Pewne twierdzenia o granicach ci

ą

gów

Twierdzenie 4.1.

Je

ż

eli dal ci

ą

gów (a

n

), (b

n

), (c

n

) spełnione s

ą

warunki

1) a

n

≤

b

n

≤

c

n

dla ka

ż

dego n lub a

n

< b

n

< c

n

dla ka

ż

dego n;

2)

n

n

a

∞

→

lim

=

n

n

c

∞

→

lim

= g, to

n

n

b

∞

→

lim

= g.

Twierdzenie 4.2.

Je

ż

eli a > 0, to

n

n

a

∞

→

lim

= 1.

Twierdzenie 4.3.

n

n

n

∞

→

lim

= 1.

Twierdzenie 4.4.

Ci

ą

g o wyrazach

n

n













+

1

1

jest rosn

ą

cy i ograniczony od góry, a wi

ę

c

jest ci

ą

giem zbie

ż

nym.

n

n

n













+

∞

→

1

1

lim

= e = 2,71828... jest liczb

ą

niewymiern

ą

.

16

Ć

wiczenie 4.1.

Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów:

1)

)

3

(

lim

+

−

∞

→

n

n

n

;

2)

n

n

n

n

4

3

2

lim

+

+

∞

→

;

3)

(

)

n

n

n

n

2

7

5

4

lim

2

−

−

+

∞

→

;

4)

n

n

n

n













+

∞

→

1

lim

.

5. Granice niewła

ś

ciwe ci

ą

gów

Mówimy,

ż

e ci

ą

g (a

n

) ma granic

ę

-

∞

, co zapisujemy

n

n

a

∞

→

lim

= -

∞

lub

a

n

→

-

∞

, je

ż

eli dla ka

ż

dej dowolnej liczby B < 0 mo

ż

na dobra

ć

taki

wska

ź

nik N(B),

ż

e dla wszystkich n >N(B) spełniona jest nierówno

ść

a

n

< B.

Mówimy,

ż

e ci

ą

g (a

n

) ma granic

ę

+

∞

, co zapisujemy

n

n

a

∞

→

lim

= +

∞

lub a

n

→

+

∞

, je

ż

eli dla ka

ż

dej dowolnej liczby A > 0 mo

ż

na dobra

ć

taki wska

ź

nik N(A),

ż

e dla wszystkich n >N(A) spełniona jest

nierówno

ść

a

n

> A.

Przykłady

)

1

(

lim

2

+

∞

→

n

n

= +

∞

;

)

4

(

lim

n

n

−

∞

→

= -

∞

;

n

n

3

lim

∞

→

= +

∞

;

n

n

n

+

−

∞

→

1

1

lim

2

= -

∞

.

Twierdzenie 5.1.

Je

ż

eli

−∞

=

∞

→

n

n

a

lim

lub

+∞

=

∞

→

n

n

a

lim

, to

n

n

a

1

lim

∞

→

= 0.

17

g

1

g

2

g

2

g

1

Twierdzenie 5.2.

Je

ż

eli a

n

> 0 dla ka

ż

dego n oraz

n

n

a

∞

→

lim

= 0, to

n

n

a

1

lim

∞

→

= +

∞

.

Je

ż

eli a

n

< 0 dla ka

ż

dego n oraz

n

n

a

∞

→

lim

= 0, to

n

n

a

1

lim

∞

→

= -

∞

.

W zbiorze liczb rzeczywistych uogólnionych

}

,

{

~

+∞

−∞

∪

=

R

R

mo

ż

na

wyznaczy

ć

granice sumy, ró

ż

nicy, iloczynu i ilorazu ci

ą

gów, które

maj

ą

granice sko

ń

czone lub granice niewła

ś

ciwe.

Poni

ż

ej w tabelach zostan

ą

uwzgl

ę

dnione niektóre twierdzenia o

granicach ci

ą

gów.

Je

ż

eli

n

n

a

∞

→

lim

= g

1

, gdzie g

1

= -

∞

, g

1

= a

∈

R, g

1

= +

∞

i

n

n

b

∞

→

lim

= g

2

,

gdzie g

2

= -

∞

, g

2

= b

∈

R, g

2

= +

∞

, to

(

)

n

n

n

b

a

+

∞

→

lim

= ?

