Zbiory. Działania na zbiorach
Zadanie 1. Określić stosunki pomiędzy zbiorami:
a) A – zbiór tulipanów, B – zbiór róż, C – zbiór kwiatów czerwonych, D – zbiór białych róż, b) A – zbiór ludzi urodzonych w styczniu, B - zbiór ludzi urodzonych w grudniu, C - zbiór ludzi urodzonych w I kwartale, D - zbiór ludzi urodzonych w niedzielę,
c) A – zbiór ludzi mających wyższe wykształcenie, B – zbiór osób mających zdaną maturę, C – zbiór osób pracujących w Krakowie, D – zbiór osób urodzonych w Warszawie,
d) A – zbiór ludzi urodzonych w 2000 roku, B – zbiór ludzi poniżej 60 roku życia, C – zbiór kobiet, D – zbiór ludzi powyżej 30 roku życia,
e) A – zbiór liczb nieparzystych, B – zbiór liczb podzielnych przez 2, C – zbiór liczb podzielnych przez 3, D -
zbiór liczb podzielnych przez 4,
f) A – zbiór ludzi urodzonych w Koszalinie lub Gdańsku, B - zbiór ludzi urodzonych w Koszalinie, C - zbiór ludzi urodzonych w Koszalinie i pracujących w Koszalinie, D - zbiór ludzi urodzonych w Koszalinie lub Szczecinie,
g) A – zbiór miast Polski, B – {Zakopane, Warszawa}, C – {Paryż, Wiedeń}, D – zbiór miast będących stolicami.
h) A – zbiór ludzi urodzonych w Warszawie, B – zbiór, którego elementami są zbiory osób urodzonych w tym samym mieście, C – zbiór osób mieszkających w Koszalinie, D – zbiór osób urodzonych w Koszalinie, i) A – zbiór zbiorów kwiatów poszczególnych gatunków, B – zbiór tulipanów, C – zbiór róż, D – zbiór kwiatów czerwonych,
j) A – zbiór osób mających 40 lat, B – zbiór, którego elementami są zbiory ludzi urodzonych w takim samym miesiącu, C – zbiór, którego elementami są zbiory ludzi w tym samym wieku, D – zbiór ludzi urodzonych w lipcu.
Zadanie 2. Przyjmując jako U zbiór wszystkich ludzi oraz: A – zbiór studentów prawa, B – zbiór studentów, C –
zbiór studentów dziennych, D – zbiór studentów zaocznych, wykonać poniższe działania: a) A ∩ C,
b) B – C,
c) A / ∩ C,
d) B – C /,
e) B /,
f) B ∪ D,
g) B – (A ∪ D),
h) ( D – B ) ∪ A,
i) C / ∩ ( B – A ).
Zadanie 3. Przyjmując jako U zbiór wszystkich ludzi oraz: A – zbiór mężczyzn, B – zbiór osób palących, C –
zbiór abstynentów (osób niepijących), wykonać poniższe działania:
a) B ∩ C,
b) C /,
c) C – B,
d) A ∪ C,
e) A ∩ B /,
f) A / – B,
g) ( A – B ) /,
h) (A ∪ C) / ,
i) ( A ∩ B ) /,
j) C ∪ C /.
Zadanie 4. Stosując diagramy Venna wykazać, że następujące wyrażenia są prawami rachunku zbiorów: a) (A ∩ B) ⊆ ( A ∪ B ),
b) [A ∩ ( B ∪ C )] ⊆ [ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )],
c) [( A ∪ B ) ∩ C / ] ⊆ [ ( A – C ) ∪ ( B – C )],
d) [( A – B )∩ C ] = [ ( A ∩ C ) ∩ B / ],
e) [ A – ( A ∩ B )] = ( A – B ).
Zadanie 5. Posługując się metodą rachunku zdań wykazać, że następujące wyrażenia są prawami rachunku zbiorów:
a) (A ∩ B) ⊆ ( A ∪ B ),
b) [A ∩ ( B ∪ C )] ⊆ [ ( A ∩ B) ∪ ( B ∩ C )],
c) [( A ∪ B ) ∩ C / ] ⊆ [ ( A – C ) ∪ ( B – C )],
d) [( A – B )∩ C ] = [ ( A ∩ C ) ∩ B / ],
e) [ A – ( A ∩ B )] = ( A – B ).
2
Odpowiedzi
Zadanie 1.
a) A )( B, A # C, A )( D, B # C, D⊆ B, C)( D.
b) A )( B, A ⊆ C, A # D, B )( C, A # D, C # D.
c) A ⊆ B, A # C, A # D, B # C, B # D, C # D.
d) A ⊆ B, A # C, A )( D, B # C, B # D, C # D.
e) A )( B, A # C, A )( D, B # C, D⊆ B, C # D.
f) B ⊆ A, C ⊆ A, A # D, C ⊆ B, B ⊆ D, C ⊆ D.
g) B ⊆ A, A )( C, A # D, B )( C, B # D, C ⊆ D.
h) A )( B i A ∈ B, A # C, A )( D, B )( D i D ∈ B, C # D.
i)
A )( B i B ∈ A, A )( C i C∈ A , A )( D, B )( C, B # D, C # D.
j)
A )( B, A )( C i A ∈ C, A # D, B )( C, B )( D i D ∈ B, C )( D.
Zadanie 2.
a) Zbiór dziennych studentów prawa.
b) Zbiór studentów nie-dziennych.
c) Zbiór studentów dziennych studiujących inne kierunki niż prawo.
d) Zbiór studentów dziennych.
e) Zbiór osób nie będących studentami.
f) Zbiór studentów.
g) Zbiór studentów wszystkich kierunków oprócz prawa i matematyki.
h) Zbiór studentów prawa.
i)
Zbiór studentów nie-dziennych oprócz studentów prawa.
Zadanie 3.
a) Zbiór palących abstynentów.
b) Zbiór osób nie będących abstynentami (osób pijących).
c) Zbiór niepalących abstynentów.
d) Zbiór mężczyzn oraz niepijących kobiet.
e) Zbiór niepalących mężczyzn.
f) Zbiór niepalących kobiet.
g) Zbiór kobiet oraz palących mężczyzn.
h) Zbiór pijących kobiet.
i)
Zbiór kobiet oraz niepalących mężczyzn.
j)
Uniwersum (zbiór wszystkich ludzi).
Zadanie 5. Poniżej podane są formuły, jakie powinny powstać po przekształceniu wyrażeń rachunku zbiorów na rachunek zdań.
Wszystkie otrzymane schematy są tautologiami:
a) ( p ∧ q ) ⇒ ( p ∨ q ),
b) [ p ∧ ( q ∨ r )] ⇒ [( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )], c) [ ( p ∨ q ) ∧ ~ r )] ⇒ [( p ∧ ~ r ) ∨ ( q ∧ ~ r )], d) [ ( p ∧ ~ q ) ∧ r )] ⇔ [( p ∧ r ) ∧ ~ q ], e) [ p ∧ ~ ( p ∧ q )] ⇔ ( p ∧ ~ q ).