9. CA LKOWANIE NA P LASZCZYŹNIE ZESPOLONEJ (cześć 1)

,

1. Obliczyć

Z

a)

¯

zdz,

gdzie γ jest lukiem paraboli y = x2 od punktu (0, 0) do punktu (1, 1), γ

Z

z

b)

dz,

gdzie γ jest górnym pó lokregiem |z| = 2 zorientowanym dodatnio.

¯

z

,

γ

2. Obliczyć

Z

(Imz)2dz,

C(0,1)

gdzie C(0, 1) jest okregiem o środku w punkcie z = 0 i promieniu 1 zorientowanym dodatnio.

,

3. Nie korzystajac z tw.Cauchy obliczyć R z2dz, gdzie γ jest brzegiem górnego pó lkola

,

γ

A = D(0, 1) ∩ {z : Imz ≥ 0} zorientowanym dodatnio.

4. Obliczyć R

|z − 1||dz|.

C(0,1)

5. Korzystajac ze wzoru ca lkowego Cauchy obliczyć

,

Z

z2

dz.

z2 + 1

C(i,1)

6. Obliczyć

Z

eiπz/2 dz.

z2 − 1

C(0,2)

7. Udowodnić, że jeśli f jest funkcja holomorficzna w obszarze zawierajacym dysk D(z, r)

,

,

,

to

1 Z 2π

f (z) =

f (z + reit)dt.

2π 0

(twierdzenie o wartości średniej funkcji holomorficznej) 8. Niech g ladki kontur γ bedzie brzegiem obszaru o polu A. Udowodnić, że R xdz = iA.

,

γ

9. * Niech γ bedzie krzywa zamknieta kawa lkami g ladka i niech a /

∈ γ. Definiujemy

,

,

,

,

,

1 Z

dz

n(γ, a) =

tj. indeks punktu wzgledem krzywej γ.

2πi

z − a

,

γ

Wykazać, że n(γ, a) jest liczba ca lkowita.

,

,

10. Niech γ bedzie krzywa o parametryzacji γ(t) = a + e2πint, t ∈ [0, 1] (czym jest ta

,

,

krzywa?). Obliczyć n(γ, a).