-

∞

b

+

∞

-

∞

-

∞

-

∞

X

a

-

∞

a+b +

∞

+

∞

X +

∞

+

∞

(

)

n

n

n

b

a

−

∞

→

lim

= ?

-

∞

B

+

∞

-

∞

X

-

∞

-

∞

a

+

∞

a-b -

∞

+

∞

+

∞

+

∞

X

18

g

1

g

2

Je

ż

eli

n

n

a

∞

→

lim

= g

1

, gdzie g

1

= -

∞

, g

1

= a

∈

R, g

1

= +

∞

i

n

n

b

∞

→

lim

= g

2

,

gdzie g

2

= -

∞

, g

2

= b

∈

R, g

2

= +

∞

, to

(

)

n

n

n

b

a

∗

∞

→

lim

= ?

-

∞

-

∞

< b <

0

b =

0

0 < b <

+

∞

+

∞

-

∞

+

∞

+

∞

X

-

∞

-

∞

-

∞

< a <

0

+

∞

a * b > 0

0

a * b < 0 -

∞

a = 0

X

0

0

0

X

0 < b <

+

∞

-

∞

a * b < 0

0

a * b > 0 +

∞

+

∞

-

∞

-

∞

X

+

∞

+

∞

Je

ż

eli

n

n

a

∞

→

lim

= g

1

, gdzie g

1

= -

∞

, g

1

= a

∈

R, g

1

= +

∞

i

n

n

b

∞

→

lim

= g

2

,

gdzie g

2

= -

∞

, g

2

= b

∈

R, g

2

= +

∞

, i ponadto b

n

≠

0 dla ka

ż

dego n

oraz b

≠

0, to

(

)

n

n

n

b

a :

lim

∞

→

= ?

19

g

1

g

2

-

∞

-

∞

< b <

0

0 < b <

+

∞

+

∞

-

∞

X

+

∞

-

∞

X

-

∞

< a <

0

0 a : b > 0 a : b < 0

0

a = 0

X

0

0

X

0 < b <

+

∞

0 a : b < 0 a : b > 0

0

+

∞

X

-

∞

+

∞

X

Przykład 5.1.

2

lim n

n

∞

→

= +

∞

,

)

(

lim

n

n

−

∞

→

= -

∞

, wtedy

(

)

n

n

n

−

∞

→

2

lim

nie istnieje;

(

)

n

n

n

+

∞

→

2

lim

=

+

∞

;

(

)

( )

3

2

lim

)

(

lim

n

n

n

n

n

−

=

−

∗

∞

→

∞

→

= -

∞

;

(

)

( )

n

n

n

n

n

−

=

−

∞

→

∞

→

lim

)

(

:

lim

2

= -

∞

.

Ć

wiczenie 5.1.

Dane s

ą

ci

ą

gi o wyrazach

1) a

n

=

n

1

, b

n

= 1 – 2n; 2) a

n

= n + 1, b

n

= 3 – n.

Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów danych oraz granice ci

ą

gów o wyrazach:

a

n

+

b

n

; a

n

– b

n

; a

n

* b

n

; a

n

: b

n

.

20

6. Szeregi niesko

ń

czone

Szeregiem

niesko

ń

czonym

nazywamy

wyra

ż

enie

(sum

ę

niealgebraiczn

ą

; sum

ę

niesko

ń

czon

ą

)

a

1

+ a

2

+ ... + a

n

+ ... lub

∑

∞

=

1

n

n

a

.

Ci

ą

giem sum cz

ęś

ciowych tego szeregu, jest ci

ą

g (s

n

), gdzie s

1

=

a

1

, s

n

=

∑

=

n

i

i

a

1

.

Je

ż

eli ci

ą

g sum cz

ęś

ciowych (s

n

) jest zbie

ż

ny, to szereg nazywamy

zbie

ż

nym, a granic

ę

s =

∑

=

∞

→

∞

→

=

n

i

i

n

n

n

a

s

1

lim

lim

nazywamy sum

ą

szeregu

niesko

ń

czonego.

Je

ż

eli ci

ą

g sum cz

ęś

ciowych (s

n

) jest rozbie

ż

ny (nie ma granicy)

lub ma granic

ę

-

∞

albo +

∞

, to szereg nazywamy rozbie

ż

nym.

