Macierze
1. Wymnożyć macierze o współczynnikach z ciała C:
− 2 0
1
0 1 3 6 4
(a) 9
1 4 5
− 3 1
2 − 1 2 1
0 2
1 − 2 1 − 2 0
1 3
(b)
4
3 1
6 4
2 1
− 2
0 2
− 3 1 − 4 0
1
0 1 3 − 2 0
3
5
9
1 4 5
6 4
7
1
(c)
2 − 1 2 1 − 3 1
0
2
1
0 1 1
0 2 − 2 − 1
− 1 − 4
1 − 5
3 7
(d)
3
2 − 4
1 − 4 5
3 − 5
1
− 2 − 1 0
"
# "
#
cos α − sin α
cos β
− sin β
(e)
sin α
cos α
sin β
cos β
"
# "
#
1 n
1 m
(f)
0
1
0
1
2. Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową. Dlaczego A 2 ·A = A·A 2?
3. Obliczyć (gdzie macierze mają współczynniki w ciele C): n
0 1 0 0
0 0 1 0
(a)
0 0 0 1
0 0 0 0
"
# n
cos α − sin α
(b)
sin α
cos α
"
# n
x
1
(c)
0 x
"
# n
"
#100
1 − x
x
− 8
9
(d)
i
−x
x + 1
− 9 10
1
4. Niech A będzie macierzą o współczynnikach z ciała Z 5:
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
A =
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
Obliczyć A 5.
5. Wyznaczyć macierze odwrotne (o ile istnieją) do macierzy o współczynnikach rzeczywistych:
"
#
3 2
(a)
2 1
"
−
#
1 2
(b)
2 1
"
#
1 2
(c)
2 4
6. Wyznaczyć macierz odwrotną (o ile istnieje) do macierzy A nad ciałem Z 3:
0 1 1
A = 1 0 1
1 1 0
7. Wyznaczyć macierz A ∈ M 2(R), taką że A 100 = I i Ak 6= I dla 0 < k < 100.
(Wskazówka: skorzystać z wyniku uzyskanego w zadaniu 3. (b)) 8. Wyznaczyć macierz diagonalną A ∈ M 2(C), taką że A 100 = I i Ak 6= I dla 0 < k < 100.
9. Wyznaczyć macierz X, taką że:
"
#
"
#
"
#
3 1
1 3
3 3
X
=
2 1
1 2
2 2
10. Niech A i B będą macierzami kwadratowymi. Jakie muszą być macierze A i B aby był spełniony wzór: n
!
n
( A + B) n = X
AiBn−i
i
i=1
2
11. Udowodnić, że jeśli macierze A i B są symetryczne (antysymetryczne) to macierz ABA jest symetryczna (antysymetryczna).
12. Udowodnić, że dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + AT
jest symetryczna, a macierz A − AT antysymetryczna.
13. Udowodnić, że każdą macierz kwadratową o współczynnikach zespolo-nych można przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysyme-trycznej.
14. Macierz kwadratową A nazywamy ortogonalną, jeśli AAT = I. Udowodnić, że macierz ortogonalna jest odwracalna. Udowodnić, że iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Podać przykład macierzy ortogo-nalnej.
15. Niech A będzie macierzą kwadratową, taką że A 2 = 0 (0 oznacza tu macierz zerową). Udowodnić, że macierz A + I jest odwracalna.
16. Niech A będzie macierzą kwadratową, taką że A 4 + A 3 + A 2 + A + I = 0.
Udowodnić, że macierz A − I jest odwracalna.
17. Rozwiązać równanie AX + X + A = 0, jeśli wiadomo, że A 2 = 0 (niewia-domą jest macierz X).
18. Niech A będzie macierzą, taką że dla pewnej liczby naturalnej n mamy An = 0 i niech C będzie macierzą odwracalną. Obliczyć ( CAC− 1) n.
19. Wyznaczyć wielomian f ( x) stopnia 2 o współczynnikach rzeczywistych, taki że f ( A) = 0, gdzie:
"
#
1 2
A =
3 4
3