06 10 2001

N - naturalne Z - Całkowite Q - wymierne R - Rzeczywiste C - Zespolone

LICZBY ZESPOLONE

Nowa encyklopedia powszechna PWN © Wydawnictwo Naukowe PWN SA

LICZBY ZESPOLONE, mat. liczby postaci z = x + iy, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, a i — tzw. jednostką urojoną (o własności i² = -1); liczbę x nazywa się częścią rzeczywistą liczby z i oznacza symbolem Re z, liczbę y nazywa się częścią urojoną liczby z i oznacza symbolem Im z; liczby zespolone postaci z = a + 0i utożsamia się z liczbą rzeczywistą a — liczby rzeczywiste są więc podzbiorem zbioru lliczb zespolonych; działania na liczbach zespolonych wykonuje się tak jak na wyrażeniach algebraicznych, np. dodawanie i odejmowanie:

(a + ib)± (c + id) = (a ± c) + (b ± d)i,

mnożenie: (a + ib) · (c + id) = (ac -bd) + i(ad + bc),

dzielenie:


dodawanie i mnożenie są działaniami łącznymi, mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, a dzielenie przez liczbę z ≠ 0 (tzn. z ≠ 0 + i0) jest zawsze wykonalne.
Liczby zespolone wprowadza się właściwie jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych

(a, b) i na elementach tego zbioru określa się działania dodawania i odejmowania:

(a, b)
(c, d) = (a + c, b + d),

(a, b)
(c, d) = (a -c, b -d),

mnożenia: (a, b)
(c, d) = (ac - bd, ad + bc)

dzielenia:
(a, b)
(c, d) = 
;
pary postaci (a, 0) utożsamia się z liczbami rzeczywistymi i przyjmuje prostszy zapis: (a, 0) ≡ a, zaś pary postaci (0, b) utożsamia się z liczbami urojonymi i przyjmuje zapis

(0, b) = (b, 0)
(0, 1) = bi, gdzie para (0, 1) oznaczona jest literą i (jednostka urojona); stąd też (a, b) = a + bi. Liczby zespolone z = a + bi interpretuje się jako punkt płaszczyzny o współrz. (a, b) lub jako wektor wodzący o tychże współrz. (a, b) — płaszczyzna ta nosi nazwę płaszczyzny zespolonej lub płaszczyzny Gaussa.
Liczby zespolone z = x + iy oraz
= x -iy nazywa się liczbami zespolonymi sprzężonymi, odległość |z| punktu z od początku układu współrz. 0 — modułem albo wartością bezwzględną liczb zespolonych z,
. Liczby zespolone można przedstawić w tzw. postaci trygonometrycznej z = |z| · (cos φ + i sin φ); kąt φ nosi nazwę argumentu liczb zespolonych z ≠ 0; liczba zespolona z ≠ 0 ma nieskończenie wiele argumentów: arg z = φ + 2kπ (k — dowolna liczba całkowita); ta wartość kąta φ, która spełnia warunek -π < φ ≤ +π, jest zw. argumentem głównym liczby zespolonej z. Liczby zespolone z można również zapisać w postaci wykładniczej: z = | z| e^iφ (korzystając ze wzoru Eulera, że

e^iφ = cos φ + i sin φ); z tej ostatniej postaci wynika, że przy mnożeniu 2 liczb zespolonych
moduły ich mnoży się, a argumenty dodaje:
; w szczególności wynika stąd wzór de Moivre'a: zⁿ = [|z|(cos φ + i sin φ)]ⁿ = |z|ⁿ(cos nφ + i sin nφ) oraz wzór na wszystkie n różnych pierwiastków stopnia n z liczb zespolonych z:
, gdzie k = 0, 1, 2,..., n -1. Liczby zespolone znalazły wiele zastosowań w matematyce, fizyce, technice.

Definicja

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych

( R) ( x y ) Zbiór liczb zespolonych nazywamy ( C )

C = { (xy ) : x; y є R}

Identyfikacja geometryczna liczby zespolonej z = ( x, y)

Y

z

X

To punkt o współrzędnych x, y oraz wektor o początku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie (x, y)

y

z

X

Def

Niech para ( x₁ y₁), ( x₂ y₂) є C

1. (x₁ y₁) = ( x₂ y₂) x₁=x₂ ^ y₁= y₂

2. ( x₁ y₂)+ ( x₂ y₂) ^def= ( x₁+ x₂, y₁+ y₂)

Dodawanie liczb zespolonych

3. (x₁ y₁) * (x₂ y₂) ^def= ( x₁ * x₂ - y₁ * y₂ ; x₁ * y₂ + x₂ * y₁)