Szereg

∑

∞

=

1

n

n

a

nazywamy bezwzgl

ę

dnie zbie

ż

nym, je

ż

eli jest zbie

ż

ny

oraz szereg

∑

∞

=

1

n

n

a

jest zbie

ż

ny.

Ć

wiczenie 6.1.

Wyznaczy

ć

sum

ę

szeregu

∑

∞

=

+

1

)

1

(

1

n

n

n

Ć

wiczenie 6.2.

Wykaza

ć

,

ż

e szereg

∑

∞

=

1

n

n

jest szeregiem zbie

ż

nym.

We

ź

my pod uwag

ę

ci

ą

g geometryczny a

n

= a

1

* q

n-1

. Mo

ż

emy

skonstruowa

ć

szereg geometryczny a

1

+ a

1

* q + a

1

* q

2

+ ... + a

1

*

q

n-1

+ ... = a

1

∑

∞

=

−

1

1

n

n

q

.

21

Twierdzenie 6.1.

Je

ż

eli IqI < 1, to

n

n

q

∞

→

lim

= 0 i szereg geometryczny jest zbie

ż

ny, a

jego suma

s =

q

a

a

a

s

n

i

i

n

n

n

−

=

=

∑

=

∞

→

∞

→

1

lim

lim

1

1

1

Ć

wiczenie 6.3.

Nast

ę

puj

ą

ce ułamki dziesi

ę

tne okresowe zamieni

ć

na ułamki zwykłe

1) 0,5(18);

2) 0,(476);

3) 0,12(3);

4) 0,(6)

22

GRANICE CI

Ą

GÓW

Zestaw

ć

wicze

ń

1.

Dane s

ą

ci

ą

gi (a

n

) =













+

−

+

1

1

3

n

n

, (b

n

) =

( )













∗

−

n

n

1

1

. Dla jakich n

spełnione s

ą

nast

ę

puj

ą

ce nierówno

ś

ci Ia

n

- 3I <

ε

, Ib

n

- 0I <

ε

,

gdy:

ε

= 0,1;

ε

= 0,5;

ε

= 0,0001;

ε

= 0,127?

Poda

ć

interpretacje geometryczn

ą

powy

ż

szych nierówno

ś

ci oraz ich

rozwi

ą

za

ń

.

2.

Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów: a

n

= 3 +

1

1

+

−

n

n

; b

n

= (-1)

n

*

n

1

; u

n

=

n

n

5

6

3

4

−

−

; v

n

=

n

1

+ 3

-n

.

3.

Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów: u

n

=

2

6

2

2

−

−

−

+

n

n

n

n

; v

n

=

)

2

)(

1

(

3

4

2

+

+

−

n

n

n

;

w

n

=

2

3

4

3

2

2

+

−

−

−

n

n

n

n

.

4.

Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów: a

n

=

n

n

−

+

2

; b

n

=

3

+

−

n

n

.

5.

Dane s

ą

ci

ą

gi: 5.1) a

n

=

n

n

4

+

, b

n

=

2

2

3

n

n

+

; 5.2) a

n

=

1

1

+

−

n

n

,

b

n

=

n

n 1

2

+

. Porówna

ć

wyrazy ci

ą

gów a

n

i b

n

. Wyznaczy

ć

n

n

a

∞

→

lim

,

n

n

b

∞

→

lim

i porówna

ć

wyznaczone granice.

6.

Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów: u

n

= 5

n

+ 6

n

+ 7

n

, v

n

=

2

...

2

1

n

n

+

+

+

.

7.

Wiedz

ą

c,

ż

e

n

n

n













+

∞

→

1

1

lim

= e

≈

2,7182818I..., wyznaczy

ć

n

n

n

a













+

∞

→

1

lim

,

gdy a = const.,

n

n

n

n













+

∞

→

1

lim

.

23

8.

Dane s

ą

ci

ą

gi: 8.1) a

n

=

n

1

, b

n

= (-1)

n

; 8.2) a

n

=

1

3

1

+

−

n

n

, b

n

=

1

2

4

−

−

n

n

.

Wyznaczy

ć

granice tych ci

ą

gów (o ile istniej

ą

). Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów: a

n

+ b

n

; a

n

– b

n

; a

n

* b

n

; a

n

: b

n

.

9.

Dane s

ą

ci

ą

gi: 9.1) a

n

= 3 + n, b

n

= 1 – n; 9.2) a

n

=

1

1

−

n

, b

n

= 2

n

;

9.3) a

n

= -n

2

, b

n

=

n

1

. Wyznaczy

ć

granice danych ci

ą

gów oraz

granice ci

ą

gów: a

n

+ b

n

, a

n

– b

n

, a

n

* b

n

, a

n

: b

n

(o ile istniej

ą

).

10.

Zamieni

ć

ułamki dziesi

ę

tne okresowe na ułamki zwyczajne:

0,3(18); 0,(237); 0,124(3); 0,(45).

11.

Dany jest ci

ą

g a

n

= 2

-n

. Wyznaczy

ć

ci

ą

g s

n

= a

1

+ ... + a

n

=

∑

=

n

i

i

a

1

oraz granice

n

n

a

∞

→

lim

,

n

n

s

∞

→

lim

.

12.

Dany jest ci

ą

g a

n

=

)

1

(

1

+

n

n

. Wyznaczy

ć

ci

ą

g s

n

=

∑

=

n

i

i

a

1

.

Wyznaczy

ć

n

n

a

∞

→

lim

oraz

n

n

s

∞

→

lim

=

∑

∞

=

1

n

n

a

.

Wskazówka.

Mo

ż

na wykorzysta

ć

warunek

)

1

(

1

+

n

n

=

n

1

–

1

1

−

n

.

24

GRANICE CI

Ą

GÓW

Zestaw

ć

wicze

ń

1. Które z wyrazów ci

ą

gu (a

n

) znajduj

ą

si

ę

w otoczeniu liczby g o

promieniu

ε

> 0:

Ot(g,

ε

) = {x

∈

R; Ia

n

– gI <

ε

}

1.1) a

n

=

1

1

+

n

, g = 0,

ε

= 0,1,

ε

= 0,003;

1.2) a

n

= (-1)

n

*

n

1

, g = 0,

ε

= 0,5,

ε

= 0,01;

1.3) a

n

= 2

-n

+ 5, g = 5,

ε

= 0,001,

ε

= 0,00002;

1.4) a

n

=

3

7

+

−

n

n

, g = 1,

ε

= 0,007,

ε

= 0,00014.

2. Wyznaczy

ć

granice ci

ą

gów (a

n

)

2.1) a

n

=

1

1

+

n

; 2.2) a

n

=

2

1

3

+

−

n

n

; 2.3) a

n

= 2

-n

+ 5.

3. Dane s

ą

ci

ą

gi (a

n

), (b

n

)

3.1) a

n

=

1

1

+

n

, b

n

=

1

1

2

−

−

n

n

;

3.2) a

n

= (-1)

n

* n, b

n

= (-1)

n

*

n

1

;

Wyznaczy

ć

, o ile istniej

ą

, granice ci

ą

gów (a

n

), (b

n

), (a

n

+ b

n

), (a

n

–

b

n

), (2a

n

– 3b

n

).

4. Uwzgl

ę

dniaj

ą

c dane z

ć

wiczenia 3 wyznaczy

ć

granice (o ile

istniej

ą

) ci

ą

gów (a

n

* b

n

), (a

n

: b

n

), (1 : b

n

).

25

5. Dane s

ą

funkcje: 5.1) x

→

y = f(x) = 3x + 1; 5.2) x

→

y = g(x) = x

2

– 1; 5.3) x

→

y = h(x) =

x

1

oraz ci

ą

gi (x

n

) =













+

−

1

3

n

n

, (y

n

) = ((-1)

n

*

n), (z

n

) = (3

n

). Wyznaczy

ć

o ile istniej

ą

1) granice ci

ą

gów (x

n

), (y

n

), (z

n

) oraz 2) granice ci

ą

gów

5.1) (f(x

n

)), (f(y

n

)), (f(z

n

)); 5.2) (g(x

n

)), (g(y

n

)), (g(z

n

));

5.3) (h(x

n

)), (h(y

n

)), (h(z

n

)).