Przykład

Z₁ =( 2, -1) Z₂ = ( 0, 5) Z₃ (-√2 , 3)

Z₁+Z₂ = (2,-1)+(0,5)=(2+0,-1+5)=(2,4)

Z₁*Z₂=(2,-1)*(0,5)=(5,10)

Uwaga zbiór R można utożsamić z podzbiorem liczb zespolonych C

{(X,0) X€R}

x zamiast (x,0)

Definicja

Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną oraz nazywamy przez i

i ^def=(0,1)

urojone i

R rzeczywiste

Fakt postać algebraiczna liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci x+ yi gdzie x, y € R

Dowód

(x, y)= (x,0)+(0,y)= x-y (0,1)=x+yi

Def.

Niech z=x+yi € C

1. liczbą y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej Z

i_n z=y

Def. _

Sprzężeniem liczby zespolonej z= x, yi nazywamy liczbę zespoloną Z

I określamy wzorem _

Z= x-yi Sprzężenie

(a+ b_i)+(c+ d_i)= a+ c+(b+ d)i

(a+ b_i)-(c+ d_i)= a- c+(b- d)i (-1)

(a+ b_i)*(c- d_i)= ac+ adi+bci+bdi²=ac-bd+(ad+bc)i

ac+bd+(bc-ad)i ₌ a+bi _* c-di ₌ ac+adi+bci-bdi ₌ ac+bd+(bc-ad)I ₌

c²+d² c+di c-di c²-d²i² c²+d²

₌ ac+bd ₊ bc- ad

c²+d² c²+d²

Def

Modułem liczby zespolonej z=x+yi

Nazywamy liczbę |z| ^def=√x²+y²

Identyfikacja geometryczne modułu liczby zespolonej

Z

|z|

Rez

Obliczyć moduł z liczby zespolonej

1. Z = 4-2i

|z| = √ 16 +4 = √4*5 =2√5

2. Z= -√3 + i

|z| = √4 = 2

Def

Argumentem liczby zespolonej z= x+yi ≠0

Nazywamy każdą liczbę ϑ € R Spełniają warunek

x y

cos ϑ= |z| sinϑ= |z|

Arg. Z=ϑ

Jeżeli ϑ € <0, 2Π)

To ϑ nazywamy argumentem głównym do liczby zespolonej

ϑ= arg z

Fakt postać trygonometryczna liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną z≠0 można przedstawić w postaci

Z = |z| = (cosϑ+i sinϑ) ϑ= Arg Z

X y

Z≡x+ yi = |z| |z| + |z| i = |z| (cos ϑ+ sinϑ)

i

Z

ϑ

x

przykład przedstaw w postaci geometrycznej liczbę zespoloną z=1+i

|z| =√1+1 = √2

1 √2

cosϑ=√2 = 2

1 √2 I -ćw. Π

sinϑ=√2 = 2 ϑ= 4

Π Π

Z= √2 cos4 + i sin4

Twierdzenie niech: Z₁=|z₁|*(cosϑ + sinϑi)

Z₂=|z₂|*(cosϑ₂ + sinϑ₂i)

1. Z₁*Z₂= |z₁|*|z₂|*[ cos(ϑ₂ + ϑ₂)+ i sin(ϑ₂ + ϑ₂]

Z₁ |z₁|

b) Z₂= |z₂|*[ cos(ϑ₂ - ϑ₂)+ i sin(ϑ₂ + ϑ₂]

Wzór Maure'a

zⁿ = [|z|(cos ϑ + i sin ϑ)]ⁿ 

= |z|ⁿ(cos nϑ + i sin nϑ)

Przykład (1+ i )¹⁰

|z| = √1²+1² =√2

₁₀ ၐ ၐ ¹⁰ 5 5

1+i = √2 cos4 + i sin4 = 2⁵ cos 2 + sin 2

Def.

Pierwiastkiem stopnia nz liczby zespolonej Z nazywamy każdą liczbę W spełniającą równanie: W ⁿ = Z Zbiór pierwiastków n - tego stopnia z liczby z oznaczamy

ⁿ√Z - zbiór pierwiastków (dokładnie n)

Twierdzenie pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej można przedstawić za pomocą wzoru

 |z|*(cosϑ + i sinϑ)

oraz wzór na wszystkie n różnych pierwiastków stopnia n z liczb zespolonych z:

k= 0,1,....,(n-1)

identyfikacja geometryczna

2ၐ

n ϑ

Z₀ n

ⁿ√|z|

Z_n-1